北师大版高中数学选修1-1学案全集

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2

第一章 常用逻辑语
1.1 命题
命题及其关系
学习目标：理解命题的概念和命题的构成，能判断命题 的真假；了解四种命题的的含义，
能写出给定命题的逆命题、否命题和逆否命题；会分析四种命题之间的 相互关
系；
重点难点：命题的概念、命题的构成；分清命题的条件、结论和判断命题的真假。 四种命
题的概念及相互关系.
自主学习
1.复习回顾：初中已学过命题的知识，请同学们回顾：什么叫做命题？
2.判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？
（1）空集是任何集合的子集；
（2）若整数
a
是素数，则
a
是奇数；
（3）2小于或等于2；
（4）对数函数是增函数吗？
（5）
2x?15
；
（6）平面内不相交的两条直线一定平行；
（7）明天下雨.
合作探究
1.根据下列命题完成填空
（1）如果两个 三角形全等,那么它们的面积相等；（2）如果两个三角形的面积相等,那么它
们全等；（3）如果两个 三角形不全等,那么它们的面积不相等；（4）如果两个三角形的面积
不相等,那么它们不全等.
命题（2）、（3）、（4）与命题（1）有何关系？
1．上面的四个命题都是 形式的命题，
可记为 ，其中
p
是命题的条件，
q
是命题的结论．
2．在上面的例子中，
命题（2）的 分别是命题（1）的 ，
我们称这两个命题为互逆命题．
命题（3）的 分别是命题（1）的 ，这
两个命题称为互否命题．
命题（4）的 分别是命题（1）的 ，
这两个命题称为互为逆否命题．


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1

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3.逆命题、否命题和逆否命题的含义：
一般地，设“若
p
则
q
”为原命题，那么
就叫做原命题的逆命题； 就叫做原命题的
否命题； 就叫做原命题的逆否命题．
四种命题之间的关系：







原命题
若p,则q
逆命题
若q,则p
否命题
若非p,则非q
逆否命题
若非q,则非p
3.写出下列命题的逆命题 、否命题与逆否命题．
（1）若
a?0
,则
ab?0
；（2）若< br>a?b
，则
a?b
．
4.把下列命题改写成“若
p
则
q
”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同
时指出它们的真假．（1 ）对顶角相等；（2）四条边相等的四边形是正方形．
5.原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假有什么关系？
（1）原命题与逆否命题 ；（2）逆命题与否命
题 ．
练习反馈
1．给出下列命题：
①若
ac?bc
，则
a? b
；②若
a?b
，则
2
11
?
；③对于实数
x
，若
x?2?0
，则
x?2?0
；
ab
④若< br>p?0
，则
p?p
；⑤正方形不是菱形．
其中真命题是 ；假命题是 ．（填上所有符合题意的序号）
2．将下列命题改写成“若
p
则
q
”的形式：
（1）垂直 于同一直线的两条直线平行；（2）斜率相等的两条直线平行；（3）钝角的余弦
值是负数．
3．写出下列各命题的逆命题、否命题 和逆否命题并判断真假：
（1）若两个事件是对立事件,则它们是互斥事件；
（2）当
c?0
时，若
a?b
，则
ac?bc
．
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2

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1.2 充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件&1.2.2必要条件 学习目标：正确理解充分条件的概念；会判断命题的充分条件；通过对充分条件的概念的
理解和运用 ，培养自己分析、判断和归纳的逻辑思维能力；
重点：充分条件的概念
难点：判断命题的充分条件
自主学习
练习与思考
写出下列两个命题的条件和结论，并判断是真命题还是假命题？
（1）若x ＞ a + b，则x ＞ 2ab,
（2）若ab ＝ 0，则a ＝ 0.
置疑：对于命题“若p，则q”，有时是真命题，有时是假命题．如何判断其真假的？



合作探究
命题“若p，则q” 为真命题，是指由p经过推理能推 出q，也就是说，如果p成立，
那么q一定成立．换句话说，只要有条件p就能充分地保证结论q的成立 ，这时我们称条
件p是q成立的充分条件．
一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q．这时，我们就说，
由p可推出q，记作：p?q．

