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为什么“函数思想”是高中数学课程的主线之一?

作者:高考题库网
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2020-09-21 02:16
tags:高中数学课

高中数学必修二课后习题-高中数学提分靠什么区别

2020年9月21日发(作者:柯有安)


为什么“函数思想”是高中数学课程的主线之一?

首都师范大学 王尚志
为什么把必修1作为其它必修课程的基础?最主要的原因是突出函数的作用和意义。
20世纪 初,在英国数学家贝利和德国数学家克莱因等人的大力倡导和推动下,函数进入了
中学数学。克莱因提出 了一个重要的思想——以函数概念和思想统一数学教育的内容,他认为:
“函数概念,应该成为数学教育 的灵魂。以函数概念为中心,将全部数学教材集中在他周围,
进行充分地综合。”
函数思想是 贯穿整个高中数学课程始终的重要思想之一。为了更好的理解高中数学课程,
需要弄清中、小学数学课程 中函数思想的发展脉络。
(1)在义务教育阶段,特别是在小学时期,数、量、图、数据(一批数)是 引导儿童进入
数学的源泉。在开始阶段,数和量常常是交织在一起,通常我们总说数量,数是用来刻画量 的
大小的一种工具,对于学生来说,我们更需要强调它们之间的联系。以重量、时间、长度、面
积、路程等量为背景,对我们理解数的概念、数的表示、数的运算等是十分重要的。
在日常生活中,有 两种量——常量和变量。在义务教育阶段,首先,帮助学生理解常量,
或者理解数量,理解数量的大小, 理解数量的加、减、乘、除,等等。
有些量是已知的,有一些是未知的,渗透未知量的概念,这是对量 认识的一个飞跃,在小
学阶段,经历了一个很长的过程。例如,在引入减法时,我们常常会使用这样的例 子,5加多少
等于9,即5+?=9。现在,在小学5、6年级,初步地形成方程的概念,这是对量认识 飞跃的一
个标志,对方程的认识也是一个很长的过程,把对方程的认识纳入到函数体系,这是克莱因思< br>想的组成部分,是非常重要的。在近代数学中,用算子理论认识微分方程,这两者本质上是一
样的 。
从常量到变量,这是认识函数思想的另一个飞跃。这件事在小学就开始做了。通过大量的
事 实,帮助学生了解在日常生活中存在各种变量,例如,时间,路程、速度、加速度、温度、
湿度等等。有 些变量和变量之间没有依赖关系,例如,速度和湿度就没有依赖关系。有些变量
和变量之间存在着依赖关 系,一个量的变化引起另一个量的变化。例如,在物理中刻画物体运
动时,路程随着时间的变化而变化, 又如,世界人口数量是随着时间的变化而变化的。这些变
量之间都有着密切的依赖关系。这样的例子比比 皆是。


通过大量的实例,就建立起了反映变量之间相互依赖关系的概念——函数关系。 虽然这样
的描述并不是十分严格,但是这是认识函数关系的重要视角。有人认为这是对函数的初步认识,
这种说法不完全,变量与变量的依赖关系,从一个方面,揭示了函数的本质。函数是一个变量
与 另一个变量之间的一座桥,学习了映射,会对“桥”有更深入的理解。
(2)在高中阶段,学习的知识 更加丰富了。我们利用更丰富的实例引导学生认识到,函数
是刻画日常生活和其他学科规律的重要数学模 型。在高中数学中,函数模型应该占有很重要的
地位。我们在任何一个生活情景中,例如,邮局、加油站 、机场等等,都会发现许多描述规律
的函数关系。在其他学科,如物理、化学、生物、地理、社会、经济 等学科中,描述规律的函
数关系比比皆是。参看以下实例。
例如,人们早就发现了放射性物质 的衰减(衰变)现象.在考古工作中,常用碳14(
14
C

