2012年全国高考理科数学试题及答案-新课标1

大工心海教育培训学校 专业数学多对一 电话：
2012年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
第I卷
一 、选择题：
本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。

（1）已知集合
A?{1,2,3,4,5}
，
B?{( x,y)|x?A,y?A,x?y?A}
，则
B
中所含元素的个数为
（A） 3 （B） 6 （C） 8 （D） 10
（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动， 每个小组有1
名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有
（A） 12种 （B） 10种 （C） 9种 （D）8种
（3）下面是关于复数
z?
2
的四个命题
?1?i
p
1
：
|z|?2

p
2
:
z
2
?2i

p
3
:
z
的共轭复数为
1?i

p
4
：
z
的虚部为
?1

其中真命题为
(A )
p
2
,
p
3
（B）
p
1
,
p
2
（C）
p
2
，
p
4
（D）
p
3
,
p
4

x
2
y
2
（4）设
F1
,F
2
是椭圆
E:
2
?
2
?1(a ?b?0)
的左、右焦点，
P
为
ab
直线
x?
3 a
?
上的一点，
?F
2
PF
1
是底角为
3 0
的等腰三角形，则
2
E
的离心率为
(A)
（5）已知
{a
n
}
为等比数列，
a
4
?a< br>7
?2
，
a
5
a
6
??8
，则a
1
?a
10
?

(A)
7

(B)
5

(C)
?5

(D)
?7

（6）如果执行右边的程序图，输入正整数
N(N?2)

和实数
a
1
,a
2
,...,a
N
输入
A,B
,则
(A)
A?B
为
a
1
,a
2
,...,a
N
的和
（B）
1234
(B) (C) (D)
2345
A?B
为
a
1< br>,a
2
,...,a
N
的算式平均数
2
（C）A
和
B
分别是
a
1
,a
2
,..., a
N
中最大的数和最小的数
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大工心海教育培训学校 专业数学多对一 电话：
（D）
A
和
B
分别是
a
1
,a
2
,...,aN
中最小的数和最大的数
（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某
几何体的三视图，则此几何体的体积为

（A）6 (B)9 （C）12 （D）18
（8）等轴双曲线
C
的中心在原点，焦 点在
x
轴上，
C
与抛物线
y
2
?16x
的 准线交于
A,B
两点，

|AB|?43
，则
C
的
实轴长为
（A）
2
（B）
22
（C）
4
（D）
8
（9）
已知
??0
，函数
f(x)?sin(
?
x?
?
?
?
?
)
在
?
,
?
?
单调递减，则
?
的取值范围
4
?
2
?
15131
(A)
[,]
(B)
[,]
(C)
(0,]
(D)
(0,2]

24242
（10）已知函数
f(x)?
1
，则
y?f(x)
的图像大致为
ln(x?1)?x















（11）已知 三棱锥
S?ABC
的所有顶点都在球
O
的球面上，
?ABC
是边长为
1
的正三角形，
SC
为
O
的直径，且
SC ?2
，则此棱锥的体积为
(A)
2322

(B)

(C)

(D)

6632
1
x
e
上，点
Q
在曲线
y?ln(2x)
上，则
|PQ|
的最小值为
2
（12）设点
P
在曲线
y?
(A)
1?ln2
(B)
2(1?ln2)
(C)
1?ln2
(D)
2(1?ln2)

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第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试 题考生都必须作答。第22
题~第24题为选考题，考试依据要求作答。
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分。
?
??
???
（13）已知向量
a,b
夹角为45°，且
|a|?1,|2a?b|?10
，则
b?
____________.
?
x?y??1,
?x?y?3,
?
（14）设
x,y
满足约束条件
?
则< br>z?x?2y
的取值范围为__________.
x?0,
?
?< br>?
y?0,
（15）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常 工作，且元件
正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单 位：小时）均服从正态分布
2
N(1000,50)
，且各个元件能否正常工作互相独 立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的
概率为_________________.


(16)数列
?
a
n
?
满足
a
n?1
?(?1)
n
a
n
?2n?1
，则
?
a
n
?
的前60项和为________.
三、解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）（本小题满分12分）
已知
a,b,c
分别为
?ABC< br>的三个内角
A,B,C
的对边，
acosC?3asinC?b?c?0
.
（Ⅰ）求
A
；
（Ⅱ）若
a?2
，
?ABC
的面积为
3
，求
b,c
.








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（18）（本小题满分12分）
某花店每天以每枝5元的价格 从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不
完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.
n?N
）（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润
y
（单位：元） 关于当天需求量
n
（单位：枝，
的函数解析式;
（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量
n

频数
14
10
15
20
16
16
17
16
18
15
19
13
20
10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
（ⅰ）若花店一天购进16枝玫 瑰花，
X
表示当天的利润（单位：元），求
X
的分布列、数学期望及
方差；
（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.




























