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初三数学二次函数知识点总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 04:47
tags:高中数学培训

南昌五中高中数学教师-高中数学题不会做下载什么软件

2020年9月21日发(作者:俞鸿钧)


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一、二次函数概念:
b,c
是常数,
a?0
)的函数,叫做二次函数。 1.二次函数的概念:一 般地,形如
y?ax
2
?bx?c

a,
c
可以为 零.二次函数的定义域是全体 这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数
a?0
,而
b,
实数.
2. 二次函数
y?ax
2
?bx?c
的结构特征:
⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量
x
的二次式,
x
的最高次数是2. b,c
是常数,
a
是二次项系数,
b
是一次项系数,
c
是常数项. ⑵
a,
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式:
y?ax
2
的性质:
a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。

a
的符号
a?0

开口方向 顶点坐标 对称轴
向上
性质
x?0
时,
y

x
的增大而增大;
x?0
时,
y

0< br>?

?
0,
0
?

?
0,
y

x
的增大而减小;
x?0
时 ,
y
有最小值
0

x?0
时,
y
x
的增大而减小;
x?0
时,
y

a?0

向下
y

x
的增大而增大;
x?0
时,
y
有最大值
0







2.
y?ax
2
?c
的性质:
上加下减。
a
的符号
a?0

开口方向 顶点坐标 对称轴
向上
性质
x?0
时,
y

x
的增大而增大;
x?0
时,
y

c
?

?
0,
c
?

?
0,
y
x
的增大而减小;
x?0
时,
y
有最小值
c

x?0
时,
y

x
的增大而减小;
x?0
时,
y

a?0

向下
y

x
的增大而增大;
x?0
时,
y
有最大值
c








3.
y?a
?
x?h
?
的性质:
左加右减。
2
a
的符号
a?0

开口方向 顶点坐标 对称轴
向上
0
?

?
h,
0
?

?
h,
性质
x?h
时,
y

x
的增大而增大;
x?h
时,
y

X=h
x
的增大 而减小;
x?h
时,
y
有最小值
0

x?h时,
y

x
的增大而减小;
x?h
时,
y
a?0

向下 X=h
x
的增大而增大;
x?h< br>时,
y
有最大值
0


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4.
y?a
?
x?h
?
?k
的性质:
2
a
的符号
a?0

开口方向 顶点坐标 对称轴
向上
性质
x?h
时,
y

x
的增大而 增大;
x?h
时,
y

?
h,k
?

?
h,k
?

X=h
x
的增大而减小;
x?h
时,
y
有最小值
k

x?h
时,
y

x
的增大而减小;
x?h
时,
y

a ?0

向下 X=h
x
的增大而增大;
x?h
时,
y
有最大值
k


三、二次函数图象的平移
1. 平移步骤:
方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式
y?a
?
x?h?
?k
,确定其顶点坐标
?
h,k
?

⑵ 保持抛物线
y?ax
2
的形状不变,将其顶点平移到
?
h,k
?
处,具体平移方法如下:
y=ax
2
向上(k>0)【或向下(k<0 )】平移|k|个单位
y=ax
2
+k
2
向右(h>0)【或左(h <0)】
平移|k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移 |k|个单位< br>向上(k>0)【或下(k<0)】
平移|k|个单位
向上(k>0)【或下(k<0) 】平移|k|个单位
向右(h>0)【或左(h<0)】
平移|k|个单位
y=a(x -h)
2
y=a(x-h)
2
+k

2. 平移规律
在原有函数的基础上“
h
值正右移,负左移;
k
值正上移,负下移”.
概括成八个字“左加右减,上加下减”.
方法二:

y?ax?b x?c
沿
y
轴平移:向上(下)平移
m
个单位,
y?ax? bx?c
变成
22
y?ax
2
?bx?c?m
(或
y?ax
2
?bx?c?m


y?ax?bx?c
沿 轴平移:向左(右)平移
m
个单位,
y?ax?bx?c
变成
22< br>y?a(x?m)
2
?b(x?m)?c
(或
y?a(x?m)
2
?b(x?m)?c






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四、二次函数
y?a
?
x?h
?
?k

y?ax
2?bx?c
的比较
从解析式上看,
y?a
?
x?h
?
?k

y?ax
2
?bx?c
是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前
b
?
4ac?b
2
b4ac?b
2?
者,即
y?a
?
x?
?
?
,其中
h ??,

k?
2a
?
4a
2a4a
?
2
2
2

五、二次函数
y?ax
2
?bx?c
图象的画法
五点绘图 法:利用配方法将二次函数
y?ax
2
?bx?c
化为顶点式
y?a (x?h)
2
?k

确定其开口方向、
对称轴及顶点坐标,然后在对 称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为:顶点、与
y

的交点
?
0,c
?
、以及
?
0,c
?
关于对称轴对称的 点
?
2h,c
?
、与
x
轴的交点
?
x1
,0
?

