2016教师资格证数学学科知识与教学能力高中数学

第一章 课程知识
1. 高中数学课程的地位和作用：
⑴ 高中数学课程是 义务教育后普通高级中学的一门主要课程，它包含了数学中最基本的内
容，是培养公民素质的基础课程。
⑵ 高中数学对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，提高提出问题、分析和解决
问题 的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。
⑶ 高中数学课程有助于学生认识数学的应用价值，增强应用意识。
⑷ 高中数学是学习高中物理、化学等其他课程的基础。
2. 高中数学课程的基本理念：
⑴ 高中数学课程的定位：面向全体学生；不是培养数学专门人才的基础课。
⑵ 高中数学增加了选择性（整个高中课程的基本理念）：为学生发展、培养自己的兴趣、
特长提供空间。
⑶ 让学生成为学习的主人：倡导自主学习、合作学习；帮助学生养成良好的学习习惯。
⑷ 提高学生数学应用意识：是数学科学发展的要求；是培养创新能力的需要；是培养学习
兴趣的需要；是培 养自信心的需要；数学应用的广泛性需要学生具有应用意识。
⑸ 强调培养学生的创新意识：强调发现和提出问题；强调归纳、演绎并重；强调数学探究、
数学建模。
⑹ 重视“双基”的发展（数学基础知识和基本能力）：理解基本的数学概念和结论的本质；
强 调概念、结论产生的背景；强调体会其中所蕴含的数学思想方法。
⑺ 强调数学的文化价值：数学是人类文化的重要组成部分；《新课标》强调了数学文化的
重要作用。
⑻ 全面地认识评价：学习结果和学习过程；学习的水平和情感态度的变化；终结性评价和
过程性评价。
3. 高中数学课程的目标：
⑴ 总目标：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步 提高作为未来公民所必要的
数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。
⑵ 三维目标：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观
⑶ 把“过程与方法”作为课程目标是本次课程改革最大的变化之一。
⑷ 五大基本能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据处理能
力
4. 高中数学课程的内容结构：
⑴ 必修课程（每模块2学分，36学时）：数学1（集合、函数）、数学 2（几何）、数学3（算
法、统计和概率）、数学4（三角函数、向量）、数学5（解三角形、数列、不 等式）
⑵ 选修课程（每模块2学分，36学时；每专题1学分，18学时）：
① 选修系 列1（文科系列，2模块）：1-1（“或且非”、圆锥曲线、导数）、1-2（统计、
推理与证明、复 数、框图）
② 选修系列2（理科系列，3模块）：2-1（“或且非”、圆锥曲线、向量与立体几何 ）、
2-2（导数、推理与证明、复数）、2-3（技术原理、统计案例、概率）
③ 选修系列3（6个专题）
④ 选修系列4（10个专题）
5. 高中数学课程的主线：
函数主线、运算主线、几何主线、算法主线、统计概率主线、应用主线。
6. 教学建议：
⑴ 以学生发展为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划

