高中数学必修二2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系课堂练习及详细答案

空间点、直线、平面之间的位置关系
平面
知识梳理
1 平面含义：平面是无限延展的
2 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.
符号表示为


A∈
l

B∈
l
=>
A∈
?

B∈
?

【公理1作用】判断直线是否在平面内.
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A、B、C三点不共线 => 有且只有一个平面α，
使A∈α、B∈α、C∈α。

【公理2作】确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P∈α∩β =>α∩β=L，且P∈L
【公理3作用】判定两个平面是否相交的依据.
A B
C
l?
?

α
A
·

L

α
·

·

·

β
α
P
知能训练
L
·

一．选择题
1．已知m，n分别是两条不重合的直线，a，b分别垂直于两不重合平面α，β，有以下四个命题：

①若m⊥α，n∥b，且α⊥β，则m∥n； ②若m∥a，n∥b，且α⊥β，则m⊥n；
③若m∥α，n∥b，且α∥β，则m⊥n； ④若m⊥α，n⊥b，且α⊥β，则m∥n．
其中真命题的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①④ D．②③
2．在下列命题中，不是公理的是（ ）
A．平行于同一个平面的两个平面平行
B．过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面
C．如果一条直线上的两点在同一个平面内，那么这条直线上所有点都在此平面内
D．如果两 个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
3．l
1
，l
2
，l
3
是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A ．l
1
⊥l
2
，l
2
⊥l
3
l
1
∥l
3

B．l
1
⊥l
2
，l
2
∥l
3
l
1
⊥l
3

C．l
1< br>∥l
2
∥l
3
l
1
，l
2
，l3
共面
D．l
1
，l
2
，l
3
共点 l
1
，l
2
，l
3
共面
4．下面四个说法中，正确的个数为（ ）
（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合
（2）两条直线可以确定一个平面
（3）若M∈α，M∈β，α∩β=l，则M∈l
（4）空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知空间三条直线l、m、n．若l与m异面，且l与n异面，则（ ）
A．m与n异面
B．m与n相交
C．m与n平行
D．m与n异面、相交、平行均有可能
6．若m、n为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题是（
A．若m、n都平行于平面α，则m、n一定不是相交直线

）

B．若m、n都垂直于平面α，则m、n一定是平行直线
C．已知α、β互相垂直，m、n互相垂直，若m⊥α，n⊥β
D．m、n在平面α内的射影互相垂直，则m、n互相垂直
7．已知平面α，β，γ，直线m，l，点A，有下面四个命题，其中正确的命题是（ ）
A．若lα，m∩α=A，则l与m必为异面直线
B．若l∥α，l∥m，则m∥α
C．若lα，mβ，l∥β，m∥α，则α∥β
D．若α⊥γ，γ∩α=m，γ∩β=l，l⊥m，则l⊥α
8．已知α，β为互不重合的平面，m，n为互不重合的直线，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥α，则m∥n；
②若mα，nα，m∥β，n∥β，，则α∥β；
③若α⊥β，α∩β=m，nα，n⊥m，则n⊥β；
④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β．其中所有正确命题的序号是（ ）
A．①③
二．填空题
9．（文）平面上三条直线x+2y-1=0，x+1=0，x+ky=0，如果 这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的
所有取值为 ．（将你认为所有正确的序号都填上）
①0②12③1④2⑤3．
10．空间中有7个点，其中有3个点在同一直线上，此外再无任何三点共线，由这7个点最多可确定 个
平面．
三．解答题
1．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB ，BC，AD，DC分别与平面α相交于点
E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线．





B．②④ C．①④ D．③④

2．四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF：FC =2：
3．DH：HA=2：3．
（1）证明：点G、E、F、H四点共面；
（2）证明：EF、GH、BD交于一点．






空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；
共面直线
平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线
a∥b
c∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.
4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为了简便，点O一般取 在两
直线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；
=>a∥c
?
2

③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
知能训练
一．选择题
1．已知m，n表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m⊥α，nα，则m⊥n
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α
D．若m∥α，m⊥n，则n⊥α
2．如图，在三棱锥S-ABC中，E为棱SC的中点，若AC=2，SA=SB=AB=BC=SC= 2，则
异面直线AC与BE所成的角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
3．如图，在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，若棱BB
1
=BC=1，AB=，则异面直线D
1
B和AC
所成角的余弦值为（ ）
A．1
B．3 C．12 D．5
4．已知正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，点P在线段A
1
B
1
上，点Q在线段B
1
C
1
上，且B
1
P=B
1
Q，
给出下列结论：
①A、C、P、Q四点共面；
②直线PQ与AB
1
所成的角为60°；
③PQ⊥CD
1
；
④V
P-ABCD
=V
Q-AA1D
．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，正四面体A- BCD的顶点A、B、C分别在两两垂直的三条射线Ox、Oy、Oz上，则在下列命题中，
错误的为（ ）
A．O-ABC是正三棱锥 B．直线AD与OB成45°角

