高一9-2古典概率、几何概型知识点、经典例题及练习题带答案

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环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义

讲义编号： ______________ 副校长组长签字： 签字日期：
学 员 编 号 ： 年 级 ：高一 课 时 数 ：
学 员 姓 名 ： 辅 导 科 目 ： 学 科 教 师 ：
课 题
授课日期及时段
教 学 目 的
重 难 点




【考纲说明】
1、理解古典概率及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件的发生概率，了解集合概型的意义。
2、理解离散型随机变量及其分布列的概念，理解超几何分布及其导出过程并能进行简单应用，会计算简 单离散型随机
变量的均值、方差。
【趣味链接】
一个住宅区内有100户人家，每 户人家养一条狗，每天傍晚大家都在同一个地方遛狗。已知这些狗中有一部分病
狗，由于某种原因，狗的 主人无法判断自己的狗是否是病狗，却能够分辨其他的狗是否有病，现在，上级传来通知，
要求住户处决 这些病狗，并且不允许指认他人的狗是病狗(就是只能判断自己的)，过了7天之后，所有的病狗都被处决
了，问，一共有几只病狗?为什么?
【知识梳理】
一、古典概率与几何概率
1 、基本事件特点：任何两个基本事件是互斥的；任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。
2、古典概率：具有下列两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型：
（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等.
P(A)?
A中所含样本点的个数
n
A
?
?中所含样本点的个数n< br>．
1

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3、几何概率：如果随机试验的样本空间是一个区域
?
（可以是直线上的区间、平面或空间中的区域），且样本空间中
每个试验结果的出现具有等可 能性，那么规定事件A的概率为几何概率.几何概率具有无限性和等可能性。
4、古典概率和几何概率 的基本事件都是等可能的；但古典概率基本事件的个数是有限的，几何概率的是无限个的.
二、随机变量及其分布列、均值与方差
1、离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值， 可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.
若ξ是一个随机变量，a，b是常数 .则
?
?a
?
?b
也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，< br>f(x)
是连续函数或单调
函数，则
f(
?
)
也是随 机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.
设离散型随机变量ξ可能取的值为：
x
1
,x
2
,?,x
i
,?

ξ取每一个 值
x
1
(
i?
1,2,
?
)
的概率
P(
?
?x
i
)?p
i
，则表称为随机变量ξ的概率分布 ，简称ξ的分布列.
?

x
1

p
1

x
2

p
2

…
…
x
i

p
i

…
… P
有性质：①
p
1
?0,i?1,2,?
； ②
p
1
?p
2
???p
i
???1
.
2、如果随机变量X的分布列为
X
P
1
p
0
q
其中
0?p?1,q?1?p
，则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布. < br>3、超几何分布列一批产品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取
n(1?n?N)件，则其中的次品数ξ是一离散
型随机变量，分布列为
P(ξ?k)?
kk
C
M
?C
N
n
?
?
M
n
CN
?(0?k?M,0?n?k?N?M)
.〔分子是从M件次品中取k件，从N- M件正品中
r
取n-k件的取法数，如果规定
m
＜
r
时C
m
?0
，则k的范围可以写为k=0，1，…，n.〕
4、均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
x

x

X

12
…
…
x
i

p
i

…
…
x
n

p
n

P
p
1

p
2

（1）均值：称
EX?x
1
p
1
?x
2
p
2
?????x
i
p
i
?????x
n
p
n
为随机变量看X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量
取值的平均水平. < br>（2）方差：称
DX?
?
(x?EX)
i
i?1
n< br>2
p
i
为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度 ，其
算术平方根
DX
为随机变量X的标准差，记作
?
X
.
2

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（3）
E(aX?b)?aEX?b
；D(aX?b)?a
2
DX(a,b为实数）
；
若x服从两点分布，则
EX?p,DX?p(1?p)
；若
X?B(n,p),则EX?np,DX?np( 1?p)

【经典例题】
【例1】（2013广东）已知离散型随机变量X的分布列为
X
P
则X的数学期望E(X)＝( )
35
A. B．2 C. D．3
22
【例2】（2009山东理）在区间[-1，1]上随机取 一个数x，
cos
1
3

5
2
3

10
3
1

10
?
x1
的值介于0到之间的概率为( ).
22
112
2
A． B． C． D．
323
?

