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(完整word版)新人教版高中数学课堂笔记必修一

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 02:37
tags:高中数学课堂

高中数学100道计算题-高中数学的教学特色

2020年9月21日发(作者:梅贻琦)


第一章 集合与函数概念
第一节 集合
一、集合有关概念
1. 集合的含义
2. 集合的中元素的三个特性:
(1) 元素的确定性如:世界上最高的山
(2) 元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的无序性如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,
印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法:列举法与描述法。
? 注意:常用数集及其记法:
非负整数集(即自然数集) 记作:N
正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实
数集R

1) 列举法:{a,b,c……}
2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号
内表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4) Venn图:
4、集合的分类:
有限集 含有有限个元素的集合
(1) 无限集 含有无限个元素的集合
(2) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x
2
=-5}
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意:
A?B
有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是
同一集合 。
?
B反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
?


?
A 或B
?
2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5)
实例:设 A={x|x
2
-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相
等”
即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,
记作AB(或BA)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为
Φ

规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。
? 有n个元素的集合,含有2
n
个子集,2
n-1
个真子集
三、集合的运算
运算
类型
定 由所有属于 A且由所有属于集合A
义 属于B的元素所或属于集合B的元
组成的集合,叫做素所组成的集合 ,
A,B的交集.记叫做A,B的并
作A
?
B(读作‘A集.记作:A
?
B(读
交B’),即作‘A并B’),即
设S是一个集合,A
是S的一个 子集,
由S中所有不属于
A的元素组成的集
合,叫做S中子集A
的补集(或余 集)
交 集 并 集 补 集
A
?
B={x|x
?
A,A
?
B ={x|x
?
A,
记作
C
S
A
,即
且x
?
B}. 或x
?
B}). C
S
A=
{x|x?S,且x?A}






A
B
A
B
S
A
图1

图2


性 A
?
A=A




A
?
Φ=Φ
A
?
B=B
?
A
A
?
B
?
A
A
?
B
?
B
A
?
A=A
A
?
Φ=A
A
?
B=B
?
A
A
?
B
?

A
?
B
?
B
(C
u
A)
?
(C
u
B)
= C
u
(A
?
B)
(C
u
A)
?
(C
u
B)
= C
u
(A
?
B)
A
?
(C
u
A)=U
A
?
(C
u
A)= Φ.



第二节 函数的有关概念 < br>1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对
应关系f,使对于集合A中的任 意一个数x,在集合B中都有唯一
确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B
的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的
取值范围A叫做函数 的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数
值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
注意:
1.定义域:能使函数式有意义的实数
x
的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被开方数不小于零;
(3)对数式的真数必须大于零;
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.


(5)如果函数是由一 些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它
的定义域是使各部分都有意义的
x
的值 组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零,
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
? 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值
的字母无关);②定义域一致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2.值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数
y=f(x) , (x
∈A)中的x
为横坐标,函数值
y
为纵坐标的点P
(x

y)的集合C,叫做函数
y=f(x),(x
∈A)的图象.C上每一点的坐标
( x

y)
均满足函数关系
y=f(x)
,反过来,以满足
y =f(x)
的每一组有序实数对
x、y
为坐
标的点
(x
,< br>y)
,均在C上 .
(2) 画法
A、
B、
1) 平移变换
2) 伸缩变换
3) 对称变换
4.区间的概念
(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间
(2)无穷区间
(3)区间的数轴表示.
5.映射
一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某 一个确定的对
应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯
一确定的元素y 与之对应,那么就称对应f:A
?
B为从集合A到
集合B的一个映射。记作“f(对应 关系):A(原象)
?
B(象)”
描点法:
图象变换法
常用变换方法有三种


对于映射
f

A
→< br>B
来说,则应满足:
(1)集合
A
中的每一个元素,在集合
B
中都有象,并且象是唯一的;
(2)集合
A
中不同的元素,在集合
B
中对应的象可以是同一个;
(3)不要求集合
B
中的每一个元素在集合
A
中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况.
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并
集.
补充:复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)
称为f、g的复合函数。


