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最新教师资格证数学学科(高中数学)知识与教学能力复习重点

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 02:09
tags:高中数学课

高中数学归纳推理的ppt-作业帮高中数学竞赛

2020年9月21日发(作者:蔡启瑞)


第一章 课程知识
1. 高中数学课程的地位和作用:
⑴ 高中数学课程是 义务教育后普通高级中学的一门主要课程,它包含了数学中最基本的内
容,是培养公民素质的基础课程。
⑵ 高中数学对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系,提高提出问题、分析和解决
问题 的能力,形成理性思维,发展智力和创新意识具有基础性的作用。
⑶ 高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值,增强应用意识。
⑷ 高中数学是学习高中物理、化学等其他课程的基础。
2. 高中数学课程的基本理念:
⑴ 高中数学课程的定位:面向全体学生;不是培养数学专门人才的基础课。
⑵ 高中数学增加了选择性(整个高中课程的基本理念):为学生发展、培养自己的兴趣、
特长提供空间。
⑶ 让学生成为学习的主人:倡导自主学习、合作学习;帮助学生养成良好的学习习惯。
⑷ 提高学生数学应用意识:是数学科学发展的要求;是培养创新能力的需要;是培养学习
兴趣的需要;是培 养自信心的需要;数学应用的广泛性需要学生具有应用意识。
⑸ 强调培养学生的创新意识:强调发现和提出问题;强调归纳、演绎并重;强调数学探究、
数学建模。
⑹ 重视“双基”的发展(数学基础知识和基本能力):理解基本的数学概念和结论的本质;
强 调概念、结论产生的背景;强调体会其中所蕴含的数学思想方法。
⑺ 强调数学的文化价值:数学是人类文化的重要组成部分;《新课标》强调了数学文化的
重要作用。
⑻ 全面地认识评价:学习结果和学习过程;学习的水平和情感态度的变化;终结性评价和
过程性评价。
3. 高中数学课程的目标:
⑴ 总目标:使学生在九年义务教育数学课程的基础上,进一步 提高作为未来公民所必要的
数学素养,以满足个人发展与社会进步的需要。
⑵ 三维目标:知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观
⑶ 把“过程与方法”作为课程目标是本次课程改革最大的变化之一。
⑷ 五大基本能力:计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能

4. 高中数学课程的内容结构:
⑴ 必修课程(每模块2学分,36学时):数学1(集合、函数)、数学 2(几何)、数学3(算
法、统计和概率)、数学4(三角函数、向量)、数学5(解三角形、数列、不 等式)
⑵ 选修课程(每模块2学分,36学时;每专题1学分,18学时):
① 选修系 列1(文科系列,2模块):1-1(“或且非”、圆锥曲线、导数)、1-2(统计、
推理与证明、复 数、框图)
② 选修系列2(理科系列,3模块):2-1(“或且非”、圆锥曲线、向量与立体几何 )、
2-2(导数、推理与证明、复数)、2-3(技术原理、统计案例、概率)
③ 选修系列3(6个专题)
④ 选修系列4(10个专题)
5. 高中数学课程的主线:
函数主线、运算主线、几何主线、算法主线、统计概率主线、应用主线。
6. 教学建议:
⑴ 以学生发展为本,指导学生合理选择课程、制定学习计划


