初三数学二次函数知识点总结

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一、二次函数概念：
b，c
是常数，
a?0
）的函数，叫做二次函数。 1．二次函数的概念：一 般地，形如
y?ax
2
?bx?c
（
a，
c
可以为 零．二次函数的定义域是全体 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数
a?0
，而
b，
实数．
2. 二次函数
y?ax
2
?bx?c
的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量
x
的二次式，
x
的最高次数是2． b，c
是常数，
a
是二次项系数，
b
是一次项系数，
c
是常数项． ⑵
a，
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：
y?ax
2
的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a
的符号
a?0

开口方向 顶点坐标 对称轴
向上
性质
x?0
时，
y
随
x
的增大而增大；
x?0
时，
y
随
0< br>?

?
0，
0
?

?
0，
y
轴
x
的增大而减小；
x?0
时 ，
y
有最小值
0
．
x?0
时，
y
随x
的增大而减小；
x?0
时，
y
随
a?0

向下
y
轴
x
的增大而增大；
x?0
时，
y
有最大值
0
．






2.
y?ax
2
?c
的性质：
上加下减。
a
的符号
a?0

开口方向 顶点坐标 对称轴
向上
性质
x?0
时，
y
随
x
的增大而增大；
x?0
时，
y
随
c
?

?
0，
c
?

?
0，
y
轴 x
的增大而减小；
x?0
时，
y
有最小值
c
．
x?0
时，
y
随
x
的增大而减小；
x?0
时，
y
随
a?0

向下
y
轴
x
的增大而增大；
x?0
时，
y
有最大值
c
．







3.
y?a
?
x?h
?
的性质：
左加右减。
2
a
的符号
a?0

开口方向 顶点坐标 对称轴
向上
0
?

?
h，
0
?

?
h，
性质
x?h
时，
y
随
x
的增大而增大；
x?h
时，
y
随
X=h
x
的增大 而减小；
x?h
时，
y
有最小值
0
．
x?h时，
y
随
x
的增大而减小；
x?h
时，
y随
a?0

向下 X=h
x
的增大而增大；
x?h< br>时，
y
有最大值
0
．

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4.
y?a
?
x?h
?
?k
的性质：
2
a
的符号
a?0

开口方向 顶点坐标 对称轴
向上
性质
x?h
时，
y
随
x
的增大而 增大；
x?h
时，
y
随
?
h，k
?

?
h，k
?

X=h
x
的增大而减小；
x?h
时，
y
有最小值
k
．
x?h
时，
y
随
x
的增大而减小；
x?h
时，
y
随
a ?0

向下 X=h
x
的增大而增大；
x?h
时，
y
有最大值
k
．

三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤：
方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式
y?a
?
x?h?
?k
，确定其顶点坐标
?
h，k
?
；
⑵ 保持抛物线
y?ax
2
的形状不变，将其顶点平移到
?
h，k
?
处，具体平移方法如下：
y=ax
2
向上(k>0)【或向下(k<0 )】平移|k|个单位
y=ax
2
+k
2
向右(h>0)【或左(h <0)】
平移|k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移 |k|个单位< br>向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0) 】平移|k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位
y=a(x -h)
2
y=a(x-h)
2
+k

2. 平移规律
在原有函数的基础上“
h
值正右移，负左移；
k
值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”．
方法二：
⑴
y?ax?b x?c
沿
y
轴平移:向上（下）平移
m
个单位，
y?ax? bx?c
变成
22
y?ax
2
?bx?c?m
（或
y?ax
2
?bx?c?m
）
⑵
y?ax?bx?c
沿 轴平移：向左（右）平移
m
个单位，
y?ax?bx?c
变成
22< br>y?a(x?m)
2
?b(x?m)?c
（或
y?a(x?m)
2
?b(x?m)?c
）





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四、二次函数
y?a
?
x?h
?
?k
与
y?ax
2?bx?c
的比较
从解析式上看，
y?a
?
x?h
?
?k
与
y?ax
2
?bx?c
是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前
b
?
4ac?b
2
b4ac?b
2?
者，即
y?a
?
x?
?
?
，其中
h ??，
．
k?
2a
?
4a
2a4a
?
2
2
2

