高中数学2二项式定理(带答案)

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二项式定理
一．二项式定理

1.右边的多项式叫做
?
a?b
?
的二项展开式
r
2.各项的系数
C
n
叫做二项式系数
n

3.式中的
C
n
a
rn?r
b
r
叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第
r?1
项，即
rn ?rr
T
r?1
?C
n
ab(r?0,1,2,L,n).

r
4.二项展开式特点：共
r?1
项；按字母
a
的 降幂排列，次数从
n
到
0
递减；二项式系数
C
n
中
r
从
0
到
n
递增，与
b
的次数相同；每项 的次数都是
n.

二．二项式系数的性质
mn?m
性质1 ?
a?b
?
的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即
C
n
?C
n

mm?1m
性质2 二项式系数表 中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即
C
n
?C
n
?C
n?1

01nn
n
性质3
?
a?b< br>?
的二项展开式中，所有二项式系数的和等于
2
，即
C
n?C
n
?L?C
n
?2.

n
n
（令
a?b?1
即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释）
性质4
?
a?b
?
的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项
的二项式系数的和，即
022r132r?1n?1

C
n
?C
n
?L?C
n
?L?C
n
?C
n
?L?C
n
?L?2.

n
（令
a?1,b??1
即得）
性质5
?
a?b
?的二项展开式中，当
n
为偶数时，中间一项的二项式系数
C
取得最大值； 当
n
为奇数时，
中间两项的二项式系数
C


n? 1
2
n
n
n
2
n
,C
n?1
2< br>相等，且同时取得最大值
n
.
（即中间项的二项式系数最大）


.

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【题型精讲】

题型一、展开式中的特殊项
1
n2
1．
(x?)
的展开式中，常数项为15，则n=
x
A．3 B．4 C．5 D．6
2.在
?
1?x
?
n
?
n?N
?
的二项展开式中，若只有
x
?
n
5
的系数最大，则
n?
A．8 B. 9 C. 10 D.11
2
??
3．如果
?
3x
2
?
3
?
的展开式中含有非零常数项，则正整数
n
的最小值为（ ）
x
??
Ａ．3

Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10
题型二、展开式的系数和
1.已知
?
1?2x
?
100< br>?a
0
?a
1
?
x?1
?
?a
2< br>?
x?1
?
?L?a
100
?
x?1
?.

2100
求：（1）
a
0
；（2）
a< br>0
?a
1
?a
2
?L?a
100
（3）a
1
?a
3
?a
5
?L?a
99
；

3
??
2.（江西理4）已知
?
x?
?
展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为
64
，则
n
等于3
x
??
（ ）
Ａ．
4
Ｂ．
5
Ｃ．
6
Ｄ．
7

29211
3.（江西文5）设
(x?1)(2x?1)?a
0
?a
1
(x?2 )?a
2
(x?2)?L?a
11
(x?2)
，则
a
0
?a
1
?a
2
?L?a
11
的值为
n
（ ）
Ａ．
?2

于 .

Ｂ．
?1
Ｃ．
1
Ｄ．
2

5235
4.(安徽文12)已知
(1?x)?a
0
?a< br>1
x?a
2
x?a
3
x?a
4
x
4
?a
5
x
, (
a
0
?a
2
?a
4
)(a
1
?a
3
?a
5
)
的值等
题型三、一项展开:拆成两项

1.2除以9的余数是（ ）
A．1 B．2 C．4

33
D．8
题型四、多项展开：
1.（|
x
|＋
1
3
－2）展开式中的常数项是（ ）
|x|
B．－12 C．20 D．－20
2n
3
A．12
2.求
?
1?x?
?
?
1?x
?
?L?
?
1?x
?< br> 展开式中
x
项的系数
.

.

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二项式定理
1、展开式中的特殊项
nn2n
1
1
n
2
1．解．
(x?)
的展开式中， 常数项为15，则
C
n
3
(x)
3
(?)
3
?15
，所以n可以被3整除，当n=3时，
x
x
2
12
C
3
?3?15
，当n=6时，
C
6
?15
，选D 。
2.答案】C 解析】只有
x
的系数最大，
x
是展开式的第6 项，第6项为中间项，展开式共有11项，故
n=10
3．答案：选Ｂ
r
解析：由展开式通项有
T
r?1
?C
n
3x
55
? ?
2
n?r
r
?
2
?
rn?r
?C?3? ?2?x
2n?5r

?
??
n
?
3
?< br>?
x
?
r
由题意得
2n?5r?0?n?
2、展开式 的系数和
1.
3
100
5
r
?
r?0,1,2, L,n?1
?
，故当
r?2
时，正整数
n
的最小值为5，故 选Ｂ
2
、
5
100
5
100
?1
、 < br>2
2.解析：展开式中，各项系数的和为4
n
，各项二项式系数的和为2
n
，由已知得2
n
=64，所以n=6，选C
3.解析：令
x? 2
=1，右边为
a
0
?a
1
?a
2
?L? a
11
；左边把
x??1
代入
(x
2
?1)(2 x?1)
9
?2(?1)
9
??2
，
?a
0
?a
1
?a
2
?L?a
11
??2.
选A. < br>5235
4.解析：已知
(1?x)?a
0
?a
1
x ?a
2
x?a
3
x?a
4
x
4
?a
5
x
,
∴
a
0
?a
2
?a
4
??(a
1
?a
3
?a
5
)?16
则
(
a
0
?a
2
?a
4
)(a
1< br>?a
3
?a
5
)
=－256
3、一项展开:拆成两项
1解析：
2?8?(9?1)?C
11
9 ?C
11
9?C
11
9???C
11
9?C
11< br>?9(C
11
9?

9281
C
1
119?C
11
9???C
11
)?1?9(C
11
9?C
11
9?C
11
9???C
11
?1)
?8,
331111
010
故余数为8，选D．
4、多项展开：1.解法一：∵
(|x|?
∴展开式的通项为
令6－2< br>r
＝0，得
r
＝3
3
11
6
?2)
3
?(|x|?)

|x|
|x|
1
rr
)?C< br>6
(?1)
r
·
(
|x|
r
T
r? 1
?C
6
(|x|)
6?r
·
(?
|x|)
6?2r


∴
T
4
＝
C
3
6
（－1）＝－20 ∴所求常数项为－20．
(1?|x|)
6
1
3
解法二：∵（|< br>x
|＋－2）＝
3
|x|
|x|
.

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∴（1－|
x
|）中|
x
|的系 数
A
＝
C
3
6
（－1）＝－20就是展开式的常数项．
633
评注：此题也可把其中的某两项看作一项对待，然后用二项式定理展开，但较繁，以上两 种转化方式
是比较实用的．
333
2.
C
3
?C
4
???????C
n


.