胰岛素的计算公式函数周期性公式大总结

2020年9月21日发(作者：邓存伦)


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函数周期性公式大总结



篇一：函数周期性结论总结
函数周期性结论总结
①f(x+a)=-f(x)T=2a
②f(x+a)=±1T=2af(x)
③f(x+a)=f(x+b)T=|a-b|证明：令x=x-b得
f(x-b+a)= f(x-b+b)f(x-b+a)=f(x)根据公式
f(x)=f(x+T)=f(x+nT)得T =-b+a即a-b
④f(x)为偶函数，且关于直线x=a对称，T=2a
证明：f(x+2a)=f(-x)=f(x)
证明：因为偶函数,所以f(-x)=f(x)因为关于x=a对称
所以f(a+x)=f(a- x)(对称性质）设x=x+a所以
f(x+2a)=f(x)所以周期T=2a)⑤f(x)为奇函数 ，且关于直线
x=a对称，T=4a
证明：f(x+2a)=f(-x)=-f(x)根据①可知T=2·2a=4a
证明：由于图像 关于直线x=a对称、所以f(a+x)=f(a-x)
令x=x+a得：f(x+2a)=f(-x) 又f(x)=-f(-x)故f(x)=-f(x+2a)


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代换x=x+2a得：
f(x+2a)=-f(x+4a)即得f(x)=f(x+4a)于是函数f(x)的
周期为4a
⑥f(x)=f(x+a)+f(x-a)有三层函数，用递推的方法来证
明。
f(x+a)=f(x+2a)+f(x)
f(x+2a)=-f(x-a)换元：令x-a=t那么x=a+t
f(t+3a)=-f(t)根据①可知T=6a
⑦f(x)关于直线x=a,直线x=b对称，T=2|a-b|
证明：f(a+x)=f(a-x)
f(b+x)=f(b-x)
f(2b-x)=f(x)假设
a＞b(当然假设a＜b也可以同理证明出)
T=2(a-b)
现在只需证明f(x+2a-2b)=f(x)即可
⑧f(x) 的图像关于(a,0)(b,0)对称，T=2a-2b(a＞
b)f(x+2a-2b)=f[a+( x+a-2b)]关于直线x=a对称
=f[a-(x+a-2b)]关于直线x=b对称=f(2b- x)=f(x)
证明：根据奇函数对称中心可知：f(a+x)=-f(a-x)
f(2b-x)=-f(x)f(x+2a-2b)
=f[a+(x+a-2b)]
=-f[a-(x+a-2b)]


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=-f(2b-x)
=f(x)
篇二：函数周期公式
主要知识：
1．周期函数：对于f(x)定义域内的每一个x，都存在
非零 常数T，使得f(x?T)?f(x)恒成立，则称函数f(x)具有
周期性，T叫做f(x)的一个周 期，则kT（k?Z,k?0）也是f(x)
的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期．
2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：
函数y?f?x?满足对定义域内任一实数x（其中a为常数），
(1)f?x??f?x?a?，则y?f?x?是以T?a为周期的周期函数；
(2)f?x?a???f?x?，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；
(3)f?x? a???1，则f?x?是以T?2a为周期的周期函数；
fx(4)f?x?a??f?x?b?，则 f?x?是以T?a?b为周期的周期函数；
以上（1）-（4）比较常见，其余几种题目中出现 频率
不如前四种高，并且经常以数形结合的方式求解。
(5)函数y?f(x)满足f( a?x)?f(a?x)（a?0），若f(x)为
奇函数，则其周期为T?4a，若f(x)为偶函数 ，则其周期为
T?2a．
(6)函数y?f(x)?x?R?的图象关于直线x?a和x ?b?a?b?
都对称，则函数f(x)是以2?b?a?为周期的周期函数；
(7)函数y?f(x)?x?R?的图象关于两点A?a,0?、


