高中数学新课程中函数的教学建议

高中数学新课标中函数的教学建议
黄传军
（赣南教育学院数学系 江西赣州 341000）
(E-mail:hcj73jx@ )

摘要： 本文根据函数在高中数学新课标中的课程安排及地位，对其教学提出了几点建议：
应从整体上把握函数的 内容与要求,不断加深学生对函数思想的理解；应从不同的层面去认
识函数，引导学生全面理解函数的本 质；应重视函数模型的作用；应揭示函数与其他内容的
内在联系，强化函数思想的认识；应抓住函数本质 ，突出重点,淡化细枝末节的内容和单纯
技能技巧的训练。

关键词：高中数学新课标，函数，教学



我国普通高中数学课程标准中,函数作为贯穿整个高中数学课程的一条主线, 函数思想
贯穿整个高中数学内容,在各知识中蕴涵着深刻的内涵, 是解决数学问题的基本思想方法之< br>一。高中数学新课程中分层设置了函数概念、具体函数模型、函数应用、研究函数的方法四
方面的 内容。在必修数学中设置了函数概念, 指数函数、对数函数、简单幂函数、三角函数、
分段函数、数列等具体函数模型及其应用, 研究函数的 初等方法等内容。选修数学中设置了
研究函数的分析方法导数等内容。函数的应用以及函数的思想方法贯 穿于相关数学内容之
中。例如必修数学中运用函数思想方法处理方程、不等式、线性规划、数列、算法等 问题，
选修数学中运用函数解决优化问题, 刻画随机变量及其分布问题，矩阵与变换中的线性变
换、优选法与试验设计中的目标函数、风险与决策中的损益函数、开关电路与布尔代数中的
电路函数等 等。这种教材设置充分体现了函数的重要地位以至于它能统领整个高中数学，因
而函数的教学在整个数学 教学中就显得尤其重要。下面结合自己多年的教学实践就高中数学
新课程中函数的教学提出几点建议。
首先是应该从整体上把握函数的内容与要求,在与函数有关的内容的教学进程中不断加
深学生对 函数思想的理解。函数是学生在数学学习过程中第一次遇到的最具有一般意义的抽
象概念,在这个概念下 可以派生出许多不同层次的具体函数。学生对于这种多层次的抽象概
念的理解是需要时间和经验积累的, 需要多次接触、反复体会、螺旋上升, 逐步理解, 才能
真正掌握, 灵活运用。因此, 函数教学应整体设计, 分步实施。教师应整体规划整个高中阶
段函数的教学, 对函数教学有一个整体的全面的设计,明确不同时段、不同内容中学生对函

数理解应达到的程度,在与函数有关的内容的教学进程中, 通过运用函数不断加深学生对函
数思想的理解。例如, 函数概念虽然安排在必修数学中, 但是, 学生对函数概念的理解不是
在函数那一章的学习中就能完成的， 需要在必修数学中研究具体函数模型和 运用函数观点
分析处理诸如方程、不等式、线性规划、算法等问题, 在选修数学中运用导数研究函数，运
用函数解决优化问题, 刻画随机变量及其分布等问题的学习过程中逐步完成的。
其次是要关注认识函数的三个层面, 引导学生全面理解函数的本质。高中数学新课程中,
对于函数是从三个层面来认识的。第一, 函数是刻画变量与变量之间依赖关系的模型, 即变
量说。在现实生活和其他学科中,存在着大量的变量和变量之间的依赖关系。例如邮局收取
邮资时, 邮资变量随着邮件的重量变量的变化而变化；在物理学中刻画物体运动时, 路程变
量随着时间变量的变 化而变化等等。这种变量之间的依赖关系具有一个突出的特征，即当一
个变量取定一个值时,依赖于这个 变量的另一个变量有唯一确定的值。这种依赖关系就是函
数。基于这种认识, 就可以用函数来表示和刻画自然规律,这是我们认识现实世界的重要视
角, 也是数学联系实际的基础。第二, 函数是连接两类对象的桥梁, 即映射说。对函数的这
种认识反映了 数学中的一种基本思想,在数学的后续学习中具有基础作用。数学中的许多重
要概念都是这种认识的推广 和拓展。例如, 代数学中的同构、同态是构架两个代数结构的桥
梁, 拓扑学中的同胚也是构架两个拓扑结构的桥梁, 等等都是映射的特例。第三, 函数是
“ 图形” ,即关系说。函数关系是平面上点的集合,因而可以看做平面上的一个“ 图形” 。
在很多情况下, 函数是满足一定条件的曲线。因此,从某种意义上说, 研究函数就是研究曲
线的变化、曲线的性质。基 于这种认识,函数可以看做数形结合的载体之一。实际上, 解析
几何、向量几何、函数是高中数学课程 中数形结合的三个主要载体。在以往的数学课程中,
初中阶段是从第一个层面认识函数, 高中阶段是从第二个层面认识函数的，这样容易形成一
种误解, 似乎映射说比变量说更高级、更严格。实际上, 变量说、映射说、关系说是认识函
数的三个角度, 面 对不同问题需要从不同的角度理解函数。这三个角度对于理解函数的本质
都具有重要作用。因此,在教学 中要引导学生从三个角度认识函数。特别是在讨论函数问题
时, 要帮助学生养成画函数图形、用函数图形思考问题的习惯。树立“ 图形意识” 是掌握
函数性质、学好函数的关键。
第三是要充分重视函数模型的作用, 帮助学生在头脑中“ 留住” 一批函数模型。了解
函数的形式定义, 仅仅是理解函数的一部分。理解函数的一个重要方法, 就是在头脑中“ 留
住” 一批具体函数的模型。那些优秀的数学学习者, 对于每一个抽象的数学概念, 在他们
的头脑中都会有一批具体的“ 模型” 。这是很好的数学学习的习惯。高中数学课程中有许