1

⑵ 帮助学生打好基础，发展能力：
① 强调对基本概念和基本思想的理解和掌握
② 重视基本技能的训练
③ 与时俱进地审视基础知识与基本能力
⑶ 注重联系，提高对数学整体的认知
⑷ 注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力
⑸ 关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成
⑹ 改善教与学的方式，使学生主动地学习
⑺ 恰当运用现代信息技术，提高教学质量
7. 评价建议：
⑴ 重视对学生数学学习过程的评价
⑵ 正确评价学生的数学基础知识和基本能力
⑶ 重视对学生能力的评价（问题意识、独立思考、交流与合作、自评与互评）
⑷ 实施促进学生发展的多元化评价（尊重被评价对象）
⑸ 根据学生的不同选择进行评价
第二章 教学知识
8. 教学原则
抽象与具体相结合、严谨性与量力性相结合原则 （“循序渐进”）、理论与实际相结合原
则（“学以致用”）、巩固与发展相结合原则（“温故而知新” ）
9. 教学过程
备课（备教材、备学生、备教法）、课堂教学（组织教学、复习提问、讲 授新课、巩固
新课、布置作业）、课外工作（作业批改、课外辅导、数学补课活动）、成绩的考核与评< br>价（口头考察、书面考察）、教学评价（导向作用、鉴定作用、诊断作用、信息反馈与
决策调控作 用）
10. 教学方法
⑴ 讲授法：科学性、系统性（循序渐进）、启发性、量力性（因材施教）、艺术性（教
学语言）
⑵ 讨论法：体现“学生是学习的主体”的特点。
⑶ 自学辅导法：卢仲衡教授提出，要求学生肯自学、能自学、会自学、爱自学
⑷ 发现法：又称问题教学 法（布鲁纳），步骤是创设问题情境；寻找问题答案，探讨问
题解法；完善问题解答，总结思路方法；知 识综合，充实改善学生的知识结构。
11. 概念教学
⑴ 概念的内涵与外延：当概念的内 涵扩大时，则概念的外延就缩小；当概念的内涵缩
小时，则概念的外延就扩大。内涵和外延之间的这种关 系，称为反变关系。
⑵ 概念间的逻辑关系：相容关系（同一关系如“等边三角形”和“正三角形”、 交叉
关系如“等腰三角形”和“直角三角形”、包含关系如“菱形”和“四边形”）、不
相容关 系（对立关系如“正数”和“负数”、矛盾关系如“负数”和“非负数”）
⑶ 概念下定义的常见方式 ：属加种差定义法（被定义的概念=最邻近的属概念+种差，
如“有一个角是直角的平行四边形是矩形” ）、解释外延定义法（不易揭示其内涵，
如“有理数和无理数统称实数”）、描述性定义法（用简明清晰 的语言描述，如
“





”）
⑷ 数学概念获得的主要方式：概念形成（由学生发现）、概念同化（教师直接展示定义）
12. 命题教学：整体性策略（旨在加强命题知识的横、纵向联系）、准备性策略（教学实施
之 前）、问题性策略（激发学生的积极性）、情境化教学、过程性策略（暴露命

2

题产生于证明的“所以然”过程）、产生式策略（变式练习）
13. 推理教学
⑴ 推理的结构：任何推理都是由前提和结论两部分组成的
⑵ 推理的形式：演绎 推理（由一般到特殊；前提真，结论真；三段论：大前提、小前
提，得推理）、归纳推理（由特殊到一般 ）、类比推理（由特殊到特殊）
14. 问题解决教学
⑴ 数学问题的设计原则：可行性原则、渐进性原则、应用性原则
⑵ 纯粹数学问题解决：波利亚怎样解题表（分析题意；拟定计划；执行计划；验算所
得到的解）
⑶ 非常规问题解决：建模分析（分析问题背景，寻找数学联系；建立数学模型；求解
数学模型 ；检验；交流和评价；推广）
15. 学习方式：自主学习、探究学习、合作学习
第三章 教学技能
16. 教学设计
⑴ 课堂教学设计就是在课堂教学工作进行之前，以现代教育理 论为基础，应用系统科
学方法分析研究课堂教学的问题，确定解决问题的方法和步骤，并对课堂教学活动
进行系统安排的过程。
⑵ 教学设计与教案的关系：
① 内容不同：
教 学设计的基本组成既包括教学过程，也包括指导思想与理论依据、教学背景
分析、对学生需要的分析、学 习内容分析、教学方法与策略的选定、教学资源
的设计与使用以及学习效果评价等。侧重运用现代教学理 论进行分析，不仅说
明教什么、如何教，而且说明为什么这样教；教案的基本组成是教学过程，侧
重教什么、如何教。
② 核心目的不同：
教学设计不仅重视教师的教，更重视学生的学， 以及怎样使学生学得更好。达
到更好的教学效果是教学设计的核心目的；教案的核心目的就是教师怎样讲 好
教学内容。
③ 范围不同：
从研究范围上讲，教案只是教学设计的一个重要内容。
⑶ 数学课堂教学设计的意义：
① 使课堂教学更规范、操作性更强
② 使课堂教学更科学
③ 使课堂教学过程更优化
⑷ 数学课堂教学设计的基本要求：
① 充分体现数学课程标准的基本理念，努力体现以学生发展为本
② 适应学生的学习心理和年龄特征
③ 重视课程资源的开发和利用
④ 注重预设与生成的辩证统一
⑤ 辩证认识和处理教学中的多种关系
⑥ 整体把握教学活动的结构
⑸ 数学教学设计的准备：
① 认真学习新课标，了解当前我国数学课程的目标要求
② 全面关注学生需求