第三节 函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
(1)增函数
设函 数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间
D内的任意两个自变量x
1,x
2
,当x
1
2
时,都有f(x
1)2
),
那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x )的单调增
区间.
如果对于区间D上的任意两个自变量的值x
1
,x
2
,当x
1
2
时,
都有f(x
1
)

f(x
2
),那么就说
f(x)
在这个区间上是减函数 .区间D
称为y=f(x)的单调减区间.
注意:函数的单调性是函数的局部性质;
(2) 图象的特点
如果函数
y=f(x)
在某个区间是增函数或减函数, 那么说函数
y=f(x)
在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的
图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.
(3).函数单调区间与单调性的判定方法
(A) 定义法:
1

任取x
1
,x
2
∈D,且x
1
2


2

作差f(x
1
)-f(x
2
);
3;

变形(通常是因式分解和配方)
4 定号(即判断差f(x
1
)-f(x
2
)的正负);

5.

下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性)
(B)图象法(从图象上看升降)
(C)复合函数的单调性
复合函数
f
[
g(x)
]的单调 性与构成它的函数
u=g(x)

y=f(u)
的单调性密切相关,其规律: “同增异减”
注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性
相同的区间和在一起写成其并集.
8.函数的奇偶性(整体性质)
(1)偶函数
一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x ),
那么f(x)就叫做偶函数.
(2).奇函数
一般地,对于函数f(x)的定 义域内的任意一个x,都有f(-x)=—
f(x),那么f(x)就叫做奇函数.
(3)具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
利用定义判断函数奇偶性的步骤:
1

首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称;
2确定f(-x)与f(x)的关系;

3若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)

作出相应结论:
是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇
函数.
注意:函数定义域关于原点对称是函 数具有奇偶性的必要条
件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非
奇非偶 函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)由
f(-x)
±
f(x)=
0或
f(x)

f(-x)=
±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
9、函数的解析表达式
(1).函数的解析式 是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的
函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出 函数的


定义域.
(2)求函数的解析式的主要方法有:
1) 凑配法
2) 待定系数法
3) 换元法
4)
消参法

10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)

1

利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
2

利用图象求函数的最大(小)值
3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调
递减则
函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调
递增则
函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);



第二章 基本初等函数
一、指数函数
(一)指数与指数幂的运算
1.根式的概念:一般地 ,如果
x
n
?
a
,那么
x
叫做
a

n
次方根,
其中
n
>1,且
n

N*

? 负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作
n
0?0

?
a (a?0)
n
n
n
n
n
n
当是奇数时,
a
?
a
,当是偶数时,
a?|a|?
?

?a(a?0)
?

2.分数指数幂
正数的分数指数幂的意义,规定:
a
m
n
?
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)


a
?
m
n
?
1
m
n
?
1
n
a
? 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义
3.实数指数幂的运算性质
rr?s
r
(1)
a
·
a?a

a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)




(a?0,r,s?R)

(a?0,r,s?R)


rsrs
(a)?a
(2)
rrs
(ab)?aa
(3)
(a?0,r,s?R)

(二)指数函数及其性质
1、指数函数的概念:一般地,函数
y?a
x(a?0,

a?1)
叫做指数
函数,其中x是自变量,函数的定义域为 R.
注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1.
2、指数函数的图象和性质
a>1
6
5
4
06
5
4
33
22
1
1
1
1
-4-2
0
-1
246
定义域 R
值域y>0
在R上单调递

非奇非偶函数
函数图象都过
定点(0,1)

-4-2
0
-1
246
定义域 R
值域y>0
在R上单调递

非奇非偶函数
函数图象都过
定点(0,1)

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a,b]上,
f(x)
?
a
x
(a
?
0

a
?
1)
值域是
[f(a),f(b)]

[f(b),f(a)]

(2)若
x?0
,则
f(x) ?1

f(x)
取遍所有正数当且仅当
x?R

(3)对 于指数函数
f(x)
?
a
x
(a
?
0
且< br>a
?
1)
,总有
f(1)?a






二、对数函数
(一)对数
1.对数的概念:一般 地,如果
a
x
?
N
(a?0,a?1)
,那么数
x

做以
记作:
x?log
a
N

a
— 底数,
N
— 真数,

a
为底
..
N
的对数,
log
a
N
— 对数式)
说明:

1 注意底数的限制
a?0
,且
a?1

x
2


a
?
N
?log
a
N
?
x

3 注意对数的书写格式.

