2集合的表示

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第二课时 集合的表示



[提出问题]
观察下列集合：
(1)中国古代四大发明组成的集合；
(2)20的所有正因数组成的集合．
问题1：上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？
提示：能．(1)中的元素为造纸术、印刷术、指南针、火药，(2)中的元素为：1,2,4,5,1 0,20.
问题2：如何表示上述两个集合？
提示：用列举法表示．
[导入新知]
列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
[化解疑难]
使用列举法表示集合的四个注意点
(1)元素间用“，”分隔开，其 一般形式为{a
1
，a
2
，…，a
n
}；
(2)元素不重复，满足元素的互异性；
(3)元素无顺序，满足元素的无序性；
(4)对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有
无限个且集合中 的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素
作为代表，其他元素用省略号 表示.


[提出问题]
观察下列集合：
(1)不等式x－2≥3的解集；
(2)函数y＝x
2
－1的图象上的所有点．
问题1：这两个集合能用列举法表示吗？
提示：不能．
问题2：如何表示这两个集合？
提示：利用描述法．
1
列举法
描述法

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[导入新知]
描述法
(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．
(2)具体方法：在花括号内先写 上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再
画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所 具有的共同特征．
[化解疑难]
1．描述法表示集合的条件
对于元素个数不确定 且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集
合中元素的共同特征描述出来，即采用 描述法．
2．描述法的一般形式
它的一般形式为{x∈A|p(x)}，其中的x表示集合 中的代表元素，A指的是元素的取值范
围；p(x)则是表示这个集合中元素的共同特征，其中“|”将 代表元素与其特征分隔开来．
一般来说集合元素x的取值范围A需写明确，但若从上下文的关系看，x ∈A是明确的，
则x∈A可以省略，只写元素x.




[例1] 若集合A＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A中元素的个数是( )
A．1
C．3
(2)用列举法表示下列集合．
①不大于10的非负偶数组成的集合；
②方程x
2
＝x的所有实数解组成的集合；
③直线y＝2x＋1与y轴的交点所组成的集合；
?
?
x＋y＝1，
④方程组
?
的解．
?
x－y＝－1
?
用列举法表示集合
B．2
D．4

(1)[解析] 集合A＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．
[答案] B
(2)[解] ①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大
于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．
②方程x
2
＝x的解是x＝0或x＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}． < br>③将x＝0代入y＝2x＋1，得y＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1 )}．
2

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??
?
x＋y＝1，
?
x＝0，
④解 方程组
?
得
?

??
x－y＝－1，y＝1.
??
?
?
x＋y＝1，
∴用列举法表示方程组
?
的解集为{(0 ,1)}．
?
x－y＝－1
?


[类题通法]
用列举法表示集合的步骤
(1)求出集合的元素；
(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次；
(3)用花括号括起来．
[活学活用]
已知集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a∈A，有|a|∈B ，且B中只有4个元素，求集
合B.
解：对任意a∈A，有|a|∈B.
因为集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，
由－1，－2,0,1,2,3∈A，知0,1,2,3∈B.
又因为B中只有4个元素，
所以B＝{0,1,2,3}.


[例2] (1)用符号“∈”或“?”填空：
①A＝{x|x
2
－x＝0}，则1________A，－1________A；
②(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}．
(2)用描述法表示下列集合：
①正偶数集；
②被3除余2的正整数的集合；
③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．
(1)[解析] ①将1代入方程成立，将－1代入方程不成立，故1∈A，－1?A.
②将x＝1，y＝2代入y＝x＋1成立，故填∈.
[答案] ①∈ ? ②∈
(2)[解] ①偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N
*
，所
以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N
*
}．
②设被3 除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N，
所以被3除余 2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．
③坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的
3
用描述法表示集合

