高考数学(人教A版,理)一轮复习配套讲义：第3篇 第6讲 正弦定理和余弦定理

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第6讲 正弦定理和余弦定理
[考纲]
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

知 识 梳 理
1．正弦定理和余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则

正弦定理
abc
＝＝
sin Asin Bsin C
＝2R
(R为△ABC外接圆半径)
余弦定理
a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A
b
2
＝a
2
＋c
2
－2accos B
c
2
＝a
2
＋b
2
－2abcos C
b
2
＋c
2
－a
2
cos A＝
2bc
；
a
2
＋c
2
－b
2
cos B＝
2ac
；
a
2
＋b
2
－c
2
cos C＝
2ab

内容
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
常见变形
abc
(2)sin A＝
2R
，sin B＝
2R
，sin C＝
2R
；
(3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (1)已知三边，求三个角；
解决的问题 (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和(2)已知两边和它们的夹角，求第三
其他两角
2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况

A为锐角 A为钝角或直角
边和其他两角
图形

关系式
解的个数
a＝bsin A
一解
bsin A＜a＜b
两解

a≥b
一解

a＞b
一解

3.三角形中常用的面积公式
1
(1)S＝
2
ah(h表示边a上的高)．

- 1 -

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111
(2)S＝
2
bcsin A＝
2
absin C＝
2
acsin B.
1
(3)S＝
2
r(a＋b＋c)(r为△ABC内切圆半径)．
辨 析 感 悟
1．三角形中关系的判断
(1)在△ABC中，sin A＞sin B的充分不必要条件是A＞B.
( )
(2)(教材练习改编)在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，则A＝60°或120°.

2．解三角形
15
(3)在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝
3
，则sin B＝
9
.
9
(4)(教材习题改编)在△ABC中，a＝5，c＝4，cos A＝
16
，则b＝6.
3．三角形形状的判断
(5)在△ABC中，若sin Asin B＜cos Acos B，则此三角形是钝角三角形． ( )
(6)在△ABC中，若b
2
＋c
2
＞a
2，则此三角形是锐角三角形．


[感悟·提升]
1．一条规律 在 三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，
正弦值较大的角也较大，即在△ABC中， A＞B?a＞b?sin A＞sin B，如(1)．
2．判断三角形形状的两种途径 一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余
弦)定理实施边、角转换.

考点一 利用正弦、余弦定理解三角形
【例1】 (1)(2013·湖南卷)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若
2asin B＝3b，则角A等于 ( )．
ππππ
A.
3
B.
4
C.
6
D.
12

(2)(2014·杭 州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，

- 2 -
( )
( )
( )
( )

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c＝42，B＝45°，则sin C＝______.


规律方法 已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯 一的；已知两边和一
边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．
【训练1】 (1)在△ABC中，a＝23，c＝22，A＝60°，则C＝( )．
A．30° B．45° C．45°或135° D．60°
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a
2
－b
2
＝3bc，sin C
＝23sin B，则A＝ ( )．
A．30° B．60° C．120° D．150°




考点二 判断三角形的形状
【例2】 (2014·临沂一模)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，
且2asin A＝(2b－c)sin B＋(2c－b)sin C.
(1)求角A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝3，试判断△ABC的形状．









规律方法 解决判断三角形的形状问 题，一般将条件化为只含角的三角函数的关
系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条 件化为只含有边的

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关 系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意
A，B，C的范围对三角函 数值的影响．
【训练2】 (1)(2013·山东省实验中学诊断)在△ABC中，内角A，B，C 的对边分
别为a，b，c，且2c
2
＝2a
2
＋2b
2＋ab，则△ABC是 ( )．
A．钝角三角形
C．锐角三角形
B．直角三角形
D．等边三角形
(2)在△ABC中，若(a
2
＋b
2
)sin(A－B)＝(a
2
－b
2
)sin C，则△ABC的形状是 ( )．
A．锐角三角形
C．等腰三角形
B．直角三角形
D．等腰或直角三角形





考点三 与三角形面积有关的问题
【例3】 (2013·新课标全国Ⅱ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
已知a＝bcos C＋csin B.
(1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．






111
规律方法 在解决三角形问题中，面积公式S＝
2
absin C＝
2
bcsin A＝
2
acsin B最常
用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、余弦定理联系起来.
【训练3】 (2013·湖北卷)在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已
知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.
(1)求角A的大小；

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(2)若△ABC的面积S＝53，b＝5，求sin Bsin C的值．








1．在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根
据这个定理确定 角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．
2．正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤 其是其变形应用时可相互转化．如
a
2
＝b
2
＋c
2
－2bccos A可以转化为sin
2
A＝sin
2
B＋sin
2
C－2sin Bsin Ccos A，利用
这些变形可进行等式的化简与证明．

营养餐
解三角形问题
【典例】 (12分)(2013·山东卷)设△ABC的内 角A，B，C所对的边分别为a，b，
7
c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝
9
.
(1)求a，c的值；
(2)求sin(A－B)的值．




[反思感悟] (1)在处理三角形中的边角关系时，一般 全部化为角的关系，或全部化
为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式 一般
采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题
时，注意角 的限制范围．
(2)在本题第(2)问中，不会判断角A为锐角，易造成求错cos A，导致sin(A－B)

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的结果出错．
答题模板 第一步：定已知．即梳理已知条件，确定三角形中已知的边与角；
第二步：选定理．即根据已知的边角关系灵活地选用定
理和公式；
第三步：代入求值．
【自主体验】
已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c＝3asin C－ccos A.
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.















自助餐
基础巩固题组
一、选择题
1． (2013·绍兴模拟)在△ABC中，若a
2
－c
2
＋b
2
＝3ab，则C＝( )．
A．30° B．45° C．60° D．120°
3
2．(2014·合肥模拟)在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为
2
，则BC

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的长为( )．
3
A.
2
B.3 C．23 D．2
ππ
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知b＝2，B＝
6
，C＝
4
，
则△ABC的面积为( )．
A．23＋2 B.3＋1 C．23－2 D.3－1
4 ．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝3，
则c＝( )．
A．23 B．2 C.2 D．1
5．(2013·陕西卷)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C
＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )．
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
二、填空题
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝2，b＝2，sin B
＋cos B＝2，则角A的大小为________．
7．(2014·惠州模拟)在△ ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a
2
＋c
2
－b2
)tan B＝3ac，则角B的值为________．
8．(2013·烟台一模 )设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝1，
1
b＝2，cos C＝
4
，则sin B等于________．


三、解答题
1
9．(2014·宜山质检)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a ＝
2
c＋bcos C.
(1)求角B的大小；
(2)若S
△
ABC
＝3，b＝13，求a＋c的值．


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10．(2013·北京卷)在△ABC中，a＝3，b＝26，∠B＝2∠A.
(1)求cos A的值；
(2)求c的值．









能力提升题组
一、选择题
→→
22
1．(2014·温岭中学模拟)在锐角△ABC中，若BC＝2，sin A＝
3
，则AB·AC的最
大值为( )．
14
A.
3
B.
5
C．1 D．3
2．(2013·青岛一中调研)在△ABC中，三边长a，b，c满足a
3
＋b
3
＝c
3
，那么△
ABC的形状为( )．
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上均有可能
二、填空题
1
3．(2013·浙江卷)在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的 中点．若sin∠BAM＝
3
，

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则sin∠BAC＝________.
三、解答题
4．(2013·长沙模拟)在△ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的 对边，且满足
bcos C＝(3a－c)cos B.
(1)求cos B；
→→
(2)若BC·BA＝4，b＝42，求边a，c的值．

- 9 -