充分条件 的定义：______________________________________________ _____________.
必要条件的定义: ______________________ ______________________________________.
上面的命题(1)为真命题，即x ＞ a + b? x ＞ 2ab，所以“x ＞ a + b”是“x
＞ 2ab”的充分条件，“x ＞ 2ab”是“x ＞ a + b”

例题分析：
例１：下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？
（1）若x ＝1，则x － 4x ＋ 3 ＝ 0；（2）若f(x)＝ x，则f(x)为增函数；（3）若x
为无理数，则x为无理数．
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3
2
2
22 ＂
22 22
22
的必要条件

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分析：要判断p是否是q的充分条件，就要看p能否推出q．
例２：下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件?
(1) 若x ＝ y，则x ＝ y；
(2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；
(3) 若a ＞b,则ac＞bc．
分析：要判断q是否是p的必要条件，就要看p能否推出q．


练习反馈
22
1、从“充要条件（
A
）、充分不必要条 件（
B
）、必要不充分条件（
C
）、既不
充分也不必要条件（
D
）” 中选出适当的一种填空：
① “
a?0
”是“函数
y?x
2
?ax (x?R)
为偶函数”的_____
② “
sin
?
?sin?
”是“
?
?
?
” 的_____
③ “
M ?N
”是“
log
2
M?log
2
N
”的____ _
④ “
x?MIN
”是“
x?MUN
”的_____

2、已知
p
、
q
是
r
的必要条件，
s是
r
的充分条件，
q
是
s
的充分条件，那么
⑴
s
是
q
的什么条件？
⑵
r
是
q
的什么条件？
⑶
p
是
q
的什么条件？

3、已知 “
a?b?c?d
”和“
a?b?e?f
”，
则“
c?d
”是“
e?f
”的___________________条件
“
c?d
”是“
e?f
”的___________________条件

4、求圆
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2经过原点的充要条件。

课堂总结
充分、必要的定义．
在“若p，则q”中，若p?q，则p为q的充分条件，q为p的必要条件．
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4

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1.2.3 充要条件
学习目标： 1、正确理解充要条件的定义,了解充分而不必要条件, 必要而不充分条件,
既不充分也不必要条件的定义．
2、正确判断充分不必要条件、 必要不充分条件、充要条件、 既不充分也不
必要条件.
3、通过学习，使学生明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假,．
重点：1、正确区分充要条件；
2、正确运用“条件”的定义解题
难点：正确区分充要条件．
自主学习
1.什么叫充分条件？什么叫必要条件？说出“
?
”的含义

2.指出下列各组命题中，“p
?
q”及“q
?
p”是否成立
（1）p：内错角相等 q：两直线平行
（2）p：三角形三边相等 q：三角形三个角相等

3.充要条件定义：一般地，如果既有p
?
q，又 有q
?
p，就记作：p
?
q。
这时，p既是q的充分条件，又是q的必要条件，我们说p是q的_______条件，简称
充要条件

合作探究
例1：指出下列各命题中，p是q的什么条件：
1) p：x>1 q：x>2
2) p：x>5 q：x>-1
3) p：(x-2)(x-3)=0 q：x-2=0
4) p：x=3 q：
x
=9
5) p：x=±1 q：x-1=0

例2：1）请举例说明：p是q的充分而不必要条件；p是q的必要而不充分条件；
p是q的既不充分也不必要条件；p是q的充要条件
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2
2

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2）从 “充分而不必要条件” “必要而不充分条件” “充要条件”“既不充分也
不必要条件”中选出适当一种填空：
①“a
?
N ”是“a
?
Z”的______________________
②“a≠0”是“ab≠0”的_____________________
2
③“x=3x+4”是“x=
3x?4
”的_______________________
④“四边相等”是“四边形是正方形”的________________________
3）判断下列命题的真假： ①“a>b”是“a
2
>b
2
”的充分 条件；②“a>b”是“a
2
>b
2
”
的必要条件；③“a>b”是 “a+c>b+c”的充要条件；④“a>b”是“ac
2
>bc
2
”的充分 条
件

