高一数学上册基础知识点总结(1)

珠晖区青少年活动中心中学部（博学教育培训中心）
必修一基础要点归纳
第一章．集合与函数的概念
一、集合的概念与运算：
1、集合的特性与表示法：集合中的元素应具有：确定性 互异性 无序性；集合的表示法有：
列举法 描述法 文氏图等。
2、集合的分类：①有限集、无限集、空集。
②数集：
yy?x?2
点集：
?
2
?
?
?
x,y
?
x?y?1
?

B
n
3、子集与真子集：若
x?A
则
x?B
?
A?B
若
A?B
但A
?
B
?
A
若
A?
?
a
1
，a
2
，a
3
,? a
n
?
，则它的子集个数为
2
个
4、集合的运算：①< br>A?B?xx?A且x?B
，若
A?B?A
则
A?B

②
A?B?xx?A或x?B
，若
A?B?A
则
B?A

③
C
U
A?xx?U但x?A

5、映射：对于集合A中的任一元素a,按照某个对应法则f ,集合B中都有唯一的元素b与
之对应，则称
f:A?B为A到的映射
,其中a叫做b的原象，b叫a的象。
二、函数的概念及函数的性质：
1、函数的概念：对于非空的数集A与B，我们称映射f:A?B
为函数，记作
y?f
?
x
?
，
其中
x?A,y?B
,集合A即是函数的定义域，值域是B的子集。定义域、值域、对应法
则称为函数的三要素。
2、 函数的性质：
⑴ 定义域：
1
简 单函数的定义域：使函数有意义的x的取值范围，例：
y?
0
??
??
??
lg(3?x)
的
2x?5
?
2x?5?0
5定义域为：
?
??x?3

3?x?0
2
?

2
复合函数的定义域：若
y?f
?
x
?
的定义域为
x?
?
a,b
?
，则复合函数
0

y?f
?
?
g
?
x
?
?
?
的定义域为不等式
a?g
?
x
?
?b
的解集。

3
实际问题的定义域要根据实际问题的实际意义来确定定义域。
0
⑵ 值域：
1
利用函数的单调性：
y?x?
0
p
(p?o)
y?2x
2
?ax?3
?
x?
?
?2, 3
?
?

x

2
利用换元法：
y?2x?1?3x

y?3x?1?x
2
?2

0

珠晖区青少年活动中心中学部（博学教育培训中心）

3
数形结合法
y?x?2?x?5

⑶ 单调性：
1
明确基本初等函数的单调性：
y?ax?b

y?ax
2
?bx?c

y?
0
0
k
（
k?0
）
x

y?a
x
?
a?0且a?1
?

y?log
a
x
?
a?0且a?1
?

y?x
n
?
n?R
?

< br>2
定义：对
?x
1
?D,x
2
?D
且
x
1
?x
2

若满足
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
，则
f
?< br>x
?
在D上单调递增
若满足
f
?
x
1?
?f
?
x
2
?
，则
f
?
x
?
在D上单调递减。
⑷ 奇偶性：
1
定义：
f
?
x
?
的定义域关于原点对称，若满足
f
?
?x
?
＝－
f
?
x
?
――奇函数
0
0
若满足
f
?
?x
?
＝
f
?
x
?< br>――偶函数。

2
特点: 奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
若
f
?
x
?
为奇函数且定义域包括0，则
f
?0
?
?0

若
f< br>?
x
?
为偶函数，则有
f
?
x
?
? f
（5）对称性：
1

y?ax?bx?c
的图像关于直线
x??
0
0
0
?
x
?

b
对称；
2a
2

2
若
f
?
x
?
满足
f
?
a?x
?
?f
?
a?x
?
?f
?
x
?
?f
?
2a?x?
，则
f
?
x
?
的图像
关于直线
x? a
对称。
0

