信息技术在高中数学教学中的应用研究

《信息技术在高中数学教学中的应用研究》

双凤中学数学组

一、实验研究的目的
当前，现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学 习等方面产
生深刻的影响．数学与信息技术的相互促进与紧密结合，不仅形成了作为高新技术的核心成< br>分和工具库的数学技术，也深刻地改变了数学的教和学的方式.在利用信息技术创设的数学
学习环 境中，操作、观察、试验、猜想、发现等过程变得具体而清晰，尝试错误的成分减少，
数学思维的目的性 增强，数学推理的逻辑基础更加稳固，数学思考更具有程序性，这就极大
地增加了学生通过自主的、积极 的数学思维而成功建构数学概念、解决数学问题的可能性，
并使以学生发展为本的教育理念得以实现.高 中数学课程提倡实现信息技术与课程内容的有
机整合，而整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质． 利用信息技术使以往教学中难以
呈现的课程内容，得以方便的呈现．使得数学思想容易表达了，数学方法 容易实现了，数学
与现实的联系更加紧密了.
我校自2006年作为课题实验学校参与课题 实验以来，以TI-92PLUS图形计算器作为信
息技术运用的主要工具，在高中数学课程教材与信息 技术整合的研究方面积极进行探索研
究．通过信息技术的介入，构建“多元联系表示”的数学学习环境， 帮助学生在把握数学对
象不同特征的基础上，组合不同表示法中蕴涵的信息，从而大大增加了建立数学对 象不同方
面联系性并把握其本质特征的机会．并积极把接受式学习和发现式学习结合起来，形成互补，< br>从而改变学生被动接受的局面．在学生学习基础知识的过程中，通过信息技术的多元联系表
示，使 学生从不同的角度经历知识的发现过程．而在概念的概括形成过程、应用知识解决问
题的过程中，使学生 从明确知识的学习过程中意会而形成默会知识．因此我们认为图形计算
器在高中数学知识形成中的应用研 究具有重大的意义．
二、实验研究的过程
本课题研究于2006年9月正式启动，在昆明市 成立了云南省课题实验组，以实验学校
为基本单位开展研究．从2006年至2008年期间，学校的研 究工作在李炳涛老师的积极带动
下，崔祥生、王彪、庞明瑞、赵小凡、王白玉老师的积极参与下，组织高 一年级各班的部分
对数学有浓厚兴趣的学生进行以“数学的课外活动为主要形式、进行数学实验为主”的 课题
实验活动，当时的信息技术工具主要借助学校的56台电脑和TI-flash程序软件进行．通过
实验，在数学实验的形式、过程方面在我校形成了具有开创意义的研究成果．2007年，学
校 购进33台TI－92plus图形计算器，并成立了以庞明瑞为校课题实验组组长、赵小凡、王
白玉、 张淑东为课题组成员的实验研究小组，课题组继承前面研究的成果，并在信息技术与
高中数学课程的整合 方面进行了更深层次的探索．在研究过程中，采用了课题实验组与实验
学校相结合，集体研究与个人研究 相结合的原则，定期参加试验区的交流与研讨会议，校内
每月组织一次教学计划与实施的建立，以及教学 实践中出现的问题的研讨．并积极在教学研
讨中贯彻技术的学习与提高．
在研究的方法上，通 过同一个老师教的一个实验班与一个普通非实验班进行横向对比，
使得有无信息技术支持的情况下，学生 的学习方式、教学内容的处理方式的对比，数学实验

