国际部高中数学课程简介

国际部高中数学课程简介
函数和导数
一、函数的性质
1．定义域（自然定义域、分段函数的定义域、应用题中的定义域等）；
2．值域（求值域：分析法、图象法、单调性法、基本不等式法、换元法、判别式
法等）；
3．奇偶性（在整个定义域内考虑），判断方法：
Ⅰ.定义法——步骤：求出定义域并判断定义域是否关于原点对称；求
f(?x)
；
比较
f(?x)与f(x)
或
f(?x)与?f(x)
的关系；
Ⅱ.图象法；
4．单调性（在定义域的某一个子集内考虑），证明函数单调性的方法：
（1）定义法 步骤①：设
x
1
,x
2
?A且x
1
?x
2
；②作差
f(x
1
)?f(x
2
)
（一般结果要
分解为若干个因式的乘积，且每一个因式的正或负号能清楚地判断出）；③判断 正负号。
（2）导数法 若
f(x)
在某个区间A内有导数，则
f
'
(x)?0

?
x?A
?

?
f(x)
在A内为增函数；
f
'
(x)?0

?
x?A
?

?
f(x)
在A内为
减函数.
（3）求单调区间的方法： a.定义法： b.导数法： c.图象法：
二、函数的图象
基本函数的图象：（ 1）一次函数、（2）二次函数、（3）反比例函数、（4）指数
函数、（5）对数函数、（6）三角函 数.
三、指数函数与对数函数
?log
a
N?b
1．指数式与 对数式：
a?N??????
对数的三个性质：①
N?0
；②
log
a
1?0
；③
log
a
a?1

对数恒 等式：①
a
log
a
N
b
a?0,a?1,b?R,N?0
?N
；②
log
a
N?
log
m
N
n
；③
log
a
m
M
n
?log
aM

log
m
a
m
n
对数运算性质：①
log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N
； ②
log
a
M?nlog
a
M
；

③
log
a
M
?log
a
M?log
a
N
.
(a?0.a?1,M?0,N?0)

N
指数运算性质：①a
r
a
s
?a
r?s
②
(a
r
)
s
?a
rs
③
?ab
?
r
?a
r
b
r
?
a?0,b? 0,r,s?Q
?

2．指数函数与对数函数
特征图象与性质归纳（列表）

指数函数y=a
x
(a>0,a≠1)
特征 01
图象

y

y
定义域 （－∞，+∞）
1 1
0
值域 （0，+∞）
0 x

单调性 减函数 增函数
定点 （0，1）
函数值 x<0时，y>1； x<0时，
分布 x>0时，00
时，y>1
四、导数：
1．几种常见函数的导数
(1)
C
?
?0
（C为常数） (2)
(x
n
)
'
?nx
n?1
(n?Q)
(3)
(sinx)
?
?cosx
(4)
(cosx)
?
??sinx
(5)
(lnx)
?
?
(a
x
)
?
?a
x
lna

对数函数y=log
a
x (a>0,a≠1)
01

y

y
（0，+∞）
x
（－∞，+∞）
0 x 0
1
x
1
减函数 增函数
（1，0）
0y>0； y<0；
x>1时，y<0 x>1时，y>0
11
e
（6）
(loga
x
)
?
?log
a
(7)
(e
x
)
?
?e
x
（8）
xx
2．导数的运算法则
u
'
u
'
v?uv
'
(v?0)
. （1）
(u?v)?u?v
（2）
(uv)?uv?uv
（3）()?
vv
2
''''''
3．单调区间的求解过程：已知
y? f(x)

①分析
y?f(x)
的定义域；
②求导数
y
?
?f
?
(x)
；
③解不等式
f?
(x)?0
，解集在定义域内的部分为增区间；解不等式
f
?
(x)?0
，解
集在定义域内的部分为减区间。
三角函数

一、三角函数的基本概念
1．终边相同的角的表示方法（终边在
x< br>轴上；终边在
y
轴上；终边在直线
y?x
上；终边在第一象限等），理 解弧度的意义，并能正确进行弧度和角度的换算；
2．任意角的三角函数的定义（三个三角函数）、三 角函数的符号规律、特殊角的
三角函数值、同角三角函数的关系式（三个：平方关系、商数关系、倒数关 系）
．．．．．．．．．．
1
sin
?
2
sin
?
?cos
?
?1
，
tan
?
=，
1?t an
?
?
诱导公式（奇变偶不变，符号看象
cos
?
cos
2
?
．．
限：
22
二、两角和与差的三角函数
1．和（差）角公式
（1）
sin(
?
?
?
)
= ；（2）
sin(
?
?
?
)
= .
（3）
cos(
?
?
?
)
= ；（4）
cos(
?
?
?
)
= .
（5）
tan(
?
?
?
)
= ；（6）
tan(
?
?
?
)
= .
2．二倍角公式：（1）
sin2
?
= ；
（2）
cos2
?
= = = ；
（3）
tan2
?
= .
三、三角函数的图象与性质
1．列表综合三个三角函数
y?sinx
，
y?cosx
，
y?tanx
的图象与性质，并挖
掘：
（1）最值的情况；
（2）三函数的周期公式：

函数
y ?Asin(
?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?Acos(< br>?
x?
?
)
，x∈R(A,ω,
?
为常数，且A≠< br>0，ω＞0)的周期
T?
2
?
?
；若ω未说明大于0,则T?
2
?
；函数
y?tan(
?
x?
?
)
，
|
?
|
x?k
?
?
?
2< br>,k?Z
(A,ω,
?
为常数，且A≠0，ω＞0)的周期
T?
?
.
?
（3）会从图象归纳单调性、对称轴和对称中心；
??
??
y?sinx
的单调递增区间为
?
2k
?
?,2k?
?
?
k?Z
单调递减区间为
22
??
?< br>3
?
?
?
?
2k
?
?,2k
??k?Z
，对称轴为
x?k
?
?(k?Z)
,对称中心为
?
k
?
,0
?
(k?Z)

??
22< br>?
2
?
y?cosx
的单调递增区间为
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
k?Z
单调递减区间为
?
2k
?
,2k
?
?
?
?
k?Z
，
?
??
对称轴为
x?k
?
(k?Z)
,对称 中心为
?
k
?
?,0
?
(k?Z)

2< br>??
??
?
k
?
y?tanx
的单调递增区间为?
k
?
?,k
?
?
?
k?Z
，对称中 心为
(
?
,0)(k?Z)

22
?
2
?
2．了解正弦、余弦、正切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数
和函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的简图，并能由图象写出解析式．