平面向量知识点总结归纳培训讲学

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平面向量知识点总结归纳
1、向量：既有大小，又有方向的量．
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为
0
的向量．
单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：长度相等且方向相同的向量．
2、向量加法运算：
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点．









⑶三角形不等式：
a?b?a?b?a?b
．
⑷运算性质：①交换律：a?b?b?a
；②结合律：
a?b?c?a?b?c
；
③
a?0?0?a?a
．











????
C

a

b

?

?

a?b??C?????C

⑸坐标运算：设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x2
,y
1
?y
2
?
．
3、向量减法运算：
⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
⑵坐标运算：设
a?< br>?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
各种学习资料，仅供学习与交流

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设
?
、
?
两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?，
?
x
2
,y
2
?
，则
???
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?
．
4、向量数乘运算：
⑴实数
?
与向量
a
的积 是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作
?
a
．
①
?
a?
?
a；
②当
?
?0
时 ，
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
?
?0
时，
?
a
的方向与
a
的方向相
反；当
?
? 0
时，
?
a?0
．
⑵运算律：①
?
?
?
a
?
?
?
??
?
a
；②
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a
；③
?
a?b?
?
a?
?
b
．
⑶坐标运算： 设a?
?
x,y
?
，则
?
a?
?
?
x,y
?
?
?
?
x,
?
y
?
．
5、向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线，当且仅当有唯一一个实 数
?
，使
b?
?
a
．
??
??
设
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?< br>?
x
2
,y
2
?
，其中
b?0
，则 当且仅当
x
1
y
2
?x
2
y
1
? 0
时，向量
a
、
bb?0
共线．
??
6、平面向 量基本定理：如果
e
1
、
e
2
是同一平面内的两个不共线向 量，那么对于
这一平面内的任意向量
a
，有且只有一对实数
?
1、
?
2
，使
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
．（不共
线的向量
e
1
、
e
2
作为这一平面内所有向量的一组基底）
7、分点坐标公式：设点?
是线段
?
1
?
2
上的一点，
?
1< br>、
?
2
的坐标分别是
?
x
1
,y
1
?
，
?
x
2
,y
2
?
，当
?
1
??
?
??
2
时，点
?
的坐标是< br>?
?
8、平面向量的数量积：
x
1
?
?
x
2
y
1
?
?
y
2
?
,
?
．
1?
?
??
1?
?
⑴
a?b?abc os
?
a?0,b?0,0?
?
?180
．零向量与任一向量的数量 积为
0
．
⑵性质：设
a
和
b
都是非零向量，则①
a?b?a?b?0
．②当
a
与
b
同向时，
a?b ?ab
；当
a
与
b
反向时，
a?b??ab
；a?a?a
2
?a
或
a?a?a
．③
a?b?ab．
2
??
⑶运算律：①
a?b?b?a
；②
?
?
a
?
?b?
?
a?b?a?
?
b
；③
a?b?c?a?c?b?c
．
⑷坐标运算：设两个非零向量
a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x2
,y
2
?
，则
a?b?x
1
x
2< br>?y
1
y
2
．
各种学习资料，仅供学习与交流
??????

学习资料
若
a?
?
x,y< br>?
，则
a?x
2
?y
2
，或
a?x
2
?y
2
．
设a?
?
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?，则
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2< br>?0
．
设
a
、
b
都是非零向量，
a??
x
1
,y
1
?
，
b?
?
x
2
,y
2
?
，
?
是
a
与
b
的夹角，则
2
cos
?
?

a?b
ab
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y
2
1
2
1
x?y
2
2
2
2
．
各种学习资料，仅供学习与交流