高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结

高中数学北师大版必修1 全册 知识点总结

第一章集合与函数概念
【1.1.1】集合的含义与表示
（1）集合的概念
把某些特定的对象集在一起就叫做集合.
（2）常用数集及其记法
N
表示 自然数集；
N
?
或
N
?
表示正整数集；
Z
表示整数集；
Q
表示有理数
集；
R
表示实数集.
（3）集合与元素间的关系
对象
a
与集合
M
的关系是a?M
；或者
a?M
；两者必居其一.
（4）集合的表示法
①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.
②列举法：把集合中的元素一一列举出来；写在大括号内表示集合.
③描述法：{
x
|
x
具有的性质}；其中
x
为集合的代表元素.
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.
（5）集合的分类
①含有有限个元素的集 合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.
③不含有任何元素的集合叫做空集(
?< br>).
【1.1.2】集合间的基本关系
（6）子集、真子集、集合相等
名称 记号 意义 性质
(1)A
?
A
示意图
A?B

子集
（或
B?A)

A中的任一
元素都属于
B
(2)
??A
BA
A (B)
(3)若
A?B
且
B?C
；则

A?C

1 9
或

(4)若
A?B
且
B?A
；则

A?B
真子
集
B
A
?
?
B
； 且B
A?B
中至少有一
元素不属于
（1）
??A
?
（A为非空子
集）
（或
?
?
(2)若
A?B
?< br>且
B?C
?
BA
；则
?
A）

A
A中的任一

A?C
集合
相等
元素都属于
A?B

B；B中的任
一元素都属
于A
(1)A
?
B
(2)B
?
A
A(B)

nn
（7）已知集合
A< br>有
n(n?1)
个元素；则它有
2
个子集；它有
2?1
个真子集；它
nn
有
2?1
个非空子集；它有
2?2
非空 真子集.
【1.1.3】集合的基本运算
（8）交集、并集、补集
名记
意义 性质
（1）
AIA?A
交
集
{x|x?A,
且
称 号
示意图
（2）
AI???
（3）
AIB?A
AB
AIB

x?B}

AIB?B


{x|x?A,
或

（1）
AUA?A

（2）
AU??A

（3）
AUB?A


2 9
A
B
并
集
AUB

x?B}

AUB?B


%1 （
补
集


%1
{x|x?U,且x?A}
%1
%1
%1

⑼ 集合的运算律：
交换律：
A?B?B?A;A?B?B?A.

结合律:
(A?B)?C?A?(B?C);(A?B)?C?A?(B?C)
分配律:
A?(B?C)?(A?B)?(A?C);A?(B?C)?(A?B)?(A?C)< br>
0-1律：
?IA??,?UA?A,UIA?A,UUA?U

等幂律：
A?A?A,A?A?A.

求补律：A∩ A∪=U
反演律：(A∩B)=(A)∪(B) (A∪B)=(A)∩(B)

第二章函数
§1函数的概念及其表示

一、映射
1．映射：设A、B是两个集合；如果按照某种对应关系
f
；对于集合A中的
元素；在集合B中都有 元素和它对应；这样的对应叫做
到 的映射；记作 .
2．象与原象 ：如果
f
:A→B是一个A到B的映射；那么和A中的元素
a
对应的
叫做象； 叫做原象.
二、函数
1．定义：设A、B是 ；
f
:A→B是从A到B的一个映射；则映射
f
:A→B
叫做A到B 的 ；记作 .
2．函数的三要素为 、 、 ；两个函数当且仅当 分别相

3 9

同时；二者才能称为同一函数.
3．函数的表示法有 、 、 .

§2函数的定义域和值域

一、定义域：
1．函数的定义域就是使函数式 的集合.
2．常见的三种题型确定定义域：
① 已知函数的解析式；就是 .
② 复合函数
f
[g(
x
)]的有关定义域；就要保证内函数g(
x
)的 域是外
函数
f
(
x
)的 域.
③实际应用问题的定义域；就是要使得 有意义的自变量的取值集合.
二、值域：
1．函数
y
＝
f
(
x
)中；与自变量
x
的值 的集合.
2．常见函数的值域求法；就是优先考虑 ；取决于 ；
常用的方法有：①观察法；②配方法；③反函数法；④不等式法；⑤单调性
法；⑥数形法；⑦判 别式法；⑧有界性法；⑨换元法（又分为 法和
法）
例如：① 形如
y
＝
1
2?x
2
；可采用 法；②
y
＝
2x?1
(x??
2
)
；可采用
3x?23
法或 法；③
y
＝
a
[
f
(
x
)]
2
＋
bf
(
x
)＋
c
；可采用 法；④
y
＝
x
－
1?x
；可采用 法；⑤
y
＝
x
－
可采用 法等.
1?x
2
；可采用 法；⑥
y
＝
sinx
2?cosx