⑵ 帮助学生打好基础,发展能力:
① 强调对基本概念和基本思想的理解和掌握
② 重视基本技能的训练
③ 与时俱进地审视基础知识与基本能力
⑶ 注重联系,提高对数学整体的认知
⑷ 注重数学知识与实际的联系,发展学生的应用意识和能力
⑸ 关注数学的文化价值,促进学生科学观的形成
⑹ 改善教与学的方式,使学生主动地学习
⑺ 恰当运用现代信息技术,提高教学质量
7. 评价建议:
⑴ 重视对学生数学学习过程的评价
⑵ 正确评价学生的数学基础知识和基本能力
⑶ 重视对学生能力的评价(问题意识、独立思考、交流与合作、自评与互评)
⑷ 实施促进学生发展的多元化评价(尊重被评价对象)
⑸ 根据学生的不同选择进行评价
第二章 教学知识
8. 教学原则
抽象与具体相结合、严谨性与量力性相结合原则 (“循序渐进”)、理论与实际相结合原
则(“学以致用”)、巩固与发展相结合原则(“温故而知新” )
9. 教学过程
备课(备教材、备学生、备教法)、课堂教学(组织教学、复习提问、讲 授新课、巩固
新课、布置作业)、课外工作(作业批改、课外辅导、数学补课活动)、成绩的考核与评< br>价(口头考察、书面考察)、教学评价(导向作用、鉴定作用、诊断作用、信息反馈与
决策调控作 用)
10. 教学方法
⑴ 讲授法:科学性、系统性(循序渐进)、启发性、量力性(因材施教)、艺术性(教
学语言)
⑵ 讨论法:体现“学生是学习的主体”的特点。
⑶ 自学辅导法:卢仲衡教授提出,要求学生肯自学、能自学、会自学、爱自学
⑷ 发现法:又称问题教学 法(布鲁纳),步骤是创设问题情境;寻找问题答案,探讨问
题解法;完善问题解答,总结思路方法;知 识综合,充实改善学生的知识结构。
11. 概念教学
⑴ 概念的内涵与外延:当概念的内 涵扩大时,则概念的外延就缩小;当概念的内涵缩
小时,则概念的外延就扩大。内涵和外延之间的这种关 系,称为反变关系。
⑵ 概念间的逻辑关系:相容关系(同一关系如“等边三角形”和“正三角形”、 交叉
关系如“等腰三角形”和“直角三角形”、包含关系如“菱形”和“四边形”)、不
相容关 系(对立关系如“正数”和“负数”、矛盾关系如“负数”和“非负数”)
⑶ 概念下定义的常见方式 :属加种差定义法(被定义的概念=最邻近的属概念+种差,
如“有一个角是直角的平行四边形是矩形” )、解释外延定义法(不易揭示其内涵,
如“有理数和无理数统称实数”)、描述性定义法(用简明清晰 的语言描述,如
“”)
⑷ 数学概念获得的主要方式:概念形成(由学生发现)、概念同化(教师直接展示定义)
12. 命题教学:整体性策略(旨在加强命题知识的横、纵向联系)、准备性策略(教学实施


之 前)、问题性策略(激发学生的积极性)、情境化教学、过程性策略(暴露命
题产生于证明的“所以然” 过程)、产生式策略(变式练习)
13. 推理教学
⑴ 推理的结构:任何推理都是由前提和结论两部分组成的
⑵ 推理的形式:演绎推理(由一般到特殊;前 提真,结论真;三段论:大前提、小前
提,得推理)、归纳推理(由特殊到一般)、类比推理(由特殊到 特殊)
14. 问题解决教学
⑴ 数学问题的设计原则:可行性原则、渐进性原则、应用性原则
⑵ 纯粹数学问题解决:波利亚怎样解题表(分析题意;拟定计划;执行计划;验算所
得到的解)
⑶ 非常规问题解决:建模分析(分析问题背景,寻找数学联系;建立数学模型;求解
数学模型 ;检验;交流和评价;推广)
15. 学习方式:自主学习、探究学习、合作学习
第三章 教学技能
16. 教学设计
⑴ 课堂教学设计就是在课堂教学工作进行之前,以现代教育理 论为基础,应用系统科
学方法分析研究课堂教学的问题,确定解决问题的方法和步骤,并对课堂教学活动
进行系统安排的过程。
⑵ 教学设计与教案的关系:
① 内容不同:
教 学设计的基本组成既包括教学过程,也包括指导思想与理论依据、教学背景
分析、对学生需要的分析、学 习内容分析、教学方法与策略的选定、教学资源
的设计与使用以及学习效果评价等。侧重运用现代教学理 论进行分析,不仅说
明教什么、如何教,而且说明为什么这样教;教案的基本组成是教学过程,侧
重教什么、如何教。
② 核心目的不同:
教学设计不仅重视教师的教,更重视学生的学, 以及怎样使学生学得更好。达
到更好的教学效果是教学设计的核心目的;教案的核心目的就是教师怎样讲 好
教学内容。
③ 范围不同:
从研究范围上讲,教案只是教学设计的一个重要内容。
⑶ 数学课堂教学设计的意义:
① 使课堂教学更规范、操作性更强
② 使课堂教学更科学
③ 使课堂教学过程更优化
⑷ 数学课堂教学设计的基本要求:
① 充分体现数学课程标准的基本理念,努力体现以学生发展为本
② 适应学生的学习心理和年龄特征
③ 重视课程资源的开发和利用
④ 注重预设与生成的辩证统一
⑤ 辩证认识和处理教学中的多种关系
⑥ 整体把握教学活动的结构
⑸ 数学教学设计的准备:
① 认真学习新课标,了解当前我国数学课程的目标要求