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（19）（本小题满分12分）
如图，直三棱柱
ABC?A
1
B< br>1
C
1
中，
AC?BC?
中点，
DC
1?BD
。
（1） 证明：
DC
1
?BC
；
（2） 求二面角
A
1
?BD?C
1

的大小.

















（20）（本小题满分12分）
2
1
AA
1
，
D
是棱
AA
1
的
2
A
1
C
1
B
1
D
C
A
B
设抛物线
C：x?2py(p?0 )
的焦点为
F
，准线为
l
，
A
为
C
上一点，已知以
F
为圆心，
FA
为半
径的圆
F
交
l
于
B,D
两点.
（1） 若
?BFD?90
，
?ABD
的面积为
42
，求
p
的值及圆
F
的方程；
（2） 若
A,B,F
三点在同一直线
m
上，直线
n
与
m
平行，且
n
与
C
之有一个公共点，求坐标 原点到
?
m,n
距离的比值.



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（21）（本小题满分12分）
已知函数
f(x)
满足
f(x)? f?(1)e
x?1
?f(0)x?
1
2
x
.
2
（1） 求
f(x)
的解析式及单调区间；
（2） 若
f(x)?
1
2
x?ax?b
，求
(a?1)b
的最大值.
2
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请考生在第22、 23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的
第一题计分。作答时请写清题号。
（22）（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲
如图，
D,E
分 别为
?ABC
边
AB,AC
的中点，直线
DE
交
? ABC
的
外接圆于
F,G
两点，若
CFAB
，证明：
（Ⅰ）
CD?BC
；
（Ⅱ）
?BCD∽?GBD







（23）（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程
已知曲线
C
1
的参数方程式
?
A
D
E
G
F
B
C
?
x?2cos
?
（
?
为参数），以坐标原点为极点，< br>x
轴的正半轴为极轴建立
?
y?3sin
?
坐标系，曲线C
2
的极坐标方程式
?
?2
.正方形
ABCD
的顶点都在
C
2
上，且
A,B,C,D
依逆时针次序
排列， 点Ａ的极坐标为
?
2,
?
?
?
?
?
.
2
?
（Ⅰ）求点
A,B,C,D
的直角坐标；
（Ⅱ）设< br>P
为
C
1
上任意一点，求
|PA|?|PB|?|PC|?| PD|
的取值范围.




（24）（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲
已知函数
f(x)?|x?a|?|x?2|

（Ⅰ）当
a??3
时，求不等式
f(x)?3
的解集；
（ 2）若
f(x)?|x?4|
的解集包含
[1,2]
求
a
的 取值范围.

2222
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理科数学

一．选择题：本大 题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
（1）【解析】选
D


x?5,y?1,2,3, 4
，
x?4,y?1,2,3
，
x?3,y?1,2
，
x? 2,y?1
共10个
（2）【解析】选
A

12
甲地由
1
名教师和
2
名学生：
C
2
C
4< br>?12
种
（3）【解析】选
C


z?
22(?1?i)
???1?i

?1?i(?1?i)(?1?i)

p
1
:z?
（4）【解析】选
C

2
，< br>p
2
:z
2
?2i
，
p
3
:z的共轭复数为
?1?i
，
p
4
:z
的虚部为
? 1

3
2
c3
?

a4

?
F
2
PF
1
是底角为
30
?
的等腰三 角形
?PF
2
?F
2
F
1
?2(a?c)?2c? e?
（5）【解析】选
D

a
4
?a
7
? 2
，
a
5
a
6
?a
4
a
7
??8?a
4
?4,a
7
??2
或
a
4
??2,a
7
?4

a
4
?4,a
7
?? 2?a
1
??8,a
10
?1?a
1
?a
10??7

a
4
??2,a
7
?4?a
10??8,a
1
?1?a
1
?a
10
??7

（6）【解析】选
C

（7）【解析】选
B

该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为
3

此几何体的体积为
V?
（8）【解析】选
C

设
C:x?y ?a(a?0)
交
y?16x
的准线
l:x??4
于
A(? 4,23)B(?4,?23)

得：
a
2
?(?4)
2< br>?(23)
2
?4?a?2?2a?4

（9）【解析】选
A

222
11
??6?3?3?9

32
2
?
5
?
9
?
?
?2?(
?
x?)?[,]
不合题意 排除
(D)

444
?
3
?
5
?
?
?1?(
?
x?)?[,]
合题意 排除
(B)(C)

444
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大工心海教育培训学校 专业数学多对一 电话：
?????
3
?
)?
?
?
?
?2
，
(
?
x?)?[
?
?,
??
?]?[, ]

2424422
????
3
?
15
得：
?
??,
??
????
?
?

