高中数学对数指数运算高考-高中数学微格教学案例
第一章 解三角形
§1.1 正弦定理(1)
1. C
2. C 3. D 4.
D 5.
2
6. 30?
7. 3
8.
解:由已知得
acosB
bsinA
?
3asinA
4
,由正弦定理得
b
?
sinB
,<
br>
?
cosB
inB
?
3
4
?
co
2
s
sB?
9
16
si
2
nB?c<
br>2
oBs?
7
25
由已知得
a
2
cos
2
B?9?a
2
?25?a?5
.
9.解: 由题意,得
cosB?
3
5
,B
为锐角,
sinB?
4
5
,
sinA?sin(π?B?C)?si
n
?
3π
?B
?
?
72
410
,
由正弦定理得
c?
10
7
,
?
S?
1
2
ac?sinB?
11048
2
?2?
7
?5
?
7
.
10. 证明:(1)∵
A?B
,
∴
a?b
?
2RsinA?2RsinB
,
∴
sinA?sinB
.
2)根据正弦定理,可设
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
= k,
k
?
0,
∴左边=
a
2
?b
2
c<
br>2
?
k
2
sin
2
A?k
2
sin
2
B
k
2
sin
2
C
=
sin
2
A?sin
2
B
sin
2
C<
br>=右边.
§1.2 正弦定理(2)
1. D 2. C
3. B 4. D
解
:
由已知切化弦得
a
2
sinB
?
b
2
sinA
cosBcosA<
br>,
得
sinAcosA?sinBcosB
?sinA2?siBn?2A?B
或
A?B?90?
.
5.
5
4
6. 解:由
AD
2
?BC
2?2(AB
2
?BC
2
)
?BC
2
?
2(1?3)
?2
2
?4
?BC
2
?2?AC
2
?A
2
B?BC
2
?A?90?
得R
=1.
7. 7∶5∶3.
8.
(
1
)
A =
60
?
, C = 75
?
,
c?
6?2
2
或
A =
120
o
, C =15
?
,
c?
6?2
2
.
(
2
)
B
?30?,C?105?,c?
25(6?2)
2
.
9. 解:(1)由<
br>cosA
?
b
,
sinB
cosBasinA
?bcosA
a
可得
cosB
?
sinB
sinA
?sinAcoAs?sBinBcos?As?in2
B
a?b,?2?A
?
??2?B,??A?B
??
2
?
∴
?ABC
是直角三角形.
?
a
2
?b
2
?10
2
(2)由
?
?
b4
?a?6,b?8
.
?
?
a
?
3
10.
证明
:
a
sinA
?
b
sinB
?
sinA
a
?<
br>sinB
b
?
(
sinA
)
2
a
?(
sinB
b
)
2
?
sin
2
A
a
2
?
sin
2
B
b
2<
br>
?
1?cos2A
?
1?cos2B
?
cosA2
?
coBs
a
2
b
2
a
2<
br>b
2
?
2
a
?
1
2
b
.
1
2
§
1.3
余弦定理(
1
)
1. C 2. C 3. D 4. B
5.
120?
6.
61?303
7.
61
2
8.
b?22,?A?60?
.
9.
从木条的中点处锯断时
AC
最短
.
10. 解: 由
BA
?BC?
3
2
得
ca?cosB
?
33
2
. 由
cosB?
4
得
ca?2
,
即
b2
?2
,由余弦定理
b
2
?a
2
?c
2
?2accosB
得
a
2
?c
2
?b
2
?2accosB?5
(a?c)
2
?a
2
?c
2
?2ac
?5?4
?9
,
?a?c?3
§
1.4
余弦定理(
2
)
1. B
2. A 3. C 4. D 5. 直角三角形
6.
10
7.
?
1
7
8. 解:
lga?lgc?lgsinB
??lg2,?lg
a
?lgsinB?lg
2
c2
?
a
?sinB?
2
c2
,B?(
?
0<
br>2
,?)B,??
.
4
由
5
c?2a
得
cosB?
a
2
?c
2
?b
2
2ac
?
3a?
2
b
2
22a
2
?2
2
?a
2
?b
2
?a?b
故
?ABC
是等腰直角三角形.
9.
解:设
BC?x
,则
AC?2x
.
根据面积公式
S?
1
?ABC
2
A
B?BCsinB?x?1c
2
oBs
,由余弦定理得
cosB?
AB
2
?BC
2
?AC
2
?x
2
?(2x)
2
2AB?BC
?
4
2
4x
?
4?x
4x
,
2
?S?(
4?
x
2
?12)
2
?ABC
?x1
4x
)
2
?
128?(x
16
.
由三角形的三边关系有
?
?
?
2x?x?2
?
x?2?2x
?22?2?x?2
2?2
?
,
故当
x?23
时,
S<
br>?ABC
的最大值是
22
.
10.
(1)解:法一:
A(3,4),B(0,0)?AB?5,sinB?
4
5
当
c?5
时,
BC?5,AC?(5?3)
2
?(0?
4)
2
?25
,
由正弦定理
BC
sinA
?
AC
sinB
?sinA?
25
5
.
法二:由
AB?5,BC?5,AC?25
,由余弦定理有
cosA?
AB
2
?AC
2
?B
2
C
2AB?AC<
br>?
5
5
?sAin?
25
5
.
(2)AB?5,BC?c,AC
2
?(c?3)
2
?4
2
,
由余弦定理
cosA?
AB
2
?AC
2
?BC
2
2AB?AC
,若
?A
为钝角,
则
cos
A?0?5
2
?(c?3)
2
?4
2
?c
2
?50?6c?0?c?
25
3
.
§1.5
正弦定理与余弦定理的应用
1. B 2. D 3. C 4. C
5.
156
米;
6.
152
2
km
; 7.
5
?
6
8. 解:由2cosAsinB=sinC
得2cosAsinB=sin(A+B)
(
=sinAcosB+cosAsinB,sinAcosB-cosAsinB=0,
即sin(A-B)=0,
∴A=B,又(a+b+c)(a+b-c)=3ab
a
2
?b
2
?c
2
?
1
得<
br>a
2
?b
2
?c
2
?ab,cosC?
,∴
C=60°,
2ab2
222
BD?BC?CD?2B?CcCoDs?5C2?48c
osC
在
?ABD
中
,
BD
2
?AB
2
?AD
2
?2AB?ADcosA
=…=
20?16cosA
?52
,
c
?48cCo?s?201A6
s??coAs,64Ac?o?s
,
coC
A??
1
?,A?1?2
,
0
?cos
2
?S?16sin12?0
.
83
10.解:(1)由
AB?AC?BA?BC?bccosA?accosB
,
即
bcosA?acosB
,
由正弦定理得:
sinBcosA?sinAcosB?A?B
.
(2)
AB?AC?1?bccosA?1
.
∴三角形为等边三角形.
9. 解:在
?ABC
中,
AB?AC?50
,
?BAC?
60?
,
∴
?ABC??ACB?60?
