空间几何体+集合基本运算

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环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义
讲义编号：
GE-ZBMGYJ002002
副校长组长签字： 签字日期：
学 员 编 号 ： 年 级 ： 高一 课 时 数 ：2
学 员 姓 名 ： 孟雪然 辅 导 科 目 ： 数学 学 科 教 师 ：顾永军
课 题
授课日期及时段
教 学 目 的
重 难 点
空间几何体+集合运算
2014.12.6 19：00---21：00
1、认识柱锥棱台，会画空间几何体的三视图和直观图
2、会求空间几何体的表面积和体积
1、画空间几何体的三视图和直观图
2、求空间几何体的表面积和体积
【考纲说明】
1、能够从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征；
2、掌握画三视图的基本技能，能够识别三视图所表示的空间几何体，并能能做出简单的三视图；
3、能够用斜二测画法画空间几何体的直观图；
4、能够正确记忆空间几何体的表面积和体积公式，并能灵活运用；
5、本部分在高考中一般占20分左右，一般以选择题和解答题的形式出现，并与其他知识相配合。
【趣味链接】


三视图
空间几何体的结构
简单几何体的结构特征
柱、锥、台、球的三视图




空
间
几
何
体
简单几何体的三视图
平行投影
平面图形
直观图 斜二测画法
空间几何体
中心投影

柱、锥、台、球的表面积与体积
1

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【知识梳理】
一、柱、锥、台、球的结构特征
1、棱柱结构特征：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共 边都互
相平行，由这些面围成的多面体。
棱柱的性质：
（1）侧棱都相等，侧面都是平行四边形；
（2）两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形；
（3）平行于侧棱的截面都是平行四边形；
2、棱锥结构特征：
有一个面是多边形 ，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的几何体
叫棱锥。如果一个棱锥的底面是正多边 形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样
的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质
(1)各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。
(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的 射影组成一个直角三角形；棱锥的高、
侧棱和侧棱在底面上的射影也组成一个直角三角形。
3、棱台结构特征
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面
之间的部分是棱台.
4、圆柱结构特征
以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。
2

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5、圆锥结构特征

以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
6、圆台结构特征
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分是圆台.
7）球结构特征
以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体.
二、几何体的三视图和直观图


1）三视图的作图步骤
1、确定视图方向
2、先画出能反映物体真实形状的一个视图
3

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3、运用长对正、高平齐、宽相等的原则画出其它视图
4、检查，加深，加粗。
2）斜二测画法的步骤
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y 轴，两轴相交于点O。画直观图时，把它们画成对应的x’ 轴和y’轴，两
轴交于点O’，且使∠x’O’y’=45°（或135 °），它们确定的平面表示水平面。
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x’轴或y’轴的线段。 （3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。

【经典例题】
1、对几何体三视图，下列说法正确的是：（ ）
A . 正视图反映物体的长和宽 B . 俯视图反映物体的长和高
C . 侧视图反映物体的高和宽 D . 正视图反映物体的高和宽
2、若某几何体有一种视图为圆，那么这个几何体可能是 ____________
3、一个棱柱是正四棱柱的条件是
A、底面是正方形，有两个侧面是矩形 B、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面
C、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D、每个侧面都是全等矩形的四棱柱
4、有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个
4

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正视图 侧视图
A、棱台 B、棱锥 C、棱柱 D、都不对
俯视图
5、正方体的内切球和外接球的半径之比为（ ） A.
3:1
B.
3:2
C.
2:3
D.
3:3


6、有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体应是一个( )

A 棱台 B 棱锥 C 棱柱 D 都不对
7、一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为
2cm
，则球的表面积是
Ａ
8
?
cm
Ｂ
12
?
cm
2
2

Ｃ
16
?
cm
2

Ｄ
20
?
cm

2
【课堂练习】
1、过圆锥高的三等分点作平行于底面的截面，它们把圆锥侧面分成的三部分
的面积之比为（ ）
A
A.1：2：3 B.1：3：5 C.1：2：4 D1：3：9
1

2 、如右图为一个几何体的三视图，其中，俯视图为正三角形，A
1
B
1
=2，
AA
1
=4，则该几何体的表面积为（ ）
(A)6+
3
(B)24+
3
(C)24+2
3
(D)32
A
C
B

正视
3、 长方体的共顶点的三个侧面面积分别为3，5，15，则它的体积为________.
图

4、球的半径扩大为原来的2倍,它的体积扩大为原来的 ______ 倍.

5 、若三个球的表面积之比是
1:2:3
，则它们的体积之比是_____________

6、某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为( )
A、18+8π B、8+8π
C、16+16π D、8+16π
B
侧视
图
俯视
图
5

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2
2
4
2
4
主视图
侧视图
4
4
2


俯视图
【课后作业】
1、已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分 别为
V
1
和
V
2
，则
V
1
:V< br>2
?
（ ）
A
1:3
B
1:1
C
2:1
D
3:1

2、图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成;图（ 2）中的三视图表示的实
物为_____________







