高中数学北师大版必修全册知识点总结

高中数学必修1知识点
第一章集合与函数概念
（1）集合的概念
把某些特定的对象集在一起就叫做集合.
（2）常用数集及其记法
N
表示 自然数集，
N
?
或
N
?
表示正整数集，
Z
表示整数集，
Q
表示有理数集，
R
表
示实数集.
（3）集合与元素间的关系
对象
a
与集合
M
的关系是a?M
，或者
a?M
，两者必居其一.
（4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.
③描述法：{
x
|
x
具有的性质}，其中
x
为集合的代表元素.
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.
（5）集合的分类
①含有有限个元素的集 合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有
任何元素的集合叫做空集(
?< br>).
（6）子集、真子集、集合相等
名称 记号 意义 性质 示意图

(1)A
?
A
(2)
??A

（或
子集
A中的任一元
(3)若
A?B
且
B?C
，则
A(B)
B?A)

素都属于B
BA
A?C

(4)若
A?B
且
B?A
，则
A?B

或
（1）
??A
（A为非空子
A
?
B
?
?
真子
集
（或B
?
A?B
，且B
集）
中至少有一

(2)若
A?B
且
B?C
，则
??
?
A）
元素不属于A
A?C

?
A中的任一元
集合

素都属于B，
B中的任一元
素都属于A
(1)A
?
B

相等
(2)B
?
A
（7）已知集合
A
有
n(n?1)
个元素，则它有
2
n
个子集，它有
2n
?1
个真子集，它有
2
n
?1
个
非空子集， 它有
2
n
?2
非空真子集.
（8）交集、并集、补集
名记
称 号
意义 性质 示意图
交
集

{x|x?A,
且
（1）
AIA?A


x?B}

（2）
AI???

（3）
AIB?A

⑷ ΑBA∩B=A
（1）
AUA?A

{x|x?A,
或

并
集
（2）
AU??A


x?B}

（3）
AUB?A

⑷ABA∪B=B

⑴ （uA）∩A=,
⑵
(
uA
)
∪A=U,
补
集
uA

⑶ u
(
uA
)
=A,
⑷ u
(
A∩B
)< br>=
(
uA
)
∪
(
uB
)
,
⑸ u(A∪B)=(uA)∩(uB)

⑼ 集合的运算律：
交换律：
A?B?B?A;A?B?B?A.

结合律:
(A?B)?C?A?(B?C);(A?B)?C?A?(B?C)
分配律:
A?(B?C)?(A?B)?(A?C);A?(B?C)?(A?B)?(A?C)< br>
0-1律：
?IA??,?UA?A,UIA?A,UUA?U

等幂律：
A?A?A,A?A?A.

求补律：A∩uA= A∪CuA=U uU=u=U
反演律：u(A∩B)=(uA)∪(uB) u(A∪B)=(uA)∩(uB)

第二章函数
§1函数的概念及其表示< br>一、映射1．映射：设A、B是两个集合，如果按照某种对
应关系
f
，对于集合 A中的 元素，在集合B中都有 元素和它对应，这
样的对应叫做 到 的映射，记作 .2．象与原象：
如果f
:A→B是一个A到B的映射，那么和A中的元素
a
对应的 叫做象，
叫做原象。二、函数1．定义：设A、B是 ，
f:A→B是从A到B的一个映射，则映
射
f
:A→B叫做A到B的 ，记作 .2．函数的三要素
为 、 、 ，两个函数当且仅当 分别相同时，二者才能称为同一函
数。3．函数的表示法有 、 、 。
§2函数的定义域和值域
一、定义域：1．函数的定义域就是使函数式
的集合.2．常见的三种题型确定定义域：① 已知函数的解析式，就是 .②
复合函数
f
[g(
x
)]的有关定义域，就要保证内函数g(
x
)的 域是外函数
f
(
x
)的
域.③实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.二、
值域：1．函数
y
＝
f
(
x
)中，与自变量
x
的值 的集合.2．常见函数的值域求法，
就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：①观察法；②配方法；
③反函数法；④不等式法；⑤单调性法；⑥数形法；⑦判别式法 ；⑧有界性法；⑨换元
法（又分为 法和 法）
例如：① 形如
y
＝
1
2?x
2
，可采用 法；②
y
＝
2x?12
(x??)
，可采用 法
3x?23
1?x
或 法；③
y
＝
a
[
f
(
x
)]
2
＋
bf
(
x
)＋
c
，可采用 法；④
y
＝
x
－
用 法；⑤
y
＝
x
－
法等.
1?x
2
，可采
，可采用 法；⑥
y
＝
sinx
2?cosx
可采用
§3函数的单调性
一、单调性
1．定义：如果函数
y
＝
f
(
x
)对于属于定义 域I内某个区间上的任意两个自变量的值
x
1、
、
x
2
，当
x
1、
<
x
2
时，①都有 ，则称
f
(
x
)在这个区间上是增函数，而这个区间称函
数的一个 ；②都有 ，则称
f
(
x
)在这个区间上是减函数，而这
个区间称函数的一个 .

