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坐标系、任意角、弧度制

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 04:42
tags:高中数学培训

2018浙江高中数学模拟卷-全国高中数学联赛广州赛区

2020年9月21日发(作者:吕应中)



中国教育培训领军品牌


环球雅思学科教师辅导讲义

授课类型
授课日期及时段
T (空间直角坐标系)

C (任意角) T(弧度制)
教学内容



一、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系:如图,
OABC?D
?
A
?
B?
C
?
是单位正方体,以
O
为原点,分别以射线
OA, OB,OD
?
的方向为正方向,以线段
OA,OB,OD
?
的长度为 单位长,建立三条数轴:
x
轴、
y
轴、
z
轴.这时,
我们说建立了一个空间直角坐标系
Oxyz
,其中
O
叫做坐标原点,
x
轴、
y
轴、
z
轴叫做坐标轴,
通过每两个坐标轴的平面 叫做坐标平面,分别称为
xOy
平面、
yOz
平面、
zOx
平面.

2. 右手直角坐标系:在空间直角坐标系中,让右手拇指指向
x
轴正方向,食指指向
y
轴正方向,如
果中指指向
z
轴的正方向,则称 这个坐标系为右手直角坐标系.
1



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3. 空间直角坐标系中的坐标:设点
M
为空间中的一个定点,过点
M
分别作垂直于
x
轴、
y
轴、
z

的平面,依次交
x
轴、
y
轴 、
z
轴于
P、Q、R
.设点
P、Q、R

x
轴、
y
轴、
z
轴上的坐标分别为
x

y

z
,那么有序实数组
?
x,y,z
?
叫做点
M< br>在此空间直角坐标系中的坐标,记作
M
?
x,y,z
?
其中
x
叫做点
M
的横坐标,
y
叫做点
M
的纵坐标,
z
叫做点
M
的竖坐标.

二、点与坐标
同步题型分析
【例1】写出下图中边长为1的正方体的各点坐标:

【例 2】点
P

z
轴上,且到坐标原点的距离为3,则
P
点坐标 为_______________.
2



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确定点
M
?
x,y,z
?
的位置的方法:
(1) 先在
xOy
平面确定点
M
?
?
x,y,0
?

(2) 再根据竖坐标
z
的正、负、0,确定点
M
的位置.
【例3】在空间直角坐标系中,作出点
M
?
6,?2,4
?
.


随堂巩固:
1.在空间直角坐标系中,作出下列各点:
A
?
0,0,0
?

B
?
3,0,0
?< br>,
C
?
3,2,0
?

D
?
0,2 ,0
?

A
?
?
0,0,1
?

B
?
?
3,0,1
?

C
?
?
3 ,2,1
?

D
?
?
0,2,1
?


2.点
B
是点
A
?
1,2,3
?
在坐标平面
yOz
内的射影,则
B
点坐标为______

3.空间一点
P
的坐标设为
?
x,y,z
?

(1)若
P
为坐标原点,则
P
点坐标为________;
(2)若
P

xOy
平面上,则
P
点坐标为______ __;
(3)若
P

yOz
平面上,则
P
点坐标为________;
(4)若
P

zOx
平面上, 则
P
点坐标为________;

三、空间中两点间的距离
2 22
?y
0
?z
0
1.
P
?
x
0
,y
0
,z
0
?
到坐标原点的距离:
d?x
0

2.
P
1
?
x
1
,y
1< br>,z
1
?

P
2
?
x
2
, y
2
,z
2
?
两点间的距离:
d?
?
x< br>1
?x
2
?
?
?
y
1
?y
2
?
?
?
z
1
?z
2
?
222< br>
【例4】给定空间直角坐标系,在
x
轴上找一点
P
,使之与
Q
?
4,1,2
?
的距离为
30
.
< br>【例5】在
xOy
平面内的直线
x?y?1
上确定一点
M,使
M

N
?
6,5,1
?
的距离最小.

3



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课堂巩固:
1.若
A(1,? 2,1),B(2,2,2),

P

z
轴上,且
PA?P B
,则点
P
的坐标为

2.求证:以
A< br>?
10,?1,6
?

