普通高中数学课程标准

普通高中数学课程标准

普通高中数学课程标准

（实 验）

第一部分 前言
数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社
会规律的科学语言和有效 工具。数学科学是自然科学、技术科学等
科学的基础，并在经济科学、社会科学、人文科学的发展中发挥 越
来越大的作用。数学的应用越来越广泛，正在不断地渗透到社会生
活的方方面面，它与计算机 技术的结合在许多方面直接为社会创造
价值，推动着社会生产力的发展。数学在形成人类理性思维和促进
个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。数学是人
类文化的重要组成部分，数学 素质是公民所必须具备的一种基本素
质。
数学教育作为教育的组成部分，在发展和完 善人的教育活动
中、在形成人们认识世界的态度和思想方法方面、在推动社会进步
和发展的进程 中起着重要的作用。在现代社会中，数学教育又是终
身教育的重要方面，它是公民进一步深造的基础，是 终身发展的需

要。数学教育在学校教育中占有特殊的地位，它使学 生掌握数学的
基础知识、基本技能、基本思想，使学生表达清晰、思考有条理，
使学生具有实事 求是的态度、锲而不舍的精神，使学生学会用数学
的思考方式解决问题、认识世界。

一、课程性质
高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它
包含了数学中最基本的内容，是培养公民素质的基础课程。
高中数学课程对于认识数学与自然 界、数学与人类社会的关
系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决
问题 的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作
用。
高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意
识，形成解决简单实际问题的能力。
高中数学课程是学习高中物理、化学、技术等课程和进一步学
习的基础。同时，它为学 生的终身发展，形成科学的世界观、价值
观奠定基础，对提高全民族素质具有重要意义。

二、课程的基本理念
1. 构建共同基础，提供发展平台
高中教育属于基础教育。高中数学课程应具有基础性，它包括< br>两方面的含义：第一，在义务教育阶段之后，为学生适应现代生活
和未来发展提供更高水平的数学 基础，使他们获得更高的数学素
养；第二，为学生进一步学习提供必要的数学准备。高中数学课程
由必修系列课程和选修系列课程组成，必修系列课程是为了满足所
有学生的共同数学需求；选修系列课 程是为了满足学生的不同数学
需求，它仍然是学生发展所需要的基础性数学课程。
2. 提供多样课程，适应个性选择
高中数学课程应具有多样性与选择性，使不同的学生在数学上
得到不同的发展。
高中 数学课程应为学生提供选择和发展的空间，为学生提供多
层次、多种类的选择，以促进学生的个性发展和 对未来人生规划的
思考。学生可以在教师的指导下进行自主选择，必要时还可以进行
适当地转换 、调整。同时，高中数学课程也应给学校和教师留有一

定的选择空 间，他们可以根据学生的基本需求和自身的条件，制定
课程发展计划，不断地丰富和完善供学生选择的课 程。
3. 倡导积极主动、勇于探索的学习方式
学生的数学学习活动不应只限 于接受、记忆、模仿和练习，高
中数学课程还应倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等
学习数学的方式。这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生
的学习过程成为在教师引导下的“再 创造”过程。同时，高中数学
课程设立“数学探究”“数学建模”等学习活动，为学生形成积极
主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生的数
学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中， 养成独立思考、积极探索的
习惯。高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活
动 ，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。
4. 注重提高学生的数学思维能力
高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育
的基本目标之一。人们在 学习数学和运用数学解决问题时，不断地
经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想像、抽象概括、符 号
表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。

这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴
涵的数学模式进行思考和做出 判断。数学思维能力在形成理性思维
中发挥着独特的作用。
5. 发展学生的数学应用意识
20世纪下半叶以来，数学应用的巨大发展是数学发展的显著
特征之一。当今知识经济时代，数学正在从幕后走向台前，数学和
计算机技术的结合使得数学能够在许 多方面直接为社会创造价值，
同时，也为数学发展开拓了广阔的前景。我国的数学教育在很长一
段时间内对于数学与实际、数学与其他学科的联系未能给予充分的
重视，因此，高中数学在数学应用和联 系实际方面需要大力加强。
近几年来，我国大学、中学数学建模的实践表明，开展数学应用的
教 学活动符合社会需要，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于
增强学生的应用意识，有利于扩展学生的 视野。
高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价
值，开展“数学 建模”的学习活动，设立体现数学某些重要应用的
专题课程。高中数学课程应力求使学生体验数学在解决 实际问题中
的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和

发展数学应用意识，提高实践能力。
6. 与时俱进地认识“双基”
我国的数学教学具有重视基础知识教学、基本技能训练和能力
培养的传统，新世纪的高中数学课程应发扬这种传统。与此同时，
随着时代的发展，特别是数学的广泛 应用、计算机技术和现代信息
技术的发展，数学课程设置和实施应重新审视基础知识、基本技能
和能力的内涵，形成符合时代要求的新的“双基”。例如，为了适
应信息时代发展的需要，高中数学课程 应增加算法的内容，把最基
本的数据处理、统计知识等作为新的数学基础知识和基本技能；同
时 ，应删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的
内容，克服“双基异化”的倾向。
7. 强调本质，注意适度形式化
形式化是数学的基本特征之一。在数学教学中 ，学习形式化的
表达是一项基本要求，但是不能只限于形式化的表达，要强调对数
学本质的认识 ，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的
海洋里。数学的现代发展也表明，全盘形式化是不可 能的。因此，
高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发

展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例
子 的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形
成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法， 追寻数学发展的历史足迹，
把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。
8. 体现数学的文化价值
数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反映数学的
历 史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会
需求，社会发展对数学发展的推动作用， 数学科学的思想体系，数
学的美学价值，数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解数学
在人 类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。为此，高中数
学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当 的内容中提出对“数学
文化”的学习要求，设立“数学史选讲”等专题。
9. 注重信息技术与数学课程的整合＿
现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、 数
学学习等方面产生深刻的影响。高中数学课程应提倡实现信息技术
与课程内容的有机整合（如 把算法融入到数学课程的各个相关部
分），整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质。高中数学课< br>

程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，在< br>保证笔算训练的前提下，尽可能使用科学型计算器、各种数学教育
技术平台，加强数学教学与信息 技术的结合，鼓励学生运用计算机、
计算器等进行探索和发现。
10. 建立合理、科学的评价体系
现代社会对人的发展的要求引起评价体系的深刻变化，高中数学课程应建立合理、科学的评价体系，包括评价理念、评价内容、
评价形式和评价体制等方面。评价 既要关注学生数学学习的结果，
也要关注他们数学学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也
要关注他们在数学活动中所表现出来的情感态度的变化。在数学教
育中，评价应建立多元化的目标，关 注学生个性与潜能的发展。例
如，过程性评价应关注对学生理解数学概念、数学思想等过程的评
价，关注对学生数学地提出、分析、解决问题等过程的评价，以及
在过程中表现出来的与人合作的态度、 表达与交流的意识和探索的
精神。对于数学探究、数学建模等学习活动，要建立相应的过程评
价 内容和方法。

三、课程设计思路
高中数学课程力求将教育改革的基本理念与课程的框架设计、
内容确定以及课程实施有机地结合起来。
（－）高中数学课程框架
1. 课程框架
高中数学课程分必修和选修 。必修课程由5个模块组成；选修
课程有4个系列，其中系列1、系列2由若干个模块组成，系列3、< br>系列4由若干专题组成；每个模块2学分（36学时），每个专题1
学分（18学时），每2个专 题可组成1个模块。课程结构如图所示。






选 修

系 列





选修3－6
选修4－10
选修3－5
…
…

选修3－4 选修4－4
选修3－3
选修2－3
选修1－2
选修1－1
选修2－2
选修2－1
选修3－1
选修4－3
选修3－2 选修4－2
选修4－1

必修
数学1 数学2 数学3 数学4 数学5
模块



注：上图中
学时）。
2. 必修课程

代表模块（36学时），代表专题（18
必修课程是每个学生都必须学习的数学内容，包括5个模块。
数学1：集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数
函数、幂函数）。
数学2：立体几何初步、平面解析几何初步。
数学3：算法初步、统计、概率。
数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角
恒等变换。
数学5：解三角形、数列、不等式。
3. 选修课程
对于选修课程，学生可以根据自己的兴趣和对未来发展的愿望
进行选择。选修课程由系列1，系列2，系列3，系列4等组成。
◆系列1：由2个模块组成。

选修1－1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。
选修1－2：统计案例、推理与证明、数系的扩充与复数的引
入、框图。
◆系列2：由3个模块组成。
选修2－1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量
与立体几何。
选修2－2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数
的引入。
选修2－3：计数原理、统计案例、概率。
◆系列3：由6个专题组成。
选修3－1：数学史选讲。
选修3－2：信息安全与密码。
选修3－3：球面上的几何。
选修3－4：对称与群。
选修3－5：欧拉公式与闭曲面分类。
选修3－6：三等分角与数域扩充。
◆系列4：由10个专题组成。