3

③ 认真研读数学教材和参考书，领悟编写意图
④ 广泛涉猎数学教育的其他优秀资源，吸取他人精华，丰富自己的教学设计
⑤ 制定学期教学计划、单元教学计划
⑹ 教材分析
① 分析和处理教材是教学设计的基本环节和核心任务
② 整体系统的观念用教材
③ 理解教材的编排意图
④ 突出教材的重点和难点
⑺ 学情分析
① 分析学生原有的认知基础
② 分析学生的个体差异
③ 了解学生的生理、心理
④ 了解学生对本学科学习方法的掌握情况
⑤ 分析学习知识时可能要遇到的困难
⑻ 制定合理教学目标的要求
① 反映学科特点，体现内容本质
② 要有计划性，可评价性
③ 格式要规范，用词要考究
④ 要全面，不能“重知轻思”、“重知轻情”等
⑤ 注意教学目标的层次性（记忆、理解、探究）
⑥ 要实在具体，不浮华
⑼ 教学反思
① 教学反思的内容：对教学设计、教学过程、教学效果、个人经验的反思
② 教学反思的步 骤：截取课堂教学片段及其相关的教学设计；提炼反思的问题；
个人撰写反思材料；集体讨论；个人再反 思，并撰写反思论文
⑽ 教学设计的撰写：
① 教学目标：知识与技能（了解、掌握、应用 ）；过程与方法（提高能力）；情感
态度与价值观（体验规律、培养看问题的方法）
② 学情分析
③ 教材分析：本节课的作用和地位；本节课的主要内容；重难点分析
④ 教学理念
⑤ 教学策略
⑥ 教学环境
⑦ 教学过程
⑧ 教学反思
17. 教学实施
⑴ 课堂导入：直接导入法、复习导入法、事例导入法（情境导入法）、趣味导入法、悬
念导入法
⑵ 课堂提问的原则：目的性原则、启发性原则、适度性原则、兴趣性原则、循序渐进
性原则、 全面性原则、充分思考性原则、及时评价性原则
⑶ 课堂提问的类型：复习回忆提问、理解提问、应用提问、归纳提问、比较提问、分
析综合提问、评价提问
⑷ 学生活动：
① 学生活动体现了学生在学习中的主体地位

4

② 作为教学环节之一的“学生活动”是意义建构的组成部分
③ 学生活动的目的是促进学生的理解
④ 从总体上说，学生活动必须是思维活动
⑸ 课堂结束 技能的实施方法：练习法、比较法与归纳法、提问法和答疑法、呈上法和
启下法、发散法和拓展法
⑹ 结束技能实施时应注意的问题：自然贴切，水到渠成；语言精练，紧扣中心；内外
沟通，立疑开拓
18. 教学评价
⑴ 数学教育评价的要素：教学目标、教学内容、教学方法、教学心理环境、教师行为、
学生行为、教学效果
⑵ 数学教育评价的功能：管理功能、导向功能、调控功能、激发功能、诊断功能
第四章 常用数学公式
一、 函数、导数
1. 函数的单调性
⑴ 设

、





且



。那么











?