§3函数的单调性


一、单调性
1．定义：如果函数
y
＝
f
(< br>x
)对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变
量的值
x
1、、
x
2
；当
x
1、
<
x
2
时 ；①都有 ；则称
f
(
x
)在这个区间上是增
函数；而这个区间称函数的一个 ；②都有 ；则称
f
(
x
)在这个区间上是减函数；而这个区间称函数的一个 .

4 9

若函数
f
(
x)在整个定义域l内只有唯一的一个单调区间；则
f
(
x
)称
为 .
2．判断单调性的方法：
(1) 定义法；其步骤为：① ；② ；③ .
(2) 导数法；若函数
y
＝
f
(
x
)在定义域内的某个区间上可导；①
若 ；则
f
(
x
)在这个区间上是增函数；②若 ；则
f
(
x
)在这个区间上是减函数.
二、单调性的有关结论
1．若
f
(
x
),
g
(
x
)均为增(减)函数；则
f
(
x
)＋
g
(
x
) 函数；
2．若
f
(
x
)为增(减)函数；则－
f
(
x
)为 ；
3．互为反函数的两个函数有 的单调性；
4．复合函数
y
＝
f
[g(
x
)]是定义在M上的函数；若
f
(
x
)与g(
x
)的单调相同；
则
f
[g(
x
)]为 ；若
f
(
x
), g(
x
)的单调性相反；则
f
[g(
x
)]
为 .
5．奇函数在其对称区间上的单调性 ；偶函数在其对称区间上的单调
性 .

§4函数的奇偶性

1．奇偶性：
① 定义：如果对于函数
f
(
x
)定义域内的任意
x
都有 ；则称
f
(
x
)
为奇函数；若 ；则称
f
(
x
)为偶函数. 如果函数
f
(
x
)不具有上
述性质；则
f
(
x
)不具有 . 如果函数同时具有上述两条性质；则
f
(
x
) .
② 简单性质：
1） 图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于 对
称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 对称.
2） 函数
f
(
x
)具有奇偶性的必要条件是其定义域关于 对称.
2．与函数周期有关的结论：
①已知条件中如果出现
f(x?a)??f( x)
、或
f(x?a)f(x)?m
（
a
、
m
均为

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非零常数；
a?0
）；都可以得出
f(x)
的周期为 ；
②
y?f(x)
的图象关于点
(a,0),(b,0)
中心对称 或
y?f(x)
的图象关于直线
x?a,x?b
轴对称；均可以得到
f(x)
周期
第三章 指数函数和对数函数
§1 正整数指数函数
§2 指数扩充及其运算性质

1．正整数指数函数
函数y＝a
x
(a>0；a≠1；x∈N
＋< br>)叫作________指数函数；形如
y
＝
ka
x
(
k
∈
R；
a
>0；且
a
≠1)的函数称为_______ _函数．
2．分数指数幂
(1)分数指数幂的定义：给定正实数
a
；对于 任意给定的整数
m
；
n
(
m
；
n
互
m
素)；存在唯一的正实数
b
；使得
b
n
＝
a< br>m
；我们把
b
叫作
a
的次幂；记作
b
n＝
a
；
n
(2)正分数指数幂写成根式形式：
a
＝a m(
a
>0)；
(3)规定正数的负分数指数幂的意义是：
a
?< br>m
n
m
n
m
n
＝________________ __(
a
>0；
m
、
n
∈N
＋
；且
n
>1)；
(4)0的正分数指数幂等于____；0的负分数指数幂__________．
3．有理数指数幂的运算性质
(1)
a
m
a
n
＝ ________(
a
>0)；
(2)(
a
m
)
n
＝________(
a
>0)；
(3)(
ab
)＝_ _______(
a
>0；
b
>0)．
n
§3 指数函数(一)
1．指数函数的概念
一般地；________________叫做指数 函数；其中
x
是自变量；函数的定义
域是____．