两个重要对数:
log
a
N

1 常用对数:以10为底的对数
lgN


2

自然对数:以无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
lnN

? 指数式与对数式的互化

幂值 真数

a
b
= N
?
log
a
N
= b

底数
指数 对数
(二)对数的运算性质
如果
a?0
,且
a?1

M?0

N?0
,那么:
1

log
a
(
M
·
N)?
log
a
M

loga
N

M
2

log
a
?
log
a
M

log
a
N


N
3

log
a
M
n
?n
log
a
M

(n?R)


注意:换底公式
log
c
b
log
a
b?

a?0,且
a?1

c?0
,且
c?1

b?0).
log
c
a
利用换底公式推导下面的结论


(1)
log
a
b
n
?
m
1
n
(2)
log
a
b?

log
a
b
;< br>log
b
a
m
(三)对数函数
1、对数函数的概念:函数< br>y?log
a
x(a?0
,且
a?1)
叫做对数函数,
其中
x
是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
注意:1

对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意
辨别。如:
y
?2log
2
x

y?log
5
为对数型函数.
2

对数函数对底数的限制:
(a?0
,且
a?1)

2、对数函数的性质:
a>1
3
2.5
2
1.5
x
都不是对数函数,而只能称其
5
03
2.5
2
1 .5
1
-1
1
1
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1
2345678
-1
0
1
-0.5
1
2345678
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2.5
定义域x>0
值域为R
在R上递增
函数图象都
过定点(1,
0)


-2
-2.5
定义域x>0
值域为R
在R上递减
函数图象都过定
点(1,0)



三、 幂函数 1、幂函数定义:一般地,形如
y?x
?
(a?R)
的函数称为幂函数,
其中
?
为常数.
2、幂函数性质归纳.
(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,
1);
(2)< br>?
?0
时,幂函数的图象通过原点,并且在区间
[0,??)
上是增函数.特别地,当
?
?1
时,幂函数的图象下凸;当
0?
?< br>?1
时,


幂函数的图象上凸;
(3)
?
?0
时,幂函数的图象在区间
(0,??)
上是减函数.在第一
象限内,当
x
从右边趋向原点时,图象在
y
轴右方无限地逼近
y

正 半轴,当
x
趋于
??
时,图象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正半轴.



第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念:对于函数
y?f(x)(x?D)
,把使
f(x)?0

立的实数
x
叫做函数
y?f (x)(x?D)
的零点。
2、函数零点的意义:函数
y?f(x)
的零点 就是方程
f(x)?0
实数
根,亦即函数
y?f(x)
的图象与x
轴交点的横坐标。
即:方程
f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y ?f(x)
有零点.
3、函数零点的求法:
1

(代数法)求方程
f(x)?0
的实数根;
2 (几何法)对于不能用求根公式的方 程,可以将它与函数
y?f(x)

的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.
4、二次函数的零点:
二次函数
y?ax
2
?bx?c
(
a?
0)

(1)△>0,方程
ax
2
?bx? c?
0
有两不等实根,二次函数的图象

x
轴有两个交点,二次函数 有两个零点.
(2)△=0,方程
ax
2
?bx?c?
0
有两相等实根,二次函数的图象与
x
轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点. < br>(3)△<0,方程
ax
2
?bx?c?
0
无实根,二次函数 的图象与
x

无交点,二次函数无零点.
5.函数的模型





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