② 全面关注学生需求
③ 认真研读数学教材和参考书,领悟编写意图
④ 广泛涉猎数学教育的其他优秀资源,吸取他人精华,丰富自己的教学设计
⑤ 制定学期教学计划、单元教学计划
⑹ 教材分析
① 分析和处理教材是教学设计的基本环节和核心任务
② 整体系统的观念用教材
③ 理解教材的编排意图
④ 突出教材的重点和难点
⑺ 学情分析
① 分析学生原有的认知基础
② 分析学生的个体差异
③ 了解学生的生理、心理
④ 了解学生对本学科学习方法的掌握情况
⑤ 分析学习知识时可能要遇到的困难
⑻ 制定合理教学目标的要求
① 反映学科特点,体现内容本质
② 要有计划性,可评价性
③ 格式要规范,用词要考究
④ 要全面,不能“重知轻思”、“重知轻情”等
⑤ 注意教学目标的层次性(记忆、理解、探究)
⑥ 要实在具体,不浮华
⑼ 教学反思
① 教学反思的内容:对教学设计、教学过程、教学效果、个人经验的反思
② 教学反思的步 骤:截取课堂教学片段及其相关的教学设计;提炼反思的问题;
个人撰写反思材料;集体讨论;个人再反 思,并撰写反思论文
⑽ 教学设计的撰写:
① 教学目标:知识与技能(了解、掌握、应用 );过程与方法(提高能力);情感
态度与价值观(体验规律、培养看问题的方法)
② 学情分析
③ 教材分析:本节课的作用和地位;本节课的主要内容;重难点分析
④ 教学理念
⑤ 教学策略
⑥ 教学环境
⑦ 教学过程
⑧ 教学反思
17. 教学实施
⑴ 课堂导入:直接导入法、复习导入法、事例导入法(情境导入法)、趣味导入法、悬
念导入法
⑵ 课堂提问的原则:目的性原则、启发性原则、适度性原则、兴趣性原则、循序渐进
性原则、 全面性原则、充分思考性原则、及时评价性原则
⑶ 课堂提问的类型:复习回忆提问、理解提问、应用提问、归纳提问、比较提问、分
析综合提问、评价提问
⑷ 学生活动:


① 学生活动体现了学生在学习中的主体地位
② 作为教学环节之一的“学生活动”是意义建构的组成部分
③ 学生活动的目的是促进学生的理解
④ 从总体上说,学生活动必须是思维活动
⑸ 课堂结束技能的实施方法:练习法、比较法与 归纳法、提问法和答疑法、呈上法和
启下法、发散法和拓展法
⑹ 结束技能实施时应注意的问题:自然贴切,水到渠成;语言精练,紧扣中心;内外
沟通,立疑开拓
18. 教学评价
⑴ 数学教育评价的要素:教学目标、教学内容、教学方法、教学心理环境、教师行为、
学生行为、教学效果
⑵ 数学教育评价的功能:管理功能、导向功能、调控功能、激发功能、诊断功能
第四章 常用数学公式
一、 函数、导数
1. 函数的单调性
⑴ 设、且


⑵ 设函数
增函数;若
在某个区间内可导,若
,则在该区间内
。那么
上是增函数;
上是减函数。
,则在该区间内
为减函数

2. 函数的奇偶性(该函数的定义域关于原点对称)
对于定义域内任意的
对于定义域内任意的
,都有
,都有
,则
,则
轴对称。
是偶函数;
是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于
3. 函数在点处的导数的几何意义
函数在点处的导数是曲线在


的切线的斜率,相应的切线方程是
4. 几种常见函数的导数
(C为常数);


);






5. 导数的运算法则

6. 幂函数(



为奇
数,为
奇数

为奇
数,为
偶数

为偶
数,为
奇数
第一象
限图像
7. 求函数
⑴ 如果在
⑵ 如果在
8. 凹凸函数:设
⑴ 若对任意
减函数

增函数 增函数





偶函数


过定点

的 极值的方法:解方程
附近的左侧
附近的左侧
。当
,右侧
,右侧
时:
,则
,则
是极大值;
是极小值;






奇函数


性质


在开区间上存在二阶导数:
,有,则在上为下凸函数;