?
x
2
,0
?
( 若与
x

没有交点,则取两组关于对称轴对称的点).
画草图时应抓住以下 几点:开口方向,对称轴,顶点,与
x
轴的交点,与
y
轴的交点.

六、二次函数
y?ax
2
?bx?c
的性质
?
b4ac?b
2
?
b
1. 当
a?0
时,抛物线开口向上,对称轴为
x??
,顶点坐标为
?
?,
?
2a4a
2a
??

x??
bbb
时,< br>y

x
的增大而减小;当
x??
时,
y
随< br>x
的增大而增大;当
x??
时,
y
有最小
2a2a2 a
4ac?b
2
值.
4a
?
b4ac?b
2
?
bb
2. 当
a?0
时,抛物线开口向下,对称轴为
x??
,顶点坐标为
?
?,
.当时,
x??
?
2a4a
2a2a
??
bb< br>4ac?b
2

y

x
的增大而增大;当
x??
时,
y

x
的增大而减小;当
x??
时,< br>y
有最大值
2a2a
4a

七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式:
y?ax
2
?bx?c

a
b

c
为常数,
a?0
);
2. 顶点式:
y?a(x?h)
2
?k

a

h

k< br>为常数,
a?0
);
3. 两根式:
y?a(x?x
1)(x?x
2
)

a?0

x
1
,< br>x
2
是抛物线与
x
轴两交点的横坐标).
注意:任何二次函 数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只
有抛物线与
x
轴有交点,即
b
2
?4ac?0
时,抛物线的解析式才可以用交 点式表示.二次函数解析式
的这三种形式可以互化.



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八、二次函数的图象与各项系数之间的关系

1. 二次项系数
a

二次函数
y?ax
2
?bx?c
中 ,
a
作为二次项系数,显然
a?0

⑴ 当
a ?0
时,抛物线开口向上,
a
的值越大,开口越小,反之
a
的值越小 ,开口越大;
⑵ 当
a?0
时,抛物线开口向下,
a
的 值越小,开口越小,反之
a
的值越大,开口越大.
总结起来,
a
决 定了抛物线开口的大小和方向,
a
的正负决定开口方向,
a
的大小决定开口的 大小.
2. 一次项系数
b

在二次项系数
a
确定的前提下,
b
决定了抛物线的对称轴.
⑴ 在
a?0
的前提下,

b?0
时,
?
b?0
时,
?

b?0
时,
?
b
?0
,即抛物线的对称轴在
y
轴左侧;
2a
b
?0
,即抛物线的对称轴就是
y
轴;
2a
b
?0
,即抛物线对称轴在
y
轴的右侧.
2a
⑵ 在
a?0
的前提下,结论刚好与上述相反,即

b?0
时,
?

b?0
时,
?

b?0< br>时,
?
b
?0
,即抛物线的对称轴在
y
轴右侧;
2a
b
?0
,即抛物线的对称轴就是
y
轴;
2a
b
?0
,即抛物线对称轴在
y
轴的左侧.
2 a
总结起来,在
a
确定的前提下,
b
决定了抛物线对称轴的位置.
ab
的符号的判定:对称轴
x??
b

y
轴左边则
ab?0
,在
y
轴的右侧则
ab?0
,概括的说就是
2a
“左同右异”
总结:
3. 常数项
c

⑴ 当
c?0
时,抛物线与
y
轴的交点在
x
轴上方,即抛物 线与
y
轴交点的纵坐标为正;
⑵ 当
c?0
时,抛物线 与
y
轴的交点为坐标原点,即抛物线与
y
轴交点的纵坐标为
0

⑶ 当
c?0
时,抛物线与
y
轴的交点在
x
轴下方,即抛物线与
y
轴交点的纵坐标为负.
总结起来,
c
决定了抛物线与
y
轴交点的位置.
b,c
都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的. 总之,只要
a,
二次函数解析式的确定:
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利 用待定系数法.用待定系数法求二次函数的解析式必须根
据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简 便.一般来说,有如下几种情况:
1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式;
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式;
3. 已知抛物线与
x
轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式;
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4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式