例3、若甲是乙的充分而不必要条件，丙是乙的充要条件,丁是丙的必要而不 充分条件，问
丁是甲的什么条件？


例4、求证：关于X的方程ax+b x+c=0(a≠0)有两个符号相反且不为零的实根充要条件是
ac<0


例5、已知 P：
1?
2
x?1
22
≤ 2 ，q：x-2x+1-m≤0 (m>0)且
?
p是
?
q的必要而< br>3
不充分条件，求实数m的取值范围。



练习反馈
1、下列各组命题中，p是q的什么条件：
1）p： x是6的倍数。 q：x是2的倍数
2）p： x是2的倍数。 q：x是6的倍数
3）p： x是2的倍数，也是3的倍数。q：x是6的倍数
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4）p： x是4的倍数 q：x是6的倍数
2、 已知p：x
1< br>，x
2
是方程x
2
＋5x－6＝0的两根，q：x
1
＋x
2
＝－5，则p是q的
[ ]
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3、 p是q的充要条件的是 [ ]
A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5
B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解．

4、 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，
则D是A成立的 [ ]
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5、设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的 [ ]
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6、 已知p、q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是 s的充分条件，那么s，r，
p分别是q的什么条件？

7、 关于x的不等式
(a?1)
2
2
≤
(a?1)
2
|x－|
2
与x
2
－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0的解集依次为A
与B，问“ A?B”是“1≤a≤3或a＝－1”的充要条件吗？



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1.3 全称量词与存在量词
1.3.1 全称量词与存在量词
学习目标： 1、通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见
的全称量词和存在量词．
2、了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量
词的命题及判断其 命题的真假性．
重点:理解全称量词与存在量词的意义；
难点: 全称命题和特称命题真假的判定.
自主学习
问题1、下列语句是命题吗？假如是命题你能判断它的真假吗？
（1）2x＋１是整数；(2) x＞３；(3) 如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等；（4 ）
平行于同一条直线的两条直线互相平行；（5）海师附中今年所有高中一年级的学生数学课
本 都是采用人民教育出版社A版的教科书；（6）所有有中国国籍的人都是黄种人；（7）对
所有的x∈Ｒ , x＞３；（8）对任意一个x∈Ｚ，2x＋１是整数。

问题2、命题（5）－（8）跟命题（3）、（4）有些不同，它们用到 “所有的”“任意一个” < br>这样的词语，这些词语一般在指定的范围内都表示整体或全部，这样的词叫做______量词，
含有全称量词的命题，叫做_______命题。命题（5）－（8）都是全称命题。

问题3、在判断问题1中的命题（5）－（8）的真假的时候，可以得出这样一些命题：
（5）存在个别高一学生数学课本不是采用人民教育出版社A版的教科书；
（6）存在一个（个别、部分）有中国国籍的人不是黄种人．
（7） 存在一个（个别、某些）实数x（如
x
＝2），使x≤３．（至少有一个x∈Ｒ, x
≤３）
（8）不存在某个x∈Ｚ使2x＋１不是整数．
这些命题用到了“存在一 个”“至少有一个”这样的词语，这些词语都是表示整体的
一部分的词叫做______量词。并用符号 “
?
”表示。含有存在量词的命题叫做______命题
（或存在命题）命题（5）－ （8）都是特称命题（存在命题）．
特称命题：“存在
M
中一个
x
，使
p（x）
成立”可以用符号简记为：
?x?M,p(x)
。
读做 “存在一个
x
属于
M
,使p（x）成立”．
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，，
，
，
，
，

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全称量词相当于日常语言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一个”等 ；存在量词相当
于日常语言中“存在一个”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”，“ 至多有一个”等.
合作探究
（1）下列全称命题中，真命题是：
A. 所有的素数是奇数； B.
?x?R,(x?1)f0
；
C.
?x?R,x?

（2）下列特称命题中，假命题是：
A.
2
1
?
1
?2
D.
?x?(0,),sinx??2

x
2sinx
?x?R,x
2
?2x?3?0
B.至少有一个
x?Z,x
能被2和3整除
2
C. 存在两个相交平面垂直于同一直线 D.
?x?{x|x是无理数},
x
是有理数．

（3）已知：对
?x?R,apx?