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2．指数函数
y
＝
a
x
(
a
>0；且
a
≠1)的图像和性质

a
>1

0<
a
<1
图像


定义
域

值域

R
(0；＋∞)
过定点

性
质
函数值
的变化

单调性

过点______；即
x
＝
____时；
y
＝____
当
x
>0时；______；
当
x
<0时；________

是R上的________


当
x
>0时；________；
当
x
<0时；________
是R上的________
§4 对数(二)
1．对数的运算性质
如果
a
>0；且
a
≠1 ；
M
>0；
N
>0；则：
(1)log
a
(
MN
)＝________________；
M
(2)log
a
＝________；
N
(3)log
a
M
n
＝__________(
n
∈R)．
2．对数换底公式
log
b
N
＝
logaN
(< br>a
；
b
>0；
a
；
b
≠1；
N>0)；
logab
特别地：log
a
b
·log
b
a
＝____(
a
>0；且
a
≠1；
b
> 0；且
b
≠1)．

7 9

§5 对数函数(一)

1．对数函数的定义：一般地；我们把________________ ______________叫
做对数函数；其中
x
是自变量；函数的定义域是__ ______．________为常
用对数函数；
y
＝________为自然对数 函数.
2．对数函数的图像与性质

定义
y
＝log
a
x
(
a
>0；且
a
≠1)
底数
a
>1

0<
a
<1
图像


定义
域

值域

单调
性

共点
性

函数
值
特点

对称
性

______
______
在(0；＋∞)上是增函数

图像过点______；即log
a
1＝0

在(0；＋∞)上是减函数
x
∈(0,1)时；
y
∈______；
x
∈[1；＋∞)时；
y
∈______.

log
1
x
∈(0,1)时；
y
∈______；
x
∈[1；＋∞)时；
y
∈______.
函数
y＝log
a
x
与
y
＝
a
x
的图像关于______对称
3.反函数
对数函数
y
＝log
a< br>x
(
a
>0且
a
≠1)和指数函数____________ ________互为反
函数．
第四章 函数应用
§1 函数与方程
1.1 利用函数性质判定方程解的存在

2．函数
y
＝
f
(
x
)的零点就是方程
f
(
x
)＝0的实数根； 也就是函数
y
＝
f
(
x
)
的图像与
x轴的交点的横坐标．

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3．方程
f
(
x
)＝0有实数根
?函数
y
＝
f
(
x
)的图像与
x
轴有________
?函数
y
＝
f
(
x
)有________．
4．函数零点的存在性的判定方法
如果函数
y
＝
f
(x
)在闭区间[
a
；
b
]上的图像是连续曲线；并且在区间端点 的
函数值符号相反；即
f
(
a
)·
f
(
b
)____0；则在区间(
a
；
b
)内；函数
y
＝
f
(
x
)
至少有一个零点；即相应的方程
f
(x
)＝0在区间(
a
；
b
)内至少有一个实数
解．
1.2 利用二分法求方程的近似解

1．二分法的概念
每次取区间的中 点；将区间__________；再经比较；按需要留下其中一个
小区间的方法称为二分法．由函数的 零点与相应方程根的关系；可用二分
法来
________________________ _________________________________________
．
2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)
(1)确定区间[
a
；
b
]；使____________． (2)求区间(
a
；
b
)的中点；
x
1
＝__ ________.
(3)计算
f
(
x
1
)．
①若
f
(
x
1
)＝0；则________________； < br>②若
f
(
a
)·
f
(
x
1
)<0；则令
b
＝
x
1
(此时零点
x
0
∈ (
a
；
x
1
))；
③若
f
(
x
1
)·
f
(
b
)<0；则令
a
＝
x
1
(此时零点
x
0
∈(
x
1
；
b
))．
(4)继续实施上述步骤；直到区间[
a
n
；
b
n
]；函数的零点总位于区间[
a
n
；
b
n
]
上；当
a
n
和
b
n
按照给定的精确度所取的近 似值相同时；这个相同的近似值
就是函数
y
＝
f
(
x
)的近似零点；计算终止．这时函数
y
＝
f
(
x
)的近似 零点满
足给定的精确度．


9 9