圆与方程知识点总结典型例题

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圆与方程

1. 圆的标准方程：以点< br>C(a,b)
为圆心，
r
为半径的圆的标准方程是
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
特例： 圆心在坐标原点，半径为
r
的圆的方程是：
x
2
?y
2?r
2
.
2. 点与圆的位置关系：
(1). 设点到圆心的距离为d，圆半径为r：
a.点在圆内 d＜r； b.点在圆上 d=r； c.点在圆外 d＞r
(2). 给定点
M(x
0
,y
0
)
及圆
C:(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
.
①
M
在圆
C
内
?(x
0
? a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2

②
M
在圆
C
上
?（x
0
?a)
2
?(y
0
?b)
2
?r
2

③
M
在圆
C
外
?(x
0
?a)
2
?(y< br>0
?b)
2
?r
2

（3）涉及最值：
① 圆外一点
B
，圆上一动点
P
，讨论
PB
的最值
PB
min
?BN?BC?r

PB
max
?BM?BC?r


② 圆内一点
A
，圆上一动点
P
，讨论
PA
的最值


PA
min
?AN?r?AC


PA
max
?AM?r?AC


思考：过此
A
点作最短的弦？（此弦垂直
AC
）

3. 圆的一般方程：
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
.
?
DE
?
(1) 当
D?E?4F?0
时，方程表示一个圆 ，其中圆心
C
?
?,?
?
，半径
r?
22
??
22
D
2
?E
2
?4F
.
2
1

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(2) 当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程表示一个点
?
?< br>?
DE
?
,?
?
.
22
??
(3) 当
D
2
?E
2
?4F?0
时，方程不表示任何图形. 注：方程
Ax
2
?Bxy?Cy
2
?Dx?Ey?F?0
表示圆的充要条件是：
B?0
且
A?C?0
且
D
2
?E
2
?
4
AF?
0
.

4. 直线与圆的位置关系：
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)2
?(y?b)
2
?r
2

圆心到直线的距离
d?
Aa?Bb?C
A?B
22

1）
d?r?直线与圆相离?无交点
；
2）
d?r?直线与圆相切?只有一个交点
；
3）
d?r?直线与 圆相交?有两个交点
；弦长|AB|
=
2
r
2
?d
2

r
d
d=r
r
d


还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组
?
的个数来判断：
（1）当
??0
时，直线与圆有2个交点，，直线与圆相交；
（2）当
??0
时，直线与圆只有1个交点，直线与圆相切；
（3）当
??0
时，直线与圆没有交点，直线与圆相离；

5. 两圆的位置关系
22
（1）设两圆
C
1
:(x?a
1)
2
?(y?b
1
)
2
?r
1
与圆< br>C
2
:(x?a
2
)?(y?b
2
)?r
2
，
22
?
Ax?By?C?0
?
x?y?Dx?Ey?F ?0
22
求解，通过解
圆心距
d?(a
1
?a
2
)
2
?(b
1
?b
2
)
2

①
d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
；
②
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
；
③
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
；

2

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④
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
；
⑤
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
；

外离 外切 相交 内切
（2）两圆公共弦所在直线方程
圆
C
1
：
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
，
圆
C
2
：
x
2
?y
2
?D
2
x? E
2
y?F
2
?0
，
则
?
D
1
?D
2
?
x?
?
E
1
?E
2?
y?
?
F
1
?F
2
?
?0
为两相交圆公共弦方程.
补充说明：
① 若
C
1
与
C
2
相切，则表示其中一条公切线方程；
② 若
C
1
与
C
2
相离，则表示连心线的中垂线方程.

（3）圆系问题
22
过两圆
C
1
：
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
和：
C
?0x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
交点的圆系
2
1
2222
方程为
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
x?y?D
2< br>x?E
2
y?F
2
?0
（
?
??1
）
??
补充：
① 上述圆系不包括
C
2
；
② 2）当
?
??1
时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）
?C?0
与圆
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
交点的圆系方程为 ③ 过直线
Ax?By
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F??
?
Ax?By?C
?
?0



6. 过一点作圆的切线的方程：
(1) 过圆外一点的切线：
①k不存在，验证是否成立
②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离
=
半径，即

3

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?
y
1
?y
0
?k(x
1
?x
0
)
?
b?y
1
?k( a?x
1
)

?
R?
?
R
2
?1
?
求解k，得到切线方程【一定两解】
例1. 经过点P(1，—2)点作圆(x+
1)
+
(
y—
2)
=
4的切线，则切线方 程为 。

(2) 过圆上一点的切线方程：圆(
x —a
)
+
(
y—b
)
=r
，圆上一点为(
x
0
，y
0
)，
则过此点的切线方程为(
x
0< br>—a
)(
x—a
)
+
(
y
0
—b< br>)(
y—b
)
= r

特别地，过圆
x
2
?y
2
?r
2
上一点
P(x
0
,y
0
)
的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
2
.
例2.经过点P(—4，—8)点作圆(
x+
7)
+
(
y+
8)
=
9的切线，则切线方程为 。

7．切点弦
(1)过⊙
C
：
(x?a)
2?(y?b)
2
?r
2
外一点
P(x
0
,y< br>0
)
作⊙
C
的两条切线，切点分别为
A、B
，
则切点弦
AB
所在直线方程为：
(x
0
?a)(x?a)?(y< br>0
?b)(y?b)?r
2