多基本函数模型, 高中 数学教学的重要任务之一就是把这些基本函数模型留在学生头脑中，
这些模型是理解函数和解决其他函数 问题的基础。在教学中, 对于上述基本函数模型应有一
个全面的设计, 要帮助学生在头脑中留下三方面的东西。第一, 背景, 即要熟悉这些函数模
型的实际背景, 从实际背景的角度把握函数。第二, 图像, 即从几何直观的角度把握函数。
第三, 基本变化, 即从代数的角度把握函数的变化情况。只有在学生头脑中“ 留住” 这样
一批具体的函数模型, 才能逐步实现对函数本质的理解, 并灵活运用函数思考和解决问题。
第四，应揭示函数与其他内容的内在联系, 强化学生对函数思想的认识。函数作为高中
数学的一条主线, 贯穿于整个高中数学课程中。在方程、不 等式、线性规划、算法、随机变
量等内容中都突出地体现了函数思想。下面具体谈谈方程、不等式中函数 思想的运用。
用函数的观点看待方程, 可以把方程的根看成函数图像与
x
轴交点的横坐标, 解方程
f(x)?0
就 是求函数
y?f(x)
的零点的横坐标,从而，解方程问题可以归结为研究函数局
部性 质的问题, 也就是研究函数图像与
x
轴的交点问题。这样。如果一个函数在闭区间
[ a,b]
上连续, 且端点函数值异号, 即
f(a)f(b)?0
，那么就可以运用 二分法求方程的近似解。
还可以用切线法（函数
y?f(x)
在闭区间有一阶导数）、 割线法（函数
y?f(x)
在闭区间
有二阶导数）等求方程的近似解。解方程的视野就 开阔了, 微积分的作用也就体现出来了。
不要再像以往那样, 解方程的思路只局限在用恒等变形,大量时间和精力主要花在恒等变形
上。
在坐标系中, 函 数
y?f(x)
的图像把横坐标轴分成若干区域。一部分是函数值等于0
的区域,也就 是
{x|y?f(x)?0}
；另一部分是函数值大于0的区域即
{x|y?f(x) ?0}
；
再一部分是函数值小于0的区域即
{x|y?f(x)?0}
.用函 数的观点看，解不等式就是确定
使函数
y?f(x)
的图像在
x
轴上 方或下方的
x
的区域。这样, 就可以先确定函数图像与
x
轴的交点（方程
f(x)?0
的解）, 再根据函 数的图像来求解不等式。从而,解不等式问题也
归结为研究函数局部性质的问题。特别地，不等式的证明 是高中数学的一个难点,一些不等
式的证明往往需要很高的技巧或是感觉无从下手，但若运用函数的思想 观点则往往会迎刃而
解，同时这也有利于我们创造性思维的培养，下面举两个实例说明之：
例 1 设
a,b,c?R
，证明：
a?ac?c?3b(a?b?c)?0

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分析：此题的常规思路是配方法，但由于此题取等号的条件不易 发现，要把左边配成完
全平方和的形式实属不易。但若换一种思路，利用函数思想把左边看成关于其中一 个变元的
函数，则问题转化为该二次函数的值域非负，因而只须证其判别式值非正从而有如下证法。
证明：令
f(a)?a
2
?(3b?c)a?3b
2
?3 bc?c
2
这是关于
a
的二次函数

