第一讲：凸函数与琴生不等式(带解答)

周六自主招生培训讲座
第一讲：凸函数与琴生不等式
一、函数的凹凸性：
定义：设连续函数
f(x)
的定义域为 (
a
，
b
)，如果对于 (
a
，
b
)内任 意两数
x
1
，
x
2
，都有
f(
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)

)?
22
①
则称
f(x)
为 (
a
，
b
)上的下凸函数．
注：①若把①式的不等号反向，则称这样的
f(x)
为区间 (
a
，
b
)上的上凸函数．（或凹函数）
②下凸函数的几何意义：过
y?f(x)
曲线上的任意两点作弦，则弦的中点必在该曲线的上
方（或曲线上）．
③
f(x)
的二阶导数
f' '(x)?0
，则
f(x)
为下凸函数；
f(x)
的二阶导数
f''(x)?0
，则

f(x)
为上凸函数。
?
?
常见的上凸（凹）函数，
?
0，

?
上，y=sinx,y=cosx,y=lnsinx,y=lncosx
?
?
2?
常见的（下）凸函数，
?
0，+?
?
上，y=x
2< br>,y=x
3
,y=x
n
,y=
二、琴生不等式性质：
若
f(x)
在区间
I
为下凸函数，则对
x
1
,x
2
,
?
,x
n
总有
f(
1

n
x
?I
，
x
1
?x
2
??? x
n
f(x
1
)?f(x
2
)???f(x
n)
)?
；
nn
当且仅当
x
1
?x
2
???x
n
时取到等号。
?I
，
若
f(x)< br>在区间
I
为上凸函数，则对
x
1
,x
2
,< br>?
,x
n
总有
f(
x
1
?x
2???x
n
f(x
1
)?f(x
2
)???f(xn
)
)?
。
nn
当且仅当
x
1
?x
2
???x
n
时取到等号。
三、加权形式：
对任意一列 a
1
，a
2
，
?
，a
n
?R
+< br>，a
1
+a
2
+
?
+a
n
=1，函 数f(x)是
?
a,b
?
上的凸函数，有
f(a
1
x
1
+a
2
x
2
+
?
a
n
x
n
)?a
1
f
?
x
1
?
+a
2
f
?
x
2
?
+
?
+a
n
f
?
x
n
?
;
对任意一列a
1
，a
2
，
?
，a
n
?R
+
，a
1
+a
2
+
?
+a
n
=1，函数f(x)是
?
a,b
?
上的凹函数，有
f(a
1
x
1
+a
2
x
2
+
?
a
n
x
n
)?a
1
f
?
x
1
?
+a
2
f
?
x
2
?
+
?
+a
n
f
?
x
n
?
.
1

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附：应用
f(x)?
1
，此时是下凸函数，可得倒数平方和的不等式
x
2
111n
3
?
2
?
?
?
2
?
，等号成立条件
a
1
22
a
1
a
2
a
n
(a
1
?a
2
?
?
?a
n
)
?a
2
???a
n
。
而与此对应的另一个倒数和再平方的不等式，是利用调和平均和平方平均的关系，得到的
11 1
2
n
2
(??
?
?)?
222
a
1
a
2
a
n
a
1
?a
2
??
?a
n
常用不等式：
tt
x
1
t
+x
2
+
?
+x
n
?
x+x+
?
+x
n
?
?
?
12
?
(t>1);
nn< br>??
t
，等号成立条件
a
1
?a
2
???a
n
。
tt
x
1
t
+x
2
+?
+x
n
?
x+x+
?
+x
n
??
?
12
?
(0
nn
??t
?
x
1
+x
2
+
?
+x
n
?
??
?x
1
x
2
?
x
n
n
??


例1 证明：(1)
f(x)?sinx
在
[0，
?
)
上是上凸函数
(2)
g(x)?lgx
在
(0，??)
上是上凸函数
n
?
(3)
h(x)?tanx在[0，)
上是下凸函数
2
证明：(1) 对
?x
1
，x
2
?[0，
?
)

f(x
1
)?f(x
2
)
1
x?x
2
x? xx?x
2
x?x
2
?(sinx
1
?sinx
2
)?sin
1
cos
12
?sin
1
?f(
1
)
222222

(2) 对
?x
1
，x
2
?[0，+?)

lgx
1
?lgx
2
x?x
2

?lgx
1
x
2
?lg
1
22
即：
g(x
1
)?g(x
2
)x?x
2
?g(
1
)
．
22
(3) 当
0?x
1
，x
2
?
?
2
时
s inx
1
sinx
2
sin(x
1
?x
2
)2sin(x
1
?x
2
)

???
cosx1
cosx
2
cosx
1
cosx
2
cos( x
1
?x
2
)?cos(x
1
?x
2
)< br>tanx
1
?tanx
2
?
?
2sin(x
1
?x
2
)x?x
sin
??
?2tan
12 （∵
?tan
）
cos(x
1
?x
2
) ?12
1?cos
?
2
2

