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高一数学函数解析式、定义域、值域解题方法(含答案)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 04:16
tags:高中数学培训

2017广西高中数学会考试题-人教版高中数学必修1-5教案

2020年9月21日发(作者:熊晖)


学而优教育培训中心
个 性 化 辅 导 教 案
授课时间:
科目: 数学

教学

目标


授课时段:
课题: 函数 学生: 授课老师: M
听课及知识掌握情况反馈:
课堂检测
教学需:加快

保持


放慢


增加内容



教学反思及
下节课内容
安排

学生意见
教学过程(内容)

高一数学函数解析式、定义域、值域解题方法

一. 求函数的定义域与值域的常用方法
求函数的解析式,求函数的定义域,求函数的值域,求函数的最值

二. 求函数的解析式
3、求函数解析式的一般方法有:
(1)直接法:根据题给条件,合理设置变量,寻找或构造变量之间的等量关系,列出等式,解出y。
(2)待定系数法:若明确了函数的类型,可以设出其一般形式,然后代值求出参数的值;
( 3)换元法:若给出了复合函数f[g(x)]的表达式,求f(x)的表达式时可以令t=g(x),以换元< br>法解之;
(4)构造方程组法:若给出f(x)和f(-x),或f(x)和f(1x)的一个 方程,则可以x代换-x(或
1x),构造出另一个方程,解此方程组,消去f(-x)(或f(1x) )即可求出f(x)的表达式;
(5)根据实际问题求函数解析式:设定或选取自变量与因变量后,寻 找或构造它们之间的等量关系,
列出等式,解出y的表达式;要注意,此时函数的定义域除了由解析式限 定外,还受其实际意义限定。

(二)求函数定义域
1、函数定义域是函数自变量的取值的集合,一般要求用集合或区间来表示;
2、常见题型是 由解析式求定义域,此时要认清自变量,其次要考查自变量所在位置,位置决定了自变量
的范围,最后将 求定义域问题化归为解不等式组的问题;
3、如前所述,实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外 ,还受实际意义限制,如时间变量一般取非
负数,等等;
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4、对复合函数y=f[g(x)]的定义域的求解 ,应先由y=f(u)求出u的范围,即g(x)的范围,再从
中解出x的范围I
1
; 再由g(x)求出y=g(x)的定义域I
2
,I
1
和I
2
的交集即为复合函数的定义域;
5、分段函数的定义域是各个区间的并集;
6、含有参数的 函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论,若参数在不同的范围内定义域不一样,则
在叙述结论时分 别说明;
7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论,但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集 合求并集,
作为该函数的定义域;



一:求函数解析式
1、换元法:题目给出了与所求函数有关的复合函数表达式,可将内函数用一个变量代换。
x?1x
2
?x?1
f()?
2
xx
例1. 已知,试求
f(x)

x?11
t?x?
22
f(t)? t?t?1f(x)?x?x?1,x?1

xt?1
解:设,则,代入条件式可得: ,t≠1。故得:
说明:要注意转换后变量范围的变化,必须确保等价变形。

2 、构造方程组法:对同时给出所求函数及与之有关的复合函数的条件式,可以据此构造出另一个方程,
联 立求解。
1
f(x)?2f()?3x
2
?4x?5
x
例2. (1)已知,试求
f(x)

2
f(x)?2f(?x)?3x?4x?5
,试求
f(x)
; ( 2)已知
1
111
f()?2f(x)?3
2
?4?5
xx x
解:(1)由条件式,以
x
代x,则得,与条件式联立,消去
284x5< br>f
?
x
?
?
2
??x
2
??
x3x33
。 得:
?
1
?
f
??
?
x
?
,则
2
f(?x)?2f(x)?3x?4x?5
,与条件式联立 ,消去
f
?
?x
?
,则得:(2)由条件式,以-x代x则得:f
?
x
?
?x
2
?4x?
5
3

说明:本题虽然没有给出定义域,但由于变形过程一直保持等价关系,故所求函数的定义域由解析 式确
定,不需要另外给出。
例4. 求下列函数的解析式:
(1)已知
f (x)
是二次函数,且
f(0)?2,f(x?1)?f(x)?x?1
,求
f(x)