选修4－1：几何证明选讲。
选修4－2：矩阵与变换。
选修4－3：数列与差分。
选修4－4：坐标系与参数方程。
选修4－5：不等式选讲。
选修4－6：初等数论初步。
选修4－7：优选法与试验设计初步。
选修4－8：统筹法与图论初步。
选修4－9：风险与决策。
选修4－10：开关电路与布尔代数。
4. 关于课程设置的说明
◆课程设置的原则与意图
必修课程内容确定的原则是：满足未来公民的基本数学需求，
为学生进一步的学习提供必要的数学准备。
选修课程内容确定的原则是：满足学生的兴趣和对未来发展的
需求，为学生进一步学习 、获得较高数学素养奠定基础。其中，
系列1是为那些希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设

置的 ，系列2则是为那些希望在理工、经济等方面发展的学生而设
置的。系列1，系列2内容是选修系列课程 中的基础性内容。
系列3和系列4是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养
的学 生而设置的，所涉及的内容反映了某些重要的数学思想，有助
于学生进一步打好数学基础，提高应用意识 ，有利于学生终身的发
展，有利于扩展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价
值、应 用价值、文化价值的认识。其中的专题将随着课程的发展逐
步予以扩充，学生可根据自己的兴趣、志向进 行选择。根据系列3
内容的特点，系列3不作为高校选拔考试的内容，对这部分内容学
习的评价 适宜采用定量与定性相结合的方式，由学校进行评价，评
价结果可作为高校录取的参考。
◆设置了数学探究、数学建模、数学文化内容
高中数学课程要求把数学探究、数学建模的思想 以不同的形式
渗透在各模块和专题内容之中，并在高中阶段至少安排较为完整的
一次数学探究、 一次数学建模活动。高中数学课程要求把数学文化
内容与各模块的内容有机结合。具体的要求可以参考数 学探究、数
学建模、数学文化的要求（参见第98页）。

◆模块的逻辑顺序
必修课程是选修课程中系列1，系列2课程的基础。选修 课程
中系列3、系列4基本上不依赖其他系列的课程，可以与其他系列
课程同时开设，这些专题 的开设可以不考虑先后顺序。必修课程中，
数学1是数学2，数学3，数学4和数学5的基础。
◆系列3、系列4课程的开设
学校应在保证必修课程，选修系列1、系列2 开设的基础上，
根据自身的情况，开设系列3和系列4中的某些专题，以满足学生
的基本选择需 求。学校应根据自身的情况逐步丰富和完善，并积极
开发、利用校外课程资源（包括远程教育资源）。对 于课程的开设，
教师也应该根据自身条件制定个人发展计划。

（二）对学生选课的建议
学生的兴趣、志向与自身条件不同，不同高校、不同专业对 学
生数学方面的要求也不同，甚至同一专业对学生数学方面的要求也
不一定相同。随着时代的发 展，无论是在自然科学、技术科学等方
面，还是在人文科学、社会科学等方面，都需要一些具有较高数学

素养的学生，这对于社会、科学技术的发展都具有重要的作用。据
此，学生可以选择不同的课程组合，选择以后还可以根据自身的情
况和条件进行适当的调整。以 下提供课程组合的几种基本建议。
1. 学生完成10个学分的必修课程，在数学上达到高中毕业要求。
2. 在完成10个必修学分的基 础上，希望在人文、社会科学等方
面发展的学生，可以有两种选择。一种是，在系列1中学习选修1－1和选修1－2，获得4学分；在系列3中任选2个专题，获得2
学分，共获得16学分。另一种 是，如果学生对数学有兴趣，并且
希望获得较高数学素养，除了按上面的要求获得16学分，同时在系列4中获得4学分，总共获得20学分。
3. 希望在理工（包括部分经济类）等方面发展 的学生，在完成
10个必修学分的基础上，可以有两种选择。一种是，在系列2中
学习选修2－ 1，选修2－2和选修2－3，获得6学分；在系列3
中任选2个专题，获得2学分；在系列4中任选2 个专题，获得2
学分，共获得20学分。另一种是，如果学生对数学有兴趣，希望
获得较高数学 素养，除了按上面的要求获得20学分，同时在系列
4中选修4个专题，获得4学分，总共获得24学分 。

课程的组合具有一定的灵活性，不同的组合可以相互 转换。学
生作出选择之后，可以根据自己的意愿和条件向学校申请调整，经
过测试获得相应的学 分即可转换。

（三）本标准中使用的主要行为动词
本标准的目标要求 包括三个方面：知识与技能，过程与方法，
情感、态度与价值观，所涉及的行为动词水平大致分类如下。
目标领域 水平
知道／了解／模仿
行为动词
了解，体会，知道，识别，感知，认识，初步了
解，初步体会，初步学会，初步理解，求 描述，说明，表达，表述，表示，刻画，解释，
推测，想像，理解，归纳，总结，抽象，提取，比较，对比，判定，判断，会求，能，运用，初
步应用，初步讨论
掌握，导出，分析，推导，证明，研究，讨论，
选择，决策，解决问题
经历，观察，感知，体验，操作，查阅，借助，
模仿，收集，回顾，复习，参与，尝试
设计，梳理，整理，分析，发现，交流，研究，
探索，探究，探求，解决，寻求
感受，认识，了解，初步体会，体会
获得，提高，增强，形成，养成，树立，发挥，
发展
知识与技能
理解／独立操作
掌握／应用／迁移
经历／模仿
过程与方法
发现／探索
情感、态度
与价值观
反应／认同
领悟／内化

第二部分 课程目标
高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的
基础上，进一步提高作为未来公民所必要的 数学素养，以满足个人
发展与社会进步的需要。具体目标如下。
1. 获得必要的数学基 础知识和基本技能，理解基本的数学概念、
数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会 其中
所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。通过不
同形式的自主学习、探究 活动，体验数学发现和创造的历程。
2. 提高空间想像、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理
等基本能力。
3. 提高数学 地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）
的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知 识的能力。
4. 发展数学应用意识和创新意识，力求对现实世界中蕴涵的一
些数学模式进行思考和作出判断。
5. 提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成锲而不舍
的钻研精神和科学态度。
6. 具有一定的数学视野，逐步认识数学的科学价值、应用价值

和文化价值，形成批判性的思维习惯，崇尚数学的理性精神，体会
数学的美学意义，从而进一步树立辩证 唯物主义和历史唯物主义世
界观。

第三部分 内容标准
一、必修课程
必修课程是整个高中数学课程的基础，包括5个模块，共10
学分，是所有学生都要学习的内容。其内容的确定遵循两个原则：
一是满足未来公民的基本数学需求；二 是为学生进一步的学习提供
必要的数学准备。
5个模块的内容为：
数学1：集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数
函数、幂函数）。
数学2：立体几何初步、平面解析几何初步。
数学3：算法初步、统计、概率。
数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角
恒等变换。

数学5：解三角形、数列、不等式。
上述内容覆 盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的
主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角 形、立体
几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，
进一步强调了这些 知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧
与难度上做过高的要求。
此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。
向量是近代数学最重要和最基本的 概念之一，是沟通几何、代
数、三角等内容的桥梁，它具有丰富的实际背景和广泛的应用。
现代社会是一个信息化的社会，人们常常需要根据所获取的数
据提取信息，做出合理的决策，在必修课程 中将学习统计与概率的
基本思想和基础知识，它们是公民的必备常识。
算法是一个全 新的课题，已经成为计算科学的重要基础，它在
科学技术和社会发展中起着越来越重要的作用。算法的思 想和初步
知识，也正在成为普通公民的常识。在必修课程中将学习算法的基
本思想和初步知识， 算法思想将贯穿高中数学课程的相关部分。
必修课程的呈现力求展现由具体到抽象的过程，努力体现数学

知识 中蕴涵的基本思想方法和内在联系，体现数学知识的发生、发
展过程和实际应用。教师和教材编写者应根 据具体内容在适当的地
方（如统计、简单线性规划等）安排一些实习作业。

数 学 1
在本模块中，学生将学习集合、函数概念与基本初等函数I（指
数函数、对数函数、幂函数）。
集合论是德国数学家康托在19世纪末创立的，集合语言是现
代数学的基本语言。使用 集合语言，可以简洁、准确地表达数学的
一些内容。高中数学课程只将集合作为一种语言来学习，学生将 学
会使用最基本的集合语言表示有关的数学对象，发展运用数学语言
进行交流的能力。
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段不仅
把函数看成变量之间的依 赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画
函数，函数的思想方法将贯穿高中数学课程的始终。学生将学习 指
数函数、对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运
用函数概念建立模型的过程 和方法，体会函数在数学和其他学科中

的重要性，初步运用函数思 想理解和处理现实生活和社会中的简单
问题。学生还将学习利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与
方程的有机联系。

内容与要求
1. 集合（约4课时）
（1）集合的含义与表示
①通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关
系。
②能选择自然语言 、图形语言、集合语言（列举法或描述法）
描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用。
（2）集合间的基本关系
①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集。
②在具体情境中，了解全集与空集的含义。
（3）集合的基本运算
①理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并
集与交集。

②理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的
补集。
③能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理
解抽象概念的作用。
2. 函数概念与基本初等函数I（约32课时）
（1）函数
①通过丰富实例， 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系
的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画 函
数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，
会求一些简单函数的定义 域和值域；了解映射的概念。
②在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象
法、列表法、解析法）表示函数。
③通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用。
④通过已学过的函 数特别是二次函数，理解函数的单调性、最
大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义 。
⑤学会运用函数图象理解和研究函数的性质（参见例1）。
（2）指数函数