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点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．
[类题通法]
利用描述法表示集合应关注五点
(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．
(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不
符 合要求，需将k∈Z也写进花括号内，即{x∈Z|x＝2k，k∈Z}．
(3)不能出现未被说明的字母．
(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实 数集时可以省略不写．例如，
方程x
2
－2x＋1＝0的实数解集可表示为{x∈R| x
2
－2x＋1＝0}，也可写成{x|x
2
－2x＋1＝0}．
(5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等．
[活学活用]
下列三个集合：
①A＝{x|y＝x
2
＋1}；
②B＝{y|y＝x
2
＋1}；
③C＝{(x，y)|y＝x
2
＋1}．
(1)它们是不是相同的集合？
(2)它们各自的含义分别是什么？
解：(1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合．
(2)集合A＝{ x|y＝x
2
＋1}的代表元素是x，且x∈R，所以{x|y＝x
2
＋1} ＝R，即A＝R；
集合B＝{y|y＝x
2
＋1}的代表元素是y，满足条件y＝x< br>2
＋1的y的取值范围是y≥1，所以{y|y
＝x
2
＋1}＝{y| y≥1}．
集合C＝{(x，y)|y＝x
2
＋1}的代表元素是(x，y)，是满 足y＝x
2
＋1的数对．可以认为集
合C是坐标平面内满足y＝x
2
＋1的点(x，y)构成的集合，其实就是抛物线y＝x
2
＋1的图象.

A．{x|x＝2
n
±1，n∈N}
B．{x|x＝(－1)
n
(2n－1)，n∈N}
C．{x|x＝(－1)
n
(2n＋1)，n∈N}
D．{x|x＝(－1)
n1
(2n＋1)，n∈N}
－
集合表示的应用
[例3] (1)集合A＝{1，－3,5，－7,9，…}用描述法可表示为( )
?
6
?
(2)设集合B＝
?
x∈N
?
2＋x
∈N
?
?
?

?
?
?
.
?
?
①试判断元素1,2与集合B的关系；
②用列举法表示集合B.
(1)[解析] 观察规律，其绝对值为奇数排列，且正负相间，且第一个为正数，故应选
4

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C.
[答案] C
6
(2)[解] ①当x＝1时，＝2∈N.
2＋1
63
当x＝2时，＝?N.所以1∈B,2?B.
2＋2
2
6
②∵∈N，x∈N，∴2＋x只能取2,3,6.
2＋x
∴x只能取0,1,4.∴B＝{0,1,4}．
[类题通法]
判断元素与集合间关系的方法
(1)用列举法给出的集合，判断元素与集合的关系时，观察即得元素与集合的关系．
例如，集合A＝{1,9,12}，则0?A,9∈A.
(2)用描述法给出的集合，判断元 素与集合的关系时就比较复杂．此时，首先明确该集
合中元素的一般符号是什么，是实数？是方程？…… ，其次要清楚元素的共同特征是什么，
最后往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特 征，即可确定所给元素与
集合的关系．
[活学活用]
定义集合A，B的一种运算： A*B＝{x|x＝x
1
＋x
2
，其中x
1
∈A，x
2
∈B}，若A＝{1,2,3}，
B＝{1,2}，试用列举法表示出集合A*B. 解：当x
1
＝1时，x
2
可以取1或2，则x
1
＋x< br>2
＝2或3；
当x
1
＝2时，x
2
可以取1或2， 则x
1
＋x
2
＝3或4；
当x
1
＝3时，x2
可以取1或2，则x
1
＋x
2
＝4或5.
∴A*B＝{2,3,4,5}．



1.集合与方程的综合应用

[典例] 集合A＝{x|ax
2
＋2x＋1＝0，a∈R}中只有一个元素，求a的取值范围．
[解] 当a＝0时，原方程变为2x＋1＝0，
1
此时x＝－，符合题意；
2
当a≠0时，方程ax
2
＋2x＋1＝0为一元二次方程，
Δ＝4－4a＝0，即a＝1，原方程的解为x＝－1，符合题意．
5