,
BC?50
,
∴在
?BCP
,
?PBC?60?
,
?BCP?75?
,
?BPC?45?
,
由正弦定理
CP
?
BC
,?CP?256
sin60?sin45?
在
?ACP
中,由余弦定理得:
AP
2
?AC
2
?CP
2
?2AC?CPcos1
35?
?2500?625?6?2?256?50?
2
2
?6250?25003?625(10?43)
,
?AP?2510?43(m)<
br>
答:隧道AP的长为
2510?43
米.
10.
解:在
△ABC
中:
AB
=
12
AC
=
20
?
BAC=50
?
+70
?
=120
?
BC
2
?AB
2
?AC
2
?2AB?
ACcos?BAC
1
?12
2
?20
2
?2?12?20?(?)?784
,
BC=28
2
即追击速度为28mileh 又:∵△ABC中,
由正弦定理:
AC
?
BC
,
∴
sinB?
ACsinA
?
53
sinBsinA
BC14
由余弦定理得:
bc?
b
2
?c
2
?a
2
?1
,即
b
2
?c
2
?a
2
?2
,
2bc
由(1)知
a?b,?c
2
?2?c?2
.
(3)由
|A
B?AC|?6?|AB|
2
?|AC|
2
?2?|AB?AC|?6
2?6
?c
2
?b
2
??c
2<
br>?b
2
4?c
2
2??b
.
?2
??ABC
为正三角形.
?S
?ABC
?
3
?(
2)
2
?
3
.
42
§1.7
解三角形单元测试题
1.D; 2.A; 3.B; 4.B; 5.A;
6.D;
7.D; 8.D; 9.B; 10. B.
11. 1<m<3 解:
三边m、m+1、m+2中,
显然m+2为最大边,设其所对的角为α,
∵在同一个三角形中,大边对大角,
∴α为钝角,cosα<0
2
m2
?(m?1)?(m?2
2
)
?
co
?
s?
?0
?
2m(m?1)
?
?
m?m?1?m?2m,?0
?
∴
B?arcsin
53
=38.21?
14
∴
BC的方位角为50+38.21?=88.21?
∴我舰应以28mileh速度,沿方位角为88.21?的方向航行,
则可以1小时追上敌舰.
§1.6 解三角形的综合问题
1. D 2. B 3. C 4.
B 5. 20 6.
正三角形
7.
45?,30?,105?
.
8.解:在
?BCD
中,
?
BDC?90?,CD?1,?BCD?45?
,
?BC?2
.在?ACD
中,
?CAD?180??(60??45??30?)?45?
,
?
CD
?
sin4?5
22
解之得1<m<3
12.
91
sinA
1
13
.
.
由比例性质,题中式子
?
,
a
4
1
由
S
?ABC
?bcsinA
可得
c?23
,
从而
a?2
,
代入即得
.
2
AC
?AC?
2
.
在
?ABC
中,
si?n302
2
14
.
92
8
15.
(1)由
a?2bsinA
,根据正弦定理得
sinA?2sBin
sinB?
1
,
,所以
sAin
2
π
.
6
AB?AC?BC?2AC?BC?cos60??
3
?AB?
6
,
22
∴ 航速为
6
千米分钟.
4
9
.解:如
图,连结
BD
,则四边形
ABCD
的面积
?S
S?S
?ABD?CD
11
?AB?AD?sinA?BC?CD?sinC
,
22
A?C?180?
,
?sin
A?sCin
1
∴
S?(AB?AD?BC?CD)?sinA
2
1
=
(2?4?6?4)?sinA?16sinA
,
2
由
?A
BC
为锐角三角形得
B?
(2)根据余弦定理,
b
2
?a<
br>2
?c
2
?2accosB
?27?25?45?7
.
所以,
b?7
.
16.
解:(
1
)由已知
及余弦定理得:
a
2
?b
2
?ab?4
,
1
又
S
?ABC
?3,?absinC?3?ab?4
,
2
22
?
a?b?ab?4
?a?2,b?2
. 由
?
?
ab?4
(
2
)由
sinC?sin(
B?A)?2sin2A?sinB?cosA?2sinA?cosA
由余弦定理,在
?BCD
中
.
2
1
2a
3
2?
2
2
2a
2
2?
3
1
??
,
a
3
???
,
a
4?
a
3
?2
1
?2
5
a
2
?
2
2
?2
2
(
ii
)当
cosA?0
时,
sinB?2sinA
,由正弦定理得
b?2a
,
<
br>2
3
22
?
a?b?ab?4
2?
2
?a?
23
,b?
43
,
由
?
2a
4
34
a
5
??
5
?
1
.
?
ab?4
a
4
?2
2
?2
3
5
?S
?ABC
?
1
absinC?
23
.
23
2
(2)猜想:通项公式为
a
n
?
.
222
n?1
17. 解:(1)由已知得.
cosA?
b?c?a
?
bc
?
1
,
2bc2bc2
2
?2
??
2
(3)
a
n?1
?a
n
?<
br>.
2
n?2n?1
n?3n?2
?
又
?A
是△ABC的内角,所以
?A?
.
3
(
i
)当
cosA?0
时,
A?<
br>?
,B?
?
,a?
43
,b?
23
;
2633
(2)由正弦定理得:
bc?a
2
,
又
b
2
?c
2
?a
2
?bc
,∴
b
2
?c
2
?2bc
,
∴
?
b?c
?
?0
,即
b?c
.
所以△ABC是等边三角形.
18. 解:
如图,连结
A
1
B
2
,
由已知
A
2
B
2
?102
,
20
A
1
A
2
?302??102
,
60
120?
2
§2.2 等差数列的概念与通项
1. C
2. C 3. A 4. B 5.①③
6.解:
a?6,?3a?5,?10a?1
成等差数列,
a?5)?a(?6)?(?a10?1?a)
,
(3?
?(?3
解得
a?1
,
北
A
2
7.13
8.解:设公差为
d
36,a
2
?a
5
?a
8
?3
3
a
1
?a
4
?a
7
?
?(a
2
?a
5
?a
8
)?(a
1
?a
4
?a
7
)?3d?33?36??3
?(a
3
?a
6
?a
9
)?(a
2
?a
5
?a
8
)?3d??3
?(a
3
?a
6
?a
9
)?(a
2
?a
5
?a8
)?3d?33?3?30
.
9.解:(1)由题意,有
a
1
?100
,
d??10
,
a
n
??10n?11
0
?18??10n?110
(2)所以,,
?10n?110?18
B
2
105?
?A
1
A
2
?A
2
B
,
2
又?A
1
A
2
B
2
?180??120??60?
,
??A
1
A
2
B
2
是等边三角形,
102
?A
1
B
2
?A
1
A
2
?
.
A
1
B
1
乙
甲
?
由已知
A
1
B
1
?20,?B
1<
br>A
1
B
2
?105??60??45?