①通过具体实例（如细胞的分裂，考古 中所用的
14
C的衰减，
药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背 景。
②理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意
义，掌握幂的运算。
③ 理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具
体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单 调性与特殊点。
④在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的
函数模型（参见例2）。
（3）对数函数
①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对
数转化 成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历
史以及对简化运算的作用。
②通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，
初步理解对数函数的概念，体会对数函数是 一类重要的函数模型；
能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数
函数的 单调性与特殊点。
③知道指数函数
y?a
与对数函数
y?logx
互为反函数（a＞0，a
x
a

≠1）。
（4）幂函数
通过实例，了解幂函数的概念；结合函数
1
y?x，y?x，y?x，y?，y?x
2
x
23
1
的图象，了解它 们的变化情况。
（5）函数与方程
①结合二次函数的图象，判断一元二次 方程根的存在性及根的
个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。
②根据具体函数 的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程
的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法。
（6）函数模型及其应用
①利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂 函数增长差
异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型
增长的含义。
②收集一些社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数
函数、幂函数、分段函数 等）的实例，了解函数模型的广泛应用。
（7）实习作业

根据某个主题，收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重
大作用的历史事件和人物（开普勒、伽利略、笛卡儿、牛顿、莱布
尼茨、欧拉等）的有关资料或现实生 活中的函数实例，采取小组合
作的方式写一篇有关函数概念的形成、发展或应用的文章，在班级
中进行交流。具体要求参见数学文化的要求（参见第104页）。
说明与建议
1. 集合是一个不加定义的概念，教学中应结合学生的生活经验
和已有数学知识，通过列举丰富的实例 ，使学生理解集合的含义。
学习集合语言最好的方法是使用，在教学中要创设使学生运用集合
语 言进行表达和交流的情境和机会，以便学生在实际使用中逐渐熟
悉自然语言、集合语言、图形语言各自的 特点，进行相互转换并掌
握集合语言。在关于集合之间的关系和运算的教学中，使用Venn
图 是重要的，有助于学生学习、掌握、运用集合语言和其他数学语
言。
2. 函数概念的教 学要从实际背景和定义两个方面帮助学生理解
函数的本质。函数概念的引入一般有两种方法，一种方法是 先学习
映射，再学习函数；另一种方法是通过具体实例，体会数集之间的

一种特殊的对应关系，即函数。考虑到多数高中学生的认知特点，
为 了有助于他们对函数概念本质的理解，建议采用后一种方式，从
学生已掌握的具体函数和函数的描述性定 义入手，引导学生联系自
己的生活经历和实际问题，尝试列举各种各样的函数，构建函数的
一般 概念。再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究，加深
学生对函数概念的理解。像函数这样的核心 概念需要多次接触、反
复体会、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵活应用。
3. 在教学中，应强调对函数概念本质的理解，避免在求函数定
义域、值域及讨论函数性质时出现过于 繁琐的技巧训练，避免人为
地编制一些求定义域和值域的偏题。
4. 指数幂的教学，应 在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的
基础上，结合具体实例，引入有理指数幂及其运算性质，以及实 数
指数幕的意义及其运算性质，进一步体会“用有理数逼近无理数”
的思想，并且可以让学生利 用计算器或计算机进行实际操作，感受
“逼近”过程。
5. 反函数的处理，只要求以具 体函数为例进行解释和直观理解，
例如，可通过比较同底的指数函数和对数函数，说明指数函数
y?a

x

和对数函数
y?logx
互为 反函数（a＞0，a≠1）。不要求一般地讨论
a
形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的 反函数。
6. 在函数应用的教学中，教师要引导学生不断地体验函数是描
述客观世界变 化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数等
函数与现实世界的密切联系及其在刻画现实问题中的 作用。
7. 应注意鼓励学生运用现代教育技术学习、探索和解决问题。
例如，利用计算 器、计算机画出指数函数、对数函数等的图象，探
索、比较它们的变化规律，研究函数的性质，求方程的 近似解等。

参考案例
例1. 田径队的小刚同学，在教练指导下进行3000米跑的训
练，训练计划要求是：
（1）起跑后，匀加速，10秒后达到每秒5米的速度，然后匀
速跑到2分；
（2）开始均匀减速，到5分时已减到每秒4米，再保持匀速
跑4分时间；
（3）在1分之内，逐渐加速达到每秒5米的速度，保持匀速

往下跑；
（4）最后200米，均匀加速冲刺，使撞线时的速度达到每秒
8米。
请按照上面的要求，解决下面的问题。
（1）画出小刚跑步的时间与速度的函数图象。
（2）写出小刚进行长跑训练时，跑步速度关于时间的函数。
（3）按照上边的要求，计算跑完3000米的所用时间。
解：（1）

（2）

（3）略。
< br>?
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2
，t?
?
0，10
?
，< br>?
?
5，t?
?
10，120
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，
?
t17
?
??，t?
?
120，300
?
，
?< br>1803
?
v(t)?
?
4，t?
?
300，540
?
，
?
t
?
?5，t?
?
540，600
?
，
?
60
?
5，t?
?
600，637 ，
?
?
?
39t?22843
，t?
?
637，6 68
?
?
400
?

例2. 家用电器（如冰箱等 ）使用的氟化物的释放破坏了大气
上层的臭氧层。臭氧含量Q呈指数函数型变化，满足关系式
Q ?Q
0
e
?0.0025t
，其中
Q
是臭氧的初始量。
0
（1）随时间的增加，臭氧的含量是增加还是减少？
（2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？

数 学 2
在本模块中，学生将学习立体几何初步、平面解析几何初步。

几何学是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学
学科。人们通常采用直观感知、操作确认、 思辨论证、度量计算等
方法认识和探索几何图形及其性质。三维空间是人类生存的现实空
间，认 识空间图形，培养和发展学生的空间想像能力、推理论证能
力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直 观能力，是高中阶段
数学必修系列课程的基本要求。在立体几何初步部分，学生将先从
对空间几 何体的整体观察入手，认识空间图形；再以长方体为载体，
直观认识和理解空间点、线、面的位置关系； 能用数学语言表述有
关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证。学生还将了
解一些简 单几何体的表面积与体积的计算方法。
解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质 是用代
数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想。在
本模块中，学生将在平 面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，
运用代数方法研究它们的几何性质及其相互位置关系，并了解 空间
直角坐标系。体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何
问题的能力。

内容与要求
1. 立体几何初步（约18课时）
（1）空间几何体
①利用实物模型、计算机 软件观察大量空间图形，认识柱、锥、
台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生
活中简单物体的结构。
②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的
简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会
使用材料（如纸板）制作模型 ，会用斜二侧法画出它们的直观图。
③通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与
直观图，了解空间图形的不同表示形式。
④完成实习作业，如画出某些建筑的视图与直观图（在不影响
图形特征的基础上，尺寸 、线条等不作严格要求）。
⑤了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要
求记忆公式）。
（2）点、线、面之间的位置关系
①借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置

关系 的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可
以作为推理依据的公理和定理。
◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直
线在此平面内。
◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有
且只有一条过该点的公共直线。
◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。
◆定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两
个角相等或互补。
②以 立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感
知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线 面平行、垂直的有
关性质与判定。
通过直观感知、操作确认，归纳出以下判定定理。
◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此
平面平行。
◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平

面平行。
◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此
平面垂直。
◆一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。
通过直观感知、操作确认，归纳出以下性质定理，并加以证明。
◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平
面的交线与该直线平行。
◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交
线相互平行。
◆垂直于同一个平面的两条直线平行。
◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平
面垂直。
③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题。
2. 平面解析几何初步（约18课时）
（1）直线与方程
①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的
几何要素。

②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线
斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
④根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种
形式（点斜式、两点式及 一般式），体会斜截式与一次函数的关系。
⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标。
⑥探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求
两条平行直线间的距离。
（2）圆与方程
①回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握
圆的标准方程与一般方程。
②能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置
关系。
③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
（3）在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处
理几何问题的思想。
（4）空间直角坐标系

①通过具体情境，感受建立空间 直角坐标系的必要性，了解空
间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置。
②通过表示特殊长方体（所有棱分别与坐标轴平行）顶点的坐
标，探索并得出空间两点间的距离公式。

说明与建议
1. 立体几何初步的教学重点是帮助学生逐步形成空 间想像能
力。本部分内容的设计遵循从整体到局部、具体到抽象的原则，教
师应提供丰富的实物 模型或利用计算机软件呈现的空间几何体，帮
助学生认识空间几何体的结构特征，并能运用这些特征描述 现实生
活中简单物体的结构，巩固和提高义务教育阶段有关三视图的学习
和理解，帮助学生运用 平行投影与中心投影，进一步掌握在平面上
表示空间图形的方法和技能（参见例1）。
2. 几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将自
然语言转化为图形语言和符号语言。教 师可以使用具体的长方体的
点、线、面关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间
中 一般的点、线、面之间的位置关系；通过对图形的观察、实验和

