湖南省永州市宁远县舜德学校培训部2015届高三第二次月考数学(文)试题

2015届宁远县舜德学校培训部（高三）第二次月考
文 科 数 学 试 题
（总分150分 时间120分钟 2014-10-30）
一、选择题：本大题共10
小题，每小题
5
分，共
50
分
.
在每小题 给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的
.

1、设集合
M? {x|y?x?2}
，集合N＝
?
y|y?x
2
,x?M
?
，则
MN?
（ B ）
A.
[2,??)
B.
[4,??)
C.
[0,??)
D.
[0,4]

2．复数
3?i
等于（ ）. C
1?i
A．
1?2i
B.
1?2i
C.
2?i
D.
2?i

3．在△ABC中，
A?60?,a?43,b?42
，则B等于（ ）.C
A．45°或135°

B．135° C．45° D．以上答案都不对
4． 如果等比数列
?
a
n
?
中，< br>a
2
.a
4
?16
，那么d
1
·a
3
·a
5
=（ ）C
A．
?
4 B．4

5．下列命题中是假命题的是（ A ）
．．．
A．
?a，b?R,lg(a?b)?lga?lgb
;
B.
???R,
函数
f(x)?sin(2x??)
是偶函数；
C．
??,??R,
使得
cos(???)?cos??cos?
；
D．
?m?R,使f(x)?(m?1)?x
m
2
?4m?3?
C．
?
64 D． 64
是幂函数，且在
(0,??)
上递减；
?
?
?
?
?
?
?
6．已知向量
a,b
的夹角为
60?
，且
|a|?2,|b|?1,
则向量
a
与
a?2b
的夹 角为（ ）D.
A.
150?
B.
120?
C.
60?
D.
30?


7．一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体
的三视图如右上图所示，则该几何体的体积为（ D ）
A．7 B．


8.如右图所示，输出的
n
为（ D ）
224723
C． D．
363
正视图
侧视图
第 1 页 共 9 页

A.
10
B.
11
C.
12
D.
13


9、已知函数
f (x)?(x?a)(x?b)
（其中
a?b
）的图象如下面右图所示，则
函
g(x)?a
x
?b

的图象是( ).A

f

A B C D

10.设定义在R上的函数
f(x)
满 足以下两个条件：（1）对
2
?x?R,都有f(x)?f(?x)?0
成立；（2） 当
x?0时,(x?2x)f'(x)?0
. 则


下列不等式关系中正确的是（ ）.B
A．
f(?1)?f(0)
B．
f(1)?f(2)
C．
f(?2)?f(?3)
D．
f(2)?f(0)


二、填空题（本大题有5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卷的相应位置.）
1 1．函数
y?x?lnx(x?0)
的单调增区间为
_______________ _．
[4,??)
(
(4,??)
也对)
12．函数
y? Asin(
?
x?
?
)(A?0,
?
?0,|
?< br>|?
?
2
)
的部分图象如图所
示,则函数的解析式为
y?2sin(2x?

?
3
)

13.设△AB C的三个内角A、B、C所对的三边分别为a,b,c，若△ABC的面积为
S?a
2
?(b?c)
2
，则

sinA
= 4 .
1 ?cosA
14．设数列{a
n
}为等差数列，其前n项和为S
n
， 已知a
1
+a
7
=66，a
2
+a
8
=6 2，若对任意
n?N
*
，
都有
S
n
?S
k
成立，则正整数k的值为 。20
15、对于函数
f(x)??2co sx(x?[0,
?
])
与函数
g(x)?
①函数
f(x)
的图像关于
x?
1
2
x?lnx
有下列命题：
2
?
2
对称；②函数
g(x)
有且只有一个零点；③函数
f( x)
和函数
④若函数
f(x)
在点P处的切线平行于函数
g(x)< br>在点Q处的
g(x)
图像上存在平行的切线；
第 2 页 共 9 页

切线，则直线PQ的斜率为
填上）。

②③④

1
（将所有正确命题的序号都
.
其中正确的命题是 。
2?
?
三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤）。
16．本题满分12分）
已知函数
f(x)?cos
xxx
(3sin?cos)
．
222
2
?
?2x)
的值．
3
（1）求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
（2）若f(x)＝1，求
cos(





17.（本小题满分12分）
已知函数
f(x)?
x
，数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1,a
n?1?f(a
n
)
。
x?1
?
1
?
（1）求证：数列
??
是等差数列；
?
a
n
?
（2）设
b
n
?a
n< br>a
n?1
，记数列
?
b
n
?
的前
n
项和为
s
n
，求证：






18．（本小题满分12分）
设函数f(x)＝ax
n
(1－x )＋b(x>0)，n为正整数，a，b为常数．曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线
方程为 x＋y＝1.
(1)求a，b的值； (2)求函数f(x)的最大值．







第 3 页 共 9 页
1
?s
n
?1

2

19. （本小题满分13分）
urr
urr
xx
2
x
已知向量< br>m?(23sin,2)
，
n?(cos,cos)
．函数
f(x)? m?n
．
444
1
?
(I)若
f(x)?
，求< br>cos(x?)
的值；
23
(II)在
VABC
中，角A、B、C
的对边分别是
a、b、c
，且满足
(2a?c)cosB?b cosC
，
求
f(A)
的取值范围．






20. （本小题满分13分）
已知关于x的二次函数
f(x)?ax
2
?4bx?1
.