的落实程度以及对教学效果的影响等 方面进行了一定的实验和探索．采用以自然条件下的研
究为主，人为控制下的研究为辅的原则．突出纵向 研究与横向研究相结合，尤其注重教学中
的个案研究．我们从整个研究的过程来看经历了以下三个阶段：
（一）对学生的技术培训
在对学生的技术培训中，我们首先对实验班的学生的使用信息技术的 状况进行了一个
调查，调查结果显示，75％的学生能基本掌握电脑的常识与操作，这其中男生的情况远 远好
于女生．而有90％的学生在初中阶段除使用科学计算器来解决数学的计算问题外，对使用
其它的信息技术手段用于数学知识的学习几乎是一个空白．针对这一情况，我们灵活采取对
学生“集中培 训”与在教学过程中“适时培训”的方法实施技术培训．例如：对第二章“函
数”的技术培训因为学生在 初中有一定的知识基础，所以在学习之前我们用了三个课时的时
间对TI－92图形计算器的“代数系统 、函数图象作法、数据表格、数据拟合”的使用进行
培训，又用三个课时的时间对“用几何画板作动态函 数的图象”的技术进行培训．而在学习
第三章“数列”时，又采取当数列的基本概念讲完后，学生已经对 所学内容有了一个粗浅的
认识，这时再对学生进行“数列作图”等技术的培训．通过实践发现，在技术学 习的过程中，
女生的技术学习需要老师的积极关注，学生对一些和数学有关的英语词汇能很快掌握，技术
培训中涉及到的一些内容尽管学生还没有学到例如“数据拟合”，但并没有影响学生对其的
理解 与应用．
（二）实验研究阶段
我们所确定的研究课题为“图形计算器在数学知识形成过程中 的研究”以及“图形计
算器在开展数学实验中的应用研究”．前者主要通过开展研究课的方式来进行的， 首先由课
题组确定授课教师，通过备课及集体备课、课例展示、交流讨论、授课、评议等环节组织了若干节研究课及课例展示．在日常教学及研究课的过程中都坚持把课堂中出现的一些典型的
和值得反 思的问题在课后认真作记录，定期在课题组内对记录的问题作进一步的探讨，主要
解决的问题是借助技术 如何通过“多元联系表示”使学生更好的认识数学的本质．而对后者，
主要是以开展、组织学生课外活动 的方式进行，除了带领学生完成教材中的数学实验、以及
完成这些实验所需的技术培训外，主要对数学实 验进行了更符合学生认知特点的开发，即把
数学实验开发成一种与物理和化学实验类同的模式与步骤让学 生完成，使学生在完成实验的
过程中形成一次对所学知识的拓展、思维锻炼与对数学本质的一次再认识．
三、实验研究的结果
自我校成为实验学校之一进行“高中数学课程教材与信息技术整合的研究 ”以来，在
云南省课题组负责人白涛老师的大力帮助下，在学校领导的积极支持下，在我校课题组的诸< br>位老师的相互配合和共同努力下，教学与科研都取得长足的进步．首先表现在通过进行课题
实验， 极大地促进了学校教师队伍的专业化成长．在课题组老师的带动下，形成全组老师、
不分老幼积极学习信 息技术、更新教学观念、认真贯彻教改精神的积极态度．教师的整体素
质通过课题实验过程的专家引领得 到很大的提高．其间，课题实验老师撰写了20余篇论文，
有10余篇发表或者获奖，其中汤丹老师获全 国“2001－2002年度运用TI技术与中学数学
教学改革一等奖”；孔德宏老师获全国“2003 －2004年度运用TI技术与中学数学教学改革
一等奖”；孔德宏老师的论文“高中数学研究性课题： 漂洗中的优化用水问题”，获中国教