2424224
（10）【解析】选
B

另：
?
(
?
?
?
x

1?x
?g
?
(x)?0??1?x?0,g
?
(x)?0?x?0 ?g(x)?g(0)?0
g(x)?ln(1?x)?x?g
?
(x)??
得：
x?0
或
?1?x?0
均有
f(x)?0
排除
A,C,D

（11）【解析】选
A

?ABC
的外接圆的半径
r?
36
，点
O
到面
ABC
的距离
d?R
2
?r
2
?

33

SC
为球
O
的直径
?
点< br>S
到面
ABC
的距离为
2d?
26

3
此棱锥的体积为
V?
113262

S
?ABC
?2d????
33436
另：
V?
13
排除
B,C,D

S
?ABC
?2R?
36
1
x
e
与函数
y?ln(2x)
互 为反函数，图象关于
y?x
对称
2
（12）【解析】选
A

函数
y?
1
x
e?x
11
2
函数
y?e
x
上的点
P(x,e
x
)
到直线
y ?x
的距离为
d?

22
2
设函数
g(x)?
1
x
11?ln2

e?x?g
?
(x)?e
x
?1?g(x)
min
?1?ln2?d
m in
?
22
2
由图象关于
y?x
对称得：< br>PQ
最小值为
2d
min
?

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
2(1?ln2)

?
（13）【解析】
b?_____
32

????
2
?
2
??
?
2a?b?10?(2a?b)?10?4?b?4 bcos45?10?b?32

(14) 【解析】
z?x?2y
的取值范围为
[?3,3]

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约束条件对应四边形
OA BC
边际及内的区域：
O(0,0),A(0,1),B(1,2),C(3,0)

则
z?x?2y?[?3,3]

（15）【解析】使用寿命超过1000小时的概率为
3

8
2
三个电子元件的使用寿命均服从正态分布
N(1000,50)

得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为
p?
1

2
3

4
2
超过1000小时时元件1或元件2正常工作的 概率
P
1
?1?(1?p)?
那么该部件的使用寿命超过1000小时 的概率为
p
2
?p
1
?p?
（16）【解析】
{a
n
}
的前
60
项和为
1830

3

8
可证明：
b
n?1
?a
4n?1
?a
4n?2
?a
4n?3
?a
4n?4
?a
4n?3
?a
4n?2
?a
4n?2
?a
4n
?16?b
n
?16


b
1
? a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?10?S15
?10?15?
15?14
?16?1830

2
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（17）【解析】（1）由正弦定理得：
acosC?3asinC?b?c?0?sinAcosC ?3sinAsinC?sinB?sinC

?sinAcosC?3sinAsinC?s in(a?C)?sinC
1
?

?3sinA?cosA?1?sin(A?30)?

2
?A?30
?
?30
?
?A?60
?
（2）
S?
1
bcsinA?3?bc?4

2

a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA?b?c?4

解得：
b?c?2
（l fx lby）

18.【解析】（1）当
n?16
时，
y?16?(10?5)?80

当
n?15
时，
y?5n?5(16?n)?10n?80

得：
y?
?
?
10n?80(n?15)
(n?N)

(n?16)
?
80
（2）（i）
X
可取
60
，
70
，
80

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大工心海教育培训学校 专业数学多对一 电话：

P(X?60)?0.1,P(X?70)?0.2,P(X?80)?0.7


X
的分布列为
X

60

0.1

70

0.2

80

0.7

P


EX?60?0.1?70?0.2?80?0.7?76

< br>DX?16
2
?0.1?6
2
?0.2?4
2
?0. 7?44

（ii）购进17枝时，当天的利润为
y?(14?5? 3?5)?0.1?(15?5?2?5)?0.2?(16?5?1?5)?0.16?17?5?0.54? 76.4


76.4?76
得：应购进17枝

（19）【解析】（1）在
Rt?DAC
中，
AD?AC

得：
?ADC?45
?

同理：
?A
1
DC
1
?45
?
??CDC
1
?90
?
得：
DC
1
?DC, DC
1
?BD?DC
1
?
面
BCD?DC
1
?BC

（2）
DC
1
?BC,CC
1
?BC?BC?
面
ACC
1
A
1
?BC?AC

取
A
1
B
1
的中点
O
，过点
O
作
OH?BD
于点
H
，连接
C
1
O,C
1
H


A
1
C
1< br>?B
1
C
1
?C
1
O?A
1
B1
，面
A
1
B
1
C
1
?
面< br>A
1
BD?C
1
O?
面
A
1
BD< br>

OH?BD?C
1
H?BD
得：点
H
与点
D
重合
且
?C
1DO
是二面角
A
1
?BD?C
1
的平面角
设
AC?a
，则
C
1
O?
2a
?
，
C
1
D?2a?2C
1
O??C
1
DO?30

2
既二面角
A
1
?BD?C
1
的大小为
30
?