C．直线AB与CD互相垂直 D．直线AD与OC成60°角
6．已知不同平面α，β，γ，不同直线m，n，则下列命题正确的是（ ）
A．若α⊥β，α⊥γ，则β∥γ
C．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，n∥β，则α∥β
D．若m∥γ，n∥γ，则m∥n
7．已知直线l和平面α，若l∥α，P∈α，则过点P且平行于l的直线（ ）
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，一定在平面α内
C．只有一条，且在平面α内
D．有无数条，不一定在平面α内
8．已知矩形AB CD，AB=1，BC=．将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（ ）
A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直
B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直
C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直
D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直
9．将正方形ABCD沿对角线AC折起，当三棱锥B-ACD体积最大时，直线AD与BC所成角为（ ）
A． B. C. D.
10．在正方体ABCD-A′B′ C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的
角为45°的点P的个数为（ ）
A．0
二．填空题
B．3 C．4 D．6
11．正方体ABCD -A
1
B
1
C
1
D
1
中，P，Q分别是棱 AB，A
1
D
1
上的点，PQ⊥AC，则PQ与BD
1
所成 角的余弦值得
取值范围是 。
12．已知二面角α- l-β的大小为60°，A∈α，B∈β，AC⊥l于C，BD⊥l于D，AC=BD=4，
CD=3， 则AD与BC所成角的余弦值为 ．
13．已知圆柱Ω的母线长为l， 底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不
同的点，BC是母线，如图，若直线OA 与BC所成角的大小为，则= ．

三．解答题
14．如图，平面 PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E、F、G分
别是 线段PA、PD、CD的中点．求证：PB∥平面EFG；







— 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

a α a∩α=A a∥α
知能训练
一．选择题（共8小题）
1．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α．则m∥n
C．若m∥α，m∥β，则α∥β
B．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

2．已知三条直线a，b，c和平面β，则下列推论中正确的是（ ）
A．若a∥b，bβ，则a∥β
B．若a∥β，b∥β，则a∥b或a与b相交
C．若a⊥c，b⊥c，则a∥b
D．若aβ，b∥β，a，b共面，则a∥b
3．下列命题中，是假命题的为（ ）
A．平行于同一直线的两个平面平行
B．平行于同一平面的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两条直线平行
D．垂直于同一直线的两个平面平行
4．a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：
①若a∥M，b∥M，则a∥b； ②若bM，a∥b，则a∥M；
③若a⊥c，b⊥c，则a∥b； ④若a⊥M，b⊥M，则a∥b．
其中正确命题的个数有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
5．已知点E、F分别是正方体ABCD-A
1
B
1
C< br>1
D
1
的棱AB、AA
1
的中点，点M、N分别
是线 段D
1
E与C
1
F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
6．在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，M，N分别C
1
D1
，BC是的中点，则下列判断
正确的是（ ）
A．MN∥BD
1
B．MN⊥AB
1

C．MN∥平面BDD
1
D．MN⊥平面AB
1
C
7．已知E、F分别是正方体ABCD-A
1
B
1
C
1D
1
棱BB
1
、AD的中点，则直线EF
和平面BDB
1
D
1
所成的角的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
8．△ABC的AB边在平面α内，C在平面α外，AC和BC分别与 面α成
30°和45°的角，且面ABC与α成60°的二面角，那么sin∠ACB的值为（ ）
A. 1 B. C. 或
二．解答题（共3小题）

9．在棱长为a的正方体A
1
B< br>1
C
1
D
1
-ABCD中，E，F分别为DD
1，BB
1
的中点，G
为线段D
1
F上一点．请判断直线AG与平 面BEC
1
之间的位置关系，并给出证明．


【参考答案】
D 9.①③④
11. 解：∵AB∥CD，
∴AB，CD确定一个平面β．
又∵AB∩α=E，ABβ，∴E∈α，E∈β，
即E为平面α与β的一个公共点．
同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点．
∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，
∴E，F，G，H四点必定共线．
12. 证明：（1）∵E、G分别为BC、AB的中点，∴EG∥AC
又∵DF：FC=2：3．DH：HA=2：3，∴FH∥AC．
∴EG∥FH
所以，E、F、G、H四点共面．
（2）由（1）可知，EG∥FH，且EG≠FH，即EF，GH是梯形
的两腰，
所以它们的延长线必相交于一点P
∵BD是EF和GH分别所在平面BCD和平面ABD的交线，而点P是上述两平面的公共点，
∴由公理3知P∈BD．
所以，三条直线EF、GH、BD交于一点．
11.[，1] 12. 13.
14. （1）证明：取AB的中点M，连接EM，MG．
∵MG∥AD，AD∥EF，∴MG∥EF．

∴四点E，F，G，M共面．
而在三角形PAB中，PB∥EM，
又PB平面EFGM，EM平面EFGM．
∴PB∥平面EFGM．
即得PB∥平面EFG．

9. AG∥平面BEC
1
．
证明：连结AF，AD
1
．
∵E，F为DD
1
，BB
1
的中点，
∴ED
1
与BF平行且相等，
∴四边形BED
1
F为平行四边形，
∴D
1
F∥BE，
∴D
1
F∥平面BEC
1
．
∵四边形ABC
1
D
1
为平行四边形，
∴A
1
D∥BC
1
，
∴AD
1
∥平面BEC
1
．
∵AD
1
∩D
1
F=D
1
，
∴平面AFD
1
∥平面BEC
1
．
∵AG平面AFD
1
，
∴AG∥平面BEC
1