图（1）
3、把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为
图（2）


4、设长方体的长宽高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 。


5、空间几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 。

6、若三球的半径之比为1:2:3，那么半径最大的球的体积是其余两球和的 倍。


7、某地球仪上北纬30°的纬线长度为12πcm，则该地球仪的半径是 ，表面积是 ，体积是 。

6

集合补充：


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?
（）元素与集合的关系：属于（?）和不属于（? ）
?
1
?
?
?
2）集合中元素的特性：确定性、互异性、无 序性
?
集合与元素
（
?
?
（
?
3）集合的 分类：按集合中元素的个数多少分为：有限集、无限集、空集
?
?
4）集合的表示方法 ：列举法、描述法（自然语言描述、特征性质描述）、图示法、区间法（
?
?
?
?
?
子集：若x?A ?x?B，则A?B，即A是B的子集。
?
?
?
?
?
1、若集合A中有n个元素，则集合A的子集有2
n
个，真 子集有(2
n
-1)个。
?
?
?
?
?
?< br>?
?
2、任何一个集合是它本身的子集，即 A?A
?
?
?
?
注
?
?
关系
?
?
?
3、对于集合A,B,C,如果A?B，且B?C,那么A?C.?
?
?
?
4、空集是任何集合的（真）子集。
?
??
?
?
?
真子集：若A?B且A?B
?
（即至少存在x
0
?B但x
0
?A），则A是B的真子集。
集合
?
?
?
?
?
?
?
集合相等：A?B且A?B ?A?B
?
?
?
?
?
集合与集合
?
?
定义：A? B?
?
xx?A且x?B
?
?
交集
?
?
?
?
?
?
?
性质：A?A?A，A????，A?B?B?A，A?B ?A,A?B?B，A?B?A?B?A
?
?
?
?
?
?定义：A?B?
?
xx?A或x?B
?
?
并集
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
性质：A ?A?A，A???A，A?B?B?A，A?B?A，A?B?B，A?B?A?B?B
?

?
运算
?
?
?
Card(A?B)?Card(A)? Card(B)-Card(A?B)
?
?
?
?
?
定义：C
U
A?
?
xx?U且x?A
?
?A
?
?< br>?
?
?
?
补集
?
性质：
?
(CU
A)?A??，(C
U
A)?A?U，C
U
(C
U< br>A)?A，C
U
(A?B)?(C
U
A)?(C
U
B )，
?
?
?
?
C(A?B)?(CA)?(CB)
?
?
UUU
?
?
?
?
?
练习：
1．已知全集
U
＝{0，1，2}且
U
A
＝{2}，则集合
A
的真子集共有( )．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．设全集U={1,2,3,4,5,6} ,设集合P={1,2,3,4} ,Q{3,4,5},则P∩(C
U
Q)= （ ）
A．{1,2,3,4,6} B．{1,2,3,4,5}
C．{1,2,5} D．{1,2}
2
3．A
＝{
x
|
x
＋
x
－6＝0}，
B< br>＝{
x
|
mx
＋1＝0}，且
AB?A
，则
m
的取值集合是( )．
1
??
1
－
?
A．
?
，
2
??
3
11
?
?
11
?
?
11
?

?

－， －
?
C．
?
B．
?
0，
0， ， －
?
D．
?
，
?
32
?
32
2
?
?< br>??
?
3
x－2
y－3
?
4．设全集
U＝{(
x
，
y
)|
x
∈R，
y
∈R}，集合
M
＝
?

(x，y)|＝1
?
，
P
＝{(
x
，
y
)|
y
≠
x
＋1}，那么
U
(
M
∪
P
)等于( )．
?
??
A．
?
B．{(2，3)}
C．(2，3) D．{(
x
，
y
)|
y
＝
x
＋1} < br>22
5．已知
A
＝{
x
|
x
－
ax
＋
a
－19＝0}，
B
＝{
x
|
x2
－5
x
＋6＝0}，
C
＝{
x
|
x
2
＋2
x
－8＝0}，且
?
(
A
∩
B
)，
A
∩
C
＝
?
，求
a
的值 ．




[来源:学&科&网


1
∈
A
，
a
≠1且1
?
A
1－ a
(1)若2∈
A
，则
A
中至少还有几个元素？求出这几个元素．
(2)
A
能否为单元素集合？请说明理由．
6．设
A
是实数集，满足若
a
∈
A
，则
8

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(3)若
a
∈
A
，证明：1－








1
∈
A
．
a
7、设全集
U
是实数集R，
M
＝{
x
|
x
＞4}，
N
＝{
x
|
合是 ( )
A.{
x
|－2≤
x
＜1}
C.{
x
|1＜
x
≤2}




2
2
≥1}，则图中阴影部分所表示的集
x
－1
B.{
x
|－2≤
x
≤2}
D.{
x
|
x
＜2}
8、 已知集合
A?x|x
2
?3(a?1)x?2(3a?1)?0,B?{x|
（Ⅰ）当a=2时，求
A?B
；
（Ⅱ）求使
B?A
的实数a的取值范围
??
x?2a
x?(a
2
?1)
?0}
，








2
9、若全集U={x∈R|x≤4}，A={x∈R||x+1|≤1}的补集CuA为
A．|x∈R |0C．|x∈R |0
2
（ ）
10、设 关于
x
的不等式
x(x?a?1)?0(a?R)
的解集为
M
，不等式
x?2x?3?0
的解集为
N
.
（Ⅰ）当
a ?1
时,求集合
M
；（Ⅱ）若
M?N
,求实数
a
的 取值范围.


9