高中数学思维教学法-全国高中数学联赛英文怎麼說
1.6 微积分基本定理
一、教学目标
知识与技能目标:通过实例,直观了解微积分基本定理的含义,会用牛顿-
莱布尼兹公式求简
单的定积分
过程与方法:通过实例体会用微积分基本定理求定积分的方法
情感态度与价值观:通过微积分基本定理的学习,体会事物间的相互转化、对立统一的辩证
关系
,培养学生辩证唯物主义观点,提高理性思维能力。
二、教学重难点
重点 通过探究
变速直线运动物体的速度与位移的关系,使学生直观了解微积分基本定理的
含义,并能正确运用基本定理
计算简单的定积分。
难点 了解微积分基本定理的含义
三、教学过程
1、复习:定积分的概念及用定义计算
2、引入新课:我们讲过用定积分定义计算定积分,但
其计算过程比较复杂,所以不是求定
积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的新方法,也是比较一般
的方法。
变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系
设一物体沿直线作变速运动,在时
刻t时物体所在位置为S(t),速度为v(t)(
v(t)?o
),
则物体在时间
间隔
[T
1
,T
2
]
内经过的路程可用速度函数表示为即
?
T
2
T
1
v(t)dt
。
另
一方面,这段路程还可以通过位置函数S(t)在
[T
1
,T
2
]<
br>上的增量
S(T
1
)?S(T
2
)
来表达,
?
T
2
T
1
v(t)dt
=
S(T
1)?S(T
2
)
而
S
?
(t)?v(t)
。
对于一般
函数
f(x)
,设
F
?
(x)?f(x)
,是否也有
?
b
a
f(x)dx?F(b)?F(a)
<
br>若上式成立,我们就找到了用
f(x)
的原函数(即满足
F
?
(x)?f(x)
)的数值差
F(b)?F(a)
来计算
f(x)
在
[a,b]
上的定积分的方法。
注:1:定理 如果函数
F(x)
是
[a,b]
上的连续函数
f(x)
的任意一个原函数,则
?
b
a
f(x)dx?F(b)?F(a)
证明:因为<
br>?(x)
=
?
x
a
f(t)dt
与
F(x)
都是
f(x)
的原函数,故
F(x)
-
?(x)
=C(
a?x?b
)
其中C为某一常数。
令
x?a
得
F(a)
-
?(
a)
=C,且
?(a)
=
?
a
a
f(t)dt=0即有C=
F(a)
,故
- 1 -
F(x)
=
?(x)
+
F(a)
?
?(x)
=
F(x)
-
F(a)
=
?
f(
t)dt
a
x
令
x?b
,有
?
b
a
f(x)dx?F(b)?F(a)
b
此处并不要求学生理解证明的过程
为了方便起见,还常用
F(x)|a
表示
F(b)?F(a)
,即
?
b
a
f(
x)dx?F(x)|
b
a
?F(b)?F(a)
2
3
1
1
dx
;
(2)
?
(2x?
2
)dx
。
1
x
x
'
例1.计算下列定积分:
(1)
?1
解:(1)因为
(lnx)?
所以
2
1
,
x
1
2
dx?lnx|?ln2?ln1?ln2
。
1<
br>?
1
x
1
'
1
2'
(2))因为
(
x)?2x,()??
2
,
xx
333
11
所以
?
(2x?
2
)dx?
?
2xdx?
?
2
dx
111
xx
1
3
122
3
。 ?x
2
|
1
?|
1
?(9?1)?(?1)?
x33
练习:计算
解:由于
?
1
0
x
2
d
x
1
3
x
是
x
2
的一个原函数,所以根
据牛顿—莱布尼兹公式有
3
1
1
31
1
3
13
1
2
?
xdx
=
x|
0
=
?1??0
=
0
333
3
例2.计算下列定积分:
?
2?
2
?
?
0
sinxdx,
?
sinxdx,
?
sinxdx
。
?
0
解:因为
(?cosx)
'
?sinx
,所以
?
?
?
sinxdx?(?cosx)|
?
?(?cos2
?
)?(?cos
?
)??2
?
?
0<
br>2
2
?
sinxdx?(?cosx)|
?
0
?(?
cos
?
)?(?cos0)?2
?
2
?
02
?
sinxdx?(?cosx)|
0
?(?cos2
?)?(?cos0)?0
.
可以发现,定积分的值可能取正值也可能取负值,还可能是0:
( l
)当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时(图1.6一3 )
,定积
分的值取正值,且等于曲边梯形的面积;
- 2 -
图1
. 6 一 3 ( 2 )
(2)当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时(图 1 . 6 一 4
) ,定积分的值取负值,且
等于曲边梯形的面积的相反数;
( 3)当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于 x
轴下方的曲边梯形面积时,定积分
的值为0(图 1 . 6 一 5 ) ,且等于位于 x
轴上方的曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲
边梯形面积.
例3.汽车以每
小时32公里速度行驶,到某处需要减速停车。
2
设汽车以等减速度
a
=1.
8米秒刹车,问从开始刹车到停车,汽
车走了多少距离?
解:首先要求出从刹车开始到停车经
过了多少时间。当t=0时,汽
32?1000
米秒
?
8.88米秒,刹车后
汽车减速
3600
行驶,其速度为
v(t)=v
0
?at=8.88
-1.8t
当汽车停住时,速度
v(t)=0
,故从
8.88
?4.
93
秒
v(t)=8.88-1.8t=0
解得
t=
1.8
车速度
v
0
=32公里小时=
于是在这段时间内,汽车所走过的距离是 <
br>1
2
s?v(t)dt?(8.88?1.8t)dt
(8.88?1.8?t
)
00
2
0
米,即在刹车后,汽车需走过21.90米才能停住.
?
4.93
?
4.93
4.93
?21.90
四、
课堂小结:
作业:
- 3 -