说 理，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，
学会准确地使用数学语言表述几何对象 的位置关系，并能解决一些
简单的推理论证及应用问题（参见例2）。
3. 立体几何初 步的教学中，要求对有关线面平行、垂直关系的
性质定理进行证明；对相应的判定定理只要求直观感知、 操作确认，
在选修系列2中将用向量方法加以论证。
4. 有条件的学校应在教学过程中 恰当地使用现代信息技术展示
空间图形，为理解和掌握图形几何性质（包括证明）的教学提供形
象的支持，提高学生的几何直观能力。教师可以指导和帮助学生运
用立体几何知识选择课题，进行探究。
5. 在平面解析几何初步的教学中，教师应帮助学生经历如下的
过程：首先将几何问题代 数化，用代数的语言描述几何要素及其关
系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数 结
果的几何含义，最终解决几何问题。这种思想应贯穿平面解析几何
教学的始终，帮助学生不断 地体会“数形结合”的思想方法。

参考案例

例1. 如图，这是一个奖杯的三视图，请你画出它的直观图，
并求出这个奖杯的体积。


例2. 观察自己的教室，说出观察到的点、线、面之间的位置
关系，并说明理由。

数 学 3
在本模块中，学生将学习算法初步、统计、概率。
算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科学的重要基
础。随着现代信息技术飞速 发展，算法在科学技术、社会发展中发

挥着越来越大的作用，并日 益融入社会生活的许多方面，算法思想
已经成为现代人应具备的一种数学素养。需要特别指出的是，中国
古代数学中蕴涵了丰富的算法思想。在本模块中，学生将在义务教
育阶段初步感受算法思想的基 础上，结合对具体数学实例的分析，
体验程序框图在解决问题中的作用；通过模仿、操作、探索，学习< br>设计程序框图表达解决问题的过程；体会算法的基本思想以及算法
的重要性和有效性，发展有条理 的思考与表达的能力，提高逻辑思
维能力。
现代社会是信息化的社会，人们常常需要 收集数据，根据所获
得的数据提取有价值的信息，作出合理的决策。统计是研究如何合
理收集、 整理、分析数据的学科，它可以为人们制定决策提供依据。
随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究 随机现象规律的学
科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方
法，同时为 统计学的发展提供了理论基础。因此，统计与概率的基
础知识已经成为一个未来公民的必备常识。在本模 块中，学生将在
义务教育阶段学习统计与概率的基础上，通过实际问题情境，学习
随机抽样、样 本估计总体、线性回归的基本方法，体会用样本估计

总体及其特征 的思想；通过解决实际问题，较为系统地经历数据收
集与处理的全过程，体会统计思维与确定性思维的差 异。学生将结
合具体实例，学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深对
随机现象的理解 ，能通过实验、计算器（机）模拟估计简单随机事
件发生的概率。

内容与要求
1. 算法初步（约12课时）
（1）算法的含义、程序框图
①通过对解决具体问题过程与步骤的分析（如二元一次方程组
求解等问题），体会算法 的思想，了解算法的含义。
②通过模仿、操作、探索，经历通过设计程序框图表达解决问题的过程。在具体问题的解决过程中（如三元一次方程组求解等问
题），理解程序框图的三种基本逻 辑结构：顺序、条件分支、循环。
（2）基本算法语句
经历将具体问题的 程序框图转化为程序语句的过程，理解几种
基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句 、循

环语句，进一步体会算法的基本思想。
（3）通过阅读中国古代数学中的算法案例，体会中国古代数
学对世界数学发展的贡献。
2. 统计（约16课时）
（1）随机抽样
①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。
②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要
性。
③在参与解决统计问 题的过程中，学会用简单随机抽样方法从
总体中抽取样本；通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样 方
法。
④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。
（2）用样本估计总体
①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程
中 ，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图
（参见例1），体会它们各自的特点。
②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据

标准差。
③能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样 本数据中提取
基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释。
④在解决 统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思
想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的 基本数字特征
估计总体的基本数字特征；初步体会样本频率分布和数字特征的随
机性。
⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些
简单的实际问题；能通过 对数据的分析为合理的决策提供一些依
据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异。
⑥形成对数据处理过程进行初步评价的意识。
（3）变量的相关性
①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并
利用散点图直观认识变量间的相关关系。
②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。知道最
小二乘法的思想，能根据 给出的线性回归方程系数公式建立线性回
归方程（参见例2）。

3. 概率（约8课时）
（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和 频率的
稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。
（2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。
（3）通过实例，理解古典概型及其概 率计算公式，会用列举
法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
（ 4）了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生
随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何 概型的意义（参见例
3）。
（5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。

说明与建议
1. 算法是高中数学课程中新内容，其思想是非常重 要的，但并
不神秘。例如，运用消元法解二元一次方程组、求最大公因数等的
过程就是算法。本 模块中的算法内容是将数学中的算法与计算机技
术建立联系，形式化地表示算法，在条件允许的学校，使 其能在计
算机上实现。为了有条理地、清晰地表达算法，往往需要将解决问

题的过程整理成程序框图；为了能在计算机上实现，还需要将自然
语 言或程序框图翻译成计算机语言。本模块的主要目的是使学生体
会算法的思想，提高逻辑思维能力。不要 将此部分内容简单处理成
程序语言的学习和程序设计。
2. 算法教学必须通过实例进行 ，使学生在解决具体问题的过程
中学习一些基本逻辑结构和语句。有条件的学校，应鼓励学生尽可
能上机尝试。
3. 算法除作为本模块的内容之外，其思想方法应渗透在高中数
学课程 其他有关内容中，鼓励学生尽可能地运用算法解决相关问
题。
4. 教师应引导学生体会 统计的作用和基本思想，统计的特征之
一是通过部分的数据来推测全体数据的性质。学生应体会统计思维
与确定性思维的差异，注意到统计结果的随机性，统计推断是有可
能犯错误的。
5. 统计是为了从数据中提取信息，教学时应引导学生根据实际
问题的需求选择不同的方法合理地选取 样本，并从样本数据中提取
需要的数字特征。不应把统计处理成数字运算和画图表。对统计中

的概念（如“总体”“样本”等）应结合具体问题进行描述性说明，
不应追求严格的形式化定义。
6. 统计教学必须通过案例来进行。教学中应通过对一些典型案< br>例的处理，使学生经历较为系统的数据处理全过程，并在此过程中
学习一些数据处理的方法，并运 用所学知识、方法去解决实际问题。
例如，在学习线性相关的内容时，教师可以鼓励学生探索用多种方< br>法确定线性回归直线。在此基础上，教师可以引导学生体会最小二
乘法的思想，根据给出的公式求 线性回归方程。对感兴趣的学生，
教师可以鼓励他们尝试推导线性回归方程。
7. 概率 教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义。
教师应通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手 试验，正确理解
随机事件发生的不确定性及其频率的稳定性，并尝试澄清日常生活
遇到的一些错 误认识（如“中奖率为
奖”）。
8. 古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的 特征：实
验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性。让学生初步学

1
1000
的彩票，买1000张一定中

会把一些实际问题化为古典概型。教学中不要把重点放在“如何计
数”上。
9. 应鼓励学生尽可能运用计算器、计算机来处理数据，进行模
拟活动，更好地体会统计思想和概率的意义。 例如，可以利用计算
器产生随机数来模拟掷硬币的试验等。

参考案例
例1. 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下。
甲的得分：12，15，24，25，31，31，36，36，37，39，44，
49，50。
乙的得分：8，13，14，16，23，26，28，33，38，39，51。
上述的数据可以用下图来表示，中间数字表示得分的十位数，
两边数字分别表示两个人各场比赛得分的个 位数。

甲乙
表示甲在这场比赛

中得分为25。
52
⑤4
976611
94
0
0 8
1346
2368

3389
4
51

通常把这样的图叫做茎叶图。请根据上图对两名运动员的成绩
进行比较。
从这个茎叶 图上可以看出，甲运动员的得分情况是大致对称
的，中位数是36；乙运动员的得分情况除一个特殊得分 外，也大
致对称，中位数是26。因此甲运动员发挥比较稳定，总体得分情
况比乙好。
用茎叶图表示有两个突出的优点，其一，从统计图上没有信息
的损失，所有的信息都可 以从这个茎叶图中得到；其二，茎叶图可
以在比赛时随时记录，方便记录与表示。但茎叶图只能表示两位 的
整数，虽然可以表示两个人以上的比赛结果（或两个以上的记录），
但没有表示两个记录那么 直观、清晰。

例2. 下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比
表。
气温℃
26
18
13
10
4
-1
杯数
20
24
34
38
50
64
（1）将上表中的数据制成散点图；
（2）你能从散点图中发现温度与饮料杯数近似成什么关系
吗？
（3）如果近似成线性关系的话，请画出一条直线来近似地表
示这种线性关系；
（4）如果某天的气温是-5℃，预测这天小卖部卖出热茶的杯
数。
当运用直线近似表示温度与杯数的关系时，学生可能选择能反

映直 线变化的两个点，例如（4，50），（18，24）确定一条直线；
也可以取一条直线，使得直线一侧 和另一侧点的个数基本相同；还
可能多取几组点，确定几条直线方程，再分别算出各条直线科率、
截距的算术平均值，作为所求直线的斜率、截距。

例3. 在所示的图中随机 撒一大把豆子（可以利用计算器、计
算机模拟这一过程），计算落在圆中的豆子数与落在正方形中的豆< br>子数之比。由此估计圆周率的值，并初步体会几何概型的意义。





例3 图


数 学 4
在本模块中，学生将学习三角函数、平面上的向量（简称平面
向量）、三角恒等变换。
三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模

