高中数学课堂笔记--2-2知识点

高中数学选修2----2知识点
第一章
一．
导数及其应用
导数概念的引入
1. 导数的物理意义：瞬时速 率。一般的，函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的瞬时变化率是
f(x
0
??x)?f(x
0
)
，
?x?0
? x
我们称它为函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的导数，记作
f
?
(x
0
)
或
y
?
|
x?x
0
，
lim
即
f
?
(x
0
)
=
lim
2.
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)

?x
P
时，直线
PT
与曲线相切。容导数的几何意义：曲线的切线.通过图 像,我们可以看出当点
P
n
趋近于
易知道，割线
PP
n的斜率是
k
n
?
f(x
n
)?f(x
0
)
P
时，函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的导， 当点
P
n
趋近于
x
n
?x
0
f(x
n
)?f(x
0
)
数就是切线PT的斜率k，即
k?lim?f< br>?
(x
0
)

?x?0
x
n
?x
0
3. 导函数：当x变化时，
f
?
(x)
便是x的一个函数，我们称它为
f(x)
的导函数. < br>y?f(x)
的导函数
f(x??x)?f(x)
有时也记作
y
?
,即
f
?
(x)?lim

?x?0
?x

二.导数的计算
1）基本初等函数的导数公式:
1若
f(x)?c
(c为常数)，则
f
?
(x)?0
；
2 若
f(x)?x
?
,则
f
?
(x)?< br>?
x
?
?1
;
3 若
f(x)?sinx
,则
f
?
(x)?cosx

4 若
f(x)?cosx
,则
f
?
(x)??sinx
;
5 若
f(x)?a
,则
f
?
(x)?alna

xx
6 若
f(x)?e
,则
f
?
(x)?e

xx
1

xlna
1
8 若
f(x)?lnx
,则
f
?
(x)?

x
x
7 若
f(x)?log
a
,则
f
?
(x)?
2）导数的运算法则
1.
[f(x)?g(x)]
?< br>?f
?
(x)?g
?
(x)

2.
[f( x)?g(x)]
?
?f
?
(x)?g(x)?f(x)?g
?(x)

3.
[
f(x)f
?
(x)?g(x)?f (x)?g
?
(x)
]
?
?

g(x)[g(x)]
2
3）复合函数求导
y?f(u)
和
u?g(x)
,称则
y
可以表示成为
x
的函数,即
y?f (g(x))
为一个复合函数
y
?
?f
?
(g(x))?g
?
(x)

三.导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：
在某个区间
(a,b)
内，如果
f
?
(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间单调递 增；
如果
f
?
(x)?0
，那么函数
y?f(x)
在这个区间单调递减.
2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况.
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求函数
y?f(x)
的极值的方法是:
(1)
(2)
如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x )?0
,右侧
f
?
(x)?0
,那么
f(x
0)
是极大值;
如果在
x
0
附近的左侧
f
?< br>(x)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,那么
f(x0
)
是极小值;
4.函数的最大(小)值与导数
函数极大值与最大值之间的关系.
求函数
y?f(x)
在
[a,b]
上的最大值与最小值的步骤
（1）
（2）
求函数
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值；
将函数y?f(x)
的各极值与端点处的函数值
f(a)
，
f(b)
比 较，其中最大的是一个最大值，最
小的是最小值.
四.生活中的优化问题
利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题
第二章 推理与证明
知识结构
合情推理
推理
推
理
与
证
明
证明
间接证明
数学归纳法
演绎推理
归纳推理
类比推理

比较法
直接证明

综合法

分析法

反证法

1、归纳推理
把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤：
?
通过观察个别情况发现某些相同的性质；
?
从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；
?
证明（视题目要求，可有可无）.
2、类比推理
由两类对象具有某些类 似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的
推理称为类比推理（简称类比 ）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的一般步骤：
?
找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
?
用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
?
检验猜想。
3、合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经 过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然
后提出猜想的推理.
归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
4、演绎推理
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．
简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.
演绎推理的一般模式———
“三段论”，
包括
⑴大前提 -----已知的一般原理；
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⑵小前提-----所研究的特殊情况；
⑶结论----- 据一般原理，对特殊情况做出的判断．
用集合的观点来理解：若集合
M
中的所有元素 都具有性质
P
,
S
是
M
的一个子集,那么
S
中所有元
素也都具有性质P.





