全国教材高中数学目录-高中数学椭圆画法视频
无忧教育 假期培训
导数概念与计算
1．若函数
f(x)?ax
4
?bx
2
?c
，满足
f'(1)?2
，则
f'(?1)?
（ ）
A．
?1
B．
?2
C．2 D．0
2．已知点
P
在曲线
f(x)?x
4
?x
上，曲线在点
P
处的切线平行于直线
3x?y?0
，则点
P
的
坐标为（ ）
A．
(0,0)
B．
(1,1)
C．
(0,1)
D．
(1,0)
3．已知
f(x)?xlnx
，若
f'(x
0
)?2
，
则
x
0
?
（ ）
A．
e
2
B．e C．
ln2
2
D．
ln2
4．曲线
y?e
x
在点
A(0,1)
处的切线斜率为（
）
A．1 B．2 C．
e
1
D．
e
5．
设
f
0
(x)?sinx
，
f
1
(x)?f
0
'(x)
，
f
2
(x)?f
1
'(x)
，…，
f
n?1
(x)?f
n
'(x)
，
n?N
，则
f
2013
(x)?
等于（ ）
A．
sinx
B．
?sinx
C．
cosx
D．
?cosx
6．已知函数
f(x)
的导函数为
f'(
x)
，且满足
f(x)?2xf'(1)?lnx
，则
f'(1)?
（ ）
A．
?e
B．
?1
C．1
D．
e
7．曲线
y?lnx
在与
x
轴交点的切线
方程为________________．
8．过原点作曲线
y?e
x
的
切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为____________．
9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式：
（5）
y?xe
1?cosx
1
（1）
f(x
)?ax??2lnx
x
e
x
（2）
f(x)?
1?ax
2
1
（3）
f(x)?x?ax
2
?ln
(1?x)
2
（4）
y?xcosx?sinx
e
x
?1
（6）
y?
x
e?1
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10．已知函数
f(x)?ln(x?1)?x
．
（Ⅰ）求
f(x)
的单调区间；
（Ⅱ）求证：当
x??1
时，
1?
1
?ln(x?1)?x
．
x
?1
b
11．设函数
f(x)?ax?
，曲线
y?f(x)
在点
(2,f(2))
处的切线方程为
7x?4y?12?0
．
x
（Ⅰ）求
f(x)
的解析式；
（Ⅱ）证明
：曲线
y?f(x)
上任一点处的切线与直线
x?0
和直线
y?x<
br>所围成的三角形
面积为定值，并求此定值．
12．设函数
f(x)?x
2
?
e
x
?xe
x
．
（Ⅰ）求
f(x)
的单调区间；
（Ⅱ）若当
x?[?2,2]
时
，不等式
f(x)?m
恒成立，求实数
m
的取值范围．
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导数作业1答案——导数概念与计算
1．若函
数
f(x)?ax
4
?bx
2
?c
，满足
f'(1
)?2
，则
f'(?1)?
（ ）
A．
?1
B．
?2
C．2 D．0
选B．
2．已知点
P
在曲线
f(x)?x
4
?x
上，曲线在点
P
处的切线平行于直线<
br>3x?y?0
，则点
P
的
坐标为（ ）
A．
(0,0)
B．
(1,1)
C．
(0,1)
D．
(1,0)
解：由题意知，函数f（x）＝x
4
－x在点P处
的切线的斜率等于3，即f′（x
0
）＝4x
3
0
－1＝3，
∴x
0
＝1，将其代入f （x）中可得P（1,0）．
选D．
3．已
知
f(x)?xlnx
，若
f'(x
0
)?2
，则
x
0
?
（ ）
A．
e
2
B．e
C．
ln2
2
D．
ln2
解：f（x）的定义域为（0，＋∞），
f′（x）＝ln
x＋1，由f′（x
0
）＝2，
即ln
x
0
＋1＝2，解得x
0
＝e.
选B．
4．曲线
y?e
x
在点
A(0,1)
处的切线斜率为（
）
A．1 B．2 C．
e
1
D．
e
解：
∵y′＝e
x
，故所求切线斜率k＝e
x
|
x
＝
0
＝e
0
＝1.
选A．
5．设
f
0
(x
)?sinx
，
f
1
(x)?f
0
'(x)
，f
2
(x)?f
1
'(x)
，…，
f
n?1<
br>(x)?f
n
'(x)
，
n?N
，则
f
20
13
(x)?
等于（ ）
A．
sinx
B．
?sinx
C．
cosx
D．
?cosx
解：∵f
0
（x）＝sin x，f
1
（x）＝cos x，
f
2
（x）＝－sin x，f
3
（x）＝－cos
x，f
4
（x）＝sin x，…
∴f
n
（x）＝f
n
＋
4
（x），故f
2
012
（x）＝f
0
（x）＝sin x，
∴f
2
013
（x）＝f′
2 012
（x）＝cos x.
选C．
6
．已知函数
f(x)
的导函数为
f'(x)
，且满足
f(x)?2x
f'(1)?lnx
，则
f'(1)?
（ ）
A．
?e
B．
?1
C．1 D．
e
1
解：由f（x）＝2xf′（1）＋ln x，得f′（x）＝2f′（1）＋，
x
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∴f′（1）＝2f′（1）＋1，则f′（1）＝－1.