）

【例
3
】 （
2010
湖北理）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记
“
硬币正面 向上
”
为事件
A,“
骰子向上的点数是
3”
为事件
B,
则事件
A
，
B
中至少有一件发生的概率是（

A
5173
B C D
24
1212
【例4】甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的 平均成绩和方差如下表所示：






从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是
A．甲 B． 乙 C． 丙 D．丁
【例5】（2012四川）节 日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电
后的4秒内 任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的
时刻相差不超过2秒的概率是( )
方差
s

2

平均环数
x

甲 乙 丙 丁
8.6

3.5

8.9

3.5

8.9

2.1

8.2

5.6

3

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1137
A. B. C. D.
4248

【例6】（2013山东）在区间[－3，3]上随机取一个数x ，使得|x＋1|－|x－2|≥1成立的概率为________．
【例7】（2013北京）下图 是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，
空气质量 指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．

（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；
（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)
2
【例8】（2013福建）某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为， 中奖可以
3
2
获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每 人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖
5
与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率； （2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数 学期望较
大？
【例9】（2013浙江）设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规 定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2
分，取出一个蓝球得3分．
（1）当a＝3，b ＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2
球所得分数之和，求ξ的分布列；
55
（2）从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球 ，记随机变量η为取出此球所得分数．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c.
39
4

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【例10】（2009北京理）某学生在上学路上要经过4个 路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的
概率都是
1
，遇到红灯时 停留的时间都是2min.
3
（1）求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率；
（2）求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间
?
的分布列及期望.
【课堂练习】
1、（2009上海理）若事件
E
与
F
相互 独立，且
P
?
E
?
?P
?
F
?
?
A．
0
B．
1
，则
P
?
EIF
?
的值等于
4
11
1
C． D．
42
16
2、在长为10 cm的线段AB上任取一点C，并以线段AC为边作正方形，这个正方形的面积介于25 cm
2
与49 cm
2
之间
的概率为________．
3、（2013天津）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3 张，编号分别
为2，3，4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．
（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
（2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 4、（2013重庆）某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有3个红球 与4个白球的袋
中任意摸出3个球，再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球．根据摸出4个 球中红球与蓝球的个数，设
一、二、三等奖如下表，其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级．
奖级
一等奖
二等奖
三等奖
（1）求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率；
（2）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X)．





摸出红、蓝球个数
3红1蓝
3红0蓝
2红1蓝
获奖金额
200元
50元
10元
5

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5.（2013湖南）某人在如图所示的直角边长 为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)
处都种了一株相同品种的作 物，根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y（单位：kg）与它的“相近”作物株
数X之间的 关系如下表所示：（这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米）.

X
Y

1
51
2
48
3
45
4
42
（1）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；
（2）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．



【课后作业】
1、（2008山东）在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1， 2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人，则选出
的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列 的概率为（

）
A．
1

51

B．
1

68

C．
1

306

D．
1
408
2、（2008江西）电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四 个数字组成，则一天中任一时刻的四个
数字之和为23的概率为（

）
A．
1111
B． C． D． < br>180288360
480
1
3、（2009安徽）从长度分别为2、3、4、 5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率
是________．

A
2
3
4
B
图3
6

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4、（2013福建）利用计算机产生0～1之间 的均匀随机数a，则事件“3a－1>0”发生的概率为________．
5、（2013辽宁）为 了考察某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人
数作为 样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为_______ _．
6、（2013全国）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比 赛结束时，负的一方在下
1
一局当裁判．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独 立，第1局甲当裁判．
2
（1）求第4局甲当裁判的概率；.
（2）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
7、（2013辽宁）现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
（1）求张同学至少取到1道乙类题的概率；
3
（2）已知所取的3道题中有2道甲 类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题的概率都是，答对每道乙类题的概率
5
4
都是，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．
5
8、（2013江西）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点， 再从A
1
，
A
2
，A
3
，A
4
， A
5
，A
6
，A
7
，A
8
(如图1－5) 这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为
X.若X＝0就参加学校合唱团 ，否则就参加学校排球队．
（1）求小波参加学校合唱团的概率；（2）求X的分布列和数学期望．

图1－5

【课后反馈】
本次______________ 同学课堂状态：___________________________________________ ______________________
本次课后作业：________________ __________________________________________________ _________________
需要家长协助：_____________________ __________________________________________________ _____________
7

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家长意见：______________________ __________________________________________________ ________________
【参考答案】
【经典例题】
1
1-5、AADCC 6、
3
212
7、；；3月5日
1313
【解析】设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1，2，…，13)．
1
根据题意，P(Ai)＝，且Ai∩Aj＝?(i≠j)．
13
（1）设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8.
2
所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝.
13
（2）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且
P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)
4
＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝，
13
P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)
4
＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝，
13
5
P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝.
13
所以X的分布列为
X
P
54412
故X的期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
13131313
（3）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．
11
8、；方案甲．
15
22
【解析】方法一：（1）由已知得， 小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．记“这2人的
35
累计得分 X≤3”的事件为A，
则事件A的对立事件为“X＝5”，
22411
因为P(X＝5)＝×＝，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝，
351515
0
5