⑵ 若对任意,有,则在上为上凸函数;
二、 三角函数、三角变换、解三角形、向量
9. 同角三角函数的基本关系式

10. 正弦、余弦的诱导公式


11. 和角与差角公式



(辅助角所在象限由点的象限
决定,
12. 二倍角公式




13. 三角函数的周期
函数,及函数,
(为 常数,且,)的周期;函数
,,(为常数,且,
)的周期。


14. 三角函数的图像变换:
⑴ 函数,即横坐标伸长()
或缩短()到原来的倍,再向左()或向 右()
平移

⑵ 函数

个单位,最后纵坐标伸长(
倍。

)平移

)或缩短()到原来
向左(
)或缩短(
)或向右
)个单位,再横坐标伸长(
到原来的
来的
15. 正弦定理
倍,再,最后纵坐标伸长(
倍。
)或缩短()到原

16. 余弦定理
;
17. 三角形面积公式
是外接圆的半径)

;

18. a与b的数量积(或内积)

19. 向量的坐标运算
⑴ 设,

⑵ 设
⑶ 设

,则
,则


,则
是向量a,b的夹角)
20. 两向量的夹角公式
设,,且,则



21. 向量的平行与垂直


三、 数列、集合与命题
22. 数列的通项公式与前项的和的关系
(数列
23. 等差数列的通项公式和前项和公式
的前项的和为)

24. 等比数列的通项公式和前项和公式


25. 数列求和常见结论:

();



26. 有个元素的集合,含有个子集,
27. 原命题:若则;否命题:若则
个真子集。
;命题的否定:若则。
28. 全称量词即“所有”,“全部”,可写作“”;存在量词又称特称量词,写作“”。
四、 不等式


29. 均值不等式

30. 柯西不等式
, (当且仅当=b时取“=”号)
,其中
,当且仅当
31. Jensen不等式

32. 三角不等式:
33. 指数不等式:
五、 解析几何与立体几何
34. 直线的五种方程
⑴ 点斜式:
⑵ 斜截式:
(直线
l
过点


时不等式取等号。

,且斜率为
k

(b为直线
l
在y轴上的截距)
⑶ 两点式:

(直线
l
过点,且,
⑷ 截距式:
⑸ 一般式:
35. 两条直线的平行和垂直
若,
(、b分别为直线的横、纵截距,
(其中A、B不同时为0)




36. 点到直线


(的距离


37. 角平分线所在直线的方程
,其中
角的大小
38. 圆的三种方程
⑴ 圆的一般方程:
⑵ 圆的标准方程:
分别为角的边所在直线的斜率,为原


⑶ 圆的参数方程:
39. 两个圆的公共弦所在方程


40. 直线与圆的位置关系
直线
相离
,弦长=
与圆

;
相切
的位置关系有三种:
;相交
其中
41. 椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质
椭圆:,离心率,准线,
参数方程是
之和等于常数()。
,椭圆上的点与两 个定点的距离
双曲线:,离心率,准线,
渐近线方程是
之差等于常数(
,椭圆 上的点与两个定点
)。
的距离
抛物线:,焦点,准线,焦半径,过抛


物线焦点的弦长
线的距离。
42. 双曲线的方程与渐近线方程的关系
,抛物线上的点到焦点的距离等于它到准
⑴ 若双曲线方程为。
⑵ 若渐近线方程为双曲线可设为。
⑶ 若双曲线与
在轴上;
有公共渐近线,可设为
,焦点在轴上)
(,焦点
43. 若斜率为的直线与圆锥曲线相交于两点,则弦长公式为

44. 柱体、锥体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式
圆柱侧面积=,表面积=,体积=(

是柱体的底面积,
是柱体的高);圆 锥侧面积=
是锥体的底面积,
,表面积=,体积=(
是锥体的高);
球的半径是
六、 空间几何
45. 平面方程:
⑴ 点法式:

⑵ 一般式:
,则其体积,其表面积
,是平面的法向

上一点
不全为0)
以及平行于平面的两不共线向量⑶ 参数式:已知平面
和,则有


46. 两平面间的关系:



(法向量共线但两平面不重合)

⑶ 与的夹角():
47. 直线方程:
⑴ 一般式(交面式):
⑵ 参数式:
⑶ 对称式(标准式):
48. 直线与平面的关系:
⑴ 且



⑶ 与的夹角():
49. 曲面方程:
⑴ 单叶双曲面:()
⑵ 双叶双曲面:()
⑶ 椭圆抛物面:(),当时,曲面为旋转抛物面
⑷ 双曲抛物面:()
七、 概率统计
50. 平均数、方差、标准差、期望的计算