选B．
7．曲线
y?lnx
在与
x
轴交点的切线方程为________________．
1
解：由y＝ln
x得，y′＝，∴y′|
x
＝
1
＝1，∴曲线y＝ln
x在与x轴交点（1,0）处的切线方程为
x
y＝x－1，即x－y－1＝0.
8．
过原点作曲线
y?e
x
的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为__
__________．
y
0
ex
0
解：y′＝e
x，设切点的坐标为（x
0
，y
0
）则＝ex
0
，即＝e
x
0
，∴x
0
＝1.因此切点的坐标为（1，
x
0
x
0
e），切线的斜率为e.
9．求下列函数的导数，并尽量把导数变形为因式的积或商的形式：
（1）
f(x)?ax?
1
?2lnx
x
e
x
（2）
f(x)?
1?ax
2<
br>1
（3）
f(x)?x?ax
2
?ln(1?x)
2
（4）
y?xcosx?sinx
∵y＝xcos
x－sin x，
∴y′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
（5）
y?xe
1?cosx
∵y＝xe
1
－
cos x
，
－
cos
x
∴y′＝e
1
－
cos
x
＋xe
1
（sin x）＝（1＋xsin
x）e
1
－
cos x
.
e
x
?1
（6）
y?
x
e?1
e
x
＋1－2e
x
2e
x
y＝
x
＝1＋<
br>x
∴y′＝－2
x
＝.
e－1e－1(e－1)
2
(e
x
－1)
2
10．已知函数
f(x)?ln(x?1)?x．
（Ⅰ）求
f(x)
的单调区间；
（Ⅱ）求证：当
x?
?1
时，
1?
1
?ln(x?1)?x
．
x?1
解：（1）函数f（x）的定义域为（－1，＋∞）．
f′（x）＝
－x
1
－1＝
x＋1x＋1
f′（x）与f（x）随x变化情况如下：
x
（－1,0）
0
（0，＋∞）
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f′（x）
f（x）
＋
0
0
－
因此f（x）的递增区间为（－1,0），递减区间为（0，＋∞）．
（2）证明 由（1）
知f（x）≤f（0）．
即ln（x＋1）≤x
1
设h（x）＝ln
（x＋1）＋－1
x＋1
1
h′（x）＝－
x＋1
1
x＋
2
＝
x
x＋
2
可判断出h（x）在（－1,0）上递减，在（0，＋∞）上递增．
1
因此h（x）≥h（0）即ln（x＋1）≥1－.
x＋1
1
所以当x>－1时1－
≤ln（x＋1）≤x.
x＋1
b
11．设函数
f(x)?ax?
，曲线
y?f(x)
在点
(2,f(2))
处的切线方程为
7x?4y?12?0<
br>．
x
（Ⅰ）求
f(x)
的解析式；
（Ⅱ）证明：曲线
y?f(x)
上任一点处的切线与直线
x?0
和直线
y?x
所围成的三角形
面积为定值，并求此定值．
7
（1）解
方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，
4
1b
当x＝2时，y＝.又f′（
x）＝a＋
2
，于是
2x
?
?
b7
?
a＋
4
＝
4
，
b1
2a－＝，
22
?
?
a＝1，
3
解得
?
故f（x）＝x－.
x
?
?
b＝3.
（2）证明
设P（x
0
，y
0
）为曲线上任一点，
3
3
1＋
2
?
（x－x
0
）由f′（x）＝1＋
2
知，曲线
在点P（x
0
，y
0
）处的切线方程为y－y
0
＝
?
，
?
x
0
?
x
33
x
0－
?
＝
?
1＋
2
?
（x－x
0
）即y－
?
．
x
??
x
??
00
6<
br>6
0，－
?
. 令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0交点坐标为?
x
0
??
x
0
令y＝x，得y＝x＝2x
0
，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为（2x
0,
2x
0
）．
6
1
－
?
|2x
0
|＝6. 所以点P（x
0
，y
0
）处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为
?
2
?
x
0
?
无忧教育 假期培训
故曲线
y＝f（x）上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，
此定值为6.
12．设函数
f(x)?x
2
?e
x
?xex
．
（Ⅰ）求
f(x)
的单调区间；
（Ⅱ）若当
x?[?2,2]
时，不等式
f(x)?m
恒成立，求实数
m
的取
值范围．
解 （1）函数f（x）的定义域为（－ ∞，＋∞），
f′（x）＝2x＋e<
br>x
－（e
x
＋xe
x
）＝x（2－e
x
），
x
f'(x)
f(x)
(??,0)
0
0
极小
(0,ln2)
ln2
0
极大
(ln2,??)
-
递减
+
递增
-
递减
所以，递增区间为
(
0,ln2)
，递减区间为
(??,0)
和
(ln2,??)
．
（2）由（1）可知
x
f'(x)
f(x)
?2
(?2,0)
0
0
极小
(0,ln2)
ln2
0
极大
(ln2,2)
2
-
递减
+
递增
-
递减
因为，
f(0)?1
，
f(2)
?4?e
2
?2e
2
?4?e
2
?1
所以，
f(x)
min
?f(2)?4?e
2
故
m?4?e
2
．