在



上是增函数；











?




在



上是减函数。
⑵ 设函数



在某个区间内可导，若




，则在该区间内



为增函数；若





，则在该区间内



为减函数
2. 函数的奇偶性（该函数的定义域关于原点对称）
对于定义域内任意的 ，都有







，则



是偶函数；
对于定义域内任意的 ，都有







，则



是奇函数。
奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 轴对称。
3. 函数在点

处的导数的几何意义
函数



在点

处的导数





是曲线



在






处的切线的斜率，相
应的切线方程是













。
4. 几种常见函数的导数


（C为常数）；








；







（ ）；







；







；







；






























；


















；
；


；
5. 导数的运算法则








；








；



，



，









6. 幂函数





（ ， ）





性质

5

为奇数，
为奇数



奇函数

为奇数，
为偶数





为偶数，
为奇数




偶函数


第一象限
图像
减函数 增函数 增函数

过定点




7. 求函数



的极值的方法:解方程




。当





时：
⑴ 如果在

附近的左侧





，右侧





，则




是极大值；
⑵ 如果在

附近的左侧





，右侧





，则




是极小值；
8. 凹凸函数：设



在开区间 上存在二阶导数：
⑴ 若对任意 ，有




，则



在 上为下凸函数；
⑵ 若对任意 ，有




，则



在 上为上凸函数；
二、 三角函数、三角变换、解三角形、向量
9. 同角三角函数的基本关系式





，

10. 正弦、余弦的诱导公式

，











为偶数




为奇数











为偶数





为奇数





11. 和角与差角公式




；




；

















（辅助角 所在象限由点



的象限决



6

定,

）
12. 二倍角公式

；












；






13. 三角函数的周期
函数



， 及函数



， （ ， ， 为常数，且
， ）的周期



；函数



，

， （ ， ， 为



常数，且 ， ）的周期

。

14. 三角函数的图像变换：
⑴ 函数



， 即

横坐标伸长（ ）或缩短（ ）到
原来的

倍，再向左（

）或向右（

）平移

个单位，最后纵坐标伸长（ ）
或缩短（ ）到原来的 倍。
⑵ 函数



， 即

向左（ ）或向右（ ）平移



个
单位，再横坐标伸长（ ）或缩短（ ）到原来的倍，再，最后纵坐



标伸长（ ）或缩短（ ）到原来的 倍。
15. 正弦定理





（ 是 外接圆的半径）


16. 余弦定理























17. 三角形面积公式










18. a与b的数量积（或内积）









（ 是向量a，b的夹角）
19. 向量的坐标运算





⑴ 设









，









,则



，



，



；
⑵ 设









，









,则












；

⑶ 设



，则











。
20. 两向量的夹角公式
设









，









,且 ，则

21. 向量的平行与垂直








































。











；



















三、 数列、集合与命题

7

22. 数列的通项公式与前 项的和的关系






（数列




的前 项的和为







）





23. 等差数列的通项公式和前 项和公式








；


















24. 等比数列的通项公式和前 项和公式






；











，







，


25. 数列求和常见结论：


；




（ ）








；














；







。




26. 有 个元素的集合，含有

个子集，

个真子集。
27. 原命题：若 则 ；否命题：若 则 ；命题的否定：若 则 。
28. 全称量词即“所有”，“全部”，可写作“ ”；存在量词又称特称量词，写作“ ”。
四、 不等式
29. 均值不等式
设 ，