型，在 数学和其他领域中具有重要的作用。在本模块中，学生将通
过实例，学习三角函数及其基本性质，体会三 角函数在解决具有周
期变化规律的问题中的作用。
向量是近代数学中重要和基本的数 学概念之一，它是沟通代
数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。在本
模块 中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算
的意义，能用向量语言和方法表述和解决数 学和物理中的一些问
题，发展运算能力和解决实际问题的能力。
三角恒等变换在数学 中有一定的应用，同时有利于发展学生的
推理能力和运算能力。在本模块中，学生将运用向量的方法推导 基
本的三角恒等变换公式，由此出发导出其他的三角恒等变换公式，
并能运用这些公式进行简单 的恒等变换。

内容与要求
1. 三角函数（约16课时）
（1）任意角、弧度
了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。

（2）三角函数
①借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定
义。
②借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（
数的周期性。
③借 助图象理解正弦函数、余弦函数在
?
0，2
?
?
，正切函数在
?
??
?
?
?，
?
?
22
?
?
2
?
?
，
?
?
?
的正
弦、余弦、 正切），能画出
y?sinx，y?cosx，y?tanx
的图象，了解三角函
上的 性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。
sin
2
x?cos
2
x?1，
sinx
?tanx
cosx
④理解同角三角函数的基本关系式：

⑤结合具体实例，了解
y?Asin
?
?
x?
?
?
的实际意义；能借助计算器
或计算机 画出
y?Asin
?
?
x?
?
?
的图象，观察参数 A，ω，
?
对函数图象变
化的影响。
⑥会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述
周期变化现象的重要函数模型。
2. 平面向量（约12课时）

（1）平面向量的实际背景及基本概念
通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解 平面向
量和向量相等的含义，理解向量的几何表示。
（2）向量的线性运算
①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义。
②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及
两个向量共线的含义。
③了解向量的线性运算性质及其几何意义。
（3）平面向量的基本定理及坐标表示
①了解平面向量的基本定理及其意义。
②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。
③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算。
④理解用坐标表示的平面向量共线的条件。
（4）平面向量的数量积
①通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其
物理意义。
②体会平面向量的数量积与向量投影的关系。

③掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。
④能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平
面向量的垂直关系。
（5）向量的应用
经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其
他一 些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题
等的工具，发展运算能力和解决实际问题的 能力。
3. 三角恒等变换（约8课时）
（1）经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，
进一步体会向量方法的作用。
（2）能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、
正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式 ，了解它们的内在联系。
（3）能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积
化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。

说明与建议
1. 在三角函数的教学中，教师应根据学生的生活经验，创设丰

富的情境，使学生体会三角函数模型的意义。例如，通过单摆、弹
簧振子、圆上一点的运动，以及音乐、 波浪、潮汐、四季变化等实
例，使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律，
体 会三角函数是刻画周期现象的重要模型（参见例1）。
2. 在三角函数的教学中，应发挥单位圆 的作用。单位圆可以帮
助学生直观地认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周
期性、 诱导公式、同角三角函数关系式，以及三角函数的图象和基
本性质。借助单位圆的直观，教师可以引导学 生自主地探索三角函
数的有关性质，培养他们分析问题和解决问题的能力。
3. 提醒学 生重视学科之间的联系与综合，在学习其他学科的相
关内容（如单摆运动、波的传播、交流电）时，注意 运用三角函数
来分析和理解。
4. 弧度是学生比较难接受的概念，教学中应使学生体会 弧度也
是一种度量角的单位（圆周的所对的圆心角或周角的）。随着
后续课程的学习，他们将会 逐步理解这一概念，在此不必深究。
5. 向量概念的教学应从物理背景和几何背景入手，物理背景是

1
2
?
1
2
?

力、速度 、加速度等概念，几何背景是有向线段。了解这些物理背
景和几何背景，对于学生理解向量概念和运用向 量解决实际问题都
是十分重要的。教师还可以引导学生运用向量解决一些物理和几何
问题。例如 ，利用向量计算力使物体沿某方向运动所做的功，利用
向量解决平面内两条直线平行与垂直的位置关系等 问题。对于向量
的非正交分解只要求学生作一般了解，不必展开。
6. 在三角恒等变换 的教学中，可以引导学生利用向量的数量积
推导出两角差的余弦公式，并由此公式推导出两角和与差的正 弦、
余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式。鼓励学生独立
探索和讨论交流，引导学 生推导积化和差、和差化积、半角公式，
以此作为三角恒等变换的基本训练。
7. 在本 模块的教学中，应鼓励学生使用计算器和计算机探索和
解决问题。例如，求三角函数值，求解测量问题， 分析
y?Asin
?
?
x?
?
?
中
参数变 化对函数的影响等。在三角函数、平面上的向量和三角恒等
变换相应的内容中可以插入数学探究或数学建 模活动。

参考案例

例1. 海 水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮，
一般地早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常情况下，船在 涨潮时驶进航道，
靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋。下面是某港口在某季节每天的
时间与水深 关系表：
时刻 水深米 时刻 水深米 时刻 水深米
0∶00
3∶00
6∶00
5.0
7.5
5.0
9∶00
12∶00
15∶00
2.5
5.0
7.5
18∶00
21∶00
24∶00
5.0
2.5
5.0
（1）选用一个三角函数来近似描述这个港口的水深与时间的
函数关系，给出整点时的水深的近似数值；
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安
全条例规定至少要有1. 5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该
船何时能进入港口？在港口能呆多久？
（ 3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2∶
00开始卸货，吃水深度以每小时0. 3米的速度减少，那么该船在什
么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？

数 学 5
在本模块中，学生将学习解三角形、数列、不等式。
学生将在已有知识的基础上，通过对任意 三角形边角关系的探
究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并认识到
运用它们 可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。
数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律 的基本数学模型。
在本模块中，学生将通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立
等差数列和 等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本
数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利 用它们解决一些
实际问题。
不等关系与相等关系都是客观事物的基本数量关系，是数 学研
究的重要内容。建立不等观念、处理不等关系与处理等量问题是同
样重要的。在本模块中， 学生将通过具体情境，感受在现实世界和
日常生活中存在着大量的不等关系，理解不等式（组）对于刻画 不
等关系的意义和价值；掌握求解一元二次不等式的基本方法，并能
解决一些实际问题；能用二 元一次不等式组表示平面区域，并尝试
解决一些简单的二元线性规划问题；认识基本不等式及其简单应< br>

用；体会不等式、方程及函数之间的联系。

内容与要求
1. 解三角形（约8课时）
（1）通过对任意三角形边长和角度 关系的探索，掌握正弦定
理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。
（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与
测量和几何计算有关的实际问题。
2. 数列（约12课时）
（1）数列的概念和简单表示法
通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方
法（列表、图象、通项公式），了解数列是 一种特殊函数。
（2）等差数列、等比数列
①通过实例，理解等差数列、等比数列的概念。
②探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公
式。
③能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，

并能用有关知识解决相应的问题（参见例1）。
④体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。
3. 不等式（约16课时）
（1）不等关系
通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不
等关系，了解不等式（组）的实际背景。
（2）一元二次不等式
①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程。
②通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联
系。
③会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计
求解的程序框图。
（3）二元一次不等式组与简单线性规划问题
①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。
②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一
次不等式组（参见例2）。
③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加

以解决（参见例3）。
（4）基本不等式：
ab?
a?b
?
a，b?0
?
2
。
①探索并了解基本不等式的证明过程。
②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题（参见例4）。

说明与建议
1. 解三角形的教学要重视正弦定理和余弦定理在探索三角形边
角关系中的作用，引导学 生认识它们是解决测量问题的一种方法，
不必在恒等变形上进行过于繁琐的训练。
2. 等差数列和等比数列有着广泛的应用，教学中应重视通过具
体实例（如教育贷款、购房贷款、放射性物质 的衰变、人口增长等），
使学生理解这两种数列模型的作用，培养学生从实际问题中抽象出
数列 模型的能力。
3. 在数列的教学中，应保证基本技能的训练，引导学生通过必
要的练习 ，掌握数列中各量之间的基本关系。但训练要控制难度和
复杂程度。

4. 一元二次不等式教学中，应注重使学生了解一元二次不等式
的实际背景。求解一元二次不等式，首先可求出相应方程的根，然
后根据相应函数的图象求出不等式的 解；也可以运用代数的方法求
解。鼓励学生设计求解一元二次不等式的程序框图。
5. 不等式有丰富的实际背景，是刻画区域的重要工具。刻画区
域是解决线性规划问题的一个基本步骤，教学 中可以从实际背景引
入二元一次不等式组。
6. 线性规划是优化的具体模型之一。在本 模块的教学中，教师
应引导学生体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单
的线性规 划问题，不必引入很多名词。

参考案例
例1. 教育储蓄的收益与比较。
要求学生收集本地区有关教育储蓄的信息，思考以下问题。
（1）依教育储蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期（3
年）或6年时一次可 支取本息共多少元？
（2）依教育储蓄的方式，每月存a元，连续存3年，到期（3