平均数:
方差:
标准差:
期望
51. 回归线方程

,其中


52. 独立性检验:
53. 排列数、组合数

排列数公式:,其中,;
组合数公式:
54. 二项式定理:

⑵ 第
⑶ 系
项:
数和
,其中




,)

⑷ 当的绝对值与1相比很小且

不大时,有,
55. 相对独立事件同时发生的概率
56. 正态分布记为
时取最大值。
,其中期望,方差

,曲线关于直线对称并在
57. 离散型随机变量的期望与方差的性质:
⑴ 期望反映了离散型随机变量取值的平均水平;方差与标准差 反映了离散型随机变量
取值的稳定与波动、集中与离散的程度。
⑵ ;(为常数)



常数)
⑷ 设
⑸ 若
,则
,则,

;(为

;若服从几何分布,且

,则
八、 复数
58. 复数的除法运算:
,。

59. 复数的模:
60. 复数之间不能进行大小比较
61. 设一元三次方程()的三个根分别是,则有:
⑴ ,,
⑵ 令



九、 极限与级数
62. 柯西收敛准则:数列
得当时,有
,其中,
时,方程有一个实根,一对共轭复根;
时,方程有三个实根,其中有一个二重根;
时,方程有三个不等实根。
收敛的充分必要条件是:对于任意

,存在整数,使
63. 极限的定义:

:对于任意,存在正数,当时,有
64. 当时,有,,则有,



65. 函数极限的计算:
⑴ ()其中各函数极限均存在
⑵ 洛必达法则:若函数和满足下列条件:


② 在点
,其


的某去心邻域内两者均可导,且

则有
66. 拉格朗日中值定 理:如果函数
么在开区间内至少有一点(
满足在闭区间
)使等式

上连续;在开区间内可导;那
成立。
67. 正项级数敛散性判断:
⑴ 比较判别法:大收敛推出小收敛,小发散推出大发散
⑵ 比值与根值判别法:
若;



⑶ 与级数比较:设,当时收敛,当时
发散。
68. 交错级数的敛散性(莱布尼茨判别法):设交错级数满足,



余项。
,则收敛,且其和,
69. 幂级数收敛半径及收敛域:
设幂级数,则有
⑴ 若
⑵ 判断
⑶ 若该级数在
,则其收敛半径为
在处的敛散性;

处收敛,则其收敛域为
处收敛,则其收敛域为
处都收敛,则其收敛域为< br>;若该级数在
;若该级数在

十、 矩阵、线性空间与线性变换
70. 矩阵的转置:
⑴ 对于

⑵ 若

阶实矩阵,若满足

,则称

的转置;
为对 称矩阵;若阶方阵满
(为单位矩阵),则矩
称为正交矩阵,其中
阶方阵满足
, 则称为反对称矩阵,反对称矩阵对角线上的元素必为0;
⑶ 转置的运算规律:
71. 齐次线性方程组的解空间的维数=方程组系数矩阵的列数-系数矩阵的秩
72. 特征值和特征向量:
⑴ 给定矩阵
为矩阵
,若存在一个非零向量
的特征值,为矩阵
和实数 ,满足,则称
的特征向量。 的属于特征值
⑵ 任意矩阵所有特征值的和等于该矩阵对角线元素之和;所有特征值的乘积等于该矩
阵的行列式的值。
⑶ 若同阶矩阵和的特征值相同,则有等价于。
73. 非异矩阵:若阶矩阵的行列式不为零,即,则称为非奇异矩阵或满秩矩阵,


否则称为奇异矩阵或降秩矩阵。
74. 相似、合同:
⑴ 相似:非异矩阵,使得,则有相似于。
⑵ 相似的判断:相同的特征值、迹(自左上到右下的主对角线的和)、行列式的值相同
⑶ 合同:非异矩阵,使得,则有与合同。
⑷ 合同的判断:正、负特征值的个数相等
75. 线性空间:
⑴ 柯西布涅科夫斯基不等式:设
,当且仅当
⑵ 本身与都是

是欧式空间,、,则
线性相关时,等号才成立
的平凡子空间,而的其他的子空间,称之为
子空间称为非平凡子空间。
⑶ 设与是线性空间的两个子空间,则

76. 施密特正交化法:


维欧式空间

的任一组基,





即为

的一组标准正交基。

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