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b?b,0??a?b?都对称，则函数f(x)是以2?b?a?为周期的周期
函数；
(8)函数y?f(x)?x?R?的图象关于A?a,0?和直线x?b?a?b?
都对 称，则函数f(x)是以4?b?a?为周期的周期函数；
（9）有些题目中可能用到构造，类似于常数列。
（二）主要方法：
1．判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：
一是对定义域中任意的x恒有f(x?T)?f(x)；
二是能找到适合这一等式的非零常数T，
2．解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，
同时要重视数形结合思想方法的运用 ，还要注意根据所要解
决的问题的特征来进行赋值．
证明举例：若函数f（x）有一条对称轴x=a和一个对称
中心（b，0）
（a ?f(x)?f(2a?x)??f[2b?(2a?x)]??f[2(b?a)?x]
??f[2a?2(b?a)?x]??f[2(2a?b)?x]
?f[2b?2(2a?b)?x]?f[4(b?a)?x],周期为4(b?a).
举例:y=sinx,等.
篇三：函数的周期性
抽象函数的周期类型
抽象函数的周期没有具体公式，它需要掌握一定的规律，
记住一些抽象函数的格式。本文列出几种常见的 抽象函数的


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周期类 型，供大家参考（以下x取定义域内的任意值且a、b、
T为非零常数，a≠b）。1.f(x)?f( x?T)型
f(x)的周期为T。释义：对x取定义域内的每一个值时，
都有f(x?T)?f(x)，则
f(x)为周期
函数，T叫函数f(x)的周期。
2.f(x?a)?f(x?b)型
f(x)的周期为|b?a|。释义：
f(x?a) ?f(x?b)?f(x)?f(x?b?a)。3.f(x?a)??f(x)型
f(x)的周 期为2a。释义：
f(x?2a)?f[(x?a)?a]??f(x?a)??[?f(x)]
?f(x)
例.设f(x)是R上的奇函数，f(x?2)??f(x)，当0?x?1
时，f(x)?x，则
f(20XX5.)等于（）
A.0.5
b.－0.5
c.1.5
D.－1.5
.)＝解：此题符合f(x?a)??f(x)型，所以f(x)是以4
为周期的函数。f(20XX5
f(15.?501×


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4)?f(15.)?f(?05.?2)??f(?05.)?f(05.)?05.，选A。
4.f(x?a)??
1
型f(x)
f(x)的周期为2a。
释义：f(x?2a)?f[(x?a)?a]??
1
??
f(x?a)
1
?f(x)。1?
f(x)
5.f(x?a)?
1
型f(x)
f(x)的周期为2a。
释义：f(x?2a)?f[(x?a)?a]?
1
?
f(x?a)
1
?f(x)。f(x)



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6.f(x?a)?
1?f(x)
型
1?f(x)
f(x)的周期为4a。
释义：f(x?2a)?f[(x?a)?a]?
1?f(x?a)
1?f(x?a)
1?1?
?
1?1?
1?f(x)
1f(x)??，f(x)f(x)
1
??
f(x?2a)
1
?f(x)。1?
f(x)
∴f(x?4a)?f[(x?2a)?2a]??
7.两线对称型
函数f(x)关于直线x?a、x?b对称，则


f(x)的周期为

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|2b?2a|。释义：
?f(x)?f(2a?x)，
?f(2a?x)?f(2b?x)?f(x)?f(x?2b?2a)。?
?f(x)?f(2b?x)
正弦函数y?sinx关于直线x?
?
2
、x?
3?
对称，则y?sinx的周期为2
|2×
3??
?2×|?2?。22
8.一线一点对称型
函数f(x)关于直线x?a及点（b，0）对称，则f(x)的
周期为|4b?4a|。释义：
?f(x)?f(2a?x)
?f(2a?x)??f(2b?x)?f(x?2b?2a)??f(x)，所以?
?f(2b?x)??f(x)

f(x?4b?4a)?f[(x?2b?2a)?2b ?2a]??f(x?2b?2a)??[?f(x)]?
f(x)。


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余弦函数y?cosx关于直线x?0及点（
?
2
，0）对称，则y?cosx的周期为
|4×
?
2
?4×0|?2?。
9.两点对称型
函数f(x)关于点（a，0）、（b，0）对称，则f(x)的周
期为|2b?2a|。释义：
?f(2a?x)??f(x)
?f(2a?x)?f(2b?x)?f(x)?f(x?2b?2a)。?
f(2b?x)??f(x)?
x的周期为正弦函数y?sinx关于点（0，0）、(?，0)对
称，则y?sin
|2×??2×0|?2?。
|练习|
??x2＋1，x>0，1．[20XX·福建卷]已知函数f(x)＝?
则下列结论正确的是()
??cosx，x≤0，
A．f(x)是偶函数b．f(x)是增函数c．f(x)是周期函数