的含量来确定有 机物的年代.已知放射性物质的衰减服从指数规律:
C
(
t
)=
C
0
e
?
rt


其中
t
表示衰减 的时间
,C
0
表示放射性物质的原始质量,
C
(
t
)表示经衰减了
t
(年)后尚存的质
量,
e
是一个无理数常数,约等 于2.72.
为计算衰减的年代,通常给出该物质质量衰减一半的时间,称其为该物质的半衰期,碳
14
C
的半衰期大约是5730年,由此可确定系数
r
.人们又知道 ,放射性
衰减速度是与其质量成正比的.
1950年在巴比伦发现一根刻有Hamm urbi王朝字样的木炭,当
其碳
14
C分子的衰减速度为4.09个每克每分钟,而 新砍伐烧成的
碳C的衰减速度为6.68个每克每分钟.我们可以估算出Hammurbi
在年 代.
事实上,因为碳
14
C的半衰期是5730年.所以建立方程
1

e
-5730
r

2
14
物质的
时测定,
木炭中
王朝所
解得
r
=0.000121,由此可知碳
14
C
的衰减规律服从指数型函数 < br>C
(
t
)=
C
0
e
-0.000121t

设发现Hammurbi王朝木炭的时间(1950年)为Hammurbi王朝时 期后的
t
0
年.因为放射性
物质的衰减速度是与其质量成正比的,所以
C(t
0
)
4.09
?

C
0
6.68


t
0
于是
e
?0.000121
?
4.09

6.68
两边取常用对数,得 -0.000121
t
0
=ln4.09-ln6.68 .

t
0
=4054 (年).即Hammurbi王朝大约存在于公元前2100年.
(3)在此基础上,进一步抽象概括 出函数的严格数学定义。函数关系像一座桥梁把两个变
量联系起来,形象的说,在直角坐标系中,函数图 像就像一座桥梁把变量x和y联系起来了。
(4)知道了函数的定义之后,再去研究它的性质。 我们先让学生认识一些具体函数的模型,例如,分段函数,简单的幂函数、指数函数与
对数函数、三 角函数。结合这些函数,我们引入了刻画函数变化的单调性、周期性、奇偶性等
基本的性质。
单调性是中学阶段函数最基本的性质之一。一旦我们弄清了一个函数的单调性,就能刻画
出这个函数图形 的基本形状,以及这个函数变化的基本状况。例如,简单的幂函数y=x
3
,当我
们知 道它在整个实数范围内是单调递增的,那么就可以刻画出函数y=x
3
的图形的基本形状以及< br>它的变化。
周期性也是中学阶段函数的一个最基本的性质。我们生活在一个周期变化的世界里。 因此,
学会用周期的观点来看待周围事物的变化是非常重要的。周期函数,比如,正余弦函数、正余切函数都是刻画周期变化的函数模型。用周期的观点来研究函数,可以使我们集中研究函数在
一个周 期里的变化,在此基础上,就可以了解函数在整个定义域内的变化情况。
奇偶性也是我们在中学阶段要 研究的函数的性质,但是它不是最基本的性质。奇偶性反应
的是函数图形的对称性质,可以帮助我们更加 准确和集中地研究函数的变化规律。
(5)在高中数学课程中,通过函数的学习逐步形成了映射的思想 和映射的定义,函数是两
个实数集合之间的一种对应关系,而映射是两个集合之间的一种对应关系。映射 能够帮助我们
更好的理解两类物体之间的“桥梁关系”。映射的思想和函数的思想在本质上是一样的,只 是它
们连接的两类对象不同。在运用函数(映射)的思想解决问
中,会不断加深对于函数桥梁作 用的理解。
(6)函数的思想在其他部分数学内容的学习中发挥着重
当我们用函数的观点来看 待方程的时候,由函数y=f(x)
方程是y=f(x)=0,求方程的解就变成了思考函数图形与x轴
系,变成了考虑函数的局部性质。能否运用函数整体的性质
?4 0 4 x
?6


B

6
C
A
y
14
题的过程
要作用。
所决定的
的相交关
去讨论方


程的求解问题呢?在高中课程中我们介绍了二分法求解方程。这种二分法解方 程体现了这样一
种思想:用函数的整体性质讨论函数的局部性质。具体来说,在[a,b]上,给定一个 连续函数,
若f(a)与f(b)的符号不相同,那么函数图像会从(a, f(a))点出发穿过x轴到达(b, f(b))
点。这样的性质就能帮助我们运用二分法近似的求出方程的解。
例如,判断方程
x
2
?
x
?6=0的根的存在性。
我们可以考察函数
f
(
x
)=
x
2
?
x
?6,其图象为抛物线,如图。
容易看出,
f
(0)