九、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
1. 关于
x
轴对称

y?a
2
x?bx?
关于
c
x
轴对称后,得到的解析式是
y??ax
2
?bx?c< br>;
y?a
?
x?h
?
?k
关于
x
轴对称后,得到的解析式是
y??a
?
x?h
?
?k

2. 关于
y
轴对称

y?a
2
x? bx?
关于
c
y
轴对称后,得到的解析式是
y?ax
2?bx?c

22
y?a
?
x?h
?
?k
关于
y
轴对称后,得到的解析式是
y?a
?
x?h
?
?k

3. 关于原点对称

y?a
2< br>x?bx?
关于原点对称后,得到的解析式是
cy??ax
2
?bx? c


y?a
?
x?
?
h?
关于 原点对称后,得到的解析式是
ky??a
?
x?h
?
?k

4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转180°)
22
22
b
2

y?ax?bx?
关于顶点 对称后,得到的解析式是
c
y??ax?bx?c?

2a
22
y?a
?
x?h
?
?k
关于顶点对称后,得到的解析 式是
y??a
?
x?h
?
?k

5. 关于点
?
m,n
?
对称
n
?
对称后,得到 的解析式是
y??a
?
x?h?2m
?
?2n?k

y?a
?
x?h
?
?k
关于点
?
m,
2 2
22
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化, 因此
a
永远不变.求
抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则 ,选择合适的形式,习惯上是先确定原
抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定 其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,
然后再写出其对称抛物线的表达式.





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十、二次函数与一元二次方程:
1. 二次函数与一元二次方程的关系(二次函数与
x
轴交点情况):
一元二次方程
ax
2
?bx?c?0
是二次函数
y?ax
2
?bx?c
当函数值
y?0
时的特殊情况.
图象与
x
轴的交点个数:
① 当
??b
2
?4ac?0
时,图象与
x
轴交于 两点
A
?
x
1
,0
?
,B
?
x< br>2
,0
?
(x
1
?x
2
)
,其中的
x
1
,x
2
是一元二次
b
2
?4ac方程
ax?bx?c?0
?
a?0
?
的两根.这两点间的距离< br>AB?x
2
?x
1
?
.
a
2
② 当
??0
时,图象与
x
轴只有一个交点;
③ 当
??0
时,图象与
x
轴没有交点.
1'

a ?0
时,图象落在
x
轴的上方,无论
x
为任何实数,都有
y ?0


2'

a?0
时,图象落在
x
轴的下方,无论
x
为任何实数,都有
y?0

2. 抛物线y?ax
2
?bx?c
的图象与
y
轴一定相交,交点坐标为(0

c)

3. 二次函数常用解题方法总结:
⑴ 求二次函数的图象与
x
轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶ 根据图象的位置判 断二次函数
y?ax
2
?bx?c

a

b

c
的符号,或由二次函数中
a

b

c
的符号
判断图象的位置,要数形结合;
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性 质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与
x
轴的一
个交点坐标,可由对称性求出另一 个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式
ax
2
? bx?c(a?0)
本身就是所含字母
x
的二次函数;
下面以
a?0
时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:
??0

??0

??0





抛物线与
x
轴有
两个交点
抛物线与
x
轴只
有一个交点
抛物线与
x
轴无
交点
二次三项式的值可正、
可零、可负
一元二次方程有两个不相等实根
二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根
二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.

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二次函数图像参考:
y=2x
2
y=x
2



y=2x
2
y=2(x-4)
2
y=
x
2
2
y=2(x-4)
2
-3
y=2x
2
+2
y=2x
2
y=3(x+4)
2
y=3x
2
y=3(x-2)
2
y=2x
2
-4
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y= -
x
2
2
y= -x
2
y=-2x
2
y=-2(x+3)
2
y=-2x
2
y=-2(x-3)
2
十一、函数的应用
?
刹车距离
?
二次函数应用
?
何时获得最大利润

?
最大面积是多少
?
二次函数考查重点与常见题型

1. 考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如:
已知以
x
为自变量的 二次函数
y?(m?2)x?m?m?2
的图像经过原点, 则
m
的值是
2. 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查< br>两个函数的图像,试题类型为选择题,如:
2
如图,如果函数
y?kx?b< br>的图像在第一、二、三象限内,那么函数
y?kx?bx?1
的图像大致
22< br>是( )
y y y y