，






(当且仅当 ＝b时取“=”号)
，其中
30. 柯西不等式




































， ，

，

， ，



，当且仅当
31. Jensen不等式
















32. 三角不等式：




















33. 指数不等式：
















五、 解析几何与立体几何
34. 直线的五种方程
⑴ 点斜式：






（直线
l
过点






，且斜率为
k
）
⑵ 斜截式： （b为直线
l
在y轴上的截距）
⑶ 两点式：























时不等式取等号。










（直线
l
过点











，且



，



）
⑷ 截距式：

（ 、b分别为直线的横、纵截距， ）
⑸ 一般式： （其中A、B不同时为0）
35. 两条直线的平行和垂直

8

若

：



，

：




⑴












，




；
⑵











36. 点






到直线 ： （的距离














37. 角平分线所在直线的方程






，其中

、

分别为角的边所在直线的斜率， 为原角的大小



38. 圆的三种方程
⑴ 圆的一般方程：












⑵ 圆的标准方程：















⑶ 圆的参数方程：


39. 两个圆的公共弦所在方程


























40. 直线与圆的位置关系
直线 ： 与圆











的位置关系有三种：
相离 ； 相切 ； 相交 ，弦长=



;
其中










41. 椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质
椭圆：













，





，离心率

，准线

，参数方





程是 ，椭圆上的点与两个定点




、




的距离之和等于常数


（ ）。
双曲线：









，
，离心率

，准线

，渐近
线方程是





，椭圆上的点与两个定点




、




的距离之差等于常
数（ ）。
抛物线：

，焦点

，准线
，焦半径






，过抛物线焦点的弦













长







，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离。
42. 双曲线的方程与渐近线方程的关系
⑴ 若双曲线方程为













。
⑵ 若渐近线方程为





双曲线可设为





。
⑶ 若双曲线与





有公共渐近线，可设为





（ ，焦点 在轴上； ，
焦点 在轴上）

9

43. 若斜率为 的直线与圆锥曲线相交于






、






两点，则弦长公式为




































（ ）
44. 柱体、锥体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式
圆柱侧面积= ，表面积=

，体积= （ 是柱体的底面积， 是柱体的高）；
圆锥侧面积= ，表面积=

，体积=

（ 是锥体的底面积， 是锥体的高）；
球的半径是 ，则其体积


，其表面积






六、 空间几何
45. 平面方程：
⑴ 点法式：














，



是平面的法向量
⑵ 一般式： （ 不全为0）
⑶ 参数式：已知平面 上一点









以及平行于平面的两不共线向量




















和










，则有





















46. 两平面间的关系:
⑴



















；
（法向量共线但两平面不重合）


⑵



















⑶

与

的夹角（

）：

47. 直线方程：







⑴ 一般式（交面式）：














⑵ 参数式：







⑶ 对称式（标准式）：
48. 直线与平面的关系：
⑴




且





；
⑵










































































⑶

与 的夹角（ ）：

49. 曲面方程：




















⑴ 单叶双曲面：








（ ）
⑵ 双叶双曲面：








（ ）
⑶ 椭圆抛物面：




















（ ），当 时，曲面为旋转抛物面
10

⑷ 双曲抛物面：







（ ）
七、 概率统计
50. 平均数、方差、标准差、期望的计算
平均数：









方差：

























标准差：
























期望
51. 回归线方程
，其中

52. 独立性检验：
53. 排列数、组合数
排列数公式：













组合数公式：






，其中


，

；









































，































，其中




54. 二项式定理：

⑴















⑵ 第 项：




（ ， ）

⑶ 系数和：







，














⑷ 当 的绝对值与1相比很小且 不大时，有




，





55. 相对独立事件同时发生的概率












56. 正态分布记为




，其中期望 ，方差

，曲线关于直线 对称并
在 时取最大值。
57. 离散型随机变量的期望与方差的性质：
⑴ 期望反映了离散型随机变量取值的平均水平；方差与标准差 反映了离散型随机变量
取值的稳定与波动、集中与离散的程度。
⑵