13
1
4

13
2
4

13
8

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11
即这两人的累计得分X≤3的概率为.
15
（2）设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这 两人选择方案甲抽
奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3 X2)．
22
2，
?
，X2～B
?
2，
?
， 由已 知可得，X1～B
?
?
3
??
5
?
2424
所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝，
3355
812
从而E(2X1 )＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝.
35
因为E(2X1)>E(3X2)，
所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．
22
方法二：（1） 由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影响．
35
记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A，
则事件A包含有“X＝0”“X＝2”“X＝3”三个两两互斥的事件，
2
?
2
?
1
2
222
?
2
?
2
1－
?
×
1－
＝，P(X＝2)＝×
1－
＝，P(X＝3)＝< br>?
1－
?
×＝， 因为P(X＝0)＝
?
5
?
5
?
3
??
5
?
5
?
3
?5153
?
11
所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝，
15
11
即这两人的累计得分X≤3的概率为.
15
（2）设小明 、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分
布列如下：

X1
P
0
1

9
2
4

9
4
4

9
X2
P
0
9

25
3
12

25
6
4

25
1448
所以E(X1)＝0×＋2×＋4×＝，
9993
912412
E(X2)＝0×＋3×＋6×＝.
2525255
因为E(X1)>E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．
9、9、3∶2∶1
【解析】（1）由题意得，ξ＝2，3，4，5，6.
3×31
P(ξ＝2)＝
＝，
6×64
9

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2×3×21
P(ξ＝3)＝
＝，
6×63
2×3×1＋2×2
5
P(ξ＝4)＝
＝.
6×618
2×2×11
P(ξ＝5)＝
＝，
6×69
1×11
P(ξ＝6)＝
＝，
6×636
所以ξ的分布列为

ξ
P
（2）由题意知η的分布列为

η
P
所以Eη＝
1
a

a＋b＋c
2
b

a＋b＋c
3
c

a＋b＋c
2
1

4
3
1

3
4
5

18
5
1

9
6
1

36
a2b3c5
＋＋＝，
a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c
3< br>5a5b5c5
Dη＝1－
2·＋2－2·＋3－2·＝，
3
a＋b ＋c
3
a＋b＋c
3
a＋b＋c
9
?
?
2 a－b－4c＝0，
化简得
?
解得a＝3c，b＝2c，
?
a＋4b－11c＝0，
?
故a∶b∶c＝3∶2∶1.
10、
43
；
278
【解析】本题主要考查随机事件、互斥事件、 相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础
知识，考查运用概率与统计知识解 决实际问题的能力
.
（
1
）设这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到 红灯为事件
A
，因为事件
A
等于事件
“
这名学生在第一和第 二个
路口没有遇到红灯，在第三个路口遇到红灯
”
，所以事件
A
的概 率为
P
?
A
?
?
?
1?
?
??
1?
?
?
（
2
）由题意，可得
?
可 能取的值为
0
，
2
，
4
，
6
，
8
（单位：
min
）
.
事件
“
?
?2k< br>”
等价于事件
“
该学生在路上遇到
k
次红灯
”
（
k?
0
，
1
，
2
，
3
，4
），

?
?
1
??
3
??
1
?
14
?
.
3
?
327
10

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4
?
1
??
2
?
∴
P
?
?
?2k
?
?C
k
??? ?
?
3
??
3
?
k4?k
?
k?0,1, 2,3,4
?
，

∴即
?
的分布列是

?

P

0 2 4 6 8
8
3281

27
818181
16328818
?2??4??6??8??
.
∴
?
的期望是
E
?
?0?
81812781813
16

81

【课堂练习】
16
1、B 2、 3、；随机变量X的分布列是
57




142417
X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
3535775
18
4、19、；X的分布列为
35




6421
从而有E(X)＝0×＋10×＋50×＋200×＝4(元)
735105105
2
5、；分布列为
9
Y
P
51
2

15
48
4

15
45
2

5
42
1

5
P
X 0
6

7
10
4

35
50
2

105
200
1

105
P
X 1
1

35
2
4

35
3
2

7
4
4

7
2421
34＋64＋90＋42
所求的数学期望为 E(Y)＝51×＋48×＋45×＋42×＝＝46.
1515555

11

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【课后作业】
2
1、B 2、C 3、0.75 4、 5、10
3
19
6、；
48


5
7、；X的分布列为：
6


4285736
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2.
5
2
8、；X的分布列为
7


15223
EX＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＝－.
14147714

X
P
－2
1

14
－1
5

14
0
2

7
1
2

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