育学会中学数学教学专业委员会第五次全国中学数学 教育论文评选（2003年）一等奖，这
是云南省中学数学历史上首次在全国获得的一等奖；课题组成员 多次在省、市、区各级培训
会上对数学教师进行展示和培训．此外，我校实验班的学生在教改中也表现出 积极的参与态
度，学生在进行课题实验的短时间内写出多篇运用图形计算器学习数学的心得体会及小论< br>文．
除上述成果外，通过实验更重要的成果与影响表现在以下几个方面：
（一）在信息技术的支持下的数学教学方式发生深刻的变化
信息技术可以为学生创造出图文并 茂、丰富多彩、人机交互、即时反馈的学习环境.在
这样的环境中，学生对新知识的构建可以在通过自己 观察 、实验、猜测、推理、交流、反
思等理性思维的基本过程，使学生的学习方式 ．外部给学生的刺 激具有多样性和综合性，
既看得见又听得着，还可以动手操作，这有利于学生调动多种感官协同作用，对 数学知识的
获取和保持具有重要意义，也是数学教学方式与学习方式转变的具体体现.
1．利用信息技术使以往教学中难以呈现的课程内容、数学思想更直观的呈现、更容易
的表达
案例一 在函数的定义教学中，如果我们向学生提出问题：
一条线段MN上的点组成集合A （无限集），以这一线段为直径的半圆上的点组成集合
B（无限集），集合A与集合B哪个集合的元素多 ？
对于以上问题，80％的学生都说集合B的元素比集合A的元素多.
这时老师否定了这 一结论，学生马上跟你“争论”.（学生凭直观，看到的是长短与大
小）学生之所以会这样，是因为他们 没有比较两个无限集元素多少的方法（当然，中学也无
需介绍这样的方法），他们自然只有将比较两个有 限集元素多少的方法用到这里来.
这时教师就指导学生自己在图形计算器上画出图1图中PR⊥MN .拖动点R，观察半圆上
的点P与R的对应关系通过这一活动，学生恍然大悟到：这里的对应法则是线段 MN上的点
所组成的（无限）集合A到半圆上的点所组成的（无限）集合B的映射. 这也回答了刚才的
问题：不能用判定两个有限集的元素多少的方法来判定两个无限集之间的元素多少．

2．信息技术使讲授式教学与活动式教学结合，形成互补
案例二 在进行指数函数的教学中，教师可以为学生创设一个感悟知识的情景：
教师提出问题：世界人口在二十世纪的变化情况如下表：
年份（x）
人数（y亿）
1930
20
1960
30
1974
40
1987
50
1999
60
（1）利用图形计算器建立人口与时间变化的函数关系．
（2）分析“人口与时间变化的函数关系式”的特点，想想应如何对指数函数下定义？
对于以 上问题学生马上能利用图形计算器的数据统计分析的功能通过描点观察→选择
函数→计算出函数解析式→ 验证合理性的过程来感悟指数函数的定义，使其在实际问题的背
景下有了更为深刻的认识．
此时教师再问：指数函数定义中为什么对参数a（a＞0且a≠1）要作如此的规定．
传统的 教学方式教师只能对a取负值时的情况举反例说明．而在运用信息技术的背景
下，教师只要让学生对函数 列出其函数对应值表（如图2），学生就首先感悟到
a取负值时的“恶果”，此时学生就可以自己用反例 来教育自己．而通过对函数的自动作图，
学生又自然发现在a取负值时，函数的图象没有规律，这又为学 生学习等比数列q < 0时的
性质埋下伏笔．

在信息技术支持下的数学学习 活动通过学生自己“观察”“思考”“探究”“归纳”
等栏目，教师则提出恰当的、对学生数学思维有适 度启发的问题，引导学生思考和探索 ，
经历观察 、实验、猜测、推理、交流、反思等理性思维的基本过程，切实改进学生的学习
方式．
（二）在信息技术的支持下的学生学习数学的方式发生深刻的变化
1．信息技术使学生的学习活动保持高认知水平
在信息技术支持下的学习活动中，探究和猜想 可以成为数学学习的核心内容，学生可
以验证自己的猜想，自己发现新命题，并在这个过程中获得逻辑证 明的思路，从而丰富自己
的数学经验，提高直觉能力和想象力，使数学的学习活动保持高认知水平．
案例三 逆映射概念的建立
在反函数的学习过程中，信息技术的整合使学生通过从“特殊现象 →归纳整理→理性
分析→结论得出”这一知识形成过程变得自然、流畅、深刻．下面是案例的一个片断．
师：同学们想一想：如果f：A→B是集合A到B上的映射，那么集合B→A的映射一定
存在吗 ？请同学们思考一下解决这个问题的方法．
学生：有的学生在若有所思，而有三分之一的学生在用计算器操作．
师：（五分钟后）同学们请发表意见．
学生甲：我们想利用一些具体函数作为背景来研究，具 体方案是取一些特殊函数，利
用图形计算器的“blddata”功能得出它们的对应值表得到后，把函 数值y的取值转变为自
变量x的值，同时把自变量x的值作为函数值y的值进行描点观察．（如图4－9 ）

