人教版高中数学,余弦定理(一)

人教版高中数学同步练习
1．1.2 余弦定理(一)
1．熟记余弦定理及其推论；

2．能够初步运用余弦定理解斜三角形．
课时标目

1．余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他 两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的
积的两倍．即a
2
＝b
2< br>＋c
2
－2bccos_A，b
2
＝c
2
＋a
2
－2cacos_B，c
2
＝a
2
＋b
2
－2 abcos_C.
2．余弦定理的推论
b
2
＋c
2
－a
2
c
2
＋a
2
－b
2
a
2
＋b
2
－c
2
cos A＝；cos B＝；cos C＝.
2bc2ca2ab
3．在△ABC中：
(1)若a
2
＋b
2
－c
2
＝0，则C＝90°；
(2)若c
2
＝a
2
＋b
2
－ab，则C＝60° ；
(3)若c
2
＝a
2
＋b
2
＋2ab，则C＝ 135°.
一、选择题

1．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，则c等于( )
A.3 B．3
C.5 D．5
答案 A
2．在△ABC中，a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为( )
ππ
A. B.
36

ππ
C. D.
412
答案 B
解析 ∵a>b>c，∴C为最小角，
a
2
＋b
2
－c
2
由余弦定理cos C＝ 2ab
7
2
＋?43?
2
－?13?
2
3π
＝＝.∴C＝.
26
2×7×43
3．在△ABC中，已知a＝2，则bcos C＋ccos B等于( )
A．1 B.2 C．2 D．4
答案 C
a
2
＋b
2
－c
2
c
2
＋a
2
－b
2
2a
2
解析 bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a＝2.
2ab2ac2a
4．在△ABC中，已知b
2
＝ac且c＝2a，则cos B等于( )
1322
A. B. C. D.
4443
答案 B
解析 ∵b
2
＝ac，c＝2a，∴b
2
＝2a
2
，b＝2a，
a
2
＋c
2
－b
2
a
2
＋4a< br>2
－2a
2
3
∴cos B＝＝＝.
2ac2a·2a4< br>A
c－b
5．在△ABC中，sin
2
＝ (a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形
22c
状为( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
答案 B
A
1－cos Ac－b
解析 ∵sin
2
＝＝，
222c
b
b
2
＋c
2
－a
2
222
∴cos A＝＝?a＋b＝c，符合勾股定理．
c2bc
故△ABC为直角三角形．
1
6．在△ABC中，已知面积S＝( a
2
＋b
2
－c
2
)，则角C的度数为( )
4
A．135° B．45° C．60° D．120°
答案 B
11
解析 ∵S＝(a
2
＋b
2
－c
2
)＝absin C，
42
∴a
2
＋b
2
－c
2
＝2absin C，∴c
2
＝a
2
＋b
2
－2absin C.
由余弦定理得：c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos C，
∴sin C＝cos C，
∴C＝45° .
二、填空题
7． 在△ABC中，若a
2
－b
2
－c
2
＝bc，则A＝___ _____.
答案 120°
8．△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________.
答案 30°
解析 c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos C
＝2
2
＋4
2
－2×2×4×cos 60°
＝12
∴c＝23.

ac1
由正弦定理：＝得sin A＝.
sin Asin C2
∵a9．三角形三边长为a，b，a
2
＋ab＋b
2
(a>0，b>0)，则最大角为________．
答案 120°
解析 易知：a2
＋ab＋b
2
>a，a
2
＋ab＋b
2
>b ，设最大角为θ，
a
2
＋b
2
－?a
2
＋ab＋ b
2
?
2
1
则cos θ＝＝－，
2ab2
∴θ＝120°.
π
10．在△ABC中，BC＝1，B＝，当△ABC的面积等于3时，tan C＝________.
3
答案 －23
1
解析 S
△
ABC
＝acsin B＝3，∴c＝4.由余弦定理得，b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos B＝13，
2
a
2
＋b
2
－c
2
112
∴cos C＝＝－，sin C＝，
2ab
1313
∴tan C＝－12＝－23.
三、解答题
11．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，试求AC边上的中线长．
AB< br>2
＋AC
2
－BC
2
9
2
＋8
2< br>－7
2
2
解 由条件知：cos A＝＝＝，设中线长为x，由余弦定理知：< br>2·AB·AC
2×9×8
3
AC
?
2
AC2
2
－2··
2
＋9
2
－2×4×9×＝49 x
2
＝
?
＋ABABcos A＝4
?
2
?
23
?x＝7.
所以，所求中线长为7.
12．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x
2
－23x＋2＝0的 两根，2cos(A＋
B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长；
(3)求△ABC的面积．
解 (1)cos C＝cos[π－(A＋B)]
1
＝－cos(A＋B)＝－，
2
又∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°.
(2)∵a，b是方程x
2
－23x＋2＝0的两根，
?
a＋b＝23，
∴
?

?
ab＝2.
∴ AB
2
＝b
2
＋a
2
－2abcos 120°＝(a＋b)
2
－ab＝10，
∴AB＝10.
13
(3)S
△
ABC
＝absin C＝.
22

能力提升

13．(2010·潍坊一模)在 △ABC中，AB＝2，AC＝6，BC＝1＋3，AD为边BC上的高，
则AD的长是_______ _．
答案 3
BC
2
＋AC
2
－AB
2
2
解析 ∵cos C＝＝，
2
2×BC×AC
2
.
2
∴AD＝AC·sin C＝3.
14．在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，试判断三角形的形状．
解 由余弦定理知
b
2
＋c< br>2
－a
2
a
2
＋c
2
－b
2
cos A＝，cos B＝，
2bc2ac
a
2
＋b
2
－c
2
cos C＝，
2ab
代入已知条件得
b
2
＋c
2
－a
2
a
2
＋c
2
－b
2
c
2
－a
2
－b
2
a·＋b·＋c·＝0，
2bc2ac2ab通分得a
2
(b
2
＋c
2
－a
2
)＋ b
2
(a
2
＋c
2
－b
2
)＋c
2
(c
2
－a
2
－b
2
)＝0，
展开整 理得(a
2
－b
2
)
2
＝c
4
.
∴sin C＝

∴a
2
－b
2
＝±c
2
，即a
2
＝b
2
＋c
2
或b
2
＝a
2
＋c
2
.
根据勾股定理知△ABC是直角三角形．

1．利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题：
(1)已知两边和夹角，解三角形．
(2)已知三边求三角形的任意一角．
2．余弦定理与勾股定理
余弦定理可以看作是勾股定理的推广，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．

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