???(3b?c)
2
?4(3b
2
?3bc?c
2
)< br>

??3(b?c)
2


?0

故
f(a)?0
即
a
2
?ac?c
2
?3b(a?b?c)?0

例 2 若
|a|?1,|b|?1,|c|?1
，求证：
ab?bc?ca??1

2
证明：若
b?c?0
则
ab?bc?ca??b
结论显然成立；
若
b?c?0
，引入辅助函数
f(x)?(b?c)x?bc?1
为一次函数
由
f(1)?(b?1)(c?1)?0
，
f(?1)?(1?b)(1?c )?0

知
f(x)
在
(?1,1)
上恒有
f(x )?0
，而
a?(?1,1)
故有
f(a)?0
即
ab?bc?ca??1

总之, 在高中数学课程中, 方程、不等式、线性规划、算法、导数、随机变量以及大部
分专题的内容, 都与函数有着密切的联系。用函数的思想理解这些内容,是非常重要的一个
出发点。反过来, 通过这些内容的学习, 可加深对函数思想的认识。因此，在教学中,我们
教师应特别注意揭示函数与这 些内容的内在联系,引导学生在整个高中数学课程的学习中不
断体会、理解函数思想带来的“好处” 。
第五，要抓住数学本质, 突出重点, 淡化细枝末节的内容和单纯技能技巧的训练。高中
数学 新课程在内容处理上突出了函数、几何、运算、算法等主线, 对“ 双基” 赋予了新的
内涵。以函数为主线展开内容时, 函数的知识、函数的思想以及研究函数的微积分思想就成
为基础, 而方程、不等式等则作为研究函数的特例, 解方程和不等式所需要的分解因式的技
能技巧则予以淡化。在函数概念的学习中, 判断、确定一个函数和描述一个函数是重要的。
在中学阶段, 一些基本函数解析表达式的定义域并不复杂, 例如, 指数函数、对数函数、三
角函数、简单幂函数（ 包括线性函数、一元二次函数等）、简单的分段函数等等, 它们的定
义域都是十分明显的。在以往的教学中, 常常把讨论函数解析式的定义域问题作为研究函数

的主要问题, 函数定义域问题本质上是讨论解析式有意义的范围,绝大多数都是人为制造的,
没有实际意义, 对于理解函数没有多大意义。在高中数学新课程教学中, 应该把主要力放在
理解函数的图像、性质和变 化规律上,应淡化求函数定义域与值域的训练。高中数学新课程
中, 对函数性质的研究主要是单调性。单调性反映了函数的变化, 决定了函数图形的走势,
是函数最基本的性质。在高中数学新课程中, 对于函数单调性的研究分两个阶段。在必修数
学中,是运用不等关系来研究函数的单调性的, 在选修数学中,是运用导数来研究函数单调
性的。单调性与不等式联系密切, 单调性的形式化定义是借 助于不等式给出的。反之,具体
函数的单调性反映了一些不等关系。必修数学中, 对于单调性的证明仅 限于一些简单函数,
如
y?ax?b,y?ax
2
?bx?c,y?x
3
,y?x
?1
,y?x
等。另外, 根据函数在一个区间内的
导数的符号可以判断函数的单调性,反之, 也可以用单调性判断导数的符号。这些结论的证
明要用到拉格朗日中值定理, 在高中是不要求的。除了 单调性，周期性也是中学阶段学习的
函数的一个基本性质。用周期的观点来研究周期函数,可以使我们通 过集中研究函数在一个
周期里的变化来把握函数在整个定义域内的变化情况。在高中数学课程中不讨论一 般函数的
周期性, 只讨论具体三角函数如正弦、余弦、正切函数的周期性。奇偶性也是中学阶段学习
的函数的性质, 但它不是最基本的性质。奇偶性反映了函数图形的对称性质, 奇偶性反映图
形的对称与坐标系的选择有 关。在高中数学课程中,对于一般函数的奇偶性,不做深人讨论,
只讨论基本的具体函数如,
y?x,y?x,y?x
的奇偶性，这也就要求我们在平时的教
学中对这方面的内容应把握合适的度。
以上是作者对函 数教学的几点浅见，函数教学特别是把构建函数模型解决数学问题引
入课堂，是当前教改的强音，还需要 我们在平时的教学中不断总结改进。


参考文献：
[1] 李强。高中新教材中函数概念教学思考。数学通报，2007，46（5）
[2] 许少华，杨帆。函数思想的具体应用。山西教育，2008，4
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