河南省新乡卫辉市高中数学用书-高中数学必修4讲什么内容

高中数学必修1知识点
第一章集合与函数概念
【1.1.1】集合的含义与表示
(1)集合的概念
把某些特定的对象集在一起就叫做集合.
(2)常用数集及其记法
N
表示
自然数集,
N
?
或
N
?
表示正整数集,
Z
表示整数集,
Q
表示有理数集,
R
表示实数集.
(3)集合与元素间的关系
对象
a
与集合
M
的关系是a?M
,或者
a?M
,两者必居其一.
(4)集合的表示法
①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号表示集合.
③描述法:{
x<
br>|
x
具有的性质},其中
x
为集合的代表元素.
④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合.
(5)集合的分类
①含有有限个元素的集
合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.
③不含有任何元素的集合叫做空集(
?<
br>).
【1.1.2】集合间的基本关系
(6)子集、真子集、集合相等
名称 记号 意义
(1)A
?
A
性质 示意图
A?B
子集
(或
B?A)
(2)
??A
A中的任一元
素都属于B
(3)若
A?B
且
B?C
,则
A(B)
BA
A?C
(4)若
A?B
且
B?A
,则
或
A?B
(1)
??A
(A为非空子
A
?
B
真子
集
?
?
A?B
,且B
集)
BA<
br>(或
中至少有一
(2)若
A?B
且
B?C
,则
??
B
?
A)
元素不属于A
?
A中的任一元
集合
相等
A?B
A?C
?
素都属于B,
(1)A
?
B
A(B)
B中的任一元
(2)B
?
A
素都属于A
(7)已知集合
A
有
n(n?1)
个元素,则它有
2
n<
br>个子集,它有
2
n
?1
个真子集,它有
2
n
?1
个非空子集,它有
2
n
?2
非空真子集.
【1.1.3】集合的基本运算
(8)交集、并集、补集
名记
意义 性质
(1)
AIA?A
示意图
称 号
交
集
AIB
{x|x?A,
且
x?B}
(2)
AI???
(3)
AIB?A
AB
AIB?B
(1)
AUA?A
并
集
AUB
{x|x?A,
或
x?B}
(2)
AU??A
(3)
AUB?A
A
B
AUB?B
⑴ (
补
集
⑵
{x|x?U,且x?A}
⑶
⑷
⑸
⑼
集合的运算律:
交换律:
A?B?B?A;A?B?B?A.
结合律:
(A?B)?C?A?(B?C);(A?B)?C?A?(B?C)
分配律:
A?(B?C)?(A?B)?(A?C);A?(B?C)?(A?B)?(A?C)<
br>
0-1律:
?IA??,?UA?A,UIA?A,UUA?U
等幂律:
A?A?A,A?A?A.
求补律:A∩
反演律:
A∪
A)∪(
=U
B) (A∪B)=(
A)∩(B) (A∩B)=(
第二章函数
§1函数的概念及其表示
一、映射
1.映射:设A、B是两个集合,如果按照某种对应关系
f
,对于集合A中的
元
素,在集合B中都有 元素和它对应,这样的对应叫做 到
的映射,记作 .
2.象与原象:如果
f<
br>:A→B是一个A到B的映射,那么和A中的元素
a
对应的
叫做象, 叫做原象。
二、函数
1.定义:设A、B是
,
f
:A→B是从A到B的一个映射,则映射
f
:A→B叫
做A到B
的 ,记作 .
2.函数的三要素为
、 、 ,两个函数当且仅当 分别相同
时,二者才能称为同一函数。
3.函数的表示法有 、 、 。
§2函数的定义域和值域
一、定义域:
1.函数的定义域就是使函数式 的集合.
2.常见的三种题型确定定义域:
① 已知函数的解析式,就是
.
② 复合函数
f
[g(
x
)]的有关定义域,就要保证函数g(
x
)的
域是外函数
f
(
x
)的 域.
③实际应用问题的定义域,就是要使得 有意义的自变量的取值集合.
二、值域:
1.函数
y
=
f
(
x
)中,与自变量
x
的值 的集合.