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故当a＝0或a＝1时，原方程只有一个解，此时A中只有一个元素．
[多维探究]
解答上面例题时，a＝0这种情况极易被忽视，对于方程“ax
2＋2x＋1＝0”有两种情况：
一是a＝0，即它是一元一次方程；二是a≠0，即它是一元二次方 程，也只有在这种情况下，
才能用判别式Δ来解决问题．
求解集合与方程问题时，要注意相关问题的求解，如：
(1)在本例条件下，若A中至多有一个元素，求a的取值范围．
解：A中至多含有一个元素，即A中有一个元素或没有元素．
当A中只有一个元素时，由本例可知，a＝0或1.
当A中没有元素时，Δ＝4－4a<0，即a>1.
故当A中至多有一个元素时，a的取值范围为a＝0或a≥1.
(2)在本例条件下，若A中至少有一个元素，求a的取值范围．
解：A中至少有一个元素，即A中有一个或两个元素．
由例题可知，当a＝0或a＝1时，A中有一个元素；
当A中有两个元素时，Δ＝4－4a>0，即a<1.
∴A中至少有一个元素时，a的取值范围为a≤1.
(3)若1∈A，则a为何值？
解：∵1∈A，∴a＋2＋1＝0，即a＝－3.
(4)是否存在实数a，使A＝{1}，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：∵A＝{1}，∴1∈A，∴a＋2＋1＝0，即a＝－3.
1
又当a＝－3时 ，由 －3x
2
＋2x＋1＝0，得x＝－或x＝1，
3
11
即方 程ax
2
＋2x＋1＝0存在两个根－和1，此时A＝{－，1}，与A＝{1}矛盾．
33
故不存在实数a，使A＝{1}．

[随堂即时演练]
?
?
x＋y＝1，
1．方程组
?
22
的解集是( )
?
x－y＝9
?

A．(－5,4)
C．{(－5,4)}
B．(5，－4)
D．{(5，－4)}
?
x＋y＝1，
?
x＝5，
??
解析：选D 解方程组
?
22
得
?
故解集为{(5，－4)}，选D.
??
x－y＝9，y＝－4，
??

2．下列四个集合中，不同于另外三个的是( )
6

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A．{y|y＝2}
C．{2}
B．{x＝2}
D．{x|x
2
－4x＋4＝0}
解析：选B 集合{x＝2}表示的是由一个等式组成的集合，其它选项所表示的集合都是
含有一个元素2.
3．给出下列说法：
①直角坐标平面内，第一、三象限的点的集合为{(x，y)|xy>0}；
②方程x－2＋|y＋2|＝0的解集为{2，－2}；
③集合{(x，y)|y＝1－x}与{x|y＝1－x}是相等的．
其中正确的是________(填写正确说法的序号)．
解析：直角坐标平面内，第一、三 象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元
素为点(x，y)，故①正确；
???
x－2＝0，
?
x＝2，
方程x－2＋|y＋2|＝0等价于
?
即
?
解为有序实数对(2，－2)，解
??
y＋2＝0，y＝－2 ，
??
?
?
x＝2
集为{(2，－2)}或{(x，y)|
?
}，故②不正确；
?
y＝－2
?