年）或6年时一次可支取本息共多少元？
（3）依教育储 蓄的方式，每月存50元，连续存3年，到期（3
年）时一次可支取本息比同档次的“零存整取”多收益 多少元？
（4）欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计1万元，每月应
存入多少元？
（5）欲在3年后一次支取教育储蓄本息合计a万元，每月应
存入多少元？
（6）依教育储蓄的方式，原打算每月存100元，连续存6年，
可是到4年时，学生需要提前支取全部 本息，一次可支取本息共多
少元？
（7）依教育储蓄的方式，原打算每月存a元，连 续存6年，
可是到b年时，学生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多
少元？
（8）开放题：不用教育储蓄的方式，而用其他的储蓄形式，
以每月可存100元，6年后使用为例，探 讨以现行的利率标准可能
的最大收益，将得到的结果与教育储蓄比较。

例2. 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要的主要原料是磷酸盐4吨、硝酸盐18吨，产生的利润为
10000元；生产1车皮乙种肥 料需要的主要原料是磷酸盐1吨、硝
酸盐15吨，产生的利润为5000元。现有库存磷酸盐10吨、硝 酸
盐66吨，在此基础上进行生产。请列出条件的数学关系式，并画
出其图象。

解：设x，y分别为计划生产甲、乙两种混合肥料的车皮数，
于是
?
4x?y?10
?
18x?15y?66
?
?
?
x?0< br>?
?
y?0

例3. 某厂拟生产甲、乙两种试销产品，每件销售收入分别为
3千元、2千元。甲、 乙产品都需要在A，B两种设备上加工，在
每台A，B上加工一件甲所需工时分别为1时、2时，加工一 件乙
所需工时分别为2时、1时，A，B两种设备每月有效使用台时数
分别为400和500。 如何安排生产可使收入最大？
解：这个问题的数学模型是二元线性规划。
设甲、乙两种产品的产量分别为x，y件，约束条件是
?
x?2y?400
?
2x?y?500
?
?
?
x?0
?
?
y?0
目标函数是
f?3x?2y
。
?3x?2y
要求出适当的x，y，使
f
3a
x?
22
3
2
取得最大值。
a
2
先要画出可行域，如 图。考虑
3x?2y?a，a
是参数，将它变形为
y??
，这是斜率为
a
2
?
、随
a
变化的一簇直线。是直线在y轴上
的截距， 当最大时
a
最大，当然直线要与可行域相交，即在满足

约束条件时目标函数取得最大值。

在这个问题中，使
3x?2y
取得最大值的
?
x，y
?
是两直线
2x?y?500
与
x?2y?400
的交点（200，100）。
因此，甲、乙两种产品的每月产量分别为200、100件时，可
得最大收入800千元。

例4. 某工厂建造一个长方体无盖贮水池，其容积为
4800m
，深
3
度为3m。如果池底每
1m
的造价为150元，池壁每
1m
的造 价为120
22
元，怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

二、选修课程

系列1，系列2说明
在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生，
可以根据自己的兴趣和需求，选择学习系列 1，系列2。
系列1是为希望在人文、社会科学等方面发展的学生而设置
的，包括2 个模块，共4学分。系列2则是为希望在理工、经济等
方面发展的学生设置的，包括3个模块，共6学分 。
系列1的内容分别为：
选修1－1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数及其应用。
选修1－2：统计案例、推理与证明、数系扩充与复数的引入、
框图。
系列2的内容分别为；
选修2－1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空间中的向量
与立体几何。
选修2－2：导数及其应用、推理与证明、数系的扩充与复数
的引入。
选修2－3：计数原理、统计案例、概率。
在系列1、系列2的课程中，有一些内容及要求是相同的，例

如， 常用逻辑用语、统计案例、数系扩充与复数等；有一些内容基
本相同，但要求不同，如导数及其应用、圆 锥曲线与方程、推理与
证明；还有一些内容是不同的，如系列1中安排了框图等内容，系
列2安 排了空间中的向量与立体几何、计数原理、离散型随机变量
及其分布等内容。

系 列 1
选修1－1
本模块中，学生将学习常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、导数
及其应用。
正确地使用 逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。无
论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确 地运用逻辑
用语表达自己的思想。在本模块中，学生将在义务教育阶段的基础
上，学习常用逻辑 用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利
用这些逻辑用语准确地表达数学内容，更好地进行交流。
在必修课程学习平面解析几何初步的基础上，在本模块中，学
生将学习圆锥曲线与方程 ，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握

圆锥曲线的基本几何性质 ，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实
际问题中的作用，进一步体会数形结合的思想。
微积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展及广泛应用开
创了向近代数学过渡的新时期，它为研究变 量与函数提供了重要的
方法和手段。导数的概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富
的实际 背景和广泛的应用。在本模块中，学生将通过大量实例，经
历由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题的 过程，理解导数的含
义，体会导数的思想及其内涵；应用导数探索函数的单调、极值等
性质及其 在实际中的应用，感受导数在解决数学问题和实际问题中
的作用，体会微积分的产生对人类文化发展的价 值。

内容与要求
1. 常用逻辑用语（约8课时）
（1）命题及其关系
①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。
②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命
题的相互关系。

（2）简单的逻辑联结词
通过数学实例，了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。
（3）全称量词与存在量词
①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的
意义。
②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
2. 圆锥曲线与方程（约12课时）
（1）了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世
界和解决实际问题中的作用。
（2）经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程（参见例1），
掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性 质。
（3）了解抛物线、双曲线的定义、几何图形和标准方程，知
道它们的简单几何性质。
（4）通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思
想。
（5）了解圆锥曲线的简单应用。
3. 导数及其应用（约16课时）

（1）导数概念及其几何意义
①通过对大量实例 的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化
率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导 数，
体会导数的思想及其内涵（参见例2、例3）。
②通过函数图象直观地理解导数的几何意义。
（2）导数的运算
①能根据导数定义，求函数
法则求简单函数的导数。
③会使用导数公式表。
（3）导数在研究函数中的应用
①结合实例，借助几何直观探索并了解函数 的单调性与导数的
关系（参见例4）；能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三
次的多项式 函数的单调区间。
②结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充
分条 件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，

y?c，y?x，y?x
2
，y?
1
x
的导数。
②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算

以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值。
（4）生活中的优化问题举例
例如，通过使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体< br>会导数在解决实际问题中的作用（参见例5）。
（5）数学文化
收 集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交
流；体会微积分的建立在人类文化发展中的意 义和价值。具体要求
见本标准中“数学文化”的要求（参见第104页）。

说明与建议
1. 在常用逻辑用语教学中，应特别注意以下几个问题。
（1） 这里考虑的命题是指明确地给出条件和结论的命题，对
“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求作一 般性了解，重点
关注四种命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件。
（2）对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义，只要求通过数
学实例加以了解，使学生正确地表述相关 的数学内容。
（3）对于量词，重在理解它们的含义，不要追求它们的形式

化定义。
（4）注意引导学生在使用常用逻辑用语的过程 中，掌握常用
逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑错误，体会运用常用逻辑用语表
述数学内容的准 确性、简洁性。避免对逻辑用语的机械记忆和抽象
解释，不要求使用真值表。
2. 在引 入圆锥曲线时，应通过丰富的实例（如行星运行轨道、
抛物运动轨迹、探照灯的镜面），使学生了解圆锥 曲线的背景与应
用。
3. 教师应向学生展示平面截圆锥得到椭圆的过程，使学生加深< br>对圆锥曲线的理解。有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作
用，利用计算机演示平面截圆锥所 得的圆锥曲线（参见例1）。
4. 教师应向学生展现圆锥曲线在实际中的应用，例如，投掷铅
球的运行轨迹，卫星的运行轨迹等。
5. 本模块中，导数的概念是通过实际背景和具体应用的实例引
入的。教学中，可以通过 研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度
等反映导数应用的实例，引导学生经历由平均变化率到瞬时变化 率
的过程，知道瞬时变化率就是导数。通过感受导数在研究函数和解

决实际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵。这样处理的目的
是帮助学生直观理解导数的背 景、思想和作用。
6. 在教学中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，
而忽 视它的思想和价值。应使学生认识到，任何事物的变化率都可
以用导数来描述。应当避免过量的形式化运 算练习。

参考案例
例1. 如图，用一个平面去截圆锥，这 个平面与圆锥的交线是
一个椭圆。在圆锥内做大小两个球分别与圆锥和截面相切。那么，
截面与 两个球的切点恰是椭圆的两个焦点。

例2. 国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家
企业进行检查，其连续检测结果如图所示 。试问哪个企业治污效果
好（其中W表示治污量）。

在
t
处，虽然
W(t)?W(t)
，然而
01020
W
1
(t
0
)?W
1
(t
0
??t)W
2
(t0
)?W
2
(t
0
??t)
?
??t??t< br>，所以
说在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企
业乙略好一筹。

例3. 我们知道，当运动员从10米高台跳水时，从腾空到进入
水面的 过程中，不同时刻的速度是不同的。假设t秒后运动员相对
地面的高度为：
度）为多少？
该运动员在2秒到2.1秒（记为［2，2.1］）的平均速度为：