,在
?A1
B
2
B
1
中,
由余弦定理知:
B1
B?AB?A
1
B?2A
1
B
1
?A
1
B
2
?cos45??200
,
?B
1
B
2
?102
,
因此,乙船的速度大小为:
102
?60?302
(海里小时)
20
答:乙船每小时航行
302
海里.
2
2
2
11
2
2
即
?12.8
,又
n?N
,
?n?10,11,12
,
?
n
n?9.2
?
数列
?
a
n
?
中有三项属于区间
[?18,18]
.
10
.证明
:
知数列
?
a
n
?
是等差数列
,
可设其公差
为
d
.
那么
a
n?1
?a
n
=
d
.
a
n
?a
n?1
?d
,
根据题意可知
:
2222
b
n
?b
n?1
?a
n?1
?a
n
?(a
n
?a
n?1
)
=
(a
n?1
?a
n
)?(a
n?1
?a
n
)-(a
n
?a
n?1
)?(a
n
?a
n?1
)
(
a
n?1
?a
n
)?d-(a
n
?a
n?1
)?d
=
(a
n?1
?a
n?1
)?d?2d
2
=常数
.
所以数列
?
b
n
?
也是等差数列
.
第二章 数列
§2.1 数列的概念与简单表示
1
1.
C; 2. B; 3. D; 4. C;
5.
a
n
?(?)
n
; 6.31;
3
§2.3 等差数列的性质
1.C 2. A 3. B 4. C
5. ⑴
?3
,⑵
?3
. 6.
?4
7. ①③
8. 解:设成等差数列的四个数为
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,
a?a?a?a?26a?a?13
由题意得:
1234
所以
23
a
2
?a
3<
br>?40a
2
?a
3
?40
22
33
7.(1
)
a
n
?(?1)
n
n
(2)
a
n
?n
2
?1
1?(?1)
n
n?1
2n?1
a?(?1)
a?
(3)
n
(4)
n
2
2
n
7
1?(0.1)
n<
br>)
(5)
a
n
?1?(0.1)
n
(6)
a
n
?(
9
??
a?5a?8
或
?
得
?
故所求的四个数为2,5,8,11.
a?8a?5
1
9.
解:依题意
a
n?1
?a
n
?,n?N*
.
2
1
∴
?
a
n
?
是等差数列,公差
d?
,
2
n?1
?
n?3
∴
a
n
?a
1
?(n?1)d?2?
22
n?3
故通项公式为
a
n
?
.
2
10.解:(1)由
1
?
1
?
2
(n?
2,n?N
*
)
?
n?2
时
a
n?1
a
n?1
a
n
8.解:(1)
a
n
?2n
?3
(2)令
2005?2n?3
,得
n?1001
.
9.解:(1)3不是这个数列的项;
(2)函数
y??2x
2
?
29x?3
的图像的是开口向下的抛物线,
对称轴是
x?
2929
,最接近的正整数是7,
44
所以最大项
a
7
?108
,是第7项.
10.解:(1)由已知得
:
a
2
?
2a
1
?
2
?
2
,
a
1
?21?23
1
?
1
?<
br>1
?
1
得
1
为等差数列
.
a
n?
1
a
n
a
n
a
a
n
-n1
??<
/p>
(2)公差
d
=
1
a
?
1
?
4
?1?
1
?
1
?
1
?(n
?1?)
1
?n
1
?
2
3
,
2
a
1
33a
n
a
1
33
?<
br>1
?
1
?50?
2
?
52
3
,?a
3
a
50
?
52
50
33
§2.4 等差数列求和(1)
1. A 2. A 3. C 4. B
5. 210 6.45 7. ①④
8.解:
S??(1?2?3?4??99?100)??5050
9.解:依题意,可知:
S
11
?55
?S
11?10
11
?11a
1
?
2
d?55<
br>, 又
a
1
??5
?d?2
,
?a
n
??5?(n?1)?2?2n?7
设抽去的项为
a
m
(1?m?11)
,则
55?(m2?7?)1?0
, 解得
m?11
,
所以,抽去的项是
a
11
.
10.解:
d?
13
2
,a
2
?
3
2
?a
1
n
?
,
1
?(n?1)?
2
--------①
a315
n
?
2
,S
n
??
2
,
(a
??
15
1
?
3
2
)n
2
?
2
---------②
由①②解得,
a
1
??3,n?10
.
§2.5
等差数列求和(2)
1. B; 2. D; 3. B; 4. C; 5. 9;
6. 解: 由题意,得, 一昼夜内它共敲:
2?(1?2?3??12?)1?2?2
(下)
7.
a
?
5,(n?1)
n
?
?
?
2n?2,(n?2)
8.10 提示:
{a
n
?a
n?1
?a
n?2
}
仍为等差数列
9.解:由
S
9
?S
17解得
d??
2
25
a
1
,
a
1
?0,?d?0
,
S
n(n?1)n
?na
1
?
2
d?
d
2
n
2
?13dn
,
?n?13
时,
S
n
最大.
10.解:设等差数列{a
n
}公差为d,
则S
n
=na
1
+
1
2
n(n-1)d ∵
S
7
= 7,S
15
= 75,
∴
?
7
a
1
?21d?7
?
a?3d?1
15a
?
a1
∴ a
1
=-2,d =1,
1
?105d?75
1
?7d?5
∴
S
nn
=a
1
+
1
2
(n-1)d=-2+
12
(n-1)
∵
S
n?1
S
1
n?1<
br>-
n
n
=
2
∴{
S
n
n
}为等差数列,其首项为-2,公差为
1
2
,
∴T
n
=
1
4
n
2
-
9
4
n.
§2.6 等差数列的综合问题
1. C 2. D 3. C 4.
B 5. 25 6. 2 7. 20
8
.解:(
1
)由
a
10
?30,a
20
?50,
得
?
a?9d?30,
a
1
1
?19d?50
.
解得
a
1
?12,d?2.
所以
a
n
?2n?10.
(
2
)由S
n?1)
n
?na
1
?
n(
2
d,
S
n
?242
得
12n?
n(n?1)
2
?2?24
2
得
.
n?11或n??22(舍去).
9
.解
:数列
5,4
2
7
,3
4
7
,....
的
公差为
?
5
7
,所以
S
n
n
?
2
[2?5?(n?)1(?
5
2
2
1125
7
)
=
]
75n?5n
14
??
5
14
(n?
15
2
)?
56
.
∴
当
n
取与
15
2
最接近的整数
7
或
8时,
S
n
取最大值
.
10.解:(1) n=1时
8a
1
?(a
1
?2)
2
∴
a
1
?2
n=2时
8(a
1
?
a
2
)?(a
2
?2)
2
∴
a
2
?6
n=3时
8(a
1
?
a
2
?a
3
)?(a
3
?2)
2
∴
a
3
?10
(2)∵
8S
n
?(a
n
?2)
2
∴
8S
n?1
?(a
n?1
?2)
2
(n?1)
两式相减得:
8a
n
?(a
n
?2)
2
?(a
n?1
?2)
2
即
a
n
2
?a
n?1
2
?4a
n
?4a
n?1<
br>?0
,也即
(a
n
?a
n?1
)(a
n?a
n?1
?4)?0
,
∵
a
n
?0
∴
a
n
?a
n?1
?4
即
{a
n
}
是首项为2,公差为4的等差数列,
∴
a
n
?2?(n?1)?4?4n?2
.
