高中数学课堂的探究性学习

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高中数学课堂的探究性学习

胡贵平（甘肃省白银市第九中学 ，甘肃 白银 730913）

新课改背景 下的高中数学课堂倡导探究性学习，探究性学习是一种创新的学习模式，在
教师导向性信息诱导下让学生 自主学习，尝试体验知识的形成过程，更多的经历观察、实验、
猜想、验证、推理等探索过程，促进学生 学会学习。探究性学习无疑是培养学生的创新能力，
调动学习数学兴趣，提高教学效率的有效途径。如何 在高中数学课堂教学中实施研究性学习，
是新课程改革中思考的重要问题。本文拟从教科书中挖掘探究的 内容和方法，谈谈高中数学
课堂研究性学习做法与体会。
一、公式的探究学习
在公 式教学中，探究学习应是一个再发现、再创造的过程，教师要引导学生置身于问题
情境中，揭示知识背景 ，让学生体验数学家们对一个新问题是如何去研究创造的，暴露思维
过程，体验探索的真谛。不是直接以 感知教材为出发点而是把教材上的知识改编成需要学生
探究的问题,激发学生的探究兴趣，让学生在尝试 中去体验去创新，使传统意义上的教学过
程转变为学生对数学问题进行探究解决的过程。
公式的推导 尝试探索公式的途径
在推导公式的过程中，尽量发挥学生的主体作用,注意培养 学生的观察力。变换角度、类
比等方法，诱导学生的数学直觉和灵感，促使学生能直接越过逻辑推理而寻 找到解决问题的
突破口。例如等比数列前
n
项的和的公式的推导过程，除了教科书中的 错位相减法外，如何
探究性学习呢？
探究1 有同学采用了归纳法。当
q?1
时，
s
1
?a
1
?
a
1
(1?q)，
1?q
可编辑

.
a
1
(1?q< br>2
)a
1
(1?q
3
)
a
1
(1? q)
2
，
由
(1
?q
)

?
s< br>2
?a
1
?a
1
?q
=，
s
3?a
1
?a
1
?q?a
1
?q
?
1? q1?q
1?q
a
1
(1?q
n
)
此猜想
s
n
?
.当
q?1
时，
s
n
?na
1
.
1?q
探究2 有同学采用了合比定理。
q?
a
2
a
3
aa?a
3
?...?a
n
??...?n
?
2

a
1
a
2
a
n?1
a
1
?a
2
?...?a
n?1
a
1(1?q
n
)
s
n
?a
1
s
n
?a
1
n?1
??
, 即
q
(
s
n?a
1
q
)
=
s
n
?a
1
. 当
q?1
时，
s
n
?
.当
q?1
1?q< br>s
n
?a
n
s
n
?a
1
q
n?1
时，
s
n
?na
1
.
2n?1
探究3 有同学采用了代换。
s
n< br>?
a
1
?
a
1
?
q
?
a< br>1
?
q
?
...
?
a
1
?
q
?

a
1
?q(a
1
?a
1
? q?a
1
?q
2
?...?a
1
?q
n?1
)?a
1
?q
n
，于是
s
n
?a
1?q?s
n
?a
1
?q
n
.
a
1< br>(1?q
n
)
当
q?1
时，
s
n
?
.当
q?1
时，
s
n
?na
1
.
1?q
探究1通过归纳猜想的方法推证公式，还要用数学归纳法证明。探究2通过类比公式的结
构特点，寻求内在的联系，推证公式。探究3通过代换简化运算，易解，起到事半功倍的
效果。
公式的理解 把握形成公式的体系
公式的推广及引申是把知识纳入学生认知结构的有效途径。 深化公式的思考和分析，除
了正用、逆用还有其他变式吗？ 探究公式变式，例如基本不等式
a
2
?
b
2
?
2ab
有十种变
a
2
?b
2
a?b
2
a
2
?b
2
a? b
2
22
)?
式①
ab?
； ②
ab?(
③
(
； ④
a?b?
2(
a?b)
⑤
)
；
222
2
a
2
11411< br>2
4
?
?2
a
?
b
；⑥
a
,
b?R
?
,
则
??
若
b?0
，则⑦若
a,b?R,(?)?