2.常见函数的值域求法,就是优先考虑 ,取决于 ,
常
用的方法有:①观察法;②配方法;③反函数法;④不等式法;⑤单调性法;⑥
数形法;⑦判
别式法;⑧有界性法;⑨换元法(又分为 法和
法)
例如:① 形如
y
=
1
2?x
2
,可采用
法;②
y
=
2x?1
(x??
2
)
,可采用
3x?23
法或 法;③
y
=
a
[
f
(
x
)]
2
+
bf
(
x
)+
c
,可采用 法;④
y
=
x
-
1?x
,可采用 法;⑤
y
=
x
-
1?x
2
,可采用
法;⑥
y
=
sinx
2?cosx
可采用 法等.
§3函数的单调性
一、单调性
1.定义:如果函数
y
=
f
(
x
)对于属于定义
域I某个区间上的任意两个自变量的
值
x
1、
、
x
2
,当
x
1、
<
x
2
时,①都有
,则称
f
(
x
)在这个区间上是增函数,
而这个区间称函数的一个
;②都有 ,则称
f
(
x
)在这
个区间上是减函数,而这个区间称函数的一个
.
若函数
f
(
x
)在整个定义域l只有唯一的一个单调区间,则<
br>f
(
x
)称为 .
2.判断单调性的方法:
(1) 定义法,其步骤为:① ;② ;③ .
(2) 导数法,若函数
y
=
f
(
x
)在定义域的某个区间上可导,①若
,
则
f
(
x
)在这个区间上是增函数;②若
,则
f
(
x
)在这个区间上是
减函数.
二、单调性的有关结论
1.若
f
(
x
),
g
(
x
)均为增(减)函数,则
f
(
x
)+
g
(
x
) 函数;
2.若
f
(
x
)为增(减)函数,则-
f
(
x
)为 ;
3.互为反函数的两个函数有
的单调性;
4.复合函数
y
=
f
[g(
x
)]是定义在M上的函数,若
f
(
x
)与g(
x
)的单调相同,
则
f
[g(
x
)]为 ,若
f
(
x
),
g(
x
)的单调性相反,则
f
[g(
x
)]为
.
5.奇函数在其对称区间上的单调性 ,偶函数在其对称区间上的单调
性
.
§4函数的奇偶性
1.奇偶性:
①
定义:如果对于函数
f
(
x
)定义域的任意
x
都有
,则称
f
(
x
)为
奇函数;若
,则称
f
(
x
)为偶函数. 如果函数
f
(
x
)不具有上述性
质,则
f
(
x
)不具有 .
如果函数同时具有上述两条性质,则
f
(
x
)
.
② 简单性质:
1) 图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于
对
称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称.
2)
函数
f
(
x
)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于
对称.
2.与函数周期有关的结论:
①已知条件中如果出现
f(x?a)??f(
x)
、或
f(x?a)f(x)?m
(
a
、
m
均为
非零常数,
a?0
),都可以得出
f(x)
的周期为
;
②
y?f(x)
的图象关于点
(a,0),(b,0)
中心对称
或
y?f(x)
的图象关于直线
x?a,x?b
轴对称,均可以得到
f(x)
周期
第三章 指数函数和对数函数
§1 正整数指数函数
§2 指数扩充及其运算性质
1.正整数指数函数
函数y=a
x
(a>0,a≠1,x∈N
+<
br>)叫作________指数函数;形如
y
=
ka
x
(
k
∈R,
a
>0,且
a
≠1)的函数称为________函数.
2.分数指数幂
(1)分数指数幂的定义:给定正实数
a
,对于任意给定的
整数
m
,
n
(
m
,
n
互素),
m
m
存在唯一的正实数
b
,使得
b
=
a
,我
们把
b
叫作
a
的次幂,记作
b
=
a
n;
n
nm
(2)正分数指数幂写成根式形式:
a
=
a
m
(
a
>0);
(3)规定正数的负分数指数幂的意义是:
a
?
m
n
m
n
n
=_____________
_____(
a
>0,
m
、
n
∈N
+
,且
n
>1);
(4)0的正分数指数幂等于____,0的负分数指数幂__________.
3.有理数指数幂的运算性质
(1)
a
m
a
n
=
________(
a
>0);
(2)(
a
m
)
n
=________(
a
>0);
(3)(
ab
)n
=________(
a
>0,
b
>0).