集合{ (x，y)|y＝1－x}的代表元素是(x，y)，集合{x|y＝1－x}的代表元素是x，前者是有
序实数对，后者是实数，因此这两个集合不相等，故③不正确．
答案：①
4．若A＝{－ 2,2,3,4}，B＝{x|x＝t
2
，t∈A}，用列举法表示集合B为________ ．
解析：由题意可知集合B是由A中元素的平方构成的，故B＝{4,9,16}．
答案：{4,9,16}
5．用适当的方法表示下列集合：
(1)一年中有31天的月份的全体；
(2)大于－3.5小于12.8的整数的全体；
(3)梯形的全体构成的集合；
(4)所有能被3整除的数的集合；
(5)方程(x－1)(x－2)＝0的解集；
(6)不等式2x－1>5的解集．
解：(1){1月，3月，5月，7月，8月，10月，12月}．
(2){－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}．
(3){x|x是梯形}或{梯形}．
(4){x|x＝3n，n∈Z}．
(5){1,2}．
(6){x|2x－1>5}．
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[课时达标检测]
一、选择题
1．下列各组中的两个集合M和N，表示同一集合的是( )
A．M＝{π}，N＝{3.141 59}
B．M＝{2,3}，N＝{(2,3)}
C．M＝{x|－1D．M＝{1，3，π}，N＝{π，1，|－3|}
解析：选D 选项A中两个集合的元素 互不相等，选项B中两个集合一个是数集，一
个是点集，选项C中集合M＝{0,1}，只有D是正确的 ．
xyz|xyz|
2．已知x，y，z为非零实数，代数式＋＋＋的值所组成的集合是M， 则下列
|x||y||z|xyz
判断正确的是( )
A．0?M
C．－4?M
B．2∈M
D．4∈M
解析：选D 当x，y，z都大于零时，代数式的值为4，所以4∈M，故选D.
3．集合{x∈N
*
|x－3<2}的另一种表示法是( )
A．{0,1,2,3,4}
C．{0,1,2,3,4,5}
B．{1,2,3,4}
D．{1,2,3,4,5}
解析：选B ∵x－3<2，x∈N
*
，∴x<5，x∈N
*
，
∴x＝1,2,3,4.故选B.
4．已知集合A＝{x|x＝2m－1，m∈Z}，B＝{ x|x＝2n，n∈Z}，且x
1
、x
2
∈A，x
3
∈B，
则下列判断不正确的是( )
A．x
1
·x
2
∈A
C．x
1
＋x
2
∈B
B．x
2
·x
3
∈B
D．x
1
＋x
2
＋x
3
∈A
解析：选D 集合A表示奇数集，B表示偶数集，
∴x
1
、x
2
是奇数，x
3
是偶数，
∴x
1
＋x
2
＋x
3
应为偶数，即D是错误的．
5．设P＝{1,2,3,4}，Q＝{4,5,6,7,8}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P， b∈Q，a≠b}，则P*Q
中元素的个数为( )
A．4
C．19
B．5
D．20
解析：选C 由题意知集合P*Q的元素为点，当a＝1时，集合 P*Q的元素为：(1,4)，
(1,5)，(1,6)，(1,7)，(1,8)共5个元素．同样当 a＝2,3时集合P*Q的元素个数都为5个，当a
＝4时，集合P*Q中元素为：(4,5)，(4, 6)，(4,7)，(4,8)共4个．因此P*Q中元素的个数为
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19个，故选C.
二、填空题
6．设集合A＝{1，－2，a
2
－1}，B＝{1，a
2
－3a,0}，若A，B相等，则实数a＝________. 2
?
?
a－1＝0，
解析：由集合相等的概念得
?
2< br>解得a＝1.
?
a－3a＝－2，
?

答案：1
7．已知集合A＝{x|2x＋a>0}，且1?A，则实数a的取值范围是________．
解析：∵1?{x|2x＋a>0}，
∴2×1＋a≤0，即a≤－2.
答案：a≤－2
8．已知－5∈{x|x
2
－ax－5＝0}，则集合{x |x
2
－4x－a＝0}中所有元素之和为________．
解析：由－5∈{x |x
2
－ax－5＝0}得(－5)
2
－a×(－5)－5＝0，所以a＝－ 4，所以{x|x
2
－4x
＋4＝0}＝{2}，所以集合中所有元素之和为2.
答案：2
三、解答题
9．已知集合M＝{－2,3x
2
＋3x－ 4，x
2
＋x－4}，若2∈M，求x.
解：当3x
2
＋3x－4 ＝2时，即x
2
＋x－2＝0，则x＝－2或x＝1.经检验，x＝－2，x＝1
均不 合题意．当x
2
＋x－4＝2时，即x
2
＋x－6＝0，则x＝－3或2.经 检验，x＝－3或x＝2
均合题意．
∴x＝－3或x＝2.
6
10．(1)已知集合M＝{x∈N|∈Z}，求M；
1＋x
6
(2)已知集合C＝{∈Z|x∈N}，求C.
1＋x
解：(1)∵x∈N，
6
∈Z，∴1＋x应为6的正约数．
1＋x
∴1＋x＝1,2,3,6，即x＝0,1,2,5.
∴M＝{0,1,2,5}．
(2)∵
6
∈Z，且x∈N，
1＋x
∴1＋x应为6的正约数，
6
∴1＋x＝1,2,3,6，此时分别为6,3,2,1，
1＋x
∴C＝{6,3,2,1}．

9