（4）已知：对
?x?R,x?ax?1p0
恒成立，则a的取值范围是 ；

（5）求函数
f(x)??cosx?sinx?3
的值域；

（6）已知：对
?x?R,
方程
cosx?sinx?3?a?0
有解，求a的取值范围．
练习反馈
1、判断下列全称命题的真假：
①末位是o的整数，可以被5整除； ②线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的
距离相等；
③负数的平方是正数； ④梯形的对角线相等。

2、判断下列特称命题的真假：
①有些实数是无限不循环小数； ②有些三角形不是等腰三角形；
③有些菱形是正方形。
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2
2
?2
?
1
恒成立，则a的取值范围是 ；
x

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3、判断下列全称命题的真假，其中真命题为（ ）
A．所有奇数都是质数 B．
?x?R,x?1?1

C．对每个无理数
x
，则
x
也是无理数 D．每个函数都有反函数

4、将“x+y≥2xy”改写成全称命题，下列说法正确的是（ ）
A．
?x,y?R
，都有
x?y?2xy
B．
?x,y?R
，都有
x?y?2xy

C．
?x?0,y?0
，都有
x?y?2xy
D．
?x?0,y?0
，都有
x?y?2xy


5、判断下列命题的真假，其中为真命题的是
A．
?x?R,x?1?0
B．
?x?R,x?1?0

C．
?x?R,sinx?tanx
D．
?x?R,sinx?tanx


6、下列命题中的假命题是（ ）
A．存在实数α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
B．不存在无穷多个α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
C．对任意α和β，使cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ
D．不存在这样的α和β，使cos(α+β) ≠cosαcosβ－sinαsinβ

7、对于下列语句（1）
?x?Z,x?3
（2）
?x?R,x?2
（3）
?x?R,x
?2x?
3?0
（4）
?x?R,x
? x
?5
?0
其中正确的命题序号是 。（全部填上） 2
2
2
22
2222
2222
22
22
2

8、命题
(a?b)
b?1
2
?
a?bb?1
是全称命题吗？如果是全称命题，请给予证明，如果不是全称命
题，请补充必要的条 件，使之成为全称命题。



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1.3.2 含有一个量词的命题的否定
学习目标：1、通过探究数学中一些实例 ，使学生归纳总结出含有一个量词的命题与它们
的否定在形式上的变化规律．
2、通过例题和 习题的教学，使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否
定在形式上的变化规律，正确地对含有一个 量词的命题进行否定．
重点：通过探究，了解含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律， 会正确地
对含有一个量词的命题进行否定．
难点：正确地对含有一个量词的命题进行否定．
自主学习
1、判断下列命题是全称命题还是特称命题，你能写出下列命题的否定吗？
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）每一个素数都是奇数；
（3）?x∈R, x－2x＋1≥0。
（4）有些实数的绝对值是正数；
（5）某些平行四边形是菱形；
（6）? x∈R, x＋1＜0。
2、从命题 的形式上看，前三个全称命题的否定都变成了特称命题。后三个特称命题的否
定都变成了全称命题。
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题和否定是特称命题。特称命题的否定是全称命题。