b
aba?babab
⑧若
ab? 0
，则
?
11111
2
??(?)
上述不等式中等号成立的 充要条件均为：
a?b
⑨若
a
2
b
2
2ab
a
2
b
2
(a?b)
2
m,n?R,a,b?R
，则
??
（当且仅当
an?bm
时等号成立）⑩
mnm?n
可编辑

.
(a?b?c)
2
?3(a
2
?b
2
?c
2
)
（当且仅当
a?b?c
时等号成立 ）.通过对公式变式的探究激
活了它的应用功能，从而可以解决一系列相关问题。
二、概念的探究学习
在概念教学中，探究学习是从具体到表象到抽象的过程，学生获得概念的 过程，是一个
抽象概括的过程。对抽象数学概念的教学，更要关注概念的实际背景与形成过程，让学生体
验一些熟知的实例，克服机械记忆概念的学习方式，经历知识的形成过程。
概念的引入 体验概念产生过程
在教学中引导学生观察有关事物、模型、图识等，让学生在感性认识的基础上，建立 概
念，用类比的方法引入概念。例如：在椭圆概念的教学时，让学生动手做实验，取一条定长
的 细绳，把它的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动
笔尖，画出的轨 迹是什么曲线？学生通过动手实践，观察所画出来的图形，归纳总结出椭圆
的定义。
概念的形成 挖掘概念内涵与外延
通过对具体事例或已掌握知识的分析，抽出事物的关键特征 。并使用学生能理解的方式
陈述定义。有些概念由于其内涵丰富、外延广泛等原因，很难一步到位，需要 分成若干个层
次，逐步加深提高。如三角函数的定义，经历了以下三个循序渐进、不断深化的过程：①用
直角三角形边长的比刻画的锐角三角函数的定义；②用点的坐标表示的锐角三角函数的定
义；③ 任意角的三角函数的定义。由此概念衍生出：①三角函数的值在各个象限的符号；②
三角函数线；③同角 三角函数的基本关系式； ④三角函数的图象与性质；⑤三角函数的诱
导公式等。
概念的运用 巩固概念解决问题
将易混淆的概念加以对比、辨析，可以举出一些与教材中叙述方式类似的新例子或不 同
于教材中叙述方式的新例子，帮助学生真正理解概念。如在“异面直线”概念学习后，为了
能 让学生对概念有更深的理解，可以通过下面的情景来帮助解决。如：①让学生观察教室中
的课桌、灯管等 物体，举例说明哪些是异面直线问题；②图形展示，让同学找出图中的异面
可编辑

.
直线，最后以平面作衬托画出异面直线的图形。学生经过以上过程对异面直 线的概念有了明
确的认识，同时也经历了概念发生发展过程的体验。练习的目的在于巩固深化概念，形成 技
能，培养分析问题、解决问题的能力。
三、习题的探究学习
在习题教学中，探究 学习可通过一题多解、一题多变、纠错觅源等培养学生的发散思维
能力。要让学生在掌握基础知识、基本 方法、基本技能的前提下，学会从多个角度提出新颖
独特的解决问题的方法，培养他们解决问题的实践能 力，发展他们的创新思维，使他们具有
敏锐的观察力、创造性的想象、独特的知识结构以及活跃的灵感等 思维素质。
一题多解 培养思维的发散性
一题多解即对同一数学问题，从不同的角度审视， 用不同的方法思考而得到不同的解答
方案。在习题教学中，适当的一题多解，可以激发学生去发现和去创 造的强烈欲望，也可以
加深对所学知识的贯通和运用。有利于于拓展思路，培养发散思维能力和创新精神 ，也有利
于扩大认识空间，促进数学知识的掌握和能力的提高。
例1．已知
?
a
n
?
为等差数列，其前10项的和
S
10
=100，前 100项的和
S
100
=10。求前110
项的和
S
110
.
解法一：要求等差数列的和可先求首项及公差，利用方程思想(常规解法)
1< br>?
10a??10?9d?100
?
?
1
2
求出a< br>1
，d
. 设数列
?
a
n
?
的首项为
a
1
，公差为
d
，则
?
?
100a?
1
?100?99d?10
1
?
2
?
再由
S
110
?110
a
1
?
(110?109)
d
，得 出结论.
2
解法二：函数思想（待定系数法）
数列
?
a
n
?
的前
?
100A?10B?100
n
项和
S
n
?An
2
?Bn.，
则
?
，
?
10000A?100B?10
可编辑

