王金战高中数学丛书-高中数学课题案例分析
梦想不会辜负每一个努力的人
§21平面几何名定理
四个重要定理：
梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线）
△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线
上有点P、Q、R，则P、Q、R共
线的充要条件是
塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点）
。
△ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点的充要条
件是。
托勒密(Ptolemy)定理
四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形
内接于一圆。
西姆松(Simson)定理（西姆松线）
从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在
三角形的外接圆上。
例题讲解
1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求证：
。
.
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梦想不会辜负每一个努力的人
2．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB于D。求证：
。
3．D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上，
求S
△LMN
。
，AD、BE、CF交成△LMN。
4．以△ABC各边为底边向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证：AE、BF、CG
相交于
一点。
.
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梦想不会辜负每一个努力的人
5．已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC=AB+AB·BC。
22
6．已知正七边形A
1
A
2
A<
br>3
A
4
A
5
A
6
A
7
。求
证：
。
7．△ABC的BC边上的高
AD的延长线交外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交AC延长线于
F。
求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。
8．正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的比为A
M：
AC=CN：CE=k，且B、M、N共线。求k。（23-IMO-5）
.
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梦想不会辜负每一个努力的人
9．O为△ABC内一点，分别以d
a
、d
b
、d
c
表示O到BC、CA、AB的距离，以R
a
、R
b
、R
c
表示O到
A、B、C的距离。
求证：（1）a·R
a
≥b·d
b
+c·d
c
;
(2) a·R
a
≥c·d
b
+b·d
c
;
(3) R
a
+R
b
+R
c
≥2(d
a<
br>+d
b
+d
c
)。
10．
△ABC中，H、G、O分别为垂心、重心、外心。求证：H、G、O三点共线，且HG=2GO。（欧
拉线）
11
．⊙O
1
和⊙O
2
与ΔABC的三边所在直线都相切，E、F、G、H为切点
，EG、FH的延长线交于
P。求证：PA⊥BC。
.
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梦想不会辜负每一个努力的人
12．如图，
在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，
延长DF交
BC于G。求证：∠GAC=∠EAC。
例题答案：
1.分析：CEF截△ABD→（梅氏定理）
评注：也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。
2.分析：连结并延长AG交BC于M，则M为BC的中点。
DEG截△ABM→（梅氏定理）
DGF截△ACM→（梅氏定理）
∴===1
.
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梦想不会辜负每一个努力的人
评注：梅氏定理
3. 梅氏定理
4. 塞瓦定理
5.
分析：过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。则CD=DA=AB，AC=BD。
由托勒密定理，AC·BD=AD·BC+CD·AB。
评注：托勒密定理
6.评注：托勒密定理
7.评注：西姆松定理（西姆松线）
8.评注：面积法
9.评注：面积法
10. 评注：同一法
11.
证明：连结BD交AC于H。对△BCD用
塞瓦定理，可得
因为AH是∠BAD的角平分线，由角平分线定理，
可得，故。
过C作AB的平行线交AG的延长线于I，过C作AD的平行线交AE的延长
线于J。
则，
所以，从而CI=CJ。
又因为CIAB，CJAD，故∠ACI=π-∠BAC=π-∠DAC=∠ACJ。
.
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梦想不会辜负每一个努力的人
因此，△ACI≌△ACJ，从而∠IAC=∠JAC，即∠GAC=∠EAC。
.
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