2
(2)已知
f(x?1)?x?2x
,求
f (x)

f(x?1)

f(x)

x?1x
2
?11
)??
,求
f(x)
; (3) 已知
f(
xx
x
2
(4)已知
3f(x)?2f(?x)? x?3
,求
f(x)

【思路分析】
【题意分析】(1)由已知
f(x)
是二次函数,所以可设
f(x)?ax?bx?c(a?0)
,设法 求出
a,b,c

可。
(2)若能将
x?2x
适当变形, 用
x?1
的式子表示就容易解决了。
2
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x?1
为一个整体,不妨设为
t< br>,然后用
t
表示
x
,代入原表达式求解。
x
(4)
x

?x
同时使得
f(x)
有意义,用
?x
代替
x
建立关于
f(x)

f(?x)
的两个方程就行了 。
2
【解题过程】⑴设
f(x)?ax?bx?c(a?0)
,由
f(0)?2,

c?2

13

f(x?1)?f(x )?x?1
,得恒等式
2ax?a?b?x?1
,得
a?,b??

22
1
2
3
故所求函数的解析式为
f(x)?x?x?2< br>。
22
22
(2)
?f(x?1)?x?2x?(x)?2x?1? 1?(x?1)?1

(3)设
x?0,x?1?1,?f(x)?x
2
?1(x?1)

x?11
(3)设
?t,则x?,t?1

xt?1
x? 1x
2
?1111
22
)???1???1?(t?1)?(t?1)?t? t?1

f(t)?f(
22
xxx
xx
2
所以
f(x)?x?x?1(x?1)

(4)因为
3f(x)?2f(?x)?x?3


?x
代替
x

3f(?x)?2f(x)??x?3

3
解①②式得
f(x)?x?

5

?
【题后思考】求函数解析式常见的题型有:
(1)解析式类 型已知的,如本例⑴,一般用待定系数法。对于二次函数问题要注意一般式
y?ax
2
?bx?c(a?0)
,顶点式
y?a(x?h)
2
?k
和标根式< br>y?a(x?x
1
)(x?x
2
)
的选择;
(2) 已知
f[g(x)]

f(x)
的问题,方法一是配凑法,方法二是换元法, 如本例(2)(3);
(3)函数方程问题,需建立关于
f(x)
的方程组,如本例 (4)。若函数方程中同时出现
f(x)

f()

则一般将式中的
x

1
x
1
代替,构造另一方程。
x
特别注意:求函数的解析式时均应严格考虑函数的定义域。

















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二:求函数定义域
1、由函数解析式求函 数定义域:由于解析式中不同的位置决定了变量不同的范围,所以解题时要认真分
析变量所在的位置;最 后往往是通过解不等式组确定自变量的取值集合。
y?x?2?
例3. 求
x?3
x?4
的定义域。
?
?
x?2?0
?< br>?
x?4
,从而解得:x>-2且x≠±4.故所求定义域为: 解:由题意知:
?
{x|x>-2且x≠±4}。
例2. 求下列函数的定义域:
(1)
f(x)?
5?x
; (2)
f(x)?x?1?1?x

x?3
【思路分析】
【题意分 析】求函数的定义域就是求自变量的取值范围,应考虑使函数解析式有意义,这里需考虑分母
不为零,开 偶次方被开方数为非负数。
?
xx??3,或?3?x?3,或3?x?5
?

(2)要使函 数有意义,则
?
?
5?x?0
?
x?5
【解题过程】(1) 要使函数有意义,则
?
,在数轴上标出,即
,即
?
x?3?0
x??3
?
?
x??3,或?3?x?3,或3?x?5
。故函数的定义域 为
(??,?3)?(?3,3)?(3,5]
.当然也可表示为
?
x?1? 0
?
x?1
,即
?
,所以x?1
,从而函数的定义域为?
x|x?1
?