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D．f(x)的值域为[－1，＋∞)
2．[2 0XX·湖南卷]已知f(x)，g(x)分别是定义在R上
的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x) ＝x3＋x2＋1，则f(1)＋
g(1)＝()
A．－3b．－1c．1D．3
3．[20XX·新课标全国卷Ⅰ]设函数f(x)，g(x)的定义
域都为R，且f(x )是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中
正确的是()
A．f(x)g(x)是偶函数b．|f(x)|g(x)是奇函数
c．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数
4.．[20XX·新课 标全国卷Ⅱ]已知偶函数f(x)在[0，＋
∞)单调递减，f(2)＝0，若f(x－1)＞0，则x 的取值范围是
________．
5.已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x? 4)??f(x),
且在区间[0,2]上是增函数，则()

A.f(?25) ?f(11)?f(80)b.f(80)?f(11)?f(?25)c.f(11)?f(8
0)? f(?25)D.f(?25)?f(80)?f(11)
6．（20XX济南质检）已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x)??f(x?
3
)，且2


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f(?2)?f(?1)??1，f(0)?2，则f(1)?f(2)?…?f(20XX)?
（）
A．?2b．?1c．0D．1
7．（20XX北京朝阳一模）已知函数f(x)是定义在R上
的偶函数，且对任意的x?R，
都有f(x?2)?f(x)．当0?x?1时，f(x)?x2．若直线y?x?a
与函 数y?f(x)的图象在[0,2]内恰有两个不同的公共点，则
实数a的值是（）
1
2
111
c．?或?D．0或?
424
A．0b．0或?
1．[解析]由函数f(x)的解析式知，f(1)＝2，f(－1)
＝cos(－1)＝cos1，f(1)≠f(－1)，则f(x)不是偶函数；
当x>0时，令 f(x)＝x2＋1，则f(x)在区间(0，＋∞)
上是增函数，且函数值f(x)>1；当x≤0时 ，f(x)＝cosx，
则f(x)在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f(x)∈
[－1，1]；
∴函数f(x)不是单调函数，也不是周期函数，其值域为
[－1，＋∞)．


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2．[解析]因为f(x)是偶函 数，g(x)是奇函数，所以f(1)
＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2 ＋1＝1.
3．[解析]由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函
数与一个偶函数之积 为奇函数，故正确选项为c.
4.[解析]根据偶函数的性质，易知f(x)>0的解集为(－< br>2，2)，若f(x－1)>0，则－2 5.【解析】∵f(x?4)??f(x)，
∴f( x?8)??f(x?4)，∴f(x?8)?f(x)，∴
f(x)
的周期为
8
，∴
f(?2?5f?)
，
f(80)?f(0)
，
f(11)?f(3)?f(?1?4)??f(?1)?f(1)，
又∵奇函数f(x)在区间 [0,2]上是增函数，∴f(x)在区
间[?2,2]上是增函数，∴f(?25)?f(80)?f (11)，故选D.
33
22
∴f(1)?f(?2)??1,f (2)?f(?1)??1,f(3)?f(0)?2，∴
f(1)?f(2)?f(3)?0．


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6.【解析 】∵f(x)??f(x?)，∴f(x?)??f(x?3)，∴函数
f(x)的周期是3，∴
f(1)?f(2)?…?f(20XX)?670[f(1)?f(2)?f(3)]?f(20XX)?f (
20XX)
?f(20XX)?f(20XX)?f(670?3?1)?f(670 ?3?2)?f(1)?f(2
)??2．
7.【解析】如图，直线经过o点时，a?0满足条件；直
线和f(x)?x2相切时，满足条件，
?y?x22由?，得x?x?a?0，?y?x?a
12
∴??(?1)?4a?0，即a??．
4



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