五、二次函数
y?ax
2
?bx?c
图象的画法
五点绘图 法：利用配方法将二次函数
y?ax
2
?bx?c
化为顶点式
y?a (x?h)
2
?k
，
确定其开口方向、
对称轴及顶点坐标，然后在对 称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与
y
轴
的交点
?
0，c
?
、以及
?
0，c
?
关于对称轴对称的 点
?
2h，c
?
、与
x
轴的交点
?
x1
，0
?
，
?
x
2
，0
?
（ 若与
x
轴
没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下 几点：开口方向，对称轴，顶点，与
x
轴的交点，与
y
轴的交点.

六、二次函数
y?ax
2
?bx?c
的性质
?
b4ac?b
2
?
b
1. 当
a?0
时，抛物线开口向上，对称轴为
x??
，顶点坐标为
?
?，
?．
2a4a
2a
??
当
x??
bbb
时，< br>y
随
x
的增大而减小；当
x??
时，
y
随< br>x
的增大而增大；当
x??
时，
y
有最小
2a2a2 a
4ac?b
2
值．
4a
?
b4ac?b
2
?
bb
2. 当
a?0
时，抛物线开口向下，对称轴为
x??
，顶点坐标为
?
?，
．当时，
x??
?
2a4a
2a2a
??
bb< br>4ac?b
2
．
y
随
x
的增大而增大；当
x??
时，
y
随
x
的增大而减小；当
x??
时，< br>y
有最大值
2a2a
4a

七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：
y?ax
2
?bx?c
（
a
，b
，
c
为常数，
a?0
）；
2. 顶点式：
y?a(x?h)
2
?k
（
a
，
h
，
k< br>为常数，
a?0
）；
3. 两根式：
y?a(x?x
1)(x?x
2
)
（
a?0
，
x
1
，< br>x
2
是抛物线与
x
轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函 数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只
有抛物线与
x
轴有交点，即
b
2
?4ac?0
时，抛物线的解析式才可以用交 点式表示．二次函数解析式
的这三种形式可以互化.



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八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数
a

二次函数
y?ax
2
?bx?c
中 ，
a
作为二次项系数，显然
a?0
．
⑴ 当
a ?0
时，抛物线开口向上，
a
的值越大，开口越小，反之
a
的值越小 ，开口越大；
⑵ 当
a?0
时，抛物线开口向下，
a
的 值越小，开口越小，反之
a
的值越大，开口越大．
总结起来，
a
决 定了抛物线开口的大小和方向，
a
的正负决定开口方向，
a
的大小决定开口的 大小．
2. 一次项系数
b

在二次项系数
a
确定的前提下，
b
决定了抛物线的对称轴．
⑴ 在
a?0
的前提下，
当
b?0
时，
?
当b?0
时，
?
当
b?0
时，
?
b
?0
，即抛物线的对称轴在
y
轴左侧；
2a
b
?0
，即抛物线的对称轴就是
y
轴；
2a
b
?0
，即抛物线对称轴在
y
轴的右侧．
2a
⑵ 在
a?0
的前提下，结论刚好与上述相反，即
当
b?0
时，
?
当
b?0
时，
?
当
b?0< br>时，
?
b
?0
，即抛物线的对称轴在
y
轴右侧；
2a
b
?0
，即抛物线的对称轴就是
y
轴；
2a
b
?0
，即抛物线对称轴在
y
轴的左侧．
2 a
总结起来，在
a
确定的前提下，
b
决定了抛物线对称轴的位置．
ab
的符号的判定：对称轴
x??
b
在
y
轴左边则
ab?0
，在
y
轴的右侧则
ab?0
，概括的说就是
2a
“左同右异”
总结：
3. 常数项
c