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即：
h(x
1
)?h(x< br>2
)x?x
2
?h(
1
)
．
22
例2 设
A、B、C
是锐角
?ABC
的三个内角，求证 ：
cosA?cosB?cosC?
?
例3
a，b，c?R
，且a + b + c = 3，求证：
8a?1?8b?1?8c?1?9
．
3
;

2
证明：设
f(x)?8x?1
，则
f(x)为(0，+?)
上的凹函数．
1a?b?c
由琴生：
[f(a) ?f(b)?f(c)]?f()?f(1)?3

33
∴
f(a)?f(b)?f(c)?9
．

例4 设
A、B、C
是
?ABC
的三个内角，
?
是非负常数，求
tan



BCCAAB
tan?
?
? tantan?
?
?tantan?
?
的最大值。
222222
例5 用琴生不等式证明均值不等式
A
n
?G
n
，即：
a
i
?R
?
，则
证：∵
a
i
?R
?

设
f(x)?lgx
，则
f(x)< br>为
(0，??)
上的上凸函数
由琴生不等式：
a?a
2
?
?
?a
n
1

(lg a
1
?lga
2
?
?
?lga
n
)?lg
1
nn
a
1
?a
2
?
?
?an
n
?a
1
a
2
?
a
n
．
n
即
n
a
1
a
2
?
a
n
?
a
1
?a
2
?
?
?a
n

n
例6 已知，
x
i
?0,(i?1,2,?,n)，n?2, x
1
?x
2
???x
n
?1，

求证：< br>(1?
1
n
11
)?(1?)
n
???(1?)n
?n(n?1)
n

x
1
x
2
x< br>n
证：
?[(1?
1
n
1
n
11111)?(1?)
n
???(1?)
n
]?
n
(1?)n
(1?)
n
?(1?)
n

x
1
x
2
x
n
x
1
x
2
x
n
? (1?
111
)(1?)?(1?)

x
1
x
2< br>x
n
(
利用结论：
[(1
?

bb
b
1
bbb
)(1
?
2
)
?
(1
?
n
3
)]
?
1
?
(
12
?< br>n
));
a
1
a
2
a
n
a
1
a
2
a
n
1
n
1
n

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?[(1?
1111
)(1?)
?
(1?)]?1?()?1?x
1
x
2
x
n
x
1
x
2?
x
n
x
1
?x
2
?
?
?x
n
1
?
nn
1
1
n
1
n
1
n
x
1
x
2
?
x
n
又
?
n
x
1
x
2
?
x
n
?






111
?[(1?)(1?)
?
(1?)]
n
?1?n
x
1
x
2
xn
?(1?
(1?

111
)(1?)
?
(1 ?)?(n?1)
n
x
1
x
2
x
n
1n
11
)?(1?)
n
?
?
?(1?)
n?n(n?1)
n
x
1
x
2
x
n







例7 已知：
x
i
?0,(i?1,2,?,n)，n?2,x
1
?x
2
???xn
?1，
求证：
x
1
x
1
x
2x
2
?x
n
x
n
?

1
.
n
例8 设
a
i
,b
i
均大于0，
i? 1,2,3,?,n.

证明：
?
a
i
b
i
?(
?
a
i
)(
?
b
i
)
，
p
i?1i?1i?1
nn
1
p
n
1
q< br>q
其中
p?1
，且
11
??1
.
pq
例9
若P为?ABC内任一点，求证?PAB、?PBC、?PCA中至少有一 个小于或等于30?；
证：设?PAB?
?
、?PBC?
?
、?PC A?
?
，且?PAC?
?
'、?PBA?
?
'、?PCB?
?
';
PAsin
?
?PBsin
?
'
?
?
依正弦定理有：PBsin
?
?PCsin
?
'
?
?sin
?
sin
?
sin
?
?sin
?
'sin
?
'sin
?
'
PCsin
?
?PAsin
?
'
?
?
?(sin
?
sin
?
sin
?
)
2
?sin
?
sin
?< br>sin
?
sin
?
'sin
?
'sin
?< br>'




sin
?
?sin
?< br>?sin
?
?sin
?
'?sin
?
'?sin?
'
6
)
6
?
?
?
?
??
?
'?
?
'?
?
'1
?sin
6< br>()?()
6
62
?(
4

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1
?sin
?
sin
?
sin
?
?()
3
2

1
2
?
?
?30?,否则
?
?150?时，
?
、
?中必有一个满足
?
?30?