?
1?x?0
?
x?1< br>【题后思考】求函数的定义域的问题可以归纳为解不等式的问题,如果一个函数有几个限制条件时,那么定义域为解各限制条件所得的
x
的范围的交集,利用数轴可便于解决问题。求函数的定义 域时不应化简解
析式;定义域是一个集合,要用集合或区间表示,若用区间表示数集,不能用“或”连接 ,而应该用并集符
号“
?
”连接。

2、求分段函数的定义域:对各个区间求并集。
例4. 已知函数由下表给出,求其定义域
X 1 2 3 4
35 Y 22 3 14
解:{1,2,3,4,5,6}。
5
-6
6
17

3、求与复合函数有关的定义域:由外函数f(u)的定义域可以确定内函数g(x)的范围 ,从而解得x∈
I
1
,又由g(x)定义域可以解得x∈I
2
.则I
1
∩I
2
即为该复合函数的定义域。也可先求出复合函数的表达式后
再行求解。
例8 已知f(x)?x?3,g(x)?
x
x?4x?3
2< br>,求y?f(g(x))的定义域.
x

由f(x)?x?3?x?3?g(x )?3?
解:
又由于x
2
-4x+3>0 **
联立*、**两式可解得:
x?4x?3
2
?3 ?

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9?339? 33
?x?1或3?x?
44
?
9?33
?
?
9? 33
?
故所求定义域为
?
x|?x?1或3?x?
?
44< br>??
??

例9. 若函数f(2
x
)的定义域是[-1,1],求f(log
2
x)的定义域。
--
解:由f(2
x
)的定义域是[-1,1]可知:2
1
≤2
x
≤2,所以f(x)的定义域为[2
1
,2],故log
2< br>x∈[2

1
?
2,4
?
?

2?x?4
,2],解得,故定义域为
?





三:求函数的值域与最值
求函数的值域和最值的方法十分丰富,下面通过例题来探 究一些常用的方法;随着高中学习的深入,我
们将学习到更多的求函数值域与最值的方法。
1、分离变量法
y?
例11. 求函数
2x?3
x?1
的值域。
y?
解:
说明:这是一个 分式函数,分子、分母均含有自变量x,可通过等价变形,让变量只出现在分母中,再
行求解。

2、配方法
例12. 求函数y=2x
2
+4x的值域。 解:y=2x
2
+4x=2(x
2
+2x+1)-2=2(x+1)2
-2≥-2,故值域为{y|y≥-2}。
说明:这是一个二次函数,可通过配方的方 法来求得函数的值域。类似的,对于可以化为二次函数的函
数的值域也可采用此方法求解,如y=af< br>2
(x)+bf(x)+c。

3、判别式法
2x?3
2
?
x?1
?
?1
1
1
??2?
?0
x?1x?1x?1
,因为
x?1
,故y≠2,所以值域为{y|y≠2}。
x
2
?2x?3

13.
求函数
y?
的值域。

2
4x?5x?6
x
2
?2x?3
y?
2
4x?5x?6
可变形为:解:(4y-1) x
2
+(5y-2)x+6y-3=0,由Δ≥0可解得:
?
26?6326 ?63
?
y?
?
,
?
7171
??
。 < br>说明:对分子分母最高次数为二次的分式函数的值域求解,可以考虑采用此法。要注意两点:第一,其定义域一般仅由函数式确定,题中条件不再另外给出;如果题中条件另外给出了定义域,那么一般情况下就< br>不能用此法求解值域;第二,用判别式法求解函数值域的理论依据是函数的定义域为非空数集,所以将原函
数变形为一个关于x的一元二次方程后,该方程的解集就是原函数的定义域,故Δ≥0。



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4、单调性法

14.
求函数
y?
?2
?3< br>,
x
∈[
4

5
]的值域。

x< br>?2
y??3
513
x
解:由于函数为增函数,故当x=4时,ymin
=;当x=5时,y
max
=,所以函数的值域
25
?< br>513
?
,
??
25
?
。 为
?

5、换元法
例15. 求函数
y?2x?41?x
的值域。
解: 令
t?1?x?0
,则y=-2t
2
+4t+2=-(t-1)
2< br>+4,t≥0,故所求值域为{y|y≤4}。


例3. 求下列函数的值域:
1,2,3,4,5
?
(1)
y?2x?1,x?
?
(2)
y?x?1

1?x
2
(3)
y?

1?x
2
2
(4)
y??x?2x?3,(?5?x??2)

【思路分析】
【题意 分析】求函数的值域问题首先必须明确两点:一是值域的概念,即对于定义域
A
上的函数
y?f(x)
,其值域就是指集合
C?
?
yy?f(x),x?A
?
;二是函数的定义域,对应关系是确定函数值
的依据。
【解题过程】
( 1)将
x?1,2,3,4,5分别代入y?2x?1中计算,
得出函数
的值域为?
3,5,7,9,11
?