1 1
0 x o-1 x 0 x 0 -1 x
A B C D

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3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选< br>拔性的综合题,
如:已知一条抛物线经过(0,3),(4,6)两点,对称轴为
x?
5
,求这条抛物线的解析式。
3
4.考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如:
3
已知抛物线
y?ax
2
?bx?c
(a≠0)与x轴的两 个交点的横坐标是-1、3,与y轴交点的纵坐标是-
2
(1)确定抛物线的解析式;(2)用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.
5.考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题。
【例题经典】
由抛物线的位置确定系数的符号
例1 (1)二次函数
y?ax
2
?bx?c
的图像如图1,则点
M(b,)
在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
(2)已知二次 函数y=ax
2
+bx+c(a≠0)的图象如图2所示,?则下列结论:①a、b同号;②当 x=1
和x=3时,函数值相等;③4a+b=0;④当y=-2时,x的值只能取0.其中正确的个数 是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
c
a

(1) (2)


用二次函数解决最值问题
例 某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x(元)? 与产品的日销售量y(件)之间的关系如
下表:
x(元) 15 20 30 ?
y(件) 25 20 10 ?
若日销售量y是销售价x的一次函数.
(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数关系式;
(2)要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元??此时每日销售利润是多少元?
?
15k?b?25,
【解析】(1)设此一次函数表达式为y=kx+b.则
?
解得k=-1,b=40,?即一次函数表达
2k?b?20
?
式为y=-x+40.
(2)设每件产品的销售价应定为x元,所获销售利润为w元
w =(x-10)(40-x)=-x
2
+50x-400=-(x-25)
2
+225.
产品的销售价应定为25元,此时每日获得最大销售利润为225元.
【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有两点:(1)设未知数在“当
某某为何值时,什么最大(或最小、最省)”的设问中,?“某某”要设为自变量,“什么”要设为函数;(2)
?问的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程.



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26.(10分) (2017?广安)如图,已知抛物线y=﹣x
2
+bx+c与y轴相交于点A(0,3),与 x
正半轴相交于点B,对称轴是直线x=1

(1)求此抛物线的解析式以及点B的坐标.

(2)动点M从点O出发,以每秒2个 单位长度的速度沿x轴正方向运动,同时动点N从点
O出发,以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运 动,当N点到达A点时,M、N同时停
止运动.过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q,交抛物线于点 P,设运动的时间为t秒.

①当t为何值时,四边形OMPN为矩形.

②当t>0时,△BOQ能否为等腰三角形?若能,求出t的值;若不能,请说明理由.


【考点】HF:二次函数综合题.

【分析】(1)由对称轴公式可求得b ,由A点坐标可求得c,则可求得抛物线解析式;再令
y=0可求得B点坐标;

(2 )①用t可表示出ON和OM,则可表示出P点坐标,即可表示出PM的长,由矩形的性
质可得ON=P M,可得到关于t的方程,可求得t的值;②由题意可知OB=OA,故当△BOQ
为等腰三角形时,只 能有OB=BQ或OQ=BQ,用t可表示出Q点的坐标,则可表示出OQ和
BQ的长,分别得到关于t 的方程,可求得t的值.

【解答】解:

(1)∵抛物线y=﹣x
2
+bx+c对称轴是直线x=1,

∴﹣=1,解得b=2,

∵抛物线过A(0,3),

∴c=3,

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∴抛物线解析式为y=﹣x
2
+2x+3,

令y=0可得﹣x
2
+2x+3=0,解得x=﹣1或x=3,

∴B点坐标为(3,0);

(2)①由题意可知ON=3t,OM=2t,

∵P在抛物线上,

∴P(2t,﹣4t
2
+4t+3),

∵四边形OMPN为矩形,

∴ON=PM,

∴3t=﹣4t
2
+4t+3,解得t=1或t=﹣(舍去),

∴当t的值为1时,四边形OMPN为矩形;

②∵A(0,3),B(3,0),

∴OA=OB=3,且可求得直线AB解析式为y=﹣x+3,

∴当t>0时,OQ≠OB,

∴当△BOQ为等腰三角形时,有OB=QB或OQ=BQ两种情况,

由题意可知OM=2t,

∴Q(2t,﹣2t+3),

∴OQ=
又由题意可知0<t<1,

=,BQ==|2t﹣3|,

当OB=QB时,则有|2t﹣3|=3,解得t=(舍去)或t=;

当OQ=BQ时,则有=|2t﹣3|,解得t=;

综上可知当t的值为

或时,△BOQ为等腰三角形.

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本文更新与2020-09-21 04:47,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/406384.html

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