§2.7 等比数列的概念与通项
1. C 2. B 3. A 4. B
5.
?4
6.
1
4
7. ①②③④
8.
解:依题意
a
n?2
?a
n?1
?a
n
?
a
n
q
2
?a
n
q?a
n
?
q
2
?q?1
解得
q?
1?5
2
,
∵
各项均为正数,
∴
q?0
,
故舍去
q?
1?5
,
∴
1?5
22
.
9. 解:解得方程两根为
1
2
和
3
2
,由
q?1
,故
a
2004
=
1
2
,
a
2005
=
3
2
.
∴
q
=
a
2005
?a
2004
=3
,
a
200
?
6
a
2
=(
0<
br>a
2004
+
a
2005
)
q
2
=
(
1
2
+
3
2
)
?3
2
=18.
10.解:设数列{a
n
}的公比为q,则依题意有
a
3
a
82
1
q?1,
1
q?a
1
q5
?
9
.
两式相除并整理得9q
4
-82q
2
+9=0.
解得q
2
=9或q
2
=
1
9
.
∵数列各项均为正数,∴公比q>0.
∴公比q=3或q=
1
3
. <
br>当公比q?3时,由a
1
q
3
?1得a
1
?
1
.?a
n?
n
?
1
?3
n?1?3.
4
2727
当公比q?
1
3
3
时,由a
1
q?1得a
1
?27.?a
n
?27?(1
3
)
n?1
?3
n?4
.
∴数列{a<
br>n
}的通项公式为
a
n
?3
n?4
或a
n<
br>?3
4?n
.
§2.8 等比数列的性质
1. B; 2. C; 3. A; 4. A;
5.?
11
13
11
,
6.
16
7.15
8.解:
a
3
a<
br>8
?a
4
a
7
??512,a
3
?a
8
?124
?
?
?
a
3
?128
?
a
或
?
?
a
3
??4
8
??4
?
a
8
?128
q?Z?a
10
?512
9.解:设A角为最小角,则
sinA?coBs?
a
?
ac
,而由
题意得:
b
2
c
c
2
?ac
?coBs?
b
2
b
c
2
?
c
(
2
?)s
2
Bin??1
2
Bc
,
os
所以,解得
cosB?
5?1
,
?sinA?5?1
22
.
10.解:(1)设
?
b
n
?
的公比为q,
b
n
?3
a
n
,
?3
a
1
?q
n?1
?3
a
n
?
a
n
?a
1
?(n?10log
3
q
所以
?
a
n
?
是以
log
3
q
为
公差的等差数列.
(2)
a
8
?a
13
?m
所
以由等差数列性质得
a
1
?a
20
?a
8
?a13
?m
?a
(a0
1
?a
2
??a
2
?
0
1
?a
20
)?2
2
?10m?
b
1
b
2
b
20
?3
a
1
?a?
2
?a
2
?
0
3
10m
.
§2.9 等比数列求和(1)
1.
D 2. A 3. C 4. D 5.
n?7
6.?17.458.105
9.解:(1)当
q?1
时,则有<
br>3a
1
?6a
1
?18a
1
?a
1
?0
,
与数列
?
a
n
?
是等比数列矛盾,
?q?1
(2)
q?1
时,条件化为
a
1
(1?q
3
)
1?q
?
a
1
(1?q
6
)
1?q
?
2a
1
(?1q
9
)
1?q
?2q
9
?q
6
?q
3
3?0?q?
3
?
1
2
??
3
1
2??
4
2
.
10.解:
S
2n
?2S
n
,?q?1.
a
1
(1?q
n
)
1?q
?80
… ①
a
1
(1?q
2n
)
1?q
?6560
…
②
②÷①,得
q
n
=81, ∴q >1,
故前n项中
a
n
最大,将
q
n
=81代入①,得a
1
=q-1 … ③
由
a
n
?a
1
q
n?1<
br>?54
,得
81a
1
?54q
… ④
由③④解得
a
1
?2,q?3
.
?S
?1)
100
?
a
1
(q
100
q?1
?3100
?1
.
§2.10 等比数列求和(2)
1.
C 2. B 3. D 4. C 5.
a(1?10%)
5
;
6.
(1?p)
12
?1
; 7.
31
2
(1?
3
n
)
8.解:当x≠0,x≠1,y≠1时,
原式
?(x?x
2
?
?x
n
)?(
1
y
?
1
y
2
??
1
y
n
)
1
n
?
x(1?x)
y
(1?
1
y
n
)
n?1<
br>y
n
?1
1?x
?
?
x?x
1?
1
1?x
?
y
n?1
?y
n
.
y
9.解:当
x?1
时,
S??n?
n(n?1)
n
?1?2
?3?4
2
当
x?0
时,
S
n
?1
,
当
x?1
且
x?0
时,
S
n
?1?
2x?3x
2
?4x
3
??n
n?
x
1
?xS
n
?x?2x
2
?3x
3<
br>??n(?1x
n
)
?
?
1
nx
n
?(1?xS)
n
??(1x?x
2
?x
3<
br>??x
n?1
?nx)
n
?
1?x
n
1?x
?nx
n
?S
?x
n
nx
n
n
?
1
(1?x
2
)
?
1?x
.
10.
a(1?p)
p
?[(1?p)
7
?1]
.
§2.11 等比数列的综合问题
1. B 2. B 3. D 4. C
5. 1
6.
16或?16
; 7.
1023
4
;
0,S
a
1
(1?q
n
8.
解:由题设知
a
)
1
?
n
?
1?q
,
则
a
1
q
2
?2
…… ① <
br>a
1
(1?q
4
)a
?q
?5?
1
(1?q
2
)
11?q
…… ②
由②得
1?q4
?5(1?q
2
)
,
(q
2
?4)(q2
?1)?0
,
(q?2)q(?2q)?(1q?)(?
,
1)
因为
q?1
,解得
q??1
或
q??2
.
当
q??1
时,代入①得
a
1
?2
,通项公式
a1
n
?2?(?1)
n?
;
当
q??2
时,代入①得
a
n?1
1
?
1
2
,通项公式
a
1
n
?
2
?(?2)
.
9. 解:∵
?
?
a
1
?d?8
?
10a
,
解得
a
1
=5, d
1
?45d?185
=3,
∴
a
n
=3n+2,
b
n
=
a
2n
=3×
2
n
+2,
S
n
=
(3×2+2)+(3×
2
2
+2)+(3×
2
3
+2)+
…+(3×
2
n
+2)
=3·
2(2
n
?1)
+
2
n
=7·
2
n
2?1
-6.
10.
证明
:
(
1
)
a
n?2
n?1
?
n
S
n
?