M
·a S


从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待 进一步证明；演绎推理在前提和推理形
式都正确的前提下，得到的结论一定正确.
5、直接证明与间接证明
⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系 列的推理论证，最后推导出所要证
明的结论成立.
框图表示：
要点：顺推证法；由因导果.
⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最 后，把要证明的结论归结为判
定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
框图表示：


要点：逆推证法；执果索因.
⑶ 反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证
明了 原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.
反证法法证明一个命题的一般步骤：
(1)（反设）假设命题的结论不成立；
(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；
(3)（归谬）断言假设不成立；
(4)（结论）肯定原命题的结论成立.
6、数学归纳法
数学归纳法是证明关于正整数
n
的命题的一种方法.
用数学归纳法证明命题的步骤;
（1）（归纳奠基）证明当
n
取第一个值< br>n
0
(n
0
?N
*
)
时命题成立；
（2）（归纳递推）假设
n?k(k?n
0
,k?N
*
)
时命题成立，推证当
n?k?1
时命题也成立.
只要完成了这两个步骤，就可 以断定命题对从
n
0
开始的所有正整数
n
都成立.
用数学 归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、
几何中的计算 问题等.
第三章 数系的扩充与复数的引入
一:复数的概念
(1) 复数:形 如
a?bi(a?R,b?R)
的数叫做复数，
a
和
b
分别 叫它的实部和虚部.
(2)
数.
(3)
(4)
(5)
(6)
复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.
共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.
复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。
两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。
2．相关公式
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分类:复数
a?bi(a?R,b?R)
中,当
b?0
,就是实数;
b?0
,叫做虚数;当
a?0,b?0
时,叫做纯虚

⑴
a?bi?c?di?a?b,且c?d

⑵
a?bi?0?a?b?0

⑶
z?a?bi?a
2
?b
2

⑷
z?a?bi

z，z
指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）.

3．复数运算
⑴复数加减法：
?
a?bi
?
?
?
c?di
?
?
?
a?c
?
?
?
b ?d
?
i
；
⑵复数的乘法：
?
a?bi
??c?di
?
?
?
ac?bd
?
?
?
b c?ad
?
i
；
a?bi
?
a?bi
??
c?di
?
?
⑶复数的除法：
c?di
?
c?di??
c?di
?
c
2
?d
2
c
2?d
2
（类似于无理数除法的分母有理化
?
虚数除法的分母实数化）
4.常见的运算规律
?
?
ac?bd
?
?
?bc?ad
?
i
?
ac?bd
?
bc?ad
i

c
2
?d
2
(1)z?z;
2
(2)z ?z?2a,z?z?2bi;

2
(3)z?z?z?z?a
2
? b
2
;(4)z?z;(5)z?z?z?R


4n?14n?2 4n?34n?4
(6)i?i,i
2
??1,i??i,i?1;
(7)< br>?
1?i
?
1?i1?i
?
1?i
?
??i ;(8)?i,??i,
?
??i

?
1?i1?i
?2
?
2
(9)
设
?
?
?1?3i
2< br>是1的立方虚根，则
1?
?
?
?
?0
，
?< br>3n?1
?
?
,
?
3n?2
?
?
,
?
3n?3
?1

2
5.复数的几何意义
复平面 ：用来表示复数的直角坐标系，其中
x
轴叫做复平面的实轴，
y
轴叫做复平面 的虚轴.
一一对应
复数
z?a?bi?????
复平面内的点
Z（ a,b)

一一对应
复数
z?a?bi?????
平面向量
OZ

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