2017年高考新课标全国1卷理科数学试题和答案解析培训资料

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绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷5页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项 ：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B铅笔将试卷类 型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题
卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作 答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答
案信息点涂黑；如需要改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能
答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢 笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目
指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然 后再写上新答案；
不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题 共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。 1．已知集合
A
={
x
|
x
<1}，
B
={
x
|
3
x
?
1
}，则
A．
AIB?{x|x?0}

C．
AUB?{x|x?1}





B．
AUB?R

D．
AIB??

2．如图，正 方形
ABCD
内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色
部分 关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率
是

A．
1

4
B．
π

8
C．
1

2
D．
π

4
3．设有下面四个命题
1
p
1
：若复数
z满足
?R
，则
z?R
；
z
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p
2
：若复数
z
满足
z
2
?R
，则
z?R
；
p
3
：若复数z
1
,z
2
满足
z
1
z
2
? R
，则
z
1
?z
2
；
p
4
：若复数
z?R
，则
z?R
.
其中的真命题为
A．
p
1
,p
3
B．
p
1
,p
4
C．
p
2
,p
3
D．
p
2
,p
4

4．记
S
n
为 等差数列
{a
n
}
的前
n
项和．若
a
4< br>?a
5
?24
，
S
6
?48
，则
{ a
n
}
的公差为
A．1 B．2 C．4 D．8 < br>5．函数
f(x)
在
(??,??)
单调递减，且为奇函数．若
f(1)??1
，则满足
?1?f(x?2)?1
的
x
的取值范围 是
A．
[?2,2]

6．
(1?
B．
[?1,1]
C．
[0,4]
D．
[1,3]

1
2
6
展开式中的系数为
x
)(1?x)
2
x
B．20 C．30 D．35 A．15
7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三 角形组成，
正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为

A．10 B．12
nn
C．14 D．16
和两个空白框中，8．右面程序框图是为了求出满足3
?2
>1000的最 小偶数
n
，那么在
可以分别填入

A．
A
>1 000和
n
=
n
+1
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B．
A
>1 000和
n
=
n
+2
C．
A
?
1 000和
n
=
n
+1
D．
A
?
1 000和
n
=
n
+2
9．已知曲线
C
1
：
y
=cos
x
，
C
2
：
y
=sin (2
x
+
2π
)，则下面结论正确的是
3
A．把
C
1
上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移
单位长 度，得到曲线
C
2
B．把
C
1
上各点的横坐标伸长到原来 的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
单位长度，得到曲线
C
2
C ．把
C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
单位长度，得到曲线
C
2
D．把
C
1
上各点的横坐标缩短到原来的
个单位长度，得到曲 线
C
2

π
个
6
π
个
12
1
π
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个
26
1
π
倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
212
10．已知
F
为抛物线< br>C
：
y
=4
x
的焦点，过
F
作两条互相垂直 的直线
l
1
，
l
2
，直线
l
1
与
C
交
于
A
、
B
两点，直线
l
2< br>与
C
交于
D
、
E
两点，则|
AB
| +|
DE
|的最小值为
A．16 B．14 C．12 D．10
2
11．设
xyz
为正数，且
2
x
?< br>3
y
?
5
z
，则
A．2
x
<3
y
<5
z
B．5
z
<2
x
<3
y
C．3
y
<5
z
<2
x
D．3
y
<2
x
<5
z

12．几位大学生响应国 家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，
他们推出了“解数学题获取软件激活 码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的
答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4 ，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项
是2，接下来的两项是2，2，再接下来的三项是2，2 ，2，依此类推.求满足如下条
件的学科网&最小整数
N
：
N
>10 0且该数列的前
N
项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码
是
A．440 B．330 C．220 D．110
001012
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量
a
，
b
的夹角为60°，|
a
|=2，|
b
|=1，则|
a
+2
b
|= .
?x?2y?1
?
14．设
x
，
y
满足约束条件
?
2x?y??1
，则
z?3x?2y
的最小值为 .
?
x?y?0
?
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x< br>2
y
2
15．已知双曲线
C
：
2
?
2
?1
（
a
>0，
b
>0）的右顶点为
A
，以
A
为圆心，
b
为半径做圆
A
，
ab
圆
A
与双曲线
C
的一条渐近线交于
M
、
N
两 点。若∠
MAN
=60°，则
C
的离心率为________。
16．如图，圆形纸片的圆心为
O
，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形
ABC
的中心为
O
。
D
、
E
、
F
为圆
O
上的点，△
DBC
，△
ECA
，△
FAB< br>分别是以
BC
，
CA
，
AB
为底边的等腰三角形。< br>沿虚线剪开后，分别以
BC
，
CA
，
AB
为折痕折起 △
DBC
，△
ECA
，△
FAB
，使得
D
、
E
、
F
重合，得到三棱锥。当△
ABC
的边长变化时，所 得三棱锥体积（单位：cm）的最大值为
_______。
3

三、解答题 ：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必 须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
a
2
△
ABC
的内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，已知△
ABC
的面积为
3sinA
（1）求sin
B
sin
C
;
（2） 若6cos
B
cos
C
=1，
a
=3，求△
ABC
的周长.
18.（12分）
如图，在四棱锥
P-ABCD
中，< br>ABCD
，且
?BAP??CDP?90
o
.