H( t)??4.9t
2
?6.5t?10
，在2秒时运动员的速度（瞬时速

2.1?2

同样，可以计算出［2，2.0 1］,［2，2.001］，……的平均速度，
也可以计算出［1.99，2］，［1.999，2］， ……的平均速度。
时间s 间隔s 平均速度
（ms）
［2，2.1］ 0.1
［2，
2.01］
［2，
2.001］
［2，
2.0001］
［2，
……
0.0001 -13.100049 ［1.99999，0.0001 -13.099951
2］
…… …… …… …… ……
2.00001］
0.0001 -13.10049 ［1.9999，2］ 0.0001 -13.09951
0.001 -13.1049 ［1.999，2］ 0.001 -13.0951
0.01
-13.59 ［1.9，2］ 0.1
-13.149 ［1.99，2］ 0.01
时间s 间隔s 平均速度
（ms）
-12.61
-13.051 H
?
2.1
?
?H(2)
?
2.041?3.4
??1359.
01.
由此可以看出，当时间间隔越来越小时，平均速度趋于一个常

数，这一常数（13.1）就可作为该运动员在2秒时的速度。

例4. 如图，直线
l
和圆c，当
l
从
l
开始在平面上绕点O匀速旋
0
转（旋转角度不超过90°）时，它扫过的圆内阴影部分的面积S
是时间t的函数， 它的图象大致是（ ）


例5. 有一边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长
为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒。
（1）试把方盒的容积V表示为x的函数；
（2）求x多大时，做成方盒的容积V最大。

选修1－2

在本模块中，学生将学习统计案例、推理与证明、数系扩充及
复数的引入、框图。
学 生将在必修课程学习统计的基础上，通过对典型案例的讨
论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体 会运用统计方法解
决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用。
“推理与 证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活
中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演 绎推理。合情
推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、
实验和实践的 结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理
过程。归纳、类比是合情推理常用的思维方法。在解 决问题的过程
中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利
于创新意识的培 养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包
括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新 结论的推理
过程，培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课
程的重要目标。合 情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。证
明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正确 性必须通
过演绎推理或逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确

使用推理规则得出结论。在本模块中，学生将通过对已学知识的回
顾 ，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；
体会数学证明的特点，了解数学证明的基 本方法，包括直接证明的
方法（如分析法、综合法）和间接证明的方法（如反证法）；感受
逻辑 证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据
的习惯。
数系扩充的过 程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数
学发生、发展的客观需求，复数的引入是中学阶段数系的 又一次扩
充。在本模块中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以及引
入复数的必要性，学 习复数的一些基本知识，体会人类理性思维在
数系扩充中的作用。
框图是表示一个系 统各部分和各环节之间关系的图示，它的作
用在于能够清晰地表达比较复杂的系统各部分之间的关系。框 图已
经广泛应用于算法、计算机程序设计、工序流程的表述、设计方案
的比较等方面，也是表示 数学计算与证明过程中主要逻辑步骤的工
具，并将成为日常生活和各门学科中进行交流的一种常用表达方
式。在本模块中，学生将学习用“流程图”“结构图”等刻画数学

问题以及其他问题的解决过程；并在学习过程中，体验用框图表示
数学问题解决过程以及事物发 生、发展过程的优越性，提高抽象概
括能力和逻辑思维能力，能清晰地表达和交流思想。

内容与要求
1. 统计案例（约14课时）
通过典型案例，学习下列一些常见的统计方法，并能初步应用
这些方法解决一些实际问题。
①通过对典型案例（如“肺癌与吸烟有关吗”等）的探究，了
解独立性检验（只要求2×2列联表）的基 本思想、方法及初步应
用。
②通过对典型案例（如“质量控制”“新药是否有效”等 ）的
探究，了解实际推断原理和假设检验的基本思想、方法及初步应用
（参见例1）。
③通过对典型案例（如“昆虫分类”等）的探究，了解聚类分
析的基本思想、方法及初步应用。
④通过对典型案例（如“人的体重与身高的关系”等）的探究，

进一步了解回归的基本思想、方法及初步应用。
2. 推理与证明（约10课时）
（1）合情推理与演绎推理
①结合已学过的数 学实例和生活中的实例，了解合情推理的含
义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推 理在
数学发现中的作用（参见例2、例3）。
②结合已学过的数学实例和生活中的实 例，体会演绎推理的重
要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理。
③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差
异。
（2）直接证明与间接证明
①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法—
—反证法；了解反证法的思考过程、特点。
（3）数学文化
①通过对实例的介绍（如欧几里得《几何原本》、马克思《资

本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想。
②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。
3. 数系的扩充与复数的引入（约4课时）
（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数
学内部的矛盾（数的运算 规则、方程求根）在数系扩充过程中的作
用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
（3）了解复数的代数表示法及其几何意义。
（4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的
加、减运算的几何意义。
4. 框图（约6课时）
（1）流程图
①通过具体实例，进一步认识程序框图。
②通过具体实例，了解工序流程图（即统筹图）（参见例4、
例5）。
③能绘制简单实际问题的流程图，体会流程图在解决实际问题
中的作用。

（2）结构图
①通过实例，了解结构图；运用结构图梳理已学过的知识、整
理收集到的资料信息。
②结合作出的结构图与他人进行交流，体会结构图在揭示事物
联系中的作用。

说明与建议
1. 统计案例的教学中，应鼓励学生经历数据处理的过程，培养
他们对数据 的直观感觉，认识统计方法的特点（如统计推断可能犯
错误，估计结果的随机性），体会统计方法应用的 广泛性。应尽量
给学生提供一定的实践活动机会，可结合数学建模的活动，选择1
个案例，要求 学生亲自实践。对于统计案例内容，只要求学生了解
几种统计方法的基本思想及其初步应用，对于其理论 基础不作要
求，避免学生单纯记忆和机械套用公式进行计算。
2. 教学中，应鼓励学生 使用计算器、计算机等现代技术手段来
处理数据，有条件的学校还可运用一些常见的统计软件解决实际问
题。

3. 教学中应通过实例，引导学生运用合情 推理去探索、猜测一
些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推
翻错误的 猜想。教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎
推理，而不追求对概念的抽象表述。
4. 本模块中设置的证明内容是对学生已学过的基本证明方法的
总结。在教学中，应通过实例，引导学 生认识各种证明方法的特点，
体会证明的必要性。对证明的技巧性不宜作过高的要求。
5. 框图的教学，应从分析实例入手，引导学生运用框图表示数
学计算与证明过程中的主要思路与步骤 、实际问题中的工序流程、
某一数学知识系统的结构关系等。使学生在运用框图的过程中理解
流 程图和结构图的特征，掌握框图的用法，体验用框图表示解决问
题过程的优越性。
6. 在复数概念与运算的教学中，应注意避免繁琐的计算与技巧
训练。对于感兴趣的学生，可以安排一些引申 的内容，如求
x
根、介绍代数学基本定理等。

参考案例

3
?1
的

例1. 某地区羊患 某种病的概率是0.4，且每只羊患病与否是彼
此独立的。今研制一种新的预防药，任选5只羊做实验， 结果这5
只羊服用此药后均未患病。问此药是否有效。
初看起来，会认为这药一定有 效，因为服药的羊均未患病。但
细想一下，会有问题，因为大部分羊不服药也不会患病，患病的羊
只占0.4左右。这5只羊都未患病，未必是药的作用。分析这问题
的一个自然想法是：若药无效，随 机抽取5只羊都不患病的可能性
大不大。若这件事发生的概率很小，几乎不会发生，那么现在我们
这几只羊都未患病，应该是药的效果，即药有效。
现假设药无效，5只羊都不生病的概率是

这个概率很小，该事件几乎不会发生，但现在它确实发生了，
说明我们的假设不对，药是有效的。
这里的分析思想有些像反证法，但并不相同。给定假设后，我
们发现，一个概率很小几 乎不会发生的事件却发生了，从而否定我
们的“假设”。
应该指出的是，当我们作出判断“药是有效的”时，是可能犯

?
1?0.4
?
5
?0.078

错误的。犯错误的概率是0.078。也就是说，我们有近92％的把握
认为药是有效的。

例2. 探求凸多面体的面、顶点、棱之间的数量关系（欧拉公
式的发现）。

例3. 平面上的圆与空间中的球的类比。
平面几何中的概念 立体几何中的类似概念
圆 球
圆的切线 球的切面
圆的弦 球的截面圆
圆周长 球的表面积
圆面积 球的体积

圆的性质 球的性质
圆心与弦（非直径）中球心与截面圆（不经过

点的连线垂直于弦。 圆心的小截面圆）圆心
的连线垂直于截面圆。
与圆心距离相等 的两弦与球心距离相等的两个
相等；与圆心距离不等截面圆相等；与球心距
的两弦不等，距圆心 较离不等的两个截面圆不
近的弦较长。
……

例4. 零件加工过程的流程图
工厂加工某种零件有三道工序：粗加工、返修加工和精加工。
每道工序完成时，都要对产品进行检验。粗加工的合格品进入精加
工，不合格品进入返修加工；返修加工 合格品进入精加工，不合格
品作为废品处理；精加工合格品为成品，不合格品为废品。请用流
程 图表示这个零件的加工过程。
等，距球心较近的截面
圆较大。
……