⑴ 当
c?0
时，抛物线与
y
轴的交点在
x
轴上方，即抛物 线与
y
轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当
c?0
时，抛物线 与
y
轴的交点为坐标原点，即抛物线与
y
轴交点的纵坐标为
0
；
⑶ 当
c?0
时，抛物线与
y
轴的交点在
x
轴下方，即抛物线与
y
轴交点的纵坐标为负．
总结起来，
c
决定了抛物线与
y
轴交点的位置．
b，c
都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 总之，只要
a，
二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利 用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根
据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简 便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；
3. 已知抛物线与
x
轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；
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4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式
．
九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达
1. 关于
x
轴对称

y?a
2
x?bx?
关于
c
x
轴对称后，得到的解析式是
y??ax
2
?bx?c< br>；
y?a
?
x?h
?
?k
关于
x
轴对称后，得到的解析式是
y??a
?
x?h
?
?k
；
2. 关于
y
轴对称

y?a
2
x? bx?
关于
c
y
轴对称后，得到的解析式是
y?ax
2?bx?c
；
22
y?a
?
x?h
?
?k
关于
y
轴对称后，得到的解析式是
y?a
?
x?h
?
?k
；
3. 关于原点对称

y?a
2< br>x?bx?
关于原点对称后，得到的解析式是
cy??ax
2
?bx? c
；

y?a
?
x?
?
h?
关于 原点对称后，得到的解析式是
ky??a
?
x?h
?
?k
；
4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）
22
22
b
2

y?ax?bx?
关于顶点 对称后，得到的解析式是
c
y??ax?bx?c?
；
2a
22
y?a
?
x?h
?
?k
关于顶点对称后，得到的解析 式是
y??a
?
x?h
?
?k
．
5. 关于点
?
m，n
?
对称
n
?
对称后，得到 的解析式是
y??a
?
x?h?2m
?
?2n?k

y?a
?
x?h
?
?k
关于点
?
m，
2 2
22
根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化， 因此
a
永远不变．求
抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则 ，选择合适的形式，习惯上是先确定原
抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定 其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，
然后再写出其对称抛物线的表达式．





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十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与
x
轴交点情况）：
一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
是二次函数
y?ax
2
?bx?c
当函数值
y?0
时的特殊情况.
图象与
x
轴的交点个数：
① 当
??b
2
?4ac?0
时，图象与
x
轴交于 两点
A
?
x
1
，0
?
，B
?
x< br>2
，0
?
(x
1
?x
2
)
，其中的
x
1
，x
2
是一元二次
b
2
?4ac方程
ax?bx?c?0
?
a?0
?
的两根．这两点间的距离< br>AB?x
2
?x
1
?
.
a
2
② 当
??0
时，图象与
x
轴只有一个交点；
③ 当
??0
时，图象与
x
轴没有交点.
1'
当
a ?0
时，图象落在
x
轴的上方，无论
x
为任何实数，都有
y ?0
；

2'
当
a?0
时，图象落在
x
轴的下方，无论
x
为任何实数，都有
y?0
．
2. 抛物线y?ax
2
?bx?c
的图象与
y
轴一定相交，交点坐标为(0
，
c)
；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与
x
轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判 断二次函数
y?ax
2
?bx?c
中
a
，
b
，
c
的符号，或由二次函数中
a
，
b
，
c
的符号
判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性 质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与
x
轴的一
个交点坐标，可由对称性求出另一 个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式
ax
2
? bx?c(a?0)
本身就是所含字母
x
的二次函数；
下面以
a?0
时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
??0

??0

??0





抛物线与
x
轴有
两个交点
抛物线与
x
轴只
有一个交点
抛物线与
x
轴无
交点
二次三项式的值可正、
可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根
二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.

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二次函数图像参考：
y=2x
2
y=x
2



y=2x
2
y=2(x-4)
2
y=
x
2
2
y=2(x-4)
2
-3
y=2x
2
+2
y=2x
2
y=3(x+4)
2
y=3x
2
y=3(x-2)
2
y=2x
2
-4
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y= -
x
2
2
y= -x
2
y=-2x
2
y=-2(x+3)
2
y=-2x
2
y=-2(x-3)
2
十一、函数的应用
?
刹车距离
?
二次函数应用
?
何时获得最大利润

