高中数学含参问题的求解-高中数学秒杀秘诀填空题秒杀技巧
公理4及等角定理的应用
高考频度:★★☆☆☆
难易程度:★★☆☆☆
典例在线
如图所示,在三棱锥
A?BCD
中,
E,F,G,H
分别是边
AB,BC,CD,DA
的中点.
(1)求证:四边形
EFGH
是平行四边形;
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哨兵。
(2)若
AC?BD
,求证:四边形
EFGH
是菱形;
(
3)当
AC
与
BD
满足什么条件时,四边形
EFGH
是正方
形.
【参考答案】(1)详见解析.(2)详见解析.(3)详见解析.
(3)由(2)知,当
AC?BD
时,四边形
EFGH
是菱形,欲使EFGH
是正方形,还需∠
EFG
=90°,而∠
EFG
与异面
直线
AC
,
BD
所成的角有关,故还要加上条件
AC?BD
.
故当
AC?BD
且
AC?BD
时,四边形
EFGH是正方形.
【解题必备】证明两条直线平行,既可以利用平面几何的相关知识,如三角形与梯形的
中位
线、平行四边形的性质等,也可以利用公理4.
1
证明两个角相等的常用方法:(1)三角形相似;(2)三角形全等;(3)空间等角定理.依据
等角定
理证明两角相等的步骤:(1)证明两个角的两边分别对应平行;(2)证明两个角的两
边的方向都相同
或者都相反.
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1.如图 (1)所示,梯形
ABCD
中,
AB
∥
CD
,
E
,
F
分别为
BC
,
AD
的中点,将平面
CDFE
沿
EF
翻折起
来(如图 (2)),使
CD
达到
C'D'
的位置,
G,
H
分别为
AD'
,
BC'
的中点,求证:四边形EFGH
为
平行四边形.
(1)
(2)
2.如图所示,已知棱长为
a
的正方体中,
M
,
N
分别是棱的中点.
(1)求证:四边形
(2)求证:
是梯形;
1.【解析】在图 (1)中,∵四边形
ABCD
为梯形,
AB
∥<
br>CD
,
E
,
F
分别为
BC
,
AD<
br>的中点,∴
EF
∥
AB
且
EF
=
1
2
(
AB+CD
).
在图(2)中,∵
C'D'
∥
EF
,∴
C'D'
∥
AB
.
2
∵
G
,
H
分别为
AD'
,
BC'的中点,∴
GH
∥
AB
且
GH
=
∴
G H
∥
EF
,
∴四边形
EFGH
为平行四边形.
1
2
(
AB+C'D'
)=
1
2
(
AB+ CD
),
∴四边形
MNA
1
C
1
是梯形. (2)由(1)知
MN
∥
A
1
C
1
,又∵ND
∥
A
1
D
1
,
∴∠
DNM与∠
D
1
A
1
C
1
相等或互补,而∠
DNM
与∠
D
1
A
1
C
1
均是直角三角形 的锐角,
∴∠
DNM
=∠
D
1
A
1
C< br>1
.
3
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