S
n?1
?S
n
?
n?2
n
S
n
?
S
n?1
S
n?1
?2?
n
n
(n?1,2,3,)
,
∴
{
S
n
n
}
是公比为
2
的等比数列
.
(
2
)由
{
S
n
}
是公比为
2
,
S
n?1
?2?
Sn
S
n
=
2
2
?
n?1
nn?1n?
1
?
S
n?1
=
4?
n?1
n?1
S
n?2
n?1
,
由已知得
a
n?1
?
n
S
n
?
n?1
n?1
S
n?1
?a
n
代入上
式得
S
n?1
?4a
n
.
§2.12 等差数列与等比数列的综合运用
1. C 2. C 3. D 4.
B 5. 4 6. 2610
7.
等比数列
{a
n
}
的前n项和为
S
n
,
已知
S
1
,
2S
2
,
3S
3
成等
差数列,
a
n
?a
1
q
n?1
,
又
4S
2
?S
1
?3S
3
,即
4(a
1
?a
1
q)?a
1
?3(a
1
?a
1
q?a
1
q
2
)
,
解得
{a
n
}
的公比
q?
1
3
.
8. 解:
a
n
?1?2?2
2
??2
n?1<
br>?
1?2
n
1?2
?2
n
?1
?S
n
?(2?1)?
2
(2?1?)
n
?(2<
br>
?1)
?(2?2
2
??2
n
)?n
?
2?(1?2
n
)
1?2
?n?2
n?
1
?2?n
.
9. 解:设等比数列的连续三项为
a
m
,
a
m?1
,a
m?2
,
其公比为
q(q?1)
,等差数列的公差为d,
则
a
m?1<
br>?a
m
q,a
m?2
?a
m?1
q
,
两式相减得q?
a
m?2
?a
m?1
a
.
m?1
?a
m
又
a
m?1
?a
m
?4d,a
m?2
?a
m?1
?3d
,
故
q?
3d
?
3
,所以通项公式为
a
3
n?1
4d4
n
?2
?
4
?
.
10. 解:(1)设
{a
n
}
的公差为
d
,S
2
?2a
1
?d?6?d
,
又
b2
??b
1
b
3
??8
(舍负号),
S
2
?b
2
?
6?d
=8,
d
=2
,∴
a
n
?3?2(n?1)
,∴
a
n
?2n?1
.
(2)
S
n
?3?5??(2n?1)?n(n?2)
∴
1
S
?
1
??
1
S
?1
?
1
4
?
1
3?5
??
1
n(n?2)
1
S
2n
1?32?
?
11111
2
(1?
3
?
2
?
1114
?
3
?
5
??
n
?
n?2
)
?
1
2
(1?
1
2
?
1
n?1
?
1
n?2
)
?
32n?3
4
?
2(n?1)(n?2)
§2.13
数列单元测试题
1. A; 2. A; 3. B; 4. C; 5. B;
6. D; 7. A; 8. A; 9. C; 10. B.
11.
n?5
12.
2
120
11
13.
?1
14.
7
15. 解:(1)
?
x
n
?
成等比数列且
x
n
?1
,设公比
为
q
,则
q?0
y?2log
x
n?1
?y
n
?2log
a
x
n?1a
x
n
?
2log
a
n?1
x
?2log
a
q为常数
n
∴
?
y
n
?
为等差数列.
(2)
y
4
?17,y
7
?11
∴3d =-6 d
=-2
y
1
?23
?
y前n项和
S
n(n?1)
n
?
n
?ny
1
?
2<
br>d?23n?n(n?1)??n
2
?24n
当n
=12时,
S
n
有最大值144.
∴
?
y
n
?
前12项和最大为144.
16.解:⑴由<
br>2S
n
?a
n
?1
,令n=1得
a
1
?1
∴ 4(
S
n
?S
n-1
)=((a
n
?1)
2
?(a
n?1
?1)
2
,(n≥2)
∴ 4
a
n
=
a
2
n
?a
2
n?1
?2a
n
-2a
n-1
整理得:
(a
n-1
?a
n
)(a
n
?a
n-1
?2)?0
,由
a
n
>0,
∴
a
n
?a
n-1
?2
∴
{
a
n
}为公差为2的等差数列.
∴
a
n
=
2n?1
.
(2)由裂项法,
B
n
?
1
2
[(
1
a
?
1
)?(<
br>1
a
?
1
)?
1
a
22
a
3
?(
11
a<
br>?
1
a
)]?
1
(
1
?
1
)??
1
?
.
1
nn?1
2a
1
an?1
22a
n?1
2
17.解:(1)由题意知
5S?4S<
br>?a
1
(1?q
2
)4a
1
(1?q
4)
24
,
?
1?q
?
1?q
a
5
1
?0,q?0且q?
1
?1?q
2
?
4
,?得q?
1
2
(2)
S
a(1?q
n
)
n
?
1
?2
a
1
?a
?1
1?q
1
(
1
2
)
n
?b?q?s
11
nn
??2a
1
?a
1
()
n?1
22
要使
{b
n
}
为等比数列,当且仅当
1
2
?2a
1
?0
即
a
11
1
??
4
,此bn
?(
2
)
n?1
为等比数列,
∴
{b
n
}
能为等比数列,此时
a??
1
1
4
.
18.解:(1)第十个月应付款为:
50?(1000?50?9)?0.01?55.5
(元)
(2)共付款:
150?[50?1000?0.01]?[50?950?0.01]??[50?5
0?0.01]
?1225
(元).
第三章 不等式
§3.1 不等关系
1. D;2. A;
3. B; 4. C; 5.
?
?
?
?
?
?
?0
6.(-3,3) 7. ①②④
8.解:设购买单片软件和盒装磁盘分别为
x
件,
y
盒
(x,y?N
?
)
,则
60x?7y0?500
?
?
即
?
6x?7
y
?
x?3
?
?50
?2
?
x?3
且
(x,y?N
?
)
?
?
y
?
?
y?2
9
.解:可先用
f(?1)
和
f(1)
来
表示
f(?2)
,即用
a?b
和
a?b
来
表示
4a?2b
,
设
A(a?b)?B(a?b)?4a?2b
?
(A?B)a?(A?B)b?4a?
2b
??
A?B?4
?
A?B?2
?
?
?
A?3?
B?1
∴
3?3(a?b)?6
,
2?a?b?4
,
∴
5?4a?2b?10
.
10. 解:设甲乙两地相距x千米,采用汽车、火车、飞机
运输时的总支出分别为
y
1
?8x?100?0
x
50
(??2)?
30x0?14
1600
y
2
?4x?180?
0
x
100
(??4)?30x?07
3000
y16x?1000?(
x
3
?
200
?2)?300?
35
2
x?1600
显然
y
3
?y1
,令
y
1
?y
2
?0?x?200
所以,当甲乙相距少于200千米时,应选用汽车;当甲乙相
距等于200千米时,应选用
汽车或火车;当甲乙相距大于200
千米时,采用火车较好.