?
最大面积是多少
?
二次函数考查重点与常见题型

1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：
已知以
x
为自变量的 二次函数
y?(m?2)x?m?m?2
的图像经过原点， 则
m
的值是
2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查< br>两个函数的图像，试题类型为选择题，如：
2
如图，如果函数
y?kx?b< br>的图像在第一、二、三象限内，那么函数
y?kx?bx?1
的图像大致
22< br>是（ ）
y y y y

1 1
0 x o-1 x 0 x 0 -1 x
A B C D

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3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选< br>拔性的综合题，
如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为
x?
5
，求这条抛物线的解析式。
3
4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题，如：
3
已知抛物线
y?ax
2
?bx?c
（a≠0）与x轴的两 个交点的横坐标是－1、3，与y轴交点的纵坐标是－
2
（1）确定抛物线的解析式；（2）用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5．考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。
【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1 （1）二次函数
y?ax
2
?bx?c
的图像如图1，则点
M(b,)
在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）已知二次 函数y=ax
2
+bx+c（a≠0）的图象如图2所示，?则下列结论：①a、b同号；②当 x=1
和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数 是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
c
a

(1) (2)


用二次函数解决最值问题
例 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）? 与产品的日销售量y（件）之间的关系如
下表：
x（元） 15 20 30 ?
y（件） 25 20 10 ?
若日销售量y是销售价x的一次函数．
（1）求出日销售量y（件）与销售价x（元）的函数关系式；
（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？?此时每日销售利润是多少元？
?
15k?b?25,
【解析】（1）设此一次函数表达式为y=kx+b．则
?
解得k=-1，b=40，?即一次函数表达
2k?b?20
?
式为y=-x+40．
（2）设每件产品的销售价应定为x元，所获销售利润为w元
w =（x-10）（40-x）=-x
2
+50x-400=-（x-25）
2
+225．
产品的销售价应定为25元，此时每日获得最大销售利润为225元．
【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似，也有区别，主要有两点：（1）设未知数在“当
某某为何值时，什么最大（或最小、最省）”的设问中，?“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；（2）
?问的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．



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26．（10分） （2017?广安）如图，已知抛物线y=﹣x
2
+bx+c与y轴相交于点A（0，3），与 x
正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1

（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．

（2）动点M从点O出发，以每秒2个 单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点
O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运 动，当N点到达A点时，M、N同时停
止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点 P，设运动的时间为t秒．

①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．

②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．


【考点】HF：二次函数综合题．

【分析】（1）由对称轴公式可求得b ，由A点坐标可求得c，则可求得抛物线解析式；再令
y=0可求得B点坐标；

（2 ）①用t可表示出ON和OM，则可表示出P点坐标，即可表示出PM的长，由矩形的性
质可得ON=P M，可得到关于t的方程，可求得t的值；②由题意可知OB=OA，故当△BOQ
为等腰三角形时，只 能有OB=BQ或OQ=BQ，用t可表示出Q点的坐标，则可表示出OQ和
BQ的长，分别得到关于t 的方程，可求得t的值．

【解答】解：

（1）∵抛物线y=﹣x
2
+bx+c对称轴是直线x=1，

∴﹣=1，解得b=2，

∵抛物线过A（0，3），

∴c=3，

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∴抛物线解析式为y=﹣x
2
+2x+3，

令y=0可得﹣x
2
+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，

∴B点坐标为（3，0）；

（2）①由题意可知ON=3t，OM=2t，

∵P在抛物线上，

∴P（2t，﹣4t
2
+4t+3），

∵四边形OMPN为矩形，

∴ON=PM，

∴3t=﹣4t
2
+4t+3，解得t=1或t=﹣（舍去），

∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；

②∵A（0，3），B（3，0），

∴OA=OB=3，且可求得直线AB解析式为y=﹣x+3，

∴当t＞0时，OQ≠OB，

∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况，

由题意可知OM=2t，

∴Q（2t，﹣2t+3），

∴OQ=
又由题意可知0＜t＜1，

=，BQ==|2t﹣3|，

当OB=QB时，则有|2t﹣3|=3，解得t=（舍去）或t=；

当OQ=BQ时，则有=|2t﹣3|，解得t=；

综上可知当t的值为

或时，△BOQ为等腰三角形．

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