.
解出A??
11111
2
再由
S
110
?A?110?B?110??110
.
，B?
10010
解法三：利用性质（简化运算）
因为数列
?
a
n
?
为等差数列,
?S
1 00
?S
10
?a
11
?a
12
????a
100
?
?a
1
?a
110
?a
11
? a
100
??2
，
?S
90(a
11
?a
100
)
??90
，
2
110
110(a
1?a
110
)
???
110
.
2
通过此题采 用多种解法解答不但激发了学生的创新思维，也培养学生的创造性思维；使
学生能够全面发展成为拥有良 好的创新思维品质和勇于探索的科学精神的高素质人才。
一题多变 培养思维的变通性
一题 多变即从一道习题出发，通过逆向思考，探求新知。变化难度，改变条件，变化题
型，使一道题变成一类 题。在习题教学中，不应满足于就题论题，而应该有意识地通过变式
题的探究，形成完整的知识结构，培 养思维的灵活性，达到举一反三。触类旁通的效果。
?
x?y?3?0,
例2．已知 实数
x,y
满足
?
x?y?1?0,
若
z?2x?y
，求
z
的最大值和最小值.
?
?
x?2,
?
?
x?y?3?0,
22
变式1．已知实数
x,y
满足
?
，若
，求
z
的最大 值和最小值.
z?x?y
x?y?1?0,
?
?
x?2,?
?
x?y?3?0,
变式2．已知实数
x,y
满足
?
x?y?1?0,
，若
z?
y
，求
z
的最大值和最 小值.
?
x
?
x?2,
?
例2是线性规划中最基本的截距 型:
z?ax?by?y??
况和
z
的一致；若
b?0
，当
z
xz
当
的最值情
?
.若
b?0
，
b
bb
z
的最值情况和
z
的相反；变式1是距离型：
z? (x?a)
2
?(y?b)
2

b
即
z
几 何意义为可行域内的动点与定点
(a,b)
的距离的平方。变式2是斜率型：
（x,y ）
z?
y?b
（x,y）
即
z
的几何意义为可行域内的动 点与定点
(a,b)
连线的斜率。通过一道题，
x?a
解决了一类问题。
可编辑

.
纠错觅源 培养思维的批判性
纠错觅源即多思 考解题中易混易错的地方，总结应注意的问题，分析原因，并加以改正。
在习题教学中，关注错题，错题 中蕴含着大量信息。可能存在知识点的缺失，也可能反映出
思维品质的薄弱环节，对学生自身解题能力的 提高有着莫大的推动作用。
l
2
:(m?1)x?3my?1?0
若
l
1
与
l
2
平行，
例3．已知直线
l
1
:(
m?
1)
x?my?
2
?
0
，求m
.
22
1
或
m?0
.
2
1错解二：利用
A
1
?B
2
?A
2
?B
1
?
0
且
B
1
?C
2
?B
2?C
1
?0
解得
m?
或
m?1
.
2
1
正确结果是
m?1
或
m?0
或
m?
.原 因是两直线的方程为
l
1
:A
1
x?B
1
y?C< br>1
?0
（其
2
错解一：利用
A
1
?B
2
?A
2
?B
1
?
0
且
A
1< br>?C
2
?A
2
?C
1
?0
解得
m?
中
A
1
，B
1
不同时为0）,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
（其中
A
2
，B
2
不同时为0），则
l
1
与
l< br>2
平行
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
?0，
?
A
1
B
2
?A
2< br>B
1
?0，
的充要条件是
?
或
?
，许多复习 资料都没有正确的说明,
BC?BC?0，AC?AC?0，
2121
?
12
?
12
导致出现理解上的错误，检验就可以纠错，透彻理解就可以觅源。
在 数学教学中开展探究性教育，目的在于培养学生的各种思维能力、应用知识的能力和
实践能力及培养学生 的创新精神。这就要求我们要大胆抛弃 “教师讲，学生听”的传统教
学模式，开展以“学生为主体、老 师为主导”的数学课堂教学模式，不断更新教学观念、改
进教学模式，这样，探究性学习在教学实践中， 必将充满活力和创造力。让我们一起探究性
学习。
参考文献：
[1]黄殷.也谈两直线平行的充要条件 [J] :中学生数学2012.（11月上）.
[2]数学必修③教师教学用书[M]:人民教育出版社，2007.

可编辑