(2)
?x?0,?x?1?1
,即所求函数的值域为
[1,??)
或用换元法,令
t?x(t?0),y? t?1(t?0)
的值域为
[1,??)

1?x
2
2
??1?,?
函数的定义域为R。 (3)<方法一>< br>?y?
22
1?x1?x
?1?x
2
?1,?0?
2
?2,?y?(?1,1]

1?x
2
1?x
2
222
?y?yx?1?x?(1?y)x?1?y
<方法二>
y?
21?x
1?y
?x
2
??0,得到y?(?1,1]

1?y
故所求函数的值域为(-1,1]。
(4)<构造法>
y??x?2 x?3??(x?1)?4,??5?x??2,??4?x?1??1

22
?1? (x?1)
2
?16,??12?4?(x?1)
2
?3.
所以函数 的值域为[-12,3]。
【题后思考】求函数的值域问题关键是将函数的解析式变形,通过观察或利 用熟知的基本函数的值域,
逐步推出所求函数的值域,有时还需要结合函数的图象进行分析。


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【模拟试题】(答题时间:30分钟)
一. 选择题
1、函数y=f(x)的值域是[-2,2],则函数y=f(x+1)的值域是( )
A. [-1,3] B. [-3,1] C. [-2,2] D. [-1,1]
解∵函数y=f(x)的值域是[-2,2],
∴y=f(x)的最大值为2,最小值为-2
又∵函数y=f(x+1)的图象是由y=f(x)向左平移1个单位而得
∴函数y=f(x+1)最大值是2,最小值是-2
所以函数y=f(x+1)的值域仍是[-2,2]
故选C
2、已知函数f(x) =x
2
-2x,则函数f(x)在区间[-2,2]上的最大值为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
解答:二次函数求最值
3、一等腰三角形的周长为20,底边长y是关于腰长x的函数,那么其解析式和定义域是( )
A. y=20-2x(x≤10) B. y=20-2x(x<10)
C. y=20-2x(4≤x<10) D. y=20-2x(5解:Y=20-2X
Y>0,即20-2X>0,X<10,
两边之和大于第三边,
2X>Y,
即2X>20-2X
4X>20
X>5。
本题定义域较难,很容易忽略X>5。
∴5
4、二次函数 y=x
2
-4x+4的定义域为[a,b](aA. [0,4] B. [1,4] C. [1,3] D. [3,4]
解: a ,由于对称轴为x=2,当x=0或x=4时有最大值y=4,x=2时有最小值y=0

5、函数y=f(x+2)的定义域是[3,4],则函数y=f(x+5)的定义域是( )
A. [0,1] B. [3,4] C. [5,6] D. [6,7]
解: y=f(x+2)的定义域是[3,4],即 3≤x≤4 则3+2 ≤x+2≤4+2,所以5≤x+2≤6 所以 y=f(x)
的定义域为[5,6] 则5≤x+5≤6,那么0≤x≤1 所以y=f(x+5)的定义域为[0,1]
x
2
?2
y?
2
3x?4x
的值域是( ) 6、函数
A.[
?
?3?17?3?17
?
?3?17?3?17< br>,] B.
?
,
?
??
4444
??
?3?17?3?17?3?17?3?17
]?[,??) D.(??,)?(,??)
4444

C.(??,

解:判别式法




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7、(2007安徽)图中的图像所表示的函数的解析式是( )
333
x?1(0?x?2) B.y??x?1(0?x?2)
222
3
C.y??x?1(0?x?2) D.y?1?x?1(0?x?2)
2

A.y?