(1)设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数 作为a和b，

求函数
y?f(x)
在区间
[1,??)
上是增函数的概率； ?
x?y?8?0
?
(2)设点(a，b)是区域
?
x?0内的一点，求函数
y?f(x)
在区间
[1,??)
上是增函数的
?
y?0
?
概率．





21．（本小题满分13分）已知函数
f(x)?lnx?
1
2
ax?2x (a?0)

2
[]
（1）若函数
f(x)
存在单调递减 区间，求
a
的取值范围；
（2）若
a??
11
且关于x
的方程
f(x)??x?b
在
?
1,4
?
上 恰有两个不相等的实数根，求实
22
数
b
的取值范围。







第 4 页 共 9 页

2015届宁远县舜德学校培训部（高三）第二次月考
文科数学参考答案
一、选择题（共计50分，5分／小题） BCCCA DDDAB
二、填空题（共计25分，5分／小题）
11、
[4,??)
(
(4,??)
也对) 12.
y?2sin(2x?
?
3
)
13. 4
14. 20
15.
②③④

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． < br>16解：（1）
f(x)?cos
xxx31
?
1
(3sin ?cos)?sinx?(1?cosx)?sin(x?)?.
2222262

所以函数f(x)的最小正周期为T＝2π． 4分
令
2k
?
?
?
2
?x?
?
6
?2k
?
?
?
2
,k?Z
，得
2k?
?
2
??
?x?2k
?
?,k?Z

33
函数y＝f(x)的单调递增区间为
[2k
?
?
（2）
f(x)?sin(x?
2
??
,2k
?
?],(k?Z)
． 6分
33
?
6
)?
1
?
1

?1,即 sin(x?)?
262
，
cos(
2
????
1
?2x)?cos2(?x)?2cos
2
(?x)?1?2sin
2
(x? )?1??
12分
33362
第 5 页 共 9 页

< br>17(12分）
解（1）a
n?1
?f(a
n
)?
即
a
n
a?1
11
,??
n
?1?
a
n
?1a
n?1
a
n
a
n
111
??1 ,又首项为?1
a
n?1
a
n
a
1
?
1< br>?
?数列
??
是以1为首项，1为公差的等差数列。
?
an
?
11
（2）由（1）得?1?(n?1)?1?n,?a
n
?
a
n
n
?b
n
?a
n
a
n?1
?
111
??,
n(n?1)nn?1
111111
?s< br>n
?1????...???1??1
223nn?1n?1
11
又易 知
?
s
n
?
为递增数列，?s
n
?s
1< br>?b
1
??,
1?22
1
??s
n
?12

18.解：(1)因为f(1)＝b，由点(1，b)在x＋y＝1上，
可得1＋b＝1，即b＝0.
因为f′(x)＝anx
n1
－a(n＋1) x
n
，所以f′(1)＝－a.
－

又因为切线x＋y＝1的斜率为－1，
所以－a＝－1，即a＝1.故a＝1，b＝0. < br>(2)由(1)知，f(x)＝x
n
(1－x)＝x
n
－x
n 1
，
＋
n
n
－
f′(x)＝(n＋1)x
n1< br>?
n＋1
－x
?
. 令f′(x)＝0，解得x＝，
??
n＋1
n
即f′(x)在(0，＋∞)上有唯一零点x
0
＝. n＋1
n
在
?
0，
n＋1
?
上，f′(x)> 0，故f(x)单调递增；
??
n
而在
?
n＋1
，＋∞< br>?
上，f′(x)<0，f′(x)单调递减．
??
nnn
n
故f(x)在(0，＋∞)上的最大值为f
?
n＋1
?
＝
?
n＋1
?
n
?
1－
n＋1
?
＝
???? ??
（n＋1）
n
＋
1
.



第 6 页 共 9 页
n

19．（12分）解：


20.（本小题满分13分）

(2)由(1)，知当且仅当2b≤a且 a＞0时，函数f(x)＝ax－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增
函数，(8分)
2< br>?
?
a?b?8?0,
?
??
?
依条件可知事件的全 部结果所构成的区域为
?
a,b
?
a?0,
?
,
， 构成所求事件的区域
??
b?0
?
?
??
?
a?b ?8?0
?
?
168
?
为三角形部分．由
?
得交点 坐标为
a
?
,
?
，
b?
?
33
?
?
?2
第 7 页 共 9 页

1?ax
2
?2x?1
21．（1）
f< br>?
(x)??ax?2?(x?0)
，依题意
f
?
(x)?0
在
x?0
时有解
xx
即
h(x)?ax?2x?1?0< br>在
x?0
有解，
Qh(x)?0
的两根
x
1
,x
2
满足
x
1
x
2
??
2
1< br>?0

a
?
a?0
?
?
,??1?a?0
……………7分
??4?4a?0
?
（2）当
a??
即
111
时 ，方程
lnx?x
2
?2x??x?b
在
?
1,4
?
上恰有两个不相等的实数根
242
1
2
3
x?x?ln x?b?0
在
?
1,4
?
上恰有两个不相等的实数根
42
131x
2
?3x?2(x?1)(x?2)
1
2
3
设
g(x)?x?x?lnx?b
，则
g
?
(x)?x???
?
22x2x2x
42

列表：

x

g
?
(x)

?
0,1
?

+
[来源

1

0
极大值
?
1,2
?

?

]


2

0
极小值
?
2,4
?

+
g(x)

Z


Z


5
?g(x)
极大
?g(1)???b,g(x)
极小
?g(2)??2?ln2?b
4
又
g(4)??2?2ln2?b
，当
x?0
时，
g (x)???

要方程
1
2
3
x?x?lnx?b?0< br>在
?
1,4
?
上恰有两个不相等的实数根，只要
42
第 8 页 共 9 页

?
g(1)?0
5< br>?
?
g(2)?0
，解得
ln2?2?b??
……………13分
4
?
g(4)?0
?






第 9 页 共 9 页