（20）【解析】（1）由对称性知：
?BFD
是 等腰直角
?
，斜边
BD?2p

点
A
到准线
l
的距离
d?FA?FB?2p


S
?ABD
?42?
1
?BD?d?42?p?2

2

圆
F
的方程为
x
2
?(y?1)
2
?8

第 11 页 共 13 页

大工心海教育培训学校 专业数学多对一 电话：
2
x
0
p

（2）由对称性设
A( x
0
,)(x
0
?0)
，则
F(0,)

2p
2
22
x
0
x
0
p
2
)?p ????x
0
?3p
2
点
A,B
关于点F
对称得：
B(?x
0
,p?
2p2p2
3pp
?
3p
22
x?
p
?x?3y?
3p
?0
得：
A(3p,)
，直线
m:y?
22
2
3 p
x
2
x33
3pp

x?2py?y??y
?
???x?p?
切点
P(,)

36
2pp33
2
直线
n:y?
p33p3
?(x?)?x?3y?p?0

6336
3p3p
:?3
。
26
1
2
x ?f
?
(x)?f
?
(1)e
x?1
?f(0)?x

2
坐标原点到
m,n
距离的比值为
（21）【解析】（1）f(x)?f
?
(1)e
x?1
?f(0)x?
令
x?1
得：
f(0)?1


f(x)?f
?
(1)e
x?1
?x?
得：
f(x)?e
x
?x?

1
2
x?f(0)? f
?
(1)e
?1
?1?f
?
(1)?e

2
1
2
x?g(x)?f
?
(x)?e
x
?1? x

2

g
?
(x)?e?1?0?y?g( x)
在
x?R
上单调递增

f
?
( x)?0?f
?
(0)?x?0,f
?
(x)?0?f
?
( 0)?x?0

得：
f(x)
的解析式为
f(x)? e
x
?x?
x
1
2
x

2
且单调递增区间为
(0,??)
，单调递减区间为
(??,0)

（2）
f(x)?
1
2
x?ax?b?h(x)?e
x
?( a?1)x?b?0
得
h
?
(x)?e
x
?(a?1)
2
①当
a?1?0
时，
h
?
( x)?0?y?h(x)
在
x?R
上单调递增

x???
时，
h(x)???
与
h(x)?0
矛盾
②当
a?1?0
时，
h
?
(x)?0?x?l n(a?1),h
?
(x)?0?x?ln(a?1)

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大工心海教育培训学校 专业数学多对一 电话：
得：当
x?ln(a?1 )
时，
h(x)
min
?(a?1)?(a?1)ln(a?1)?b?0< br>

(a?1)b?(a?1)?(a?1)ln(a?1)(a?1?0)

令
F(x)?x?xlnx(x?0)
；则
F
?
(x)?x(1?2 lnx)


F
?
(x)?0?0?x?
当
x?
当
a?
22
22
e,F
?
(x)?0?x?e

e
时，
F(x)
max
?
e

2
e

2
e?1,b?e
时，
(a?1)b
的最大值为
请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，
做答时请写清题号。
（22）【解析】（1）
CFAB
，
DFBC ?CFBDAD?CD?BF


CFAB?AF?BC?BC?CD

（2）
BCGF?BG?FC?BD


BCGF??GDE??BGD??DBC??BDC??BCD??GBD

（23）【解析】（1）点
A,B,C,D
的极坐标为
(2,
?
3
),(2,
5
?
4
?
11
?
),(2, ),(2,)

636
点
A,B,C,D
的直角坐标为
(1,3),(?3,1),(?1,?3),(3,?1)

?
x
0
?2cos
?
(
?
为参数)
（2）设
P(x
0
,y
0
)
；则
?
y?3 sin
?
?
0

t?PA?PB?PC?PD?4x
2
?4y
2
?40


?56?20sin
?
?[56,76]
（lfxlby）
（24 ）【解析】（1）当
a??3
时，
f(x)?3?x?3?x?2?3

2
2222
x?2x?3
??
2?x?3
?

?
?
或
?
?
或
?
?

?
3?x?2?x?3
?
3?x?x?2?3
?
x?3?x?2?3< br>
?x?1
或
x?4

（2）原命题
?f(x)?x?4
在
[1,2]
上恒成立
?x?a?2?x?4?x
在
[1,2]
上恒成立
??2?x?a?2?x
在
[1,2]
上恒成立
??3?a?0

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