3
函数
y?f
?
x?a
?
的图像关于直线
x?a
对称。
第二章、基本初等函数
一、指数及指数函数：
1、指数：
a
m
?a
n
?a
m?n

a
m

a
n
＝
a
m?n

?
a
m
?
?a
mn

n

n
a?a

a
0
?1
?
a?0
?

m
m
n
2、指数函数：①定义：
y?a(a?0,a?1)

②图象和性质：a＞1时，
x?R,y?(0,??)
，在R上递增，过定点（0，1）
0＜a＜1时，
x?R,y?(0,??)
，在R上递减，过定点（0，1）
例如：
y?3
x?2
x
?3
的图像过定点（2，4）

珠晖区青少年活动中心中学部（博学教育培训中心）
二、对数及对数函数：

1、对数及运算：
a
b
?N?log
a
N?b

log1
a
?

log
a
?
mn
?
?log
a
m?log
a
n

log
a
0,
a
lao?g

a
lo
a
gN
?N

n
l
a
no

g

logg

a
m?nlo
a
m
m
?lo
a
mg?n

log
a
b?
log
c
a

log
a
b
＞0（0＜a，b＜1或a,b＞1﹚
log
c
b

log
a
b
＜0(0＜a＜1, b＞1,或a＞1，0＜b＜1﹚
2、对数函数：
①定义：
y?log
a
x
?
a?0且a?1
?
与
y?a
x
(a?0,a?1)
互为反函数。
②图像和性质：
1
a＞1时，
x?
?
0,??
?
，
y?R
，在
?
0,??
?
递增，过定点（1，0）
0

2
0＜a＜1时，
x?< br>?
0,??
?
，
y?R
，在
?
0,???
递减，过定点（1，0）。
0
三、幂函数：①定义：
y?x
0
n
?
n?R
?

②图像和性质：
1
n＞0时，过定点（0，0）和（1，1）,在x?
?
0,??
?
上单调递增。

2
n＜0时，过定点（1，1）,在
x?
?
0,??
?上单调递减。
0







第三章、函数的应用
一、函数的零点及性质：
1、定义：对于函数
y?f
?
x
?
，若
?x< br>0
使得
f
?
x
0
?
?0
，则称x
0
为
y?f
?
x
?
的零点。
2、性质：
1
若
f
?
a
?
?f
?
b
?
＜0，则函数
y?f
?
x
?
在
?a,b
?
上至少存在一个零点。
0

2
函数
y?f
?
x
?
在
?
a,b
?
上存在零点，不一定有
f
?
a
?
?f
?
b
?
＜0
0

3
在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号。
二、二分法求方程
f
?
x
?
?0
的近似解
1、原理与步骤：①确定一闭区间
?
a,b
?
，使
f< br>?
a
?
?f
?
b
?
＜0，给定精确度
?
；
0

珠晖区青少年活动中心中学部（博学教育培训中心） ②令
x
1
?
a?b
，并计算
f
?
x< br>1
?
；
2
③若
f
?
x
1
?
=0则
x
1
为函数的零点，若
f
?
a
?
?f
?
x
1
?
＜0，则
x
0
?< br>?
a,x
1
?
，令b=
x
1
;
若
f
?
x
1
?
?f
?
b
?
＜0 则
x
0
?
?
x
1
,b
?
，令a=
x
1

④直到
a?b
＜
?
时 ，我们把a或b称为
f
?
x
?
?0
的近似解。





















三、函数模型及应用：
常见的函数模型有：①直线上升型：
y?kx?b
; ②对数增长型：
y?log
a
x

③指数爆炸型：
y?n(1?p)
，n为基础数值，p为增长率。








x

珠晖区青少年活动中心中学部（博学教育培训中心）
训练题
一、选择题
1．已知全集
U?
??
2，1，2，3，4
?
，A＝
?
1，2
?
，B＝3
?
，则
A?( CuB)
等于( )
A．{1，2，3} B．{1，2，4} C．{1) D．{4}
2.已知函数
f(x )?a
x
在(O，2)内的值域是
(a
2
,1)
，则函数< br>y?f(x)
的图象是( )


