上海高中数学数列的极限

7.6 数列的极限

课标解读：
1、理解数列极限的意义；
2、掌握数列极限的四则运算法则。

目标分解：
1、数列极限的定义：一般地，如果当项数
n
无限增大时，无穷 数列
限地趋近于某个常数
注：
?
a
n
?
的项
a
n
无
a
(即
|a
n
n
?a|
无限地接近于0)，那么就说数列
?
a
n
?
以
a
为 极限。
a
不一定是
?
a
?
中的项。
lim1
?0
limC?C
n??
n
2、几个常用的极限：①
n??
(
C
为常数)；②；③
limq
n
?0(|q|?1 )
n??
；
3、数列极限的四则运算法则：设数列
当
liman
?a
n??
?
a
n
?
、
?
b
n
?
，
； ，
limb
n
?b
n??
时，
n??
lim(a
n
?b
n
)?a?b
lim(a
n
?b
n
)?a?b
n??
lim
；
a
n
a
?(b?0)
n??
bb
n

4、两个重要极限：
①
c?0
?
0
1
?
lim
c
?
?
1c?0
n??
n
?
不存在 c?0
?

|r|?1
?
0
?
n
limr?1r?1
②
n??
?
?
不存在|r|?1或r??1
?

问题解析：
一、求极限：
例1：求下列极限：
2
(1)
lim
4n?n?1
lim
3n
3?n
n??
2n
2
?3
(2)
n??
2n
4
?n
2
(3)

n
lim
??
(n
2
?n?n)



例2：求下列极限：
(1)
lim
n??
(
1
n
?
473n?2
2
n
2
?
n
2
???
n
2
)
；




(2)
lim
1
n??
[
2?5
?
1< br>5?8
?
1
8?11
???
1
(3n?1)?(3n ?2)
]



例3：求下式的极限：

lim
cos
n
?
?sin
n
?
n??
cos< br>n
?
?sin
n
?
,
?
?(0,
?
2
)


二、极限中的分数讨论：
例4：已知数列
?
a
n
?
是由正数构成的数列，
a
1
?3
，
lga
n
?lga
n?1
?lgc
，其中
n< br>是大于1的整数，
c
是正数。
(1) 求数列
?
a
n
?
的通项公式及前
n
项和
S
n
；
且满足

2
n?1
?a
n
(2) 求
lim
的值。
n??
2
n
?a
n?1

三、极限的应用：
1
(1?)
p
?1
n
例5：已 知
p
、
q
是两个不相等的正整数，且
q?2
，求
l im
的值。
n??
1
q
(1?)?1
n


知识内化：
1、
lim
n?2
?
__________________。
n ??
1?2???n
113n?2
lim[????]?
_________ _____。 2、
n??
n(n?1)n(n?1)n(n?1)
2
n? 1
?n?3
n
?
___________________。 3、
lim
n?1n?1
n??
2?n?3
4、下列四个命题中正确的是（ ）




A、若
lima
n
?A
，则
lima
n
?A

n??
2
2
n??
B、若
a
n
?0
，lima
n
?A
，则
A?0

n??
C、若< br>lima
n
?A
，则
lima
n
?A
n??
n??
2
2
D、若
lim(a?b)?0
，则< br>lima
n
?limb
n

n??
nn
n? ?n??
?
b
n
?
都是由正数组成的等比数列，
q?1， 5、已知数列
?
a
n
?
、公比分别为
p
、 其中
p?q
且
p?1
，
q
，
设
c
n
?a
n
?b
n
，
S
n
为数列
?
c
n
?
的前
n
项和，求
lim

能力迁移：
S
n
。
n??
S
n?1

1、数列
?
a
n
?
、
?
b
n
?
都是无穷等差数列，其中
a
1
?3
，
b
1
?2
，
b
2
是
a
2
与
a
3
的等差中项，且
lim
a
n
1
111
?
，求极限
lim(????)
的值。
n??
b
n??
2
a
1
b
1
a< br>2
b
2
a
n
b
n
n