师：通过这些得出的图象的观察，能得出什么结论？
生：发现有的映射存在逆映射，如图4、 6、7．有的则不存在，如图5、8、9．原因正
在思考．
师：同学们分析得很好．从图1、3、4的函数本质分析，存在逆映射的真正原因是什
么？ < br>生：（通过同学们的分组讨论、发表不同意见，分歧渐渐变小，结论慢慢清晰）“一
一映射一定存 在逆映射”，“单调函数一定有反函数”．
曾经在这一学习过程中的难点，学生通过信息技术的帮助， 使得知识的形成过程实现
了真正是以学生为主体、通过自己的探索、发现、归纳而得出结论来实现的．这 样的过程理
解深刻，记忆牢固，体现了知识的形成过程，收到良好的成效．
2．信息技术使理性思维更好的贯穿到学习活动中
案例四 在进行函数的应用举例的教学中， 对于“身高与体重的关系”的例题在人教
社“信息技术整合本”及“现行本”教材中都有，而传统的教学 由于手段的制约只能用待定
系数法取题中所给的12组数据中的第二组和倒数第二组数据来计算身高与体 重的函数解析
式，对于如果用其它的两组数据会发生什么情况，是否可以用全部或多组数据进行求解，是
不能给学生讲清楚的．而在信息技术的支持下，解决这一例题的过程完全由学生通过自己的
探究 就可以圆满完成．但在实际教学中，学生对于身高与体重的函数解析式的合理性验证往
往停留在一种很粗 糙的状态中（如图10），这就是用眼睛观察身高与体重的对应值点与所
求函数解析式图象的靠近程度， 而教师在这种情况下所应该做的就是及时向学生提出：“函
数解析式的合理性是否可以通过数据来说明？ ”这时的教学活动片断如下：
学生活动：用身高与体重函数解析式通过计算器计算身高的函数值，据此 发现实际数
据与计算数据的绝对误差．（如图11）

教师活动：积 极肯定学生对这一数学模型的评价理念的转变．又适时向学生提出：“现
在误差值有了，如何说明现在用 全部数据得到的函数模型与选取两组、三组、等等数据值得
到的函数解析式相比较下的优劣呢？
学生活动：用计算器分别选取各自认为的数据进行计算、然后进行误差分析、通过数
据的比较来说明问 题．如图12－13是分别选取两组、五组数据时的误差分析情况．

在上述的教学片断中发 现，学生通过信息技术的运用，很好的解决了用数学模型的解
还原说明实际问题的解的过程，以及用数字 理性的解决数学模型的合理性验证问题，充分体
现信息技术支持下的高水平学习过程．
3．信息技术把接受式学习和发现式学习结合起来，形成互补，从而改变学生被动接受
的局面
案例五 函数图象的变换过程一定要落实到函数图象上点的坐标变化上
提出问题： 你能解决函数
（上）2.7例题）
在解决这一问题的过程中，学生的探究活动分为三个层次，体现出不同的思维层次与
认知水平．
学生活动一：分别画出函数与的图象进行观察，而效果却是采用这种
与的图象关系吗？（信息技 术整合本高一
方法去探究的大部分学生看着得到的图象觉得很茫然，不明所以．（如图14）主要原因是
在图象靠近渐近线的部分学生看不到有平移的现象．

学生活动二：运用图形计 算器的“blddata”功能收集函数的x与y的值，这时
在数据表格中有的学生将x的所有值都加上 2，也有的学生减去2（如图15），然后用“x+2”
或“x－2”的值与y的值分别得到其散点图， 这时经过与函数
16）进行对比后学生终于发现图象的变化规律．
这时教师又提出问题：为什 么将
不变得到的图象会是
图象上的所有点的横坐标都减去2，而纵坐标
的实际图象（如 图
的图象呢？学生经过集体讨论后，图象平移的本质渐渐清晰起
来，从而完成了对知识的构建．
学生活动三：利用几何画板对上述过程所形成的结论进行验证，如图17．


