高中数学专题公理4及等角定理的应用课堂同步试题新人教A版

公理4及等角定理的应用
高考频度：★★☆☆☆ 难易程度：★★☆☆☆
典例在线

如图所示，在三棱锥
A?BCD
中，
E，F，G，H
分别是边
AB，BC，CD，DA
的中点．
（1）求证：四边形
EFGH
是平行四边形；

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（2）若
AC?BD
，求证：四边形
EFGH
是菱形；
（ 3）当
AC
与
BD
满足什么条件时，四边形
EFGH
是正方 形.

【参考答案】（1）详见解析.（2）详见解析.（3）详见解析.
（3）由（2）知，当
AC?BD
时，四边形
EFGH
是菱形，欲使EFGH
是正方形，还需∠
EFG
＝90°，而∠
EFG
与异面 直线
AC
，
BD
所成的角有关，故还要加上条件
AC?BD
.
故当
AC?BD
且
AC?BD
时，四边形
EFGH是正方形．
【解题必备】证明两条直线平行，既可以利用平面几何的相关知识，如三角形与梯形的 中位
线、平行四边形的性质等，也可以利用公理4.

1

证明两个角相等的常用方法：（1）三角形相似；（2）三角形全等；（3）空间等角定理.依据
等角定 理证明两角相等的步骤：（1）证明两个角的两边分别对应平行；（2）证明两个角的两
边的方向都相同 或者都相反.
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1．如图 (1)所示,梯形
ABCD
中,
AB
∥
CD
,
E
,
F
分别为
BC
,
AD
的中点,将平面
CDFE
沿
EF
翻折起
来(如图 (2)),使
CD
达到
C'D'
的位置,
G,
H
分别为
AD'
,
BC'
的中点,求证:四边形EFGH
为
平行四边形.


(1)

(2)
2．如图所示，已知棱长为
a
的正方体中，
M
，
N
分别是棱的中点.

(1)求证：四边形
(2)求证：
是梯形；


1．【解析】在图 (1)中，∵四边形
ABCD
为梯形，
AB
∥< br>CD
，
E
,
F
分别为
BC
,
AD< br>的中点，∴
EF
∥
AB
且
EF
=
1
2
(
AB+CD
).
在图(2)中,∵
C'D'
∥
EF
,∴
C'D'
∥
AB
.

2