若函数
f
(
x
)在整个定义域l内只有唯一的一 个单调区间，则
f
(
x
)称为 .
2．判断单调性的方法：
(1) 定义法，其步骤为：① ；② ；③ .
(2) 导数法，若函数
y
＝
f
(
x
)在定义域内的某个区间上可导，①若 ，则
f
(
x
)在这个区间上是增函数；②若 ，则
f
(
x
)在这个区间上是减函数.
二、单调性的有关结论
1．若
f
(
x
),
g
(
x
)均为增(减)函数，则
f
(
x
)＋
g
(
x
) 函数；
2．若
f
(
x
)为增(减)函数，则－
f
(
x
)为 ；
3．互为反函数的两个函数有 的单调性；
4．复合函数
y
＝
f
[g(
x
)]是定义在M上的函数，若
f
(
x
)与g(
x
)的单调相同，则
f
[g(
x
)]
为 ，若
f
(
x
), g(
x
)的单调性相反，则
f
[g(
x
)]为 .
5．奇函数在其对称区间上的单调性 ，偶函数在其对称区间上的单调
性 .
§4函数的奇偶性
1．奇偶性：
① 定义：如果对于函数
f
(
x
)定义域内的任意
x
都有 ，则称
f
(
x
)为奇函数；
若 ，则称
f
(
x
)为偶函数. 如果函数
f
(
x
)不具有上述性质，则
f
(
x
)不具
有 . 如果函数同时具有上述两条性质，则
f
(
x
) .
② 简单性质：
1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对称；一个
函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称.
2） 函数
f
(
x
)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称.

2．与函数周期有关的结论：
①已知条件中如果出现
f(x ?a)??f(x)
、或
f(x?a)f(x)?m
（
a
、
m
均为非零常数，
a?0
），都可以得出
f(x)
的周期为 ；
②
y?f(x)
的图象关于点
(a,0),(b,0)
中心对称 或
y?f(x)
的图象关于直线
x?a,x?b
轴对称，均可以得到
f(x)
周期
第三章 指数函数和对数函数
§1 正整数指数函数
§2 指数扩充及其运算性质
1．正整数指数函数
函数y＝a
x
(a>0，a≠1，x∈N
＋
)叫作________指数函 数；形如
y
＝
ka
x
(
k
∈R，
a
>0，且
a
≠1)的函数称为________函数．
2．分数指数幂
(1)分数指数幂的定义：给定正实数
a
，对于任意给定的整数
m
，
n
(
m
，
n
互素)，存在
m
m
唯一的正实 数
b
，使得
b
＝
a
，我们把
b
叫作
a
的次幂，记作
b
＝
a
n
；
n
nm< br>(2)正分数指数幂写成根式形式：
a
＝
a
m
(
a< br>>0)；
(3)规定正数的负分数指数幂的意义是：
a
且
n
>1)；
(4)0的正分数指数幂等于____，0的负分数指数幂__________．
3．有理数指数幂的运算性质
(1)
a
m
a
n
＝ ________(
a
>0)；
(2)(
a
m
)
n
＝________(
a
>0)；
?
m
n
m< br>n
n
＝__________________(
a
>0，
m
、
n
∈N
＋
，

