高中数学平面向量奔驰定理详解精讲

平面向量奔驰定理与三角形四心
已知
O
是
?ABC
内的一点，
?BOC,?AOC,?AOB
的面积分别为
S
A
，S
B
，
S
C
，求证：
S
A
?
OA
?
S
B
?
OB
?
S
C
?OC
?
0


A
O
BC
如图2延长< br>OA
与
BC
边相交于点
D
则

BD
S
?A
BD
S
?BOD
S
?ABD
?
S
?BOD
S
C
????

DC
S
?ACD
S
?COD
S
ACD
?
S
?COD
SB

图1
OD
A
O
BC
?
DC
BC
OB
?
BD
OC

BC




?
S
S
C
S
B
OB
?
OC
S
B
?S
CB
?S
C
D
S
?
?

OD
OAS
BOD
BOA
?
S
COD
S
BOD
?S
COD
S
A
??

S
COA
S
BOA
?S
COA
S
B
?S< br>C
图2

?

OD
??
S
A
S
B
?S
C
OA


?
?
S
A
S
B
?S
C
OA
?
S
C
S
B< br>OB
?
OC

S
B
?S
C
S
B
?S
C
?
S
A
?
OA
?
S< br>B
?
OB
?
S
C
?
OC
?
0



推论
O
是
?ABC
内的一点，且
x
?
OA
?y
?
OB
?z
?
OC
?
0
，则
S
?BOC
:
S
?COA:
S
?AOB
?
x:y:z





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有此定理可得三角形四心向量式

O
是
?ABC
的重心
?
S
?BOC< br>:
S
?COA
:
S
?AOB
?
1:1:1< br>?
OA
?
OB
?
OC
?
0



O
是
?ABC
的内心
?
S
?BOC
:
S
?COA
:
S
?AOB
?
a :b:c
?
a
?
OA
?
b
?
OB
?
c
?
OC
?
0



O
是
?ABC
的外心
?
S
?BOC
:< br>S
?COA
:
S
?AOB
?
sin2A:sin2B :sin2C

?
sin2A
?
OA
?
sin2B
?
OB
?
sin2C
?
OC


?
0

O
是
?ABC
的垂心
?
S
?BOC
:
S
?COA
:
S
?AOB
?
tanA:tanB:tanC

?
tanA
?
OA
?
tanB
?
OB
?
tanC
?< br>OC
?
0

C
O
A
D
B

证明：如图
O
为三角形的垂心，
tanA?
CDCD
,ta nB?
?
tanA:tanB?DB:AD

ADDB
S
? BOC
:
S
?COA
?
DB:AD

?
S
?BOC
:
S
?COA
?
tanA:tanB
< br>同理得
S
?COA
:
S
?AOB
?
tanB :tanC
，
S
?BOC
:
S
?AOB
?
tanA:tanC

?
S
?BOC
:
S
?COA
:
S
?AOB
?
tanA:tanB:tanC


奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一


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4.2三角形“四心”的相关向量问题
一．知识梳理：
四心的概念介绍：
(1) 重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1；
(2) 垂心：高线的交点，高线与对应边垂直；
(3) 内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等；
(4) 外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等。
? 与“重心”有关的向量问题
1 已知
G
是
△ABC
所在平面上的 一点，若
GA?GB?GC?0
，则
G
是
△ABC
的( )．
A．重点

如图⑴.
B．外心 C．内心 D．垂心

C
A'
G
A


图⑴
P
B
M
A
B

C
O
图⑵ < br>，B，C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足2已知
O
是平 面上一定点，
A
OP?OA?
?
(AB?AC)
，
?
?(0，??)
，则
P
的轨迹一定通过
△ABC
的( ).
A．重点 B．外心 C．内心 D．垂心

??)
时，由于
?(AB?AC)
表示
BC
边上【解析】由题意
AP?
?
(AB?AC)
，当
?
?(0，
的中线所在直线的向量，所以动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
的重心，如图⑵.
3 .O是△ABC所在平面内 一点，动点P满足
（λ∈（0，+∞）），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）


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A．内心 B．重心 C．外心 D．垂心

sinB=
=
sinC=AD，


解：作出如图的图形AD⊥BC，由于
∴
由加法法则知，P在三角形的中线上

故动点P的轨迹一定通过△ABC的重心

故选：B．


? 与“垂心”有关的向量问题
3
P
是
△ABC
所在平 面上一点，若
PA?PB?PB?PC?PC?PA
，则
P
是
△AB C
的( )
A．重点

B．外心 C．内心 D．垂心
< br>【解析】由
PA?PB?PB?PC
，得
PB?PA(PC?
BCA?
即
P
)?0
，
?0
，所以
PB⊥CA
．同
理可证
PC⊥AB
，
PA⊥BC
．∴
P
是
△ABC
的垂心．如图⑶.
C
A
P
E
M
H
F
O
B
B

C
P

A
图⑶ 图⑷
，B，C
是平面上不共线的三个点，动点
P
满足4已知
O是平面上一定点，
A
?
AB
OP?OA?
?
?
?
?
ABcosB
?
的( )．
?
?
，?
?(0，??)
，则动点
P
的轨迹一定通过
△ABC
?
ACcosC
?
AC
A．重点

B．外心 C．内心 D．垂心


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