合作探究
例1、判断下列命题是全称命题还是特称命题，并写出它们的否定：
（1）、p：所有能被3整除的整数都是奇数；
（2）、p：每一个四边形的四个顶点共圆；
（3）、p：对?x∈Z，x个位数字不等于3；
（4）、p：? x∈R, x＋2x＋2≤0；
（5）、p：有的三角形是等边三角形；
（6）、p：有一个素数含三个正因数。
例2、指出下列命题的形式，写出下列命题的否定。
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）每一个素数都是奇数；（3）?x?R，x-2x+1≥0
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例3、写出命题的否定（1）p：?
x
∈R，
x
＋2
x
+2≤0；（2）p：有的三角形是等边三角形；
（3）p：有些函数没有反函数；（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；
练习反馈
1、写出下列全称命题的否定：（1）p：所有人都晨练；（2）p：?x?R，x＋x+1>0；
（3）p：平行四边形的对边相等；（4）p：?
x
∈R，
x
－
x
+1＝0；
2、写出下列命题的否定。（1） 所有自然数的平方是正数。 （2） 任何实数x都是方程
5x-12=0的根。 （3） 对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0. （4） 有些质数是奇数。
3、写出下列命题的否定。 （1） 若x＞4 则x＞2.。 （2） 若m≥0,则x+x-m=0有实数
根。
（3） 可以被5整除的整数，末位是0。 （4） 被8整除的数能被4整除。 （5） 若一
个四边形是正方形，则它的四条边相等。
4、 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。（1）p：若x＞y,则5x＞5y；（2）
p：若x+x﹤2,则x-x﹤2；（3）p：正方形的四条边相等；（4）p：已知a,b为实数，若 x+ax+b≤0
有非空实解集，则a-4b≥0。
5、命题p：存在实数m，使方程x＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（ ）
A.存在实数m，使得方程x＋mx＋1＝0无实根；
B.不存在实数m，使得方程x＋mx＋1＝0有实根；
C.对任意的实数m，使得方程x＋mx＋1＝0有实根；
D.至多有一个实数m，使得方程x＋mx＋1＝0有实根；
6、有这样一段演绎推理是这样 的“有些有理数是分数，整数是有理数，则整数是分数”
结论显然是错误的，是因为（ ）
A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误
7、命题“?x?R，x-x+3>0”的否定是
8、“末位数字是0或5的整数能被5整除”的
否定形式是
否命题是
9、写出下列命题的否定，并判断其真假：
（1）p：?m∈R，方程x+x-m=0必有实根； （2）q：??R，使得x+x+1≤0；

10、写出下列命题的“非P”命题，并判断其真假：
（1）若m>1，则方程x-2x+m=0有实数根．（2）平方和为0的两个实数都为0．
（3）若
?ABC
是锐角三角形， 则
?ABC
的任何一个内角是锐角．（4）若abc=0，则a,b,c
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2
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中至少有一为0．（5）若(x-1)(x-2)=0 ，则x≠1,x≠2．
1．4 逻辑联结词“且”“或”“非”
学习目标：1、掌握逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；
2、正确应用逻辑联结词“或、且、非”解决问题；
重点、难点：通过数学实例，了解逻辑联 结词“或、且、非”的含义，使学生能正确地表
述相关数学内容。
自主学习：
1、问题1：下列各组命题中，三个命题间有什么关系？
（1）①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除。
（2）①27是7的倍数；②27是9的倍数；③27是7的倍数或是9的倍数。
2、下列各组命题中的两个命题间有什么关系？
（1） ①35能被5整除； ②35不能被5整除；
（2） ①方程x+x+1=0有实数根。 ②方程x+x+1=0无实数根。

2、归纳定义
（1）一般地，用联结词“且” 把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记
作_____读作________。
（ 2）一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记
作_______,读 作_________。
（3）一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作_____ ___；读作
__________

3、命题“p且q”、 “p或q”与“非P”的真假的
规定

p q P且q p
真
假
非P


22
真 真
真 假
假 真
假 假
第13页
13

p q P或q
真 真
真 假
2

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修

当p，q都是真命题时，p且q是______命题；当p，
一个命题 是假命题时，p且q是_____命题；当p，q
假 真
假 假
q两个命题中 有
两个命题中有
一个是真命题时，p或q是______命题；当p，q两个命题都是假命题时 ，p或q是_____
命题。
合作探究
例1：将下列命题分别用“且”与“或” 联结成新命题“p∧q” 与“p∨q”的形式，并
判断它们的真假。
（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等。
（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；
（3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数.


