重庆高中数学必修五 第二章《等差数列》全套教案

“等差数列”教案设计

一、教学内容分析

等差数列是《普通高中课程标准实验教科书?数学5》（人教版）第二章数
列第二节等差数列第一课时。
数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承
前启后的作用。一方面, 数列 作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方
面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准 备。而等差数列是在学生
学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础< br>上，对数列的知识进一步深入和拓广。
二、教学目标

1、通过本节课的学习使学生理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一
个数列是否为等差数列。 < br>2、引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数列的
公差及通项公式，能在 解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能
运用；并在此过程中培养学生观察、分析、归纳 、推理的能力。
3、在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，
培 养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问
题的能力。
三、教学重难点
重点：
①等差数列的概念。
②等差数列的通项公式的推导过程及应用。
难点：
①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。
②理解等差数列是一种函数模型。
四、学习者分析
普通高中学生经过一年的高中的学习生活，已经慢慢习惯的高中的学习氛

围，大部分学生知识经验已较为丰富，且对数列的知识有了初步的接触和认识，
已经 熟悉由观察到抽象的数学活动过程，对函数、方程思想体会逐渐深刻，应用
数学公式的能力逐渐加强。他 们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的
抽象思维能力和演绎推理能力。但也有一部分学生的基 础较弱，学习数学的兴趣
还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研
究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。
五、教学策略选择与设计
结合本节课的特点，我设计了从教法、学法两种方法对等差数列的通 项公
式进行推导，让学生更好的理解。通过引入实例来启发学生，挺高学生的学习兴
趣，是学生 更加形象、愉快的去学习这堂课。下面是我教学设计：
1．教法

⑴诱导思维 法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重
点，突破难点；有利于调动学生的主动性和 积极性，发挥其创造性。
⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学
生的积极性。

⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。
2．学法
引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水
位问题、储蓄问题）概括出数 组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列
概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种 能力的同学引导认识多元
的推导思维方法。
六、教学资源与工具设计
（一）学习环境：多媒体教室
（二）用到的资源：
1 查找有关等差数列的实例
2 写出上课要提到的问题
3 制作相关PPT课件
七、教学过程

教学环境 教学内容与
教师活动
学生活动 设计意图或依
据






课堂引入，引向课
题
情
境
导
入


在南北朝时期《张邱建算经》

中，有一道题今有十等人，每

等一人，宫赐金以等次差降之，

上三人先入，得金 四斤，持出，

下四人后入得金三斤，持出，

中间三人未到者，亦依等次更

给，问各得金几何，及未到三

人复应得金几何。 这个问题

该怎样解决呢？

由学生观察分析并得出答案：

在现实生 活中，我们经常这样
倾听和观察分析，发表各
数数，从0开始，每隔5数一
自的意见。
次，可以得到数列：0，5，
___,___,___,___,?
水库的管理人员为了保
证优质鱼 类有良好的生活环
境，用定期放水清理水库的杂
鱼。如果一个水库的水位 为
18cm ，自然放水每天水位降
低2.5m，最低降至5m。那么
从开始放水算起，到可以进行
清理工作的那天，水库每天的
水位组成数列（单位：m）：
18，15.5，13，10.5， 8，5.5
思考：同学们观察一下
上面的这两个数列： 0，5，
10，15，20，?? ① 18，15.5，
13，10.5，8，5.5 ② 看这些
数列有什么共同特点呢？

探
索
与
归
纳




对于以上几组数列我们称
它们为等差数列。请同学们根
据我们刚才分析等差数列的特
征，尝试着给等差数列下个定
义：等差数列：一般地，如果
一个数列从第2项起，每一项
与它的前一项的差等于 同一个由学生归纳和概括出，以
常数，那么这个数列就叫做等上两个数列从第2项起，每一
差数 列。这个常数叫做等差数项与前一项的差都等于数
列的公差，公差通常用字母d（即：每个都具有相邻两 项
表示。那么对于以上两组等差差为同一个常数的特点）
数列，它们的公差依次是5，5，学生认真阅读课本相关概念，
-2.5。 找出关键字。由学 生回答：因
提问：如果在a与b中间插入为a，A，b组成了一个等差数
一个数A，使a，A， b成等差列，那么由定义可以知道：
数列数列，那么A应满足什么A-a=b-A所以就有
条件 ？
a
?
b
由三个数a，A，b组成的等差
A
?