§3
指数函数(一)
1.指数函数的概念
一般地,________________叫做指数
函数,其中
x
是自变量,函数的定义域
是____.
2.指数函数
y
=
a
x
(
a
>0,且
a
≠1)的图像和
性质
a
>1
0<
a
<1
图像
定义
域
值域
过
定
点
函
数
性 值
质
的
变
化
单
调
性
是R上的________
当
x
>0时,______;
当
x
<0时,________
R
(0,+∞)
过点______,即
x
=____时,
y
=____
当
x
>0时,________;
当
x
<0时,________
是R上的________
§4
对数(二)
1.对数的运算性质
如果
a
>0,且
a
≠1
,
M
>0,
N
>0,则:
(1)log
a
(
MN
)=________________;
(2)log
a
=________;
(3)log
a
M
n
=__________(
n
∈R).
2.对数换底公式 log
a
N
log
b
N
=(
a
,b
>0,
a
,
b
≠1,
N
>0);
log
a
b
特别地:log
a
b
·log
b
a
=____(
a
>0,且
a
≠1,
b
>0,且
b
≠1).
M
N
§5 对数函数(一)
1.
对数函数的定义:一般地,我们把______________________________叫
做对数函数,其中
x
是自变量,函数的定义域是________.________为常用<
br>对数函数;
y
=________为自然对数函数.
2.对数函数的图像与性质
定
义
底
数
y
=log
a
x
(
a
>0,且
a
≠1)
a
>1
0<
a
<1
图
像
定
义
域
值
域
______
______
单
调
性
共
点
性
函
数
值
特
点
对
称
性
在(0,+∞)上是增函数
在(0,+∞)上是减函数
图像过点______,即log
a
1=0
x
∈(0,1)时,
y
∈______;
x
∈[1,+∞)时,
y
∈______.
x
∈(0,1)时,
y
∈______;
x
∈[1,+∞)时,
y
∈______.
函数
y=log
a
x
与
y
=
log
1
x的图像关于______对称
a
3.反函数
对数函数
y
=l
og
a
x
(
a
>0且
a
≠1)和指数函数____
________________互为反函
数.
第四章 函数应用
§1
函数与方程
1.1 利用函数性质判定方程解的存在
2.函数
y
=
f
(
x
)的零点就是方程
f
(
x
)=
0的实数根,也就是函数
y
=
f
(
x
)的
图像与<
br>x
轴的交点的横坐标.
3.方程
f
(
x
)=0有实数根
?函数
y
=
f
(
x
)的图像与
x
轴有________
?函数
y
=
f
(
x
)有________.
4.函数零点的存在性的判定方法
如果函数
y
=
f
(x
)在闭区间[
a
,
b
]上的图像是连续曲线,并且在区间端点
的
函数值符号相反,即
f
(
a
)·
f
(
b
)____0,则在区间(
a
,
b
),函数
y
=<
br>f
(
x
)至
少有一个零点,即相应的方程
f
(
x
)=0在区间(
a
,
b
)至少有一个实数解.
1.2
利用二分法求方程的近似解
1.二分法的概念
每次取区间的中点
,将区间__________,再经比较,按需要留下其中一个小
区间的方法称为二分法.由函数的零
点与相应方程根的关系,可用二分法来
_____________________________
____________________________________
.
2.用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)
(1)确定区间[
a
,
b
],使____________. (2)求区间(
a
,
b
)的中点,
x
1
=__
________.
(3)计算
f
(
x
1
).
①若
f
(
x
1
)=0,则________________; <
br>②若
f
(
a
)·
f
(
x
1
)<0,则令
b
=
x
1
(此时零点
x
0
∈
(
a
,
x
1
));
③若
f
(
x
1
)·
f
(
b
)<0,则令
a
=
x
1
(此时零点
x
0
∈(
x
1
,
b
)).
(4)继续实施上述步骤,直到区间[
a
n
,
b
n
],函数的零点总位于区间[
a
n
,
b
n
]
上,当
a
n
和
b
n
按照给定的精确度所取的近
似值相同时,这个相同的近似值就
是函数
y
=
f
(
x
)的近似零点,计算终止.这时函数
y
=
f
(
x
)的近似
零点满足
给定的精确度.
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