例2：选择适当的逻辑联结词“且”或“或”改写下列命题，并判断它们的真假。
（1）1既是奇数，又是素数；（2）2是素数且3是素数；（3）2≤2．

< br>例3、判断下列命题的真假；（1）6是自然数且是偶数；（2）?是A的子集且是A的真子；
（ 3）集合A是A∩B的子集或是A∪B的子集；（4）周长相等的两个三角形全等或面积相
等的两个三角 形全等．


例4：写出下列命题的否定，判断下列命题的真假
（1）p：y ＝ sinx 是周期函数；
（2）p：3＜2；
（3）p：空集是集合A的子集。


练习反馈
1、指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题：
（1）24既是8的倍数，也是6的倍数；
（2）李强是篮球运动员或跳高运动员；
（3）平行线不相交
第14页
14

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2


2、分 别指出下列复合命题的形式（1）8≥7；（2）2是偶数且2是质数；（3）
?
不是整数；


3、写出下列命题的非命题：（1）p:对任意实数x，均有x－2x+1≥0； （2）q：存在一个实
数x，使得x－9=0（3）“AB∥CD”且“AB=CD”；（4）“△AB C是直角三角形或等腰三角形”．


4、判断下列命题的真假：
（1）4≥3 （2）4≥4 （3）4≥5 （4）对一切实数
x,x
2
?x?1?0


5、分别指出由下列各组命题构成的p或q、p且q、非p形式的复合命题的真假
（1）p：2+2=5；
（2）p：9是质数；
（3）p：1∈{1，2}；
（4）p：
??
{0}；


6．在一次模拟打飞机的游 戏中，小李接连射击了两次，设命题
p
１
是“第一次射击中飞机”，
命题p
２
是“第二次射击中飞机”试用
p
１
、
p
２
以及逻辑联结词或、且、非表示下列命题：
命题
S
：两次都击中飞机；命题
r
：两次都没击中飞机；命题
t
：恰有一次击中了飞机；
命题
u
：至少有一次击中了飞机.


7、分别写出由下 列各种命题构成的“
p
或
q
”“
p
且
q
” “非
p
”形式的复合命题,并判断它
们的真假：
（１）
p
：末位数字是0的自然数能被5整除
q
：5?{
x
|
x
+3
x
?10=0}
（２）
p
：四边都相等的四边形是正方形
q
：四个角都相等的四边形是正方形
2
?
（３）
p
：0??
q
：{
x
|
x
?3
x
?5<0}
?


R

（４）
p
：不等式
x
+2
x
?8<0的解集是：{
x
|?4<
x
<2}
q
：不等式
x
+2
x
?8<0的解集是：{
x|
22
2
2
2
q：3>2
q：8是12的约数；
q：{1}
?
{1，2}
q：
??
{0}
x
x
> 2}
第15页
15

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2






第二章 圆锥曲线与方程
2.1 椭圆
2.1.1椭圆及其标准方程
学习目标：1、理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；
2、理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；
3、了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．
重点、难点：理解椭圆的概念，掌握 椭圆的定义；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无
理方程的常用的方法
自主学习
1.引导学生一起探究P
41
页上的问题，准备无弹性细绳子一条（约60cm，一端结个套， 另一
端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启
发 性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？

2.由上述探究过程容易得到椭圆的定义：
．其中这两个定点叫做椭圆的 ，两定点间的距离叫做椭圆
的 ．即当动点设为

合作探究
1.椭圆标准方程的推导过程（见教材）：
思考：（1）已知图形，建立直角坐标系的一般性 要求是什么？第一、充分利用图形
的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系．
时，椭圆即为点集．
第16页
16

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2

（2）无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理．
（ 3）设参量
b
的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、
a，b，c
的 关系有
明显的几何意义．
y
2
x
2
（4）类比：写出焦点 在轴上，中心在原点的椭圆的标准方程
2
?
2
?1
?
a?b ?0
?
．
ab
222
2.如何用几何图形解释 b=a－c



？在椭圆中分别表示哪些线段的长？
3.已知椭圆两个焦点的坐标分别是
方程．



4.如图，设，的坐标分别为
，，并且经过点，求它的标准
，．直线，相交于点，且它们的斜率之积为




，求点的轨迹方程．
第17页
17

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2



图2-1-1

练习反馈
1.在圆
上运动时，线段





2. 已知B,C是两个定点，|BC|=10，且?ABC的周长等于22，求顶点A满足的一个轨迹方程。






3.已知椭圆两焦点坐标分别是（0，-2），（0,2），并且经过点(
?
方程。






第18页
18
上任取一点
的中点
，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆
的轨迹是什么？
35
，），求椭圆的标准
22