8. 切线长：
2 22
若圆的方程为(
x
?
a
)?(
y
?
b
)=
r
，则过圆外一点
P
(
x
0
,
y
0
)的切线长为
22
2
222
22
d
=
(x
0
?a)
2
+(y
0
?b)
2< br>?r
2
．


9. 圆心的三个重要几何性质：
① 圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
② 圆心在某一条弦的中垂线上；
③ 两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线。


10. 两个圆相交的公共弦长及公共弦所在的直线方程的求法
例.已知圆C
1
：
x
+
y
—2
x
=0和圆C
2
：
x
+
y
+4
y
=0，试判断圆和位置关系，
若相交，则设其交点为A、B，试求出它们的公共弦AB的方程及公共弦长。






4
2222

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一、求圆的方程
例1 (06重庆卷文) 以点
(2,?1)
为圆心且与直线
3x?4y?5?0
相切的圆的方程为( )
(A)
(x?2)
2
?(y?1)
2
?3
(B)
(x?2)
2
?(y?1)
2
?3

2
(C)
(x?2)?(y?1)
2
?9
(D)
(x?2)
2
?(y?1)
2
?9

二、位置关系问题
例2 (06安徽卷文) 直线
x?
围是( )
(A)
(0,
(C)
(?
y?1
与圆
x
2
?y
2
?2ay?0
(a?0)
没有公共点，则
a
的取值范
2?1)
(B)
(2?1,2?1)

2?1,2?1)
(D)
(0,2?1)

5
?0
相切的直线方程为( )
2
三、切线问题
例3 (06重庆卷理) 过坐标原点且与圆
x
(A)
2
?y
2
?4x?2y?
11
x
(B)
y?3x
或
y??x

33
11
(C)
y??3x
或
y??x
(D)
y?3x
或
y?x

33
y??3x
或
y?
四、弦长问题
例4 (06天津卷理) 设直线
ax?y?3?0
与圆
(x?1)
2
?( y?2)
2
?4
相交于
A、B
两点，且
弦
AB


的长为
23
，则
a?
.
五、夹角问题
例5 (06全国卷一文) 从圆
x
切线夹角的余弦值为( )
2
?2x?y
2
?2y?1?0
外一点
P(3,2)< br>向这个圆作两条切线，则两
(A)
1
2
(B)
3
3
(C) (D) 0
5
2
六、圆心角问题
例6 (06全国卷二) 过点
(1,
角最小时，直线
l
的斜率
k



2)
的直线
l
将圆
(x?2)
2
?y< br>2
?4
分成两段弧，当劣弧所对的圆心
?
.

5

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七、最值问题
例7 (06湖南卷文) 圆
x
最小距离的差是( )
(A) 30 (B) 18 (C)
6
八、综合问题
例8 (06湖南卷理) 若圆x
2
2
?y
2
?4x?4y?10?0
上的点到直线< br>x?y?14

?0
的最大距离与
2
(D)
52

?y
2
?4x?4y?10?0
上至少有三个 不同的点到直线
l:ax?by?0
的距离为
22
，则直线
l
的斜率k取值范围_______________







圆的方程
1.方程x
2
+y
2
－2 （t+3）x+2（1－4t
2
）y+16t
4
+9=0（t∈R）表示圆方 程，则t的取值范围是
A.－1111
B.－1727
7
，求此圆的方程. 2. 一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为2



3.方程x
2
＋y
2
＋Dx＋Ey＋F＝0（D
2
＋E
2
－4F＞0）表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形，则（ ）
A.D+E=0B. B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=0
4.（2004年全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A（1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线
共有（ ）
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
5.

6.（2004年全国 卷Ⅲ，16）设P为圆x
2
+y
2
=1上的动点，则点P到直线3x－4y－ 10=0的 距离的最小
值为____________.
7.已知实数x、y满足方程x< br>2
+y
2
－4x+1=0.求（1）
（3）x
2
+y
2
的最大值和最小值.




（2005年黄 冈市调研题）圆x
2
+y
2
+x－6y+3=0上两点P、Q关于直线kx－ y+4=0对称，则
k=____________.
y
的最大值和最小值；（2）y－x的最小值；
x

6

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经过两已知圆的交点的圆系
例1． 求经过两 已知圆：
x
2
?y
2
?4x?6?0
和
x
2
?y
2
?4y?6?0
的交点且圆心的横坐标为3
的圆的方程。












例2． 设圆方程为：

(
?
?4)x
2
?(
?
?4)y
2
?(2
?
? 4)x?(12
?
?40)y?48
?
?164?0
求证： 不论
?
为何值，所给圆必经过两个定点。







直线与圆的位置关系
例1：求由下列条件所决定圆< br>x
2
?y
2
?4
的圆的切线方程；
(1) 经过点
P(3,1)
，(2)经过点
Q(3,0)
，(3)斜率为
?1













其中
?
?
－4
7

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直线和圆
1．自点（－3，3） 发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射线所在直线与圆
x
2
?y
2< br>?4x?4y?7?0
相切，求光线L所在直线方程．










2. 求圆心在直线x?y?0
上，且过两圆
x
2
?y
2
?2x?10y? 24?0
，
x
2
?y
2
?2x?2y?8?0
交点 的圆的方程．








3. （2002北京文，16）圆x
2
＋y
2
－2x－2y＋1＝ 0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为 ．


弦长
【例题】 已知直线l∶x+2y-2=0与圆C∶x
2
+y
2
=2 相交于A、B两点，求弦长AB.


8