= ?6<0,
f
(4)

= 6>0,
f
(?4)

=14>0,
由于函数
f
(
x
)的图象是连续曲线,因此 点
B
(0, ?6)与点
C
(4, 6)之间的那部分曲线必然穿

x
轴,即在区间(0, 4)内必有一点
x< br>1
,使
f
(
x
1
)=0;同样,在区间(?4, 0 )内也必有一点
x
2

使
f
(
x
2
)=0。所以,方程
x
2
?
x
?6=0有两个实根。我们可以用学 过的解方程的方法来验证这个结
论。
用函数的观点来讨论不等式的问题会有很大的“好处” 。不等式是高中必修课程中一个重
要的内容,例如,一元二次不等式,简单的线性规划问题,用函数的观 点看待这些问题,有助
于更好的理解这些知识本身。
在高中课程中,函数与数列、函数与导数 及其应用、函数与算法、函数与概率中的随机变
量、函数与选修3、4中的大部分专题内容都有着密切的 联系。用函数(映射)的思想去理解这
些内容,是非常重要的一个出发点。反过来,通过这些内容的学习 ,更加深了对于函数思想的
认识。
(7)在大学的数学中,函数(映射)的思想依然发挥着重 要的作用。例如,数学系的课程
中,数学分析、实变函数、复变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分 析等等。这些学科都
是从不同角度研究函数所构成的课程。值得一提的是,在对其他课程的学习中,函数 (映射)
思想仍然起到了重要的作用,例如,群结构中的同态、同构;度量结构中的保距;拓扑结构中< br>的连续、同胚;序结构中的保序、同构;等等。这些都是极其重要的映射。
综上所述,函数思想 是高中数学课程的一条主线,从一个角度链接起了高中数学课程的许
多内容。有了这条主线就可以把数学 的知识编织在一起,这样可以使我们对知识的掌握更牢固
一些。
我们学习数学是“线性序”, 但数学本身不是“线性的”。我们可以从一个知识出发,推出
后面的知识,同样我们也可以从另一个知识 出发,按照一定的顺序推出来。如果我们对这个网
有了深刻的认识,可以从不同的角度从局部到整体,再 从整体到局部,把所学的知识有机地联


系起来。
为了在高中数学课程中贯穿这一主线,在教学时,应把握以下几点。
(1)对函数的研究一定 不能停留在抽象的讨论。教师应该帮助学生在头脑中建立起几个重
要的模型,并把这些留在头脑中。 < br>学生应该在头脑中留下几个具体的实际模型,比如,分段函数,以及基本的函数模型,比
如,简单 的幂函数、指数函数与对数函数、三角函数。结合这些函数,不断地加深对于函数的
定义、性质以及函数 研究方法的理解。再通过这些模型,理解函数与其他数学知识之间的联系,
例如,指数函数的性质:a< br> α+β
=a
α
?a
β
。不严格地说,它把定义域中的加法 运算变成了函数值的
乘积运算。所以当a>1时,指数函数增长得很快的原因就在于此。
(2 )函数的教学一定要突出函数图形的地位。不管是用解析式、图表法还是图像法去刻画
一个具体函数时, 我们都要让学生在脑子里形成一个图形。只有把握住图形才能把握住一个函
数的整体情况,这样的学习习 惯有助于提高运用几何思想、把握图形的能力。所以,我们常常
说学习函数要体现数形结合。
(3)函数是刻画客观世界的一个基本数学模型。因此,对于函数的学习,应该与体会、感
受和运用函数 解决问题有机的结合起来。应该引导学生去思考函数的应用问题,特别是思考函
数在日常生活和其他学科 的应用。可以在教学中渗透数学建模的思想。
例如,心电图就是一种时间和心跳频率的函数关系。

例如,股市行情图也是反映了一种函数关系。




(4)在 学习与函数知识有关内容时,理解函数思想。实际上,在整个高中数学课程中,都
需要不断地体会、理解 “函数思想”给我们带来的“好处”。

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