基本练习：
一、填空题：
n
2
?2n
?
___________________。 1.
lim
n??
b2n
2
?3
2. 若
lim(2 x?1)
的极限存在，则实数
x
的取值范围__________________。
n??
n
n
2
?1
?an?b)?1
，则
a
=______________，
b
=___________________ _。 3.
lim(
n??
n?1
4. 数列
?
a< br>n
?
中，
a
1
?3
，且对任意大于1的正整数
n
，点
(a
n
,
则
lim
a
n
?1)
在直线
x?y?3?0
上，
a
n
?
____ ______________。
n??
(n?1)
2
f(n
2
)
5. 已知f(n)?1?2???n
，则
lim?
__________________ 。
n??
[f(n)]
2
a
n
?n
2
6. 数列
?
a
n
?
的公差
d
是2，前
n
项的和为
S
n
，则
lim?
______________ ___。
n??
S
n
7. 设数列
?
a
n?
、
?
b
n
?
都是公差不为0的等差数列，且
lim
______________________。
a
n
b?b< br>2
???b
2n
?2
，则
lim
1
等于 < br>n??
b
n??
na
3nn
n?3
n
1 8、将
lim
，则实数
x
的取值范围是______________ ____。
?
n??
n(x?2)
n
?n?3
n?1?3
n
3
9、已知数列
?
a
n
?
：

112123129
????
，…，那么数列 ，
?
，
??
，…，
233444101010
?
1
?
??
的所 有项的和为________________。
?
a
n
?a
n? 1
?

10、已知等比数列
?
a
n
?
的首项
a
1
，公比
q
，且有
lim(
n??
a
1
1
?q
n
)?
，则首项
a
1
的取值范围
1?q2
是__________________。

二、选择题
bn
2
?can
2
?c
?3
，则
lim
2
11、已知
a
、
b
、c是实常数，且
lim
的值是（ ）
2
n??
cn?b
n??
cn?a
A、2 B、3 C、
1
2
D、6
?
1
,1?n?1000
12、
?
a
中，
a
?
?
n
?
n
?
?
n
2
，则数列
?
a
n
?的极限值（ ）
?
n
2

?
?
n
2
?2n
,n?1001
A、等于0 B、等于1 C、等于0或1
13、
1111
n
lim
? ?
[n(1?
3
)(1?
4
)(1?
5
)?(1?
n?2
)]
等于（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3

14、已知
lim
2
n
?a
n
n??
2
n
?a
n
?1
，
a?R
，则a
的取值范围是（ ）
A、
a?0
B、
a??2
，
a?2
C、
?2?a?2

a??2


三、解答题
15、已知等差数列前三项为
a
、4、
3a
，前
n
项和为
S
n
，
S
k
?2550

(1)求
a
及
k
的值；
(2)求
lim
11< br>n??
(
S
????
1
)

1
S< br>2
S
n
16、曲线
C:xy?1(x?0)
与直线
l :y?x
相交于
A
1
，作
A
1
B
1
?l
交
x
辆于
B
1
，
作
B
1< br>A
2
l
交曲线
C
于
A
2
……依此类 推。
D、不存在
D、
a?2
且

< br>(1)求点
A
1
，
A
2
，
A
3和
B
1
，
B
2
，
B
3
的坐标 ；
(2)猜想
A
n
的坐标，并加以证明；
(3)求
lim

|B
n
B
n?1
|

n??
BB
n?1n
?
17、已知数列
{a
n
}
满足
(n?1 )a
n?1
?(n?1)(a
n
?1)
且
a
2?6
，设
b
n
?a
n
?n(n?N)

(1)求
{b
n
}
的通项公式；
(2)求
lim(
n??

1111
?????)
的值。
b
2
?2b
3?2b
4
?2b
n
?2
18、设
T
n
为数列
{a
n
}
前n项的和，
T
n
?


(1)求数列
{a
n
}
的通项公式；
3
数列
{b
n
}
的通项公式为
b
n
?4n?3(n ?N)

(a
n
?1)(n?N)
。
2
(2)若< br>c?{a
1
,a
2
,a
3
?,a
n
,?}?{b
1
,b
2
,b
3
?,b
n
, ?}
，则c称为数列
{a
n
}
，
{b
n
}
的公共项，将数列
{a
n
}
与
{b
n
}< br>的公共项按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列，证明：数列
{c
n
}
的通项公式
2n?1
(n?N)
； 为
c
n
?3
(3)设数列
{c
n
}
中的 第n项是数列
{b
n
}
中的第m项，
B
m
为数列< br>{b
n
}
前m项的和；
D
n
为数列
{cn
}
前n项的和，且
A
n
?B
m
?D
n
；求：
lim

A
n
。
n??
(a)
4
n