3.下列函数中，有相同图象的一组是（ ）
A y = x－1, y =
(x?1)
2
B y=
x?1
·
x?1
, y=
x
2
?1

C y = lgx－2, y = lg
x
D y = 4lgx, y = 2lgx
2

100
4.已知奇函数 f(x)在[a,b]上减函 数，偶函数g(x)在[a,b]上是增函数，则在[-b,-a]（b>a>0）
上，f(x)与g( x)分别是（ ）
A．f(x)和g(x)都是增函数 B．f(x)和g(x)都是减函数
C．f(x)是增函数，g(x)是减函数 D．f(x)是减函数，g(x)是增函数。
5.方程
lnx=
2
必有一个根所在的区间是（ ）
x
D．(e,+∞) A．（1，2） B．(2，3) C．(e，3)
6.下列关系式中，成立的是（ ）
A．
log
3
4>()>log
1
10

3
1
5
0
B．
log
1
10>()>log
3
4

3
1
5
0
C．
log
3
4>log
1
10>()

3
1
5
0D．
log
1
10>log
3
4>()

3< br>1
5
0
7．已知函数
f(x)
的定义域为
R,f(x )
在
R
上是减函数，若
f(x)
的一个零点为1，则不等式
f(2x?1)?0
的解集为( )
A．
(,??)
B．
(??,)
C．
(1,??)
D．
(??,1)

8.设f(
log
2
x
)=< br>2
(x>0)则f(3)的值为（
A．128

B．256 C．512
x
1
2
1
2
）
D．8

珠晖区青少年活动中心中学部（博学教育培训中心）
9.已知a>0,a≠1 则在同一直角坐标系中，函数y=
a
3
-x
和y=
log
a
(-x)
的图象可能是（ ）
3
3
22
2
1 1
1
-224-2
-1
24-2
-1
24
-2-1
24

A
10.若
log
a

-2

B
-2

C
-2

D
2
<1
,则实数a的取值范围是（ ）
3
2

3
B．
a>
A．
02

3
C．
2

3
D．
02
或a>1
3
11. 已知f(x)?
?
?
(3?a)x?4a(x?1)
是(??,??)
上的增函数，那么a值范围是
?
log
a
x(x?1)
3
5
A．
(1,??)
B．
[,??)

C．
[,3)
D．(1，3)
二、填空题
12.已知函数f (x)在（0，+∞）上为减函数，且在R上满足f (-x)=f (x)，则f (-2)、f (-5)、f (π)
三个数的按从小到大依次排列为______________________
0
13.函数y=(x-1)+log
(x-1)
(|x|+x)的定义域是
3
5
1
e
?
x
2
?2,(x?2)
14.设函数
f
若f(x
0
)=8则x
0
=
(x)?
?
?
2x,(x?2)
m
15.若幂函数
y?x
2
?4m?5

(m?Z)的图像与x,y轴无交点，且图像关于原点对称，则m=_______，

三、解答题：（本题共6小题，满分74分）
(lg2)
2
+lg6
-1
+lg0.006
16.计算求值：
(lg8+lg1000)lg5+3





(x)=x
2
-2(1-a)x+2
在区间(-∞，4]上是减函 数，求实数a的取值范围。 17.已知
f

珠晖区青少年活动中心中学部（博学教育培训中心）
18.已知函数
f(x)?3
x
,f(a?2)?18,g(x)?
?
?3
ax?4
x
定义域[0,1]
；
（1）求
a
的值；
（2）若函数
g(x)
在
[0 ,1]
上是单调递减函数，求实数
?
的取值范围；











x
2
19.已知函数
f(x-3)=lg
a
（a>1,且a≠1）
2
6-x
2
1) 求函数f(x)的解析式及其定义域
2) 判断函数f(x)的奇偶性