§3.2
一元二次不等式(1)
1. D; 2. A; 3. D; 4. D;
5.
{?2,0,2}
6.
{x|x??2或x?3}
,
{x|?2?x?3}
.
7.
{x|x??2或x?3}
8.
(1)
{x|x??
1
2
或x?2}
; (2)
{x|1?
3
3
?x?1?
3
3
}
.
(3)
?
xx??3或x?3
?
;
(4)
?
x0?x?4
?
.
9.(1)
?
x?2?x?2
?
;
(2)
{x|x??
21
3
或x?
2
}
?
?
a?0
10
?
?
.解:由题意得
?
?
?
b
??2?
1
?
?
b?
5
a<
br>?
a2
?
2
?
?
?
c
?
c1
?a
?
a
?(?2)?(?
2
)
不等式
cx
2
?bx?a?0
化为
ax
2
?
5
2
ax?a?0
,
a?0,?x
2
?<
br>51
2
x?1?0?
2
?x?2
∴不等式
cx
2
?bx?a?0
的解集为
{x|
1
2
?x?2}
.
§3.3
一元二次不等式(2)
1. A; 2. D; 3. C; 4. D; 5.
k?1
,
6. ②③④; 7.
[?1,1]
8. ⑴
{x|?
1
2
?x?
4
3
且x?
1}
;(2)
?
x?2?x??1或
1
2
?x?3
?
9. 解:不等式等价于
(7x?a)(8x?a)?0
当
a?0
时,不等式的解集为
?
x?
aa
7
?x?
8
?
;
当
a?0
时,不等式的解集为
?x
a
8
?x??
a
7
?
;
当
a?0
时,不等式的解集为
?
.
10.
解:原不等式等价于
(x?a)(x?a
2
)?0
,
它又等价于不等式组
(1)
?
x?a?0
x?a
2
?0
或(2)
?
x?a?0
x?a
2
?0
①当
a?0
,或
a?1
时,
a?a
2
,
原不等式的解集为
?
xa?x?a
2
?
;
②当
0?a?1
时,
a
2
?a
,
原不等式的解集为
?
xa
2
?x?a
?
;
③当
a?0
,或
a?1
时,原不等式无解.
§3.4
一元二次不等式的应用
1. A; 2. C; 3. A; 4. D; 5.
(??,?2][5,??)
6.
(??,?1)[2,??)
7. -5.
8.
解:⑴
y??2n
2
?40n?98
⑵解不等式
?2n
2
?40n?98?0
得
10?51?n?10?51
又
n?N?3?n?17
故从2002年开始获利.
9. 解:(1)设月获得的利润为
y
,
y?(16?0x2x)?(5?00x
,
3
y?130?0?x
2
2?13x0?50?0
1300
?20?x?4
?
5
当月产量在
[20,45]
件之间时,
月获得的利润不少于1300元.
(2)
y??2(x?
65
2
)
2
?1612.5
,
?x?32
或
x?33
时,
y
取最大值1612.
10. 解:⑴
y?[60(1?0.5x)?40(1?x)]?1000(1?0.8x)
y??8000x
2
?6000x?20000?2000(?4x
2
?3x?10)
其中
0?x?1
⑵
依题意:
2000(?4x
2
?3x?10)?(60?40)?1000
??4x
2
?3x?0?0x?
3
4
?
,∴
x
的取值范围为
(0,
3
4
)
.
§3.5 一元二次不等式的综合问题
1. C 2. C; 3. D;
4. D; 5.
?
mm??
1
8
?
6.⑴
[?3,1]
;⑵
{x|?2?x?2或x?6}
7.解:构造函数:
f(x)?x
2
?mx?4,
x?[1,2]<
br>,
由于当
x?(12),
时,不等式
x
2
?m
x?4?0
恒成立。
则
f(1)?0,f(2)?0
,即
1?
m?4?0,????4?2m?4?0
。
解得:
m??5
。
8.解:(1)当
a?
1
时,有不等式
f(x)?x
2
3
2
?
2
x?1?0
∴
(x?
12
)(x?2)?0
,∴不等式的解集为:
{x|
1
2
?x?2}
(2)∵不等式
f(x)?(x?
1
a
)(x?a)?0
当
0?a?1
时,有
1
a
?a
,
∴不等式的解集为
{x|a?x?
1
a
}
;
当
a?1
时,有
1
a
?a
,
∴不等式的解集为
{x|
1
a
?x?a}
;
当
a?1
时,不等式的解为
x?1
。
9.解:将两式分子都化为3
,则只要比较分母的
2m
2
?m?1
和
3m
2
?3m?6
大小.
3m
2
?
3m?6?(2m
2
?m?1)
=
m
2
?4m?5
=
(m?2)
2
?1?0
,
故
3m
2
?3m?6?2m
2
?m?1
且易知
3m
2
?3m?6与2m
2
?m?1
均恒为正数,
3
2m
2
?m?1
?
3
3m
2
?3m?6
即
3
2m
2
?m?1
?
1
m
2
?m?2
.
10.
解:设
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
f(x)??2x
的解集为(1,3)
?f(1)?a?b?c??2
①
f(3)?9a?3b?c??6
②
又
f(x)?6a?ax
2
?bx?c?6a?0
有两个相等的实数根,
???b
2
?4a(c?6a)?0
③
由①②③解得:
a??
1
5
或
a?1
又
f(x)??2x
的解集为(1,3),
?a?0
?a??
1
5
,b??
6
5
,c??
31635
,
?f(x)??
5
x
2
?
5
x?
5
.
§3.6 二元一次不等式表示的平面区域
1.
B; 2. B; 3. C; 4. C; 5.
R,S
;
6.
{t|t?
2
3
}
; 7.
P(?5,1)
8.解:先画出直线-x+2y-4=0(画出虚线)
取原点(0,0)代入-x+2y-
4,
因为 0+2 × 0-4<0
所以原点在-x+2y-4<0
表示的平面区域内,
不等式-x+2y-4<0表示的区
域如图.
9.解法1:
?
2?2?3?1c?
?
?
2?(?2)?3?c
?
2??0?c?
1
??10
解法2:将A、B两点横坐标分别代入直线L的方程,
得
y
11
1
?
3
(c?4),y
2
?
3
(c?4)
, 依题意:
(y
1
?1)(y2
?2)?0?
?
?
1
(c?4)?1
??
1
(c?4)?2
?
?0
??1?c?10
?
3
?<
br>?
?
?
3
?
?
(0,?3)
10. 解:30
(以
(?5,0)、
为顶点的菱形面积).
§3.9
简单的线性规划(2)
1. A; 2. B; 3. B; 4. D;
3
5. 5; 6.; 7.0
2
8.解:作出其可行域,
约束条件所确定的平面区域的四个顶点为
5
),(1,5),(3,1),(5,1),
3
§3.7
二元一次不等式组表示的平面区域
1. A; 2. B; 3. C; 4. C
5.