B
?
4,1,9
?< br>,
C
?
2,4,3
?
三点为顶点的三角形是等腰三角形.




?
正角:按逆时针方向旋转形成的角
?
1. 任意角:
?
负角:按顺时针方向旋转形成的角

?
零角:不作任何旋转形成的角
?
2. 象限角:角
?
的顶 点与原点重合,角的始边与
x
轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称
?

第几象限角.
??
第二象限角的集合为
?
?
k?360 ?90?k?360?180,k??
?

第三象限角的集合为
?
?
k?360?180?
?
?k?360?270,k??
?

第四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360? 360,k??
?

终边在
x
轴上的角的集合为
?
??
?k?180,k??
?

终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3.与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360?
?
?k?360?90,k??

4. 已知
?
是第几象限 角,确定
?
?
n??
?
所在象限的方法:先把各象限均分
n
等份,再从
x
轴的正半
n
*
4



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轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四, 则
?
原来是第几象限对应的标号即为
在的区域.

?
终边所落
n
同步题型分析

【例1】下列角中终边与 330°相同的角是( )
A. 30°

【例2】已知角α是第三象限角,求:
(1) 角



【例3】如果
?
与120°角终边相同,






B. - 30° C. 630° D. - 630°
α
是第几象限的角;(2)角2α终边的位置.
2
?
是第_____象限角.
2
1.弧度:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度.
2. 半径为
r
的圆的圆心角
?
所对弧的长为
l
,则角
?
的弧度数的绝对值是
?
?
3.弧度制与角度制的换算公式:
2
?
?360

1?
l

r
?
180< br>?

1?
?
?57.3

?
180
?
?
?
?
4.若扇形的圆心角为
?
?
?
为弧度制
?
,半径为
r
,弧长为
l
,周长为
C,面积为
S
,则
11
l?r
?

C?2r? l

S?lr?
?
r
2

22


5



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同步题型分析

【例4】用弧度写出第一、二、三、四象限角的集合.










【例5】 填写特殊角的度数与弧度数的对应表:

0
?

30
?

45
?





【例6】
649
?
的终边在( )
7


?

3

?

2
120
?

135
?

150
?


360
?


3
?


?

2

A、第一象限

B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

【例7】终边落在坐标轴上的角的集合是( )
A、
?
??
?2k
?
,k?Z
?

C、
?
??
?k
?
,k?Z
?



【例8】
315?
的弧度数为( )
A、
?

6
B、
?
??
?(2k?1)
?
,k?Z
?

??
k
?
D、
?
??
?,k?Z
?

2
??
?
4
B、
3
?

4
C、
5
?

4
D、
7
?

4



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【例9】在与
600?
终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为( )
1
A、
?
?

3
2
B、
?
?

3
2
C、
?

3
4
D、
?

3

【例10】已知半径为
1
的扇形面积为
A、

【例11】弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2,则这个圆心角所对的弧长是( ).
A、2 B、
2

sin1
3
?
,则扇形的中心角为( )
8
3
?
3
?
B、
168
C、
3
?

4
D、
3
?

2
C、
2sin1
D、
sin2

【例12】如果弓形的弧所对的圆心角为
A、
(
C、
(

?
,弓形的弦长为
2
㎝,则弓形的面积为( ).
3
?
3
?3)
cm
2
B、
(
D、
(
?
9
?3)
cm
2

2
?
?3)
cm
2

3
2
?
3
?)
cm
2

32
课堂巩固:
1.半径为
2
的圆中,
60?
的圆周角所对的弧长是 。

2.已知直径为
12
㎝的轮子以
400rmin
(转分) 的速度作逆时针旋转,则轮周上一固定点经过
5
s
(秒)后转过的弧长是 。

3.若
?
??2
,则
?
的终边在( )
A、第一象限

4.若
?
是第四象限角,则
?
?
?
是( )
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
7



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5.下列各角中,终边在第四象限的是( )
A、
?1485?


6.已知扇形的面积是
3
?
,半径是1,则扇形的中心角是( )
8
3
?
3
?
3
?
3
?
A、 B、 C、 D、
16842
B、
1303?18
?
C、
?
18
?