?在
?
、
?、
?
,中必有一个角满足sin
?
?
例10 （2011, 湖北）
（Ⅰ）已知函数
f
?
x
?
?lnx?x?1,x?
?
0,??
?
求函数
f
?
x
?
的 最大值；
（Ⅱ）设
a
k
,b
k
?
k?1,2,? ,n
?
均为正数，证明：
（i）若
a
1
b
1?a
2
b
2
???a
n
b
n
?b1
?b
2
???b
n
，则
a
1
1a
2
2
?a
n
（ii）若
b
1
?b< br>2
???b
n
?1
，则
解：（Ⅰ）
f
?x
?
max
=f(1)=0
（Ⅱ）证明
（i）令g(x)=lnx(x>0), 则g”(x)=
?
nn
bb
b
n
?1

1
?b
1
b
1
b
2
b
2
?b
n
b
n
?b
1
2
?b
2
2
?? ?b
n
2
。
n
(0, +
?
), (k=1,2,…，n)，由琴生不等式：
1
?0,
?
g (x) 在（0 ，+
?
）上是凹函数，对于
?
a
k
?
x
2
n
?
b
k
lna
k
k?1
?
b< br>k?1
n
?ln(
?
b
k?1
n
k
?a
k
kk
?
b
k?1
)?ln1?0(
?
?
a
k
b
k
?
?
b
k
)
k?1k?1
n

?
?
b
k
?lna
k
?0
k?1
n
k
故
?
a
b
k?1

n
k?1
(ii) 由(i)知，g(x)=lnx在
?
0,??
?
上是凹函数，由琴生不等式：
1 对于
?
b
k
?
(0,1), 且
0
?
b< br>k?1
n
k?1
n
k
?1

?
b< br>k?1
n
k
n
?lnb
k
?ln(
k
?
b
k?1
n
k?1
n
2
k
?
b
k?1
?
b
)?
?
b?
?
b
k
2
b
k
k
k?1
n
（*）

k
n
1
2对于b
k
,?(0,??),且
?
b< br>k
?1
b
k
k?1
0
1
bln
?< br>k
b
k
k?1
n
?
b
k?1
n?ln(
1
?b
k
?
b
k?1
k
n< br>k
?
b
k?1
n
k
n
)?ln
n< br>,从而ln
1
k
?
b
k?1
n
?ln
n
b
k
k
故ln
?
b
k
b
?< br>k?1
1
n
(**)


5

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例11 (2012，湖北22题)
（Ⅰ） 已知函数
f(x)?rx?x
r
?(1?r)(x?0)
，其中
r< br>为有理数，且
0?r?1
. 求
f(x)
的
最小值；
（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：
设
a
1
?0,a
2
?0
，
b
1
,b
2
为正有理数. 若
b
1
?b
2
?1
，则
a
1
b
1a
2
b
2
?a
1
b
1
?a
2
b
2
；
（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.
．．．． ．
注：当
?
为正有理数时，有求导公式
(x
?
)
?
?
?
x
?
?1
.
解析：
(I)f(x)min?f
(1)
?0

（II） 证明：令g(x)=lnx(x>0), 则g(x) 在
(0,??)
上为凹函数（1题已证）
1
0
当
a< br>1
，
a
2
中至少有一个为0时，则
a
1
b< br>1
a
2
b
2
?a
1
b
1
? a
2
b
2
成立；
2
0
若
a
1
，
a
2
>0时，由琴生不等式：
b
1
lna
1
?b
2
lna
2
ab?ab
?ln(
1122
)

b
1
?b
2
b1
?b
2
bb
?ln(a
1
b
1
?a
2
b
2
)?a
1
b
a
2
?a1
b
1
?a
2
b
2

?

b
1
?b
2
?1

?
ln
l na
1
b
a
2
1212
综上，原不等式成立。
（III） 命题形式：
??
,n),
若
设
a
k
?0,b
k
为正有理数, (k=1,2,
0
?
b
k?1
n
k
?1,
则
?
a?
?
a
k
b
k

b
k
k
k?1
k?1
n
n
证明：1 当
a
1
,
a
2
……a
n
中至少有一个为0时 ，原不等式显然成立。
2
0
当a
k
>0
(k=1,2,??,n)
时，由琴生不等式：
?b
k?1
n
n
k
lna
k
?ln(
k
?
ab
k?1
n
n
kk
?
b
k? 1
?
b
k?1
)?
?
a?
?
a
k
b
k

b
k
k
k?1
k?1
n< br>n
k
综上，原不等式成立。
例12 设半径为1的半圆上依次有
n ?1
个点
A
1
,A
2
,
?
,A
n ?1
.
线段
A
i
A
i?1
的长度分别记为
a
i
,i?1,2,?,n
，求证：
?
a?
?
a< br>i
a
i?1
a
i?2
?2(n?
?
)
，其中
a
n?1
?a
1
,a
n?2
?a
2
.

2
i
i?1i?1
nn




例13 设
A
1
A
2
?A
n
是圆的内接
n
边形，且
O
点在此
n
边形的内部。又 设
n
a
i
n
2
?
'
?
A
i
A
i?1
?a
i
,A
i
A
i?1
?a
i
，
i?1,2,?,n,
其中
A
n?1
? A
1
,
求证：
?
'
?sin.

?
n
i?1
a
i
6