（1）证明：平面
PAB
⊥平面
PAD
；
（2）若
PA
=
PD
=
AB
=
DC
，
?APD? 90
，求二面角
A
-
PB
-
C
的余弦值.
19．（12分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机 抽取16个
零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生
产的零件的尺寸服从正态分布
N(
?
,
?
2
)．
（1）假设生产状态正常，记
X
表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
o
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之外的零件数，求
P(X?1)
及
X
的数学期望；
（2） 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在
(
?
?3
?
,
??3
?
)
之外的零件，就认为这
条生产线在这一天的生产过程可能出现了 异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
1
16
1
16
1
16
22
x
i
?9.97
，
s?
经计算得
x?
(x
i
?x)?(
?
x
i
?16x
2
)
2
?0.212
，
?
?
16
i?1
16
i?1
16
i?1
其中
x
i< br>为抽取的第
i
个零件的尺寸，
i?1,2,???,16
．
?
，用样本标准差
s
作为
?
的估计值
?
用样本平均 数
x
作为
?
的估计值
?
?
，利用估计值
?
?3
?
?
,
?
?
?3
?
?
)
之外的学科网数据，用剩下判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除
(
?的数据估计
?
和
?
（精确到0.01）．
附：若随机变量Z
服从正态分布
N(
?
,
?
2
)
，则
P(
?
?3
?
?Z?
?
?3
?
) ?0.997 4
，
0.997 4
16
?0.959 2
，
0.008?0.09
．
20.（12分）
3
x< br>2
y
2
已知椭圆
C
：
2
?
2
=1
（
a
>
b
>0），四点
P
1
（1, 1），
P
2
（0,1），
P
3
（–1，
），
P
4
（1，
2
ab
3
）中恰有三点在椭圆
C上.
2
（1）求
C
的方程；
（2）设直线
l
不经过
P
2
点且与
C
相交于
A
，
B两点.若直线
P
2
A
与直线
P
2
B
的 斜率的和为
–1，证明：
l
过定点.
21.（12分）
已知函数
（fx)?
a
e+(
a
﹣2) e﹣
x
.
（1）讨论
f(x)
的单调性；
（2）若
f(x)
有两个零点，求
a
的取值范围.
（二） 选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第
一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
?
x?3cos
?< br>,
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
?< br>（
θ
为参数），直线
l
的参数方
y?sin
?
,
?
2
xx
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程为
?
x?a?4t,
（t为参数）
.
?
y?1?t,
?
（1）若
a
=?1，求
C
与
l
的交点坐标；
（2）若
C
上的点到
l
的距离的最大值为
17
，求 a.
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数
f
（
x
）=–
x
+
ax
+4，
g
(
x
)=│
x
+1│+│
x
–1│.
（1）当
a
= 1时，求不等式
f
（
x
）≥
g
（
x
）的解 集；
（2）若不等式
f
（
x
）≥
g
（
x
）的解集包含[–1，1]，求
a
的取值范围.


2
2017年新课标1理数答案
1.A
2.B
3.B
4.C
5.D
6.C
7.B
8.D
9.D
10.A
11.D
12.A
13.
23

14.
?5

15.
23

3
16.
415

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1a
21a
17.解：（1）由题设得
acsinB?
，即
csinB?
.
23sinA
23sinA
1sinA
.
sinCsinB ?
23sinA
2
故
sinBsinC?
.
3
由 正弦定理得
（2）由题设及（1）得
cosBcosC?sinBsinC??,
，即
cos(B?C)??
所以
B?C?
1
2
1
.
2
2π
π
，故
A?
.
3
3
1a
2
由题设得
bcsinA?
，即
bc?8
.
23 sinA
2
由余弦定理得
b
2
?c
2
?bc?9< br>，即
(b?c)?3bc?9
，得
b?c?33
.
故
△ABC
的周长为
3?33
.
18.解：（1）由已知
?BAP??CDP?90?
，得
AB
⊥
AP
，
C D
⊥
PD
.
由于
AB
∥
CD
，故
AB
⊥
PD
，从而
AB
⊥平面
PAD
.
又
AB

?
平面
PAB
，所以平面
PAB
⊥平面
PAD
.
（2）在平面
PAD
内做
PF?AD
，垂足为
F
，
由（1）可知，
AB?
平面
PAD
，故
AB?PF
，可得
PF?
平面
ABCD
.
uuur
uuur
以
F
为坐标原点，
FA
的方向为
x
轴正方向，
|A B|
为单位长，建立如图所示的空间直角坐
标系
F?xyz
.