6
?
;
6. 解:如图知区域是△OAB去掉
一个小直角三角形△CDB.
∴阴影部分面积=
S
OAB
?S
CDB
(1,
1
??2?2?
1
?
2
?
2
?
7
.
2
2224
3
7.
2
u?1
?
?u?x?y
8.解:令
?
?
u?v?0
v?x?y
?
?
u?v?0
作直线l
0
:2
x + y = 0,
再作与直线l
0
平行的直线l:2 x + y =
z,
由图象可知,当l经过点(1,
5
)时
3
511
使
z?2x?y
取得最小值,
z
min
?2?1?1??
33
当l经过点(5,1)时使
z?2x?y
取得最大值,
?2?5?1?1?1
z
max
.
1
9.
解:每天生产甲种产品5吨,乙种产品7吨,日产值到达最
大值117万元.(提示:设每天生产甲种产品x吨,乙种产品
y号,则7x+3y≤56,2x+5y≤45,x、y≥0,目标函数z=8x+11y,
作出线性约束条件所表示的平面区域,即可求得当 x=5,y=7
时,z取最大值117万元)
10. 解:设每天生产A型桌子x张,B型桌子y张,
每天所获利润为z千元,则
?
1
作出区域是等腰直角三角形,可求出面积
s??2?1?1
.
2
9.解:由已知得
?3?0
?
t??1
?
t?
2?1
?
t?4?1?8?0
?
t??12
?
?1?t?1
?
?
?t?0
t?Z
3t?1?4?0?
t?1
??
?
t?Z
?
t?Z
?
1
0. 解: 不等式等价于
x?2y?1?0
x?y?4?0
?
或
2y?1?0
?
x
x
?
?y?4?0
其图象如图所示:
?
x?2y?8,
?
3x?y?9,
?
x?0,
?
?
y?0.
目标函数为
z?2x?3y
如图,作出可行域,
把直线l:
2x?3y?0
向右上方平移至
l
?
的
位置时,直线经过可
行域上的点M,直线
的纵截距最大,此时z=2x+3y取得最大值.
x?2y?8x?2
解方程组
得,即
M
?
2,3
?
,
3x?y?9y?3
§3.8 简单的线性规划(1)
1. C; 2.
A; 3. A; 4. C; 5. 1;
6.
P(?1,?1)
; 7.
50x?40y?2000
7
?
8.
?
?5,
9.
解:在坐标系中画出图象,如图.
三条线的交点分别是A(0,1),
B(7,1),C(3,7),在△ABC中满
足
z?2y?x
的最大值是点C,代入
得最大值等于11.
10.解: 区域D如图所示
?ABC
所在区域(包含边界)
y
(1)令
z?2x?y
,显然z在点C处
取得最大值,
?(2x?y)
max
?14
;
(2)点O到直线
2x?y?2?0
的距离
r?
2
,由区域D
5
??
答:每天应生产A型桌子2张,B型桌子3张才能获最大利润.
§3.10 基本不等式及其证明
1
6. ①②③⑤
16
x?3z
?
7. 3 提示:由已知得
y?
2
y
2
x
2
?9z
2
?6xz6xz?6xz
??3
(当且仅当
x?3z
取“=”号)
?
xz4xz4xz
1. A 2. D 3. B 4. B 5.
C(4, 6)
2
及题意知,以点O为圆心,
A
O 1
x?y?2?0
2
-2
B
r?
的圆满
5
x?y?2?0
2x?y?2?0
足条件,
24
?S
最大
?
?
()
2
?
?
.
5
5
-2
D
x
8.
证明:
a
2
?b
2
?2ab
①
b
2
?c
2
?2bc
②
c
2
?a
2
?2ca
③
①+②+③?a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca
又
a,b,c
不全相等,
?a
2
?b<
br>2
?c
2
?ab?bc?ca
.
bcy
adx
9.
解:
Q?ax?by?
b
?
d
?ab?cd?
?
xyxy
?ab?cd?2abcd?ab?cd?P
?P?Q
.
10. 解:函数
y?a
1?x
(a?0,a?1)
的图象恒过定点
A(1,1)
,
1?m?1?n?1?
,
0m?n?1
,
m,n?0
,
法1:
m?n?2mn?
法2:
1
?2
, 1
?
1
?2
1
?
1
?2?2?4
.
mnmnmn
§3.12 基本不等式的应用(2)
1. A;
2. B; 提示:
r?
a?b?c
?
a?b?2
?a?b
?1?ab?1
,
222
当且仅当
a?b?2
时,
r
min
?2?1
,故选B.
3. C;
4. D; 提示:设第一年的产量为A,
A(1?x)
2
?A(1?p
1
)(1?p
2
)
?(1?x)
2
?(1?p
1
)(1?p
2
)?(
?x?
2?p
1
?p
2
2
p?p
)
?(1?
12
)
2
22
1
?
1
?(
1
?
1
)?(m?n)?
2?
n
?
m
?2?2
n
?
m
?4.
mnmn
mnm
n
p
1
?p
2
p
?x?
,当且仅当
p1
?p
2
取“=”号,
22
§3.11
基本不等式的应用(1)
1. D; 2. B; 3. C;
a?b
)
2
?4
4. A;
提示:法一:
ab?(
,
2
故选D.
5.20;
6.2240 7.
(a?b)
2
8.解:
如图为轴截面,令圆柱的高为
h
,
底面半径为
r
,侧面积为
S
,
h
则
()2
?r
2
?R
2
,即
h?2R
2
?r
2
2
O
当且仅当
a?b?2
时取等号,
又
c?d?2cd?4
,
当且仅当
c?d?2
时取等号,
故选A.
法二:由右图可知,
对
x,y?R
?
,xy?x?y
当且仅当
x?y?2
时取等号,
故选A.
5. 4 ;
6.
2?43
.
y
4
2
O
2 4
x
S?2
?
rh?4
?
r?R?r
?4
?
r
2
(R
2
?r
2
)
<
br>222
?4
?
r?R?r
?2
?
R
2
2
22
R
B
C
A
x?y?4
取等号时,内接圆柱底面半径为
2
R
,高为
2R
2
9.解:设
M(t,0)(t?5)
,
则直线l的方程为
4x?(6?t)y?45?0
它与
y?4x
相交得点
Q
的纵坐标为
4t
,
t?5
7. 3;提示:以CA、CB所在直线为坐标轴建立平面直角坐
y
ab
标系,则直线AB的方程为
x
??1
.
设
P(a,b)
,则
??1
从而
?OQM
的面积为
43
43
2
?(?5)25
1
t?
4t
?
t2
2
?2?
(t?5)?1t0
S?
a
?
b
2t?5t?5t?5
ab
50
(a?0,b?0),ab?12???12(
43<
br>)
2
?3
,
?2(t?5)??20?40
432
t?5
a
?
b
?
13
50
当,即
a?2,b?
时,
(ab)
max
?3
.
当且仅当
2(t?5)?