例5. 数学建模过程的流程图如下。

根据这个流程图，结合一个具体实例，说明数学建模的过程。
系 列 2
选修2－1

在本模块中，学生将学习常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、空
间中的向量（简称空间向量）与立体几何。
正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质。无
论是进行思考、交流，还 是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑
用语表达自己的思维。在本模块中，学生将在义务教育阶段的基 础
上，学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用，利
用这些逻辑用语准确地表达 数学内容，更好地进行交流。
在必修阶段学习平面解析几何初步的基础上，在本模块中，学< br>生将学习圆锥曲线与方程，了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握
圆锥曲线的基本几何性质，感受 圆锥曲线在刻画现实世界和解决实
际问题中的作用。结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想。
用空间向量处理立体几何问题，提供了新 的视角。空间向量的
引入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十
分有效的 工具。在本模块中，学生将在学习平面向量的基础上，把
平面向量及其运算推广到空间，运用空间向量解 决有关直线、平面
位置关系的问题，体会向量方法在研究几何图形中的作用，进一步

发展空间想像能力和几何直观能力。

内容与要求
1. 常用逻辑用语（约8课时）
（1）命题及其关系
①了解命题的逆命题、否命题与逆否命题。
②理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会分析四种命
题的相互关系。
（2）简单的逻辑联结词
通过数学实例，了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义。
（3）全称量词与存在量词
①通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的
意义。
②能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
2. 圆锥曲线与方程（约16课时）
（1）圆锥曲线
①了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和

解决实际问题中的作用。
②经历从具体情境中抽象出椭圆 、抛物线模型的过程，掌握它
们的定义、标准方程、几何图形及简单性质。
③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有
关性质。
④能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线
与圆锥曲线的位置关系）和实际问题。
⑤通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想。
（2）曲线与方程
结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关
系，进一步感受数形结合的基本思想。
3. 空间向量与立体几何（约12课时）
（1）空间向量及其运算
①经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。
②了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，
掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。
③掌握空间向量的线性运算及其坐标表示。

④掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积
判断向量的共线与垂直。
（2）空间向量的应用
①理解直线的方向向量与平面的法向量。
②能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系。
③能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三
垂线定理）（参见例1、例2、例3）。
④能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体
会向量方法在研究几何问题中的作用。

说明与建议
1. 在常用逻辑用语教学中，应特别注意以下几个问题。
（1）这里考虑的命题是指明确地给出条 件和结论的命题，对
“命题的逆命题、否命题与逆否命题”只要求做一般性了解，重点
关注四种 命题的相互关系和命题的必要条件、充分条件、充要条件。
（2）对逻辑联结词“或”“且” “非”的含义，只要求通过数
学实例加以了解，帮助学生正确地表述相关的数学内容。

（3）对于量词，重在理解它们的含义，不要追求它们的形式
化定义。
（4）注意引 导学生在使用常用逻辑用语的过程中，掌握常用
逻辑用语的用法，纠正出现的逻辑错误，体会运用常用逻 辑用语表
述数学内容的准确性、简洁性。避免对逻辑用语的机械记忆和抽象
解释，不要求使用真 值表。
2. 在引入圆锥曲线时，应通过丰富的实例（如行星运行轨道、
抛物运动轨迹、 探照灯的镜面），使学生了解圆锥曲线的背景与应
用。
教师应向学生展示平面截圆锥 得到椭圆的过程，使学生加深对
圆锥曲线的理解。有条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，
利用计算机演示平面截圆锥所得的圆锥曲线（参见选修1－1案例
中的例1）。
3. 教师可以向学生展现圆锥曲线在实际中的应用，例如，投掷
铅球的运行轨迹、卫星的运行轨迹。
4. 曲线与方程的教学应以学习过的曲线为主，注重使学生体会
曲线与方程的对应关系， 感受数形结合的基本思想。对于感兴趣的

学生，教师也可以引导学 生了解圆锥曲线的离心率与统一方程。有
条件的学校应充分发挥现代教育技术的作用，通过一些软件向学 生
演示方程中参数的变化对方程所表示的曲线的影响，使学生进一步
理解曲线与方程的关系。
5. 空间向量的教学应引导学生运用类比的方法，经历向量及其
运算由平面向空间推广的 过程。教学过程中应注意维数增加所带来
的影响。
6. 在教学中，可以鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，
从不同角度解决立体几何问题。

参考案例
例1. 已知直三棱柱
ABC?ABC
中，∠A CB＝90°，∠BAC＝
111
30°，
BC?1，AA
1
1?6
1
，M是棱
CC
的中点。
1
证明：
AB?AM
。

例2. 已知矩形ABCD和矩形ADE F垂直，以AD为公共边，
但它们不在同一平面上。点M，N分别在对角线BD，AE上，且

BM?
11
BD，AN?AE
33
。
证明：MN∥平面CDE。

例3. 已知单位正方体
ABCD?ABCD
，E、F分别是棱
BC
和
CD
的
111 11111
中点。试求：
（1）
AD
与EF所成的角；
1
（2）AF与平面
BEB
所成的角；
1
（3）二面角
C

1
?DB?B
1
的大小。
选修2－2
在本模块中，学生将学习导数及其应用、推理与证明、数系的
扩充与复数的引入。
微 积分的创立是数学发展中的里程碑，它的发展和广泛应用开
创了向近代数学过渡的新时期，为研究变量和 函数提供了重要的方
法和手段。导数概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实
际背景和 广泛的应用。在本模块中，学生将通过大量实例，经历由

平均变化 率到瞬时变化率刻画现实问题的过程，理解导数概念，了
解导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作 用，初步了解定积
分的概念，为以后进一步学习微积分打下基础。通过该模块的学习，
学生将体 会导数的思想及其丰富内涵，感受导数在解决实际问题中
的作用，了解微积分的文化价值。
“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活
中经常使用的思维方式。推理一般包括合情 推理和演绎推理。合情
推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、
实验 和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理
过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方 法。在解决问题的过程
中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利
于创新 意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包
括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法 则得到新结论的推理
过程，培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课
程的重要 目标。合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。证
明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结 论的正确性必须通
过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规

则得出结论。在本模块中，学生将通过对已学知识的回顾，进一步
体 会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证
明的特点，了解数学证明的基本方法，包 括直接证明的方法（如分
析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感
受逻 辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有
据的习惯。
数系扩充的 过程体现了数学的发现和创造过程，同时体现了数
学发生发展的客观需求和背景，复数的引入是中学阶段 数系的又一
次扩充。在本模块中，学生将在问题情境中了解数系扩充的过程以
及引入复数的必要 性，学习复数的一些基本知识，体会人类理性思
维在数系扩充中的作用。

内容与要求
1. 导数及其应用（约24课时）
（1）导数概念及其几何意义
①通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化
率的过程，了解导数概念 的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，

体会导数的思想及其内涵（参见选修1－1案例中的例2、例3）。
②通过函数图象直观地理解导数的几何意义。
（2）导数的运算
①能根据 导数定义求函数
y?c，y?x，y?x
2
，y?x
3
，y?
1
，y?
x
x
的导数。
②能利用给出的基本初等函数的 导数公式和导数的四则运算
法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（仅限于形如
f
?
a?b
?
）
的导数。
③会使用导数公式表。
（3）导数在研究函数中的应用
①结合实例，借助几何直观探索并了解函数 的单调性与导数的
关系（参见选修1－1案例中的例4）；能利用导数研究函数的单调
性，会求 不超过三次的多项式函数的单调区间。
②结合函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条 件和充
分条件；会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值、极小值，
以及闭区间上不超过三 次的多项式函数最大值、最小值；体会导数
方法在研究函数性质中的一般性和有效性。

（4）生活中的优化问题举例。
例如，通过使利 润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体
会导数在解决实际问题中的作用（参见选修1－1案例中的 例5）。
（5）定积分与微积分基本定理
①通过实例（如求曲边梯形的面 积、变力做功等），从问题情
境中了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定积分的基本思
想 ，初步了解定积分的概念。
②通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基本定理的含义（参见例1）。
（6）数学文化
收集有关微积分创立的时代背景和有关人物的资料，并进行交
流；体会微积分的建立在人类文化发展中的 意义和价值。具体要求
见本标准中“数学文化”的要求（参见第104页）。
2. 推理与证明（约8课时）
（1）合情推理与演绎推理
①结合已学过的数学 实例和生活中的实例，了解合情推理的含
义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理 在

数学发现中的作用（参见选修1－2案例中的例2、例3）。
②结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重
要性，掌握演绎推理的基 本模式，并能运用它们进行一些简单推理。
③通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差
异。
（2）直接证明与间接证明
①结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。
②结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法—
—反证法；了解反证法的思考过程、特点。
（3）数学归纳法
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学
命题。
（4）数学文化
①通过对实例的介绍（如欧几里得《几何原本》、马克思《资
本论》、杰弗逊《独立宣 言》、牛顿三定律），体会公理化思想。
②介绍计算机在自动推理领域和数学证明中的作用。

3. 数系的扩充与复数的引入（约4课时）
（1）在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数
学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论） 在数系扩充过程中的作
用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
（2）理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
（3）了解复数的代数表示法及其几何意义。
（4）能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的
加、减运算的几何意义。

说明与建议
1. 本模块中，导数的概念是通过实际背景和具体应用的实例引< br>入的。教学中，可以通过研究增长率、膨胀率、效率、密度、速度
等反映导数应用的实例，引导学 生经历由平均变化率到瞬时变化率
的过程，知道瞬时变化率就是导数。通过感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的思想及其内涵。这样处理的目的
是帮助学生直观理解导数的背景、 思想和作用。
2. 在教学中，要防止将导数仅仅作为一些规则和步骤来学习，