由（1）及已知可得
A(
2
222
,1,0)
.
,0,0)
，
P(0,0,)
，
B(,1,0)
，
C(?< br>2
222
uuuruuur
uuuruuur
22
22
,1,?)
，
CB?(2,0,0)
，
PA?(,0,?)
，AB?(0,1,0)
. 所以
PC?(?
22
22
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设
n?(x,y,z)
是平面
PCB
的法向量，则
uuu r
?
22
?
x?y?z?0
?
?
?
n?P C?0
，即，
uuur
22
?
?
?
?
2 x?0
?
n?CB?0
?
可取
n?(0,?1,?2)
.
设
m?(x,y,z)
是平面
PAB
的法向量，则
uuu r
?
22
?
m?PA?0
?
x?z?0
?
，即，
uuur
?
?
22
?
?
y?0
?
m?AB?0
?
可取
n?(1,0,1)
.
则
cos?
n?m3
，
??
|n||m|3
3
.
3
所以二面角
A?PB ?C
的余弦值为
?
19.【解】（1）抽取的一个零件的尺寸在
(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
之内的概率为0.9 974，从而零件
的尺寸在
(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
之外的概率为0.0026，故
X~B(16,0.0026)< br>.因此
P(X?1)?1?P(X?0)?1?0.9974?0.0408
.
X
的数学期望为
EX?16?0.0026?0.0416
.
（2 ）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在
(
?
?3
?
,
?
?3
?
)
之外的概率只有0.0026，
一天内抽取的16个零件 中，出现尺寸在
(
?
?3
?
,
?
?3
?< br>)
之外的零件的概率只有0.0408，
发生的概率很小.因此一旦发生这种情况，就有 理由认为这条生产线在这一天的生产过程学
科&网可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查， 可见上述监控生产过程的方法
是合理的.
?
?0.212
，由
?< br>?9.97
，
?
的估计值为
?
（ii）由
x?9.9 7,s?0.212
，得
?
的估计值为
?
?
?3
?
?
,
?
?
?3
?
?
)
之外，因此 需对当天的生产过程进样本数据可以看出有一个零件的尺寸在
(
?
行检查.
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?
?3
?
?
,
?
?
?3
?
?
)
之外的数据剔除
(?
9.22，剩下数据的平均数为
1
(16?9.97?9.22)?10.02
，因此
?
的估计值为10.02.
15
?
x
i? 1
16
2
i
?
?3
?
?
,
??
?3
?
?
)
之外的数据9.22，剩
?16?0.2 12
2
?16?9.97
2
?1591.134
，剔除
(< br>?
下数据的样本方差为
1
(1591.134?9.22
2
? 15?10.02
2
)?0.008
，
15
因此
?
的估计值为
0.008?0.09
.
20.（12分）解：
（1）由于
P
3
，
P
4< br>两点关于
y
轴对称，故由题设知
C
经过
P
3
，
P
4
两点.
又由
1113
知，
C
不经 过点
P
1
，所以点
P
2
在
C
上.
???
2222
aba4b
?
1
?1
?
?
a
2
?4
?
?
b
2
因此
?
，解 得
?
2
.
13
b?1
?
?
?
? ?1
22
?
4b
?
a
x
2
故
C< br>的方程为
?y
2
?1.
4
（2）设直线
P
2
A
与直线
P
2
B
的斜率分别为
k
1，
k
2
，
4?t
2
如果
l
与
x
轴垂直，设
l
：
x
=
t
，由题设知
t ?0
，且
|t|?2
，可得
A
，
B
的坐标分别为（
t
，），
2
4?t
2
（
t
，
?< br>）.
2
4?t
2
?24?t
2
?2
??? 1
，得
t?2
，不符合题设.
则
k
1
?k
2
?
2t2t
x
2
从而可设
l
：
y?k x?m
（
m?1
）.将
y?kx?m
代入
?y
2< br>?1
得
4
(4k
2
?1)x
2
?8kmx ?4m
2
?4?0