；



（ 为常数）
⑶


























；



（ 为常数）
⑷ 设 ，则



，





，











⑸ 若



，则 ，



；若 服从几何分布，且







，则


，



。
八、 复数
58. 复数的除法运算：

























59. 复数 的模：













60. 复数之间不能进行大小比较

11

61. 设一元三次方程



（ ）的三个根分别是





，则有：
⑴






，












，









⑵ 令


，其中










，








当

时，方程有一个实根，一对共轭复根；
当

时，方程有三个实根，其中有一个二重根；
当

时，方程有三个不等实根。
九、 极限与级数
62. 柯西收敛准则：数列




收敛的充分必要条件是：对于任意 ，存在整数 ，使
得当 ， 时，有






。
63. 极限的定义：







：对于任意 ，存在正数 ，当




时，有







。
64. 当 时，有








，





，则有













，


















65. 函数极限的计算：
⑴


















（

）其中各函数极限均存在
⑵ 洛必达法则：若函数和满足下列条件：
①













，其中 或 ；
② 在点 的某去心邻域内两者均可导，且




；
则有
























66. 拉格朗日中值定理：如果函数



满足在闭区间



上连续；在开区间



内可导；
那 么在开区间



内至少有一点 （ ）使等式














成立。
67. 正项级数敛散性判断：
⑴ 比较判别法：大收敛推出小收敛，小发散推出大发散
⑵ 比值与根值判别法：




若



，级数





发散，且





；
，此判别法失效
，级数





收敛
，此判别法失效
，级数





收敛
若







，级数





发散，且





；


⑶ 与 级数比较：设










，当 时收敛，当 时发散。

68. 交错级数的敛散性（莱布尼茨判别法）：设交错级数




满足



，





；






，则




收敛，且其和















12

，余项






。
69. 幂级数收敛半径及收敛域：

设幂级数









，则有


，

⑴ 若




，则其收敛半径为
，
；




，

⑵ 判断









在

处的敛散性；
⑶ 若该级数在

处收敛，则其收敛域为






；若该级数在


处收敛，则其收敛域为






；若该级数在

处都
收敛，则其收敛域为





。
十、 矩阵、线性空间与线性变换
70. 矩阵的转置：
⑴ 对于 阶实矩阵 ，若满足

或

（为单位矩阵），则矩阵 称为正交矩
阵，其中

为 的转置；
⑵ 若 阶方阵 满足

，则称 为对称矩阵；若 阶方阵 满足

，则称 为
反对称矩阵，反对称矩阵对角线上的元素必为0；
⑶ 转置的运算规律：









71. 齐次线性方程组的解空间的维数=方程组系数矩阵的列数-系数矩阵的秩
72. 特征值和特征向量：
⑴ 给定矩阵 ，若存在一个非零向量 和实数 ，满足 ，则称 为矩阵 的特征
值， 为矩阵 的属于特征值 的特征向量。
⑵ 任意矩阵所有特征值的和等于该矩阵对角线元素之和；所有特征值的乘积等于该矩
阵的行列式的值。
⑶ 若同阶矩阵 和 的特征值相同，则有 等价于 。
73. 非异矩阵：若 阶矩阵 的行列式不为零，即



，则称 为非奇异矩阵或满秩矩阵，
否则称 为奇异矩阵或降秩矩阵。
74. 相似、合同：
⑴ 相似： 非异矩阵 ，使得

，则有 相似于 。
⑵ 相似的判断：相同的特征值、迹（自左上到右下的主对角线的和）、行列式的值相同
⑶ 合同： 非异矩阵 ，使得

，则有 与 合同。
⑷ 合同的判断：正、负特征值的个数相等
75. 线性空间：
⑴ 柯西 布涅科夫斯基不等式：设 是欧式空间， 、 ，则










，
当且仅当 、 线性相关时，等号才成立
⑵ 本身与



都是 的子空间，称之为 的平凡子空间，而 的其他子空间称为非平凡
子空间。
⑶ 设

与

是线性空间 的两个子空间，则








2+
dim
1∩ 2

76. 施密特正交化法：

对 维欧式空间 的任一组基

，

，

， ，

，
令



，













，





13

，






















，
















































，








， ， ， ，




即为 的一组标准正交基。

14