2
数列可以看成最简单的等差数
列，这时，A叫做a与b
的等差中项。 < br>不难发现，在一个等差数列
中，从第2项起，每一项（有
穷数列的末项除外）都是它的< br>前一项与后一项的等差中项。
如数列：1，3，5，7，9，11,13
?中5是3 和7的等差中项，1
和9的等差中项。9是7和11
的等差中项，5和13的等差中
项 。看来，











通过学生自己
阅读课本，找出关键
字，提高学生的阅读
水平和思维概括能
力，学会抓重点。 让
学生参与到知识的
形成过程中，获得数
学学习的成就感。
引领学习更深入的
探究，提高学生的学
习水平。

a
2< br>?
a
4
,
a
1
?
a
5
,< br>a
4
?
a
6

从而可得到在一等差数列中，
若m+n=p+q则
a
m
?
a
n
?
a
p
?
a
q

等差数列的通项：根据等差数
列的定义进行归纳

探
索
与
归
纳





引导学生进行理性
分析与推导，从而得
出公式。

a
2?a
1
?d,a
3
?a
2
?d
……

运用的是不给出另一种严密的
方法—迭加法.
学生发现规律，并归纳
a< br>2
?a
1
?d,a
3
?a
2
?d
… …
a
n
?a
n?1
?d

上述各式左边相加等于右边相
加，得an- a1=（n-1）d
即an= a1+（n-1）d （n∈N）
当n=1时，上式也成立,上面公
式都要成立。


例、⑴求等差数列8，5，2，…
的通项公式和第20项. ⑵-401
是不是等差数列-5，-9，-13，…
的项？如果是，是第几项？
例题 评述：从该例题中可以看
出，等差数列的通项公式其实
是关
a
1
,a
n,
d,n
的方程；另外，
要懂得利用通项公式来判断所
给的数是不 是数列中的项，当
判断是第几项的项数时还应看
求出的项是否为正整数，如果
不是正整 数，那么它就不是数
列中的项。

学生分组讨论并让两个
学生代表分别对这两小题加
以分析。
解：⑴由 a
1
=8，d=5-8=-3，
n=20，得 a
20
=8+(20-1)×
(-3)=-49
⑵由 =-5，d=-9-（-5）=-4，
得这个数列的通项公式为




让学生参与课
堂,提高学生的分析
问题的能力.

应用
巩
固
a
n
?a
1
?（n-1）d?-4n- 1
由题意知，本题是要回答是否
存在正整数n,使得
-401=-4n-1成立。 解这个关
于n的方程，得n=100，即-401
是这个数列的第100项。

课
堂
小
结

本节主要内容为：
1：等差数列的定义：即
a
n
?a
n? 1
?d（n?2）

2：等差数列的通项公式


以学习小 组为单位，在学
习小组中，各自归纳自己对这
堂课的收获，然后有小组代表
总结归纳。



学生自己小结，
使学生对课堂知识
有更深刻的认识。


课
后
作
业

a
n
?a
1
?(n?1)d(n?1)
推导
公式
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d



课本12页“习题”A组
第9、10题








学生课后完成.

作业是课堂的延续，除了检验学生对
本节课知识的理解
程度，还在于引导学
生对本课知识的进一步探究，让学生在
更大的深度与广度
之间进行思考。



九、教学评价与设计
评价能促进学生的学习发展，本节课的主要评价有：
1、提出 问题，这节课你学到了什么？教师鼓励学生积极回答问题，答不
完整者有其他同学进行补充回答。以此调 动学生上课的积极性，培养学生
的口头表达能力，以及归纳概括能力。
2、写作评价，布置家庭作业，同学在课下能及时的复习上课学习的内容，
使知识得到巩固。
十、教学反思
1．本设计从生活中的数列模型导入，有助于发挥学生学习的主动性，增
强学生学习数列的兴趣．在探索的过程中，学生通过分析、观察，归纳出等差数
列定义，然后由定义导 出通项公式，强化了由具体到抽象，由特殊到一般的思维
过程，有助于提高学生分析问题和解决问题的能 力．
2．本课各环节的设计环环相扣、简洁明了、重点突出，引导分析细致、
到位、适度．如 ：判断某数列是否成等差数列，这是促进概念理解的好素材；此

外，用方程的思想指导等 差数列基本量的运算等等．学生在经历过程中，加深了
对概念的理解和巩固．
3．本节课教学 体现了课堂教学从“灌输式”到“引导发现式”的转变，以
教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以 相互补充展开教学，总结科学合理
的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率．
4．本人认为在概念教学中多花一些时间是值得的，因为只有理解掌握了概
念，才能更好地帮助学生运 用等差数列的知识，更好地帮助学生认识等差数列，
认识等差数列的思想和本质，进一步地发展学生的思 维，提高学生的解题能力．