(3)(
ab
)
n
＝________(
a
>0，
b
>0)．
§3 指数函数(一)
1．指数函数的概念
一般地，_____________ ___叫做指数函数，其中
x
是自变量，函数的定义域是____．
2．指数函数< br>y
＝
a
x
(
a
>0，且
a
≠1)的 图像和性质

a
>1

图像

定义域

值域

过定点


0<
a
<1
R
(0，＋∞)
过点______，即
x
＝____时，
y
＝____
性 函数值 当
x
>0时，______； 当
x
>0时，________；
质 的变化

当
x
<0时，________

当
x
<0时，________
单调性

是R上的________

是R上的________
§4 对数(二)
1．对数的运算性质
如果
a
>0，且
a
≠1，
M
>0，
N
>0，则：
(1)log
a
(
MN
)＝________________；
(2)log
a
＝________；
(3)log
a
M
n
＝__________(
n
∈R)．
2．对数换底公式 M
N

log
a
N
log
b
N< br>＝(
a
，
b
>0，
a
，
b
≠1，< br>N
>0)；
log
a
b
特别地：log
a
b
·log
b
a
＝____(
a
>0，且
a
≠1，
b
>0，且
b
≠1)．
§5 对数函数(一)
1．对数函数的定义：一般地，我们把______________________________叫做对 数函
数，其中
x
是自变量，函数的定义域是________．________为常 用对数函数；
y
＝
________为自然对数函数.
2．对数函数的图像与性质
定义

底数

图像


定义域

值域

y
＝log
a
x
(
a
>0，且
a
≠1)
a
>1


0<
a
<1
______
______
单调性

在(0，＋∞)上是增函数

在(0，＋∞)上是减函数
共点性

图像过点______，即log
a
1＝0
x
∈(0,1)时，
函数值
特点

x
∈(0,1)时，
y
∈______；
x
∈[1，＋∞)时，
y
∈______.
y
∈______；
x
∈[1，＋∞)时，
y
∈______.

log
对称性

函数
y
＝log
a
x
与
y
＝
1
x
的 图像关于______对称
a
3.反函数
对数函数
y
＝log< br>a
x
(
a
>0且
a
≠1)和指数函数_______ _____________互为反函数．
第四章 函数应用

§1 函数与方程
利用函数性质判定方程解的存在
2．函数
y
＝
f< br>(
x
)的零点就是方程
f
(
x
)＝0的实数根，也就 是函数
y
＝
f
(
x
)的图像与
x
轴的交点 的横坐标．
3．方程
f
(
x
)＝0有实数根
函数
y
＝
f
(
x
)的图像与
x
轴有________
函数
y
＝
f
(
x
)有________．
4．函数零点的存在性的判定方法
如果函数
y
＝
f
(x
)在闭区间[
a
，
b
]上的图像是连续曲线，并且在区间端点 的函数值符
号相反，即
f
(
a
)·
f
(
b
)____0，则在区间(
a
，
b
)内，函数
y
＝
f
(
x
)至少有一个零点，
即相应的方程
f
(x
)＝0在区间(
a
，
b
)内至少有一个实数解．
利用二分法求方程的近似解
1．二分法的概念
每次取区间的中点，将区间________ __，再经比较，按需要留下其中一个小区间的
方法称为二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可 用二分法来
_________________________________________ ________________________．
2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)
(1)确定区间[
a
，
b
]，使____________． (2)求区间(
a
，
b
)的中点，
x
1
＝__ ________.
(3)计算
f
(
x
1
)．
①若
f
(
x
1
)＝0，则________________； < br>②若
f
(
a
)·
f
(
x
1
)<0，则令
b
＝
x
1
(此时零点
x
0
∈ (
a
，
x
1
))；
③若
f
(
x
1
)·
f
(
b
)<0，则令
a
＝
x
1
(此时零点
x
0
∈(
x
1
，
b
))．

(4)继续实施上述步骤，直到区间[
a
n
，
b
n
]，函数的零点总位于区间[
a
n
，
b< br>n
]上，当
a
n
和
b
n
按照给定的精确度所 取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数
y
＝
f
(
x
)的
近似零点，计算终止．这时函数
y
＝
f
(
x
) 的近似零点满足给定的精确度．