7
D、
49
?

12





课后作业(一):

1. 在空间直角坐标系中,给出点
M
?
x,y,z
?
,则
(1) 关于
xOy
平面对称的点是________;
(2) 关于
yOz
平面的对称的点是________;
(3) 关于
zOx
平面的对称的点是________;
(4) 关于
x
轴对称的点是_________;
(5) 关于
y
轴对称的点是_________;
(6) 关于
z
轴对称的点是_________.
2. 如图,长方
ABCD?A
?
B
?
C
?
D
?
中,
AD?3< br>,
AB?5

AA
?
?3
,设
E

DB
?
的中点,
F

BC
?
的中点,在给 定的空间直角坐标系
D?xyz
下,写出
A,B,C,D,A
?
,B
?
,C
?
,D
?
,E,F
各点的坐标.
8



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9



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作业(二):
A组
一、选择题
1.已知
?
是锐角,那么
2
?
是( ).
A.第一象限角 B.第二象限角 C.小于180的正角 D.第一或第二象限角
2.将
?885
化为
?
?k?360(0?
?
?3 60,k?Z)
的形式是( ).
A.
?165?(?2)?360
B.
195?(?3)?360

C.
195?(?2)?360
D.
165?(?3)?360

3.若
?
?5rad
,则角
?
的终边所在的象限为( ).
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

4.扇形的周长是
16
,圆心角是
2
弧度,则扇形面积是( ).
A.
16
?
B.
32
?
C.
16
D.
32


5下列说法中正确的是( ).
A.终边在
y
轴非负半轴上的角是直角
B.第二象限角一定是钝角
C.第四象限角一定是负角
D.若
?
?
?
?k?360( k?Z)
,则
?

?
终边相同

10



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6.设集合
E?{x|x是小于90的角 }

F?{x|x是锐角}

G={x|x是第一象限的角}

,则下列关系成立的是( ).
M={x|x是小于90,但不小于0的角}
A.

7.与
1775
终边相同的绝对值最小的角是( ).
A.
175
B.
75
C.
?25
D.
25


8.若
A?{
?
|
?
?k?360,k?Z}

B?{
?
|
?
?k?180,k?Z}


C?{
?
|
?
?k?90,k?Z}
,则下列关系中正确的是( )
A.
A?B?C

C.
A?B?C


9. 若角
?

?
终边相同,则一定有( ).
A.
?
?
?
?180
B.
?
?
?
?0

C.
?
?
?
?k?360,k?Z
D.
?
?
?
?k?360,k?Z


10.下列表示中不正确的是( ).
...
A.终边在
x
轴上角的集合是
{
?
|
?
?k
?
,k?Z}
B.终边在
y
轴上角的集合是
{
?
|
??






B.
A?B?C

C

B. C.(
EG
) D.
GM?F

D.
A刎B
?
2
?k
?
,k?Z}

C. 终边在坐标轴上角的集合是
{
?
|
?
?k?
?
2< br>,k?Z}

D.终边在直线
y?x
上角的集合是
{
?
|
?
?

二、填空题
?
4
?2k
?
,k?Z}

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11.在
?720

7 20
之间与
?1050
终边相同的角是___________.

12.若
?
为第四象限角,则
2
?
在_________.(填终 边所在位置)

13.时钟从
6

50
分走到
1 0

40
分,这时分针旋转了_______弧度.

14.终边在第一或第三象限角的集合是_________.

15.设扇形的周 长为
8cm
,面积为
4cm
2
,则扇形的圆心角的弧度数的绝对值是 .

三、解答题
16.写出与
37023
'
终边相同角 的集合
S
,并把
S
中在
?720

360
间的角写出来.







17. 写出与
?





18.如果
?
是第二象限角,那么
2
?
角的终边的位置如何?
?
3
终边 相同的角的集合
S
,并把
S
中在
?4
?
~
4
?
之间的角写出来
?
是哪个象限的角?
3
12



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19. 已知扇形
???
的圆心角为
120
,半径为6
,求此扇形所含弓形面积.









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