,即
t?10
时,
4322
t?5
8.解 当
x?0
时,
y?0
当
x?0
时,
y?
?OQM
的面积最小值为40,
此时直线方程为
x?y?10?0
.
10.解:(1)由已知得:
450v
?9
,
v?50v?16
00
2
3
x?
4
x
?
3
?
3?
3
,当且仅当
x?
4
x
x?
4<
br>2x
4
4
x
x
33
50v
即
x??2
时,等号成立.
∴
y
min
??,y
max
?
.
?1
,
即
2
44
v?50v?1600
9.解:已知不等式(x+y)(
1
?
a
)≥9对任意正实数x,y恒成立,
而分母
v
2
?50v?1600
恒大于零,∴解之得:
20?v?80
xy
∴汽车的平均速度应在每小时
20~80
千米.
y
ax
a?2a?1aa
则
1?a??
≥≥9,∴
≥2或≤-4(舍去),
0450
xy
?
(2)∵
v?0
?y?
2
45
v
1600
v?50v?1600
v??50
所以正实数a的最小值为4.
v
10.解:设矩形温室的左侧边长为am,
后侧边长为bm,则ab=800m
2
. ∴蔬菜的种植面积
b?2?)ab?2a?4b?8?80?8a2
,
?(b
S?(a?4)(
1600
?80
,
∴
y?15
,
v
1600
当且仅当
v?
,即
v?40
(千米/小时)时,
v
∵
v?
∵
a?0,b?0,ab?800
,
∴
a?2b?22ab?80
∴
S?808?2?80?648
(m
2
),
当且仅当
a?2b
,即
a?40m,b?20m
时,
S
max
?6
48
m
2
.
答:当矩形温室的左侧边长为40m,后侧边长为20m时
,蔬
菜的种植面积最大,最大种植面积为648 m
2
.
车流量最大,最大值为15(千辆/小时)
答:在该时段内,当汽车的平均速度为40(千米小时)时,
车流量最大,最大值为15(千辆小时).
§3.13 基本不等式的综合问题
1.A; 2. C;
3. C; 4. D;
5.32
6.
[2,??)
7.
[9,??)
;解:法一:
ab?a?b?3?2ab?3
∴
(ab)
2
?2ab?3?0
∴
ab?3
∴
ab?9
(仅当
a?b?3
时)
法二:设
S?ab
,
Qab?a?b?3
∴
b?
a?3
a?1
,由
b?0
,知
a?1
,
∴
S?a?
a?3
a?1
?
a
2
?3
a
a?1
?(a?1)?
4
a?1
?5?9
当且仅当
(a?1)
2
?4
,即
a?3
时取等号,此时b?3
.
8.解:
Qa,b,c
都是正实数,且
19
a
?
b
?1
,则
(a?b)
1
a
(?
9
b
?)1?
b
0
a
?
9a
b
??10
b
a
?2
9a
b
?
,
16
当且仅当
b9a
a
?
b
,即
b?
3a
时“=”号成立,
此时
a?4,b?12,?a?b?16
若
a?b?c
恒成立
?0?c?16
,即
c?(0,1
6]
.
9.解:使用
x
年时,年平均费用最少,由于“年维
修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元”,
可知汽车每年的维修费构成以0.2万元为首项,
0.2万元为公差的等差数列.
因此,汽车使用
x
年
总的维修费用为
0.2?0.2x
2
x
万元.设汽车的年
平均费用为
y
万元,则有:
10?0.x9?
0.?20x.
x<
br>2
y?
2
?
10?x?0.x
2
1
xx
?1?
10
x
?
x
10
?
1?2
1
x
?
0x
1
?
0
3
当且仅当
10
x
?
x
10
,即
x?10
时
,
y
取最小值.
答:汽车使用10年时,年平均费用最少.
10.
解:设每间虎笼的长
xm
、宽
ym
,
则由“有可围36米长的材料”,得
4x?6y?36
,
即
2x?3y?18
, 设面积为
S?xy
,
由于
2x?3y?22x?3y?26xy
所以
26xy?18
,得
xy?
2727
2
,即
S?
2
当且仅当
2x?3y
时,等号成立.
解方程组
?
2x?3y<
br>2x?3y?18
,得
?
x?4.5
y?3
答:每间虎笼设计长、宽分别为
4.5m,3m
时,面积最大.
§3.14 不等式单元测试题
1. B; 2. B; 3. D; 4.
C; 5.C;
6. C; 7.C; 8. C; 9. D;
10. A
11.
?
xx?3或x??1且x??3
?
12.
3
5
13.8
14.
3
2
,<
br>1
2
(提示:区间根与线性规划方法:数形结合列出
a、b满足的二元一次方程组)
15.
A?
?
x3x
2
?
4x?4?0
?
?
?
x?
21
3
?x?2
?
,
B?
?
xx?
3
或x?1
?
AB?
?
x?
2
3
?x?
1
3
或1?
x?2
?
16.解:(1)
ax
2
?3x?2?0
的解集为
{x|x?1
或
x?b}
?
1?b?
3
?
?
?
a
?a?1,b?2
;
?
?1?b?
2
a
(2)不等式
ax
2
?(ac?b)x?
bc?0
即
x
2
?(2?c)x?2c?0
,
亦即
(x?2)(x?c)?0
,故
①
当
c?2
时,其解集为
{x|2?x?c}
;
②
当
c?2
时,其解集为
{x|c?x?2}
;
③
当
c?2
时,其解集为
?
.
17.解:(1)设AE = t,
则依题意有
1
2
2
xtsin6?0?
1
a
2
2
?
3
4
?(a
2
2
)
∴
t?
x
在
?ADE
中,由余弦定理得
DE
2
?AD
2
?A
2
E?2A?DcAoEs
A
∴
y
2
?x
2
?(
2a
2
x
)
2
?2x?
2a
2
x
?cos60
0<
br>
故
y?x
2
?
4a
4
x
2
?2a
2
(a?x?2a)
(2)
x
2?
4a
4
x
2
?2x
2
?
4a
4
x
2
?4a
2
当且仅当
x
2
?
4a
4
x
2
即
x?2a
时取等号
∴
y
2
min
?4a
2
?2a?2a
即
AD?AE?2a,ED
min
?2a
答:(1)用x表示的y的函数为
y?x
2
?
4a<
br>4
x
2
?2a
2
(a?x?2a)
(2)线路最短时,
AD?AE?2a
,此时DE
∥
BC;
最少需要灌溉水管长为
2a
.
18.解:设应供应洗衣机x台,空调y台,利润z=8x+6y.
?
20x?30y?300
?
则
?
?
10x?5y?110
?
x?0
?
?
y?0
由图知当目标函数
的图象经过M点时
能取得最大值,
?
?
2x?3y?30
?
2x?y?22
,
解得
?
?
x?9
?
y?4
, 即M(9,4),
所以z=8×9+6×4=96(百元)
答:应供应洗衣机9台,空调6台,可使得利润最多达到9600
元.
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