由题设可知
?=16(4k
2
?m
2
?1)?0
.
4m
2
?4
8km
设
A
（
x
1< br>，
y
1
），
B
（
x
2
，
y
2
），则
x
1
+
x
2
=
?
2
，
x
1
x
2
=.
4k
2
? 1
4k?1
y?1y
2
?1
而
k
1
?k< br>2
?
1

?
x
1
x
2
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?
?
kx
1
?m?1kx
2
?m?1
< br>?
x
1
x
2
2kx
1
x
2
?(m?1)(x
1
?x
2
)
.
x
1
x
2
由题设
k
1
?k
2
??1
，故
(2k?1)x
1
x
2
?(m?1)(x
1
?x
2
)?0
.
4m
2
?4?8km
即
(2k?1)?
2
?(m?1)?
2
?0
.
4k?14k?1
m?1
解得
k??
.
2
当且仅 当
m??1
时，
??0
，欲使
l
：
y??
所以
l
过定点（2，
?1
）

21.解：（1）
f(x)
的定义域为
(??,??)
，
f
?
(x)?2ae
2x
m?1m?1
x?m
，即
y?1??(x?2)
， < br>22
?(a?2)e
x
?1?(ae
x
?1)(2e
x
?1)
，
（ⅰ）若
a?0
，则
f
?
( x)?0
，所以
f(x)
在
(??,??)
单调递减.
（ ⅱ）若
a?0
，则由
f
?
(x)?0
得
x??ln a
.
当
x?(??,?lna)
时，
f
?
(x) ?0
；当
x?(?lna,??)
时，
f
?
(x)?0，所以
f(x)
在
(??,?lna)
单调递减，在
(?lna ,??)
单调递增.
（2）（ⅰ）若
a?0
，由（1）知，
f(x)
至多有一个零点.
（ⅱ）若
a?0
，由（1）知，当
x??lna
时，
f(x )
取得最小值，最小值为
f(?lna)?1?
1
?lna
. a
①当
a?1
时，由于
f(?lna)?0
，故
f(x )
只有一个零点；
②当
a?(1,??)
时，由于
1?
③ 当
a?(0,1)
时，
1?
又
f(?2)?ae
?4
1
?lna?0
，即
f(?lna)?0
，故
f(x)
没 有零点；
a
1
?lna?0
，即
f(?lna)?0
.
a
?(a?2)e
?2
?2??2e
?2
?2?0
，故
f(x)
在
(??,?lna)
有一个零点.
设正整数
n
0
满足
n
0
?ln(?1)
，则
f(n
0
)?e
0
(ae
0
?a?2)?n
0
?e0
?n
0
?2
0
?n
0
?0
. 由于
ln(?1)??lna
，因此
f(x)
在
(?lna,? ?)
有一个零点.
综上，
a
的取值范围为
(0,1)
.
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3
a
nnnn
3
a

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22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
x
2
?y
2
?1
.
解：（1）曲线
C< br>的普通方程为
9
当
a??1
时，直线
l
的普通方程为
x?4y?3?0
.
21
?
x??
?
x?4y? 3?0
?
x?3
?
?
?
2
25
由
?
x
解得
?
或
?
.
2
?
y?0
?
y?
24
?
?y?1
?
9
?
2 5
?
从而
C
与
l
的交点坐标为
(3,0)
，
(?
2124
,)
.
2525
（2）直线
l< br>的普通方程为
x?4y?a?4?0
，故
C
上的点
(3cos
?
,sin
?
)
到
l
的距离为
d?
|3cos
?
?4sin
?
?a?4|
. < br>17
当
a??4
时，
d
的最大值为
a?9a?9?17
，所以
a?8
；
.由题设得
1717
?a?1 ?a?1
?17
，所以
a??16
.
.由题设得
1717
当
a??4
时，
d
的最大值为
综上，
a?8
或
a??16
.、
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
解： （1）当
a?1
时，不等式
f(x)?g(x)
等价于
x?x?|x ?1|?|x?1|?4?0
.①
当
x??1
时，①式化为
x2
?3x?4?0
，无解；
当
?1?x?1
时，①式化为x
2
?x?2?0
，从而
?1?x?1
；
当
x?1
时，①式化为
x
2
?x?4?0
，从而
1?x?2
?1?17
.
2
所以
f(x)?g(x)
的解集为
{x|?1?x?
（2）当
x?[?1,1]
时，
g(x)?2.
?1?17
}
.
2
所以
f(x)?g(x)的解集包含
[?1,1]
，等价于当
x?[?1,1]
时
f(x )?2
.
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又
f(x)
在
[?1,1]
的最小值必为
f(?1)
与
f(1)
之一 ，所以
f(?1)?2
且
f(1)?2
，得
?1?a?1
.
所以
a
的取值范围为
[?1,1]
.

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