（三）信息技术为学生进行数学实验教学插上“翅膀”
在中学数学课堂教学中，尽管数学实验 教学早已有人提出，过去，基于技术条件和课
堂条件难于实现，传统的黑板粉笔教学方式，直到现在仍然 占领着主流地位．现在，信息技
术的迅猛发展为数学实验教学的开展创造了最为有利的基础．
在课题实验中，我们对数学实验这个全新的栏目积极引导学生进行尝试，并在实验的
过程、操作和效果上 进行探索、总结．得出的初步结论如下：
数学实验过程一般地可分为六个阶段：
1．课前预 习：实验前派发实验报告表，要求学生事前了解实验目的和预习实验所需的
必备知识．

2．实验设计：学生针对问题，设计并实施一定的实验步骤，清晰地表达问题、体验问
题和理 解问题．
3．观察、分析与思考：学生观察实验过程、分析实验结果和思考问题的结果．
4．发现或猜想：抽象、概括形成概念或提出假设、猜想．
5．适当性检验：在新的情境中检验所形成的观念或猜想的适当性和普遍性．
6．完成实验报告表 ．
案例六 怎样烧开水最快最省煤气
1．实验目的：建立煤 气流量和烧开一壶水所需的时间及用气量之间的函数关系，进而
解决怎样烧开水最快最省煤气的问题．
2．实验过程：
（1）在家庭使用的电子打火煤气灶，发现当关着煤气的时候，煤气旋钮（以 下简称旋
钮）的位置为竖置方向，我们把这个位置定为0°，煤气开到最大时，位置为90°（以0°< br>位置作起始边，旋钮和起始边的夹角）．我们在0-90°中间平均分成五等份，代表不同的
煤气 流量，它们分别是18°，36°，54°，72°，90°，如图18．

（2）记录数据 ：在这5个位置上，分别以烧开一壶水为标准，记录所需的时间和所用
的煤气量．（表1）

（3）处理数据：根据旋钮位置，以及煤开一壶水所需时间（用S表示）、所 用煤气量
（用V表示），我们可以算出不同旋钮位置所代表的煤气流量（用L表示）．结果如下：
L=VS．（表2）

将表2的数据输入图形计算器，应用图形计算器的数据拟合功能可以 得到时间及用气
量之间的函数关系式，然后应用图形计算器的求函数最值的功能可以得到结果．
四、需要进一步研究的问题
（一）信息技术在课堂上的使用无疑可以大大提高学生的探究和发 现的能力．但当前
的考试仍然以笔试为主，信息技术在考试中的应用也没有得到应有的体现，．这就需要 我们
研究如何改革考试制度和考试方法，研究考试如何考察学生的探究和发现能力，或者可以让
图形计算器进考场，发挥它的考试功能，这一问题还有待于进一步解决．
（二）如何在基础知识与基本 技能切实理解、熟练掌握与充分发挥现代信息技术的威
力之间，找到一个最佳的结合点，控制最适当的平 衡度．我们在数学科学的一个重要特点是
它严格的推量和证明．而信息技术所能解决的实验和测量总存在 误差，因而实验决不能代替

逻辑证明，但是逻辑证明的方法可以由实验发现．数学实验只 能提出一些猜想或假设，演设
能力的训练、逻辑推理能力的训练以及逻辑证明程序和方法的学习，还需通 过实验以外的课
堂教学进行．数学实验教学只是数学教学的一个重要方式，决不要以实验教学代替演译、 推
理、证明和练习的教学．
（三）信息技术为学生进行数学实验插上“翅膀”，信息技术整合 本教材中提供的诸多数学
实验实质上体现了数学研究中具体与抽象的辨证关系，与其它学科如物理、化学 、生物的实
验一样，学生实验前需要预习，实验后要完成实验报告．教材中的数学实验能否也专门提供< br>给学生一本数学实验手册，为使学生完整的经历数学实验的过程创造更为有利的条件．对于
若干典 型课例，我们在上课前把实验报告单发给学生，让学生以报告单上的问题为线索，自
主地进行探究实验， 并与同学交流，最后教师再进行归纳和总结，收到了较好的效果．