二. 填空题
8、若f(x)=(x+a)
3
对任意x∈R都有f(1+x)=-f(1- x),则f(2)+f(-2)= ;
解:∵对任意x∈R,总有f(1+x)=-f(1-x),
∴当x=0时,有f(1+0)=-f(1-0),
即f(1)=-f(1).∴f(1)=0.
又∵f(x)=(x+a)
3
,∴f(1)=(1+a)
3

故有(1+a)
3
=0,解得a=-1.
∴f(x)=(x-1)
3

∴f(2)+f(-2)=(2-1)
3
+(-2-1)
3
=1
3
+(-3)
3
=-2 6.
f(x)?
9、若函数
解: 2(x-2)≤-13 => 13≤2(2-x)
当x>2时,2(2-x) 6≥2-x => x≥-4
∴定义域:[-4,2)
三. 解答题
1
??
2
??, ?
?
3
?
?
,则其定义域为 ;
x?2
的值域为
?
y?
10、求函数



5?x?3x?4
x?2
的定义域。
2
?
?< br>x?2x?1,x?2
f(x)?
?
?
?
?x,x?2
11、已知,若f(a)=3,求a的值。






12、已知函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=-x
2
+4x,试求f(x) 的表达式。
解:
2f(-x)-f(x)=-x?-4x 4f(x)-2f(-x)=-2x?+8x

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相加得 f(x)=-x?+4x3


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习题讲解:
?
log
2
(1?x),x?0
1.定义在R上的函数f(x)满足 f(x)=
?
,则f(2009)的值为( )
f(x?1)?f(x?2),x?0
?
A.-1 B. 0 C.1 D. 2
答案:C.
【解析】:由已知得
f(?1)? log
2
2?1
,
f(0)?0
,
f(1)?f(0)?f (?1)??1
,
f(2)?f(1)?f(0)??1
,
f(3)?f( 2)?f(1)??1?(?1)?0
,
f(4)?f(3)?f(2)?0?(?1)?1
,
f(5)?f(4)?f(3)?1
,
f(6)?f(5)?f(4)?0
,
所以函数f(x)的值以6为周期重复性出现.,所以f(2009)= f(5)=1,故选C.
【命题立意】:本题考查归纳推理以及函数的周期性和对数的运算.
?
x
2
?4x?6,x?0
2.设函数
f(x)?
?则不等式
f(x)?f(1)
的解集是( )
x?6,x?0
?
A
(?3,1)?(3,??)
B
(?3,1)?(2,??)

C
(?1,1)?(3,??)
D
(??,?3)?(1,3)

答案:A
【解析】由已知,函数先增后减再增

x?0

f(x)?2f( 1)?3

f(x)?3,

解得
x?1,x?3


x?0

x?6?3,x??3


f(x)?f(1)?3
,解得
?3?x?1或x?3

【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。
3.已知函数
f(x)
是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数
x
都有
xf(x?1)?(1?x)f(x)


f()
的值 是
A. 0 B.
答案:A
【解析】若
x
≠0,则有
f(x?1)?
5
2
15
C. 1 D.
22

1?x1
f(x)
,取
x??
,则有:
x2
第 9 页 共 11 页


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1
11
2
f(?
1
)??f(?
1
)??f(
1
)
(∵
f(x)
是偶函数,则
f(?
1
)?f(
1
)
)由此
f()?f(??1)?
1
22
22222
?
2
1

f()?0

2
31
1?1?53
2
f(
3
)?
5
f(
3
)?5
f(
1
?1)?
5
[
2
]f(
1< br>)?5f(
1
)?0
于是,
f()?f(?1)?
3
22232323
1
22
22
1
4.若
f(x)?
x
?a
是奇函数,则
a?

2?1
1
答案
2
1?
12
x
?a??a,f(?x)??f(x)
【解 析】解法1
f(?x)?
?xx
2?11?2
2
x
112< br>x
1
??a??(?a)?2a???1故a?

1?2
x< br>2
x
?11?2
x
1?2
x
2
?
3
x
,x?1,
5.已知函数
f(x)?
?

f(x )?2
,则
x?
.
?
?x,x?1,
答案
log
3
2

.w【解析】5.u.c本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求
x
的值. 属于基础知识、基本运算的考查.
?
x?1
?
x?1
?x?log
3
2

?

?
x
无解,故应填
l og
3
2
.
?
?x?2?x??2
?
3?2?1
6.记
f(x)?log
3
(x?1)
的反函数为
y?f(x)
,则方程
f
?1
(x)?8
的解
x?

答案2
?1
y?1
【解法1】由
y?f(x)?log
3
(x?1)
,得
x?3
,即
f(x)?3x?1
,于是 由
3x?1?8
,解得
x?2

【解法2】因为
f?1(x )?8
,所以
x?f(8)?log
3
(8?1)?2











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