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2






2.1.2椭圆的简单性质
学习目标：
1.了解用方程的方法研究图形的对称性；理 解椭圆的范围、对称性及对称
轴，对称中心、离心率、顶点的概念；

2.掌握椭圆的 标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；利用信息技术初
步了解椭圆的第二定义
．
重点、难点：理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；
掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题.
自主学习
1.
把 平面内与两个定点，的距离之和等于＿＿＿（大于）的点的轨迹叫做
椭圆．其中这两个定点叫做＿＿＿＿ ＿，两定点间的距离叫做＿＿＿＿＿＿．即当动
点设为时，椭圆即为点集．
2.
写出焦点在x轴上，中心在原点的椭圆的标准方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。


3. 写出焦点在y轴上，中心在原点的椭圆的标准方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

合作探究
1.
椭圆的简单几何性质
y
2
x
2
①范围：由椭圆的标准方程可得，
2
? 1?
2
?0
，进一步得：
?a?x?a
，同
ba
理 可得：
?b?y?b
，即椭圆位于直线
x??a
和
y??b
所围成的矩形框图里；
②对称性：由以
?x
代
x
，以
?y
代
y
和
?x
代
x
，且以
?y
代< br>y
这三个方面来研究
椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以
x
轴和
y
轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义 ，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交
点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴 有长短之分，较长的对
称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；
第19页
19

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2

④离心率： 椭圆的焦距与长轴长的比
e?
c
叫做椭圆的离心率（
0?e?1
）。
a
?
?
当e?0时
，c
?0
，b
?a?
当e?1
?
椭圆越接近于圆
?
时
，c
?a< br>，，b
?0

?
椭圆图形越扁

2.求椭圆
16x
2
?25y
2
?400
的长轴和短轴的长、离心率、 焦点和顶点的坐标．


3.已知椭圆
mx
2
?5y2
?5m
?
m?0
?
的离心率为
e?
105
，求
m
的值．

练习反馈
1.说出椭圆的焦点和顶点坐标；
2.求适合下列条件的椭圆的标准方程，并画出草图：
（1）a=6, e=
1
3
； （2）C=3， e=
3
5
,焦点在y轴上；


（3）长轴长是短轴长得3倍，椭圆经过点P（3，0）；



（4）椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别是10和4.



第20页
20

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2

3.如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡
天飞行，其轨道 是以地球的中心
F
2
为一个焦点的椭圆，近地点
A
距
地面< br>200km
，远地点
B
距地面
350km
，已知地球的半径< br>R?6371km
．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．



图2-1-2
2.2.1抛物线及其标准方程
学习目标：1.掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程．
2
.进一步熟 练掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等
方面的能力
重点、难点：1.掌握抛物线的定义、抛物线的标准方程及其推导过程
2.掌握解析几何的基本思想方法，提高分析、对比、概括、转化等方面的能
力。
自主学习
复习椭圆知识：
（1）把平面内与两个定点，的距离之和等于＿＿＿（大 于）的点的轨迹
叫做椭圆．其中这两个定点叫做＿＿＿＿＿，两定点间的距离叫做＿＿＿＿＿＿．即当动点设为

（2）
写出焦点在x轴上，中心在原点的椭圆的标准方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
时，椭圆即为点集．
＿。



（3）写出焦点在y轴上，中心在原点的椭圆的标准方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
合作探究

由教材提供的方法画出抛物线的图像，归纳出抛物线的定义和推导标准方程
：

第21页
21

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2

（1)定义： ．定点F叫做
抛物线的 ，定直线l叫做抛物线的 .


(2) 抛物线标准方程的推导过程：




a)建系设标：








b)建立等量关系，推导方程：






练习反馈
1.已知抛物线的标准方程是y=6x，求它的焦点坐标和准线方程；



2.已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程；

第22页
22
2

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2



3.一种卫星接收天线的轴截面如图所示。卫星拨束 近似平行状态社如轴截面为抛物线的接
受天线，经反射聚焦到焦点处。已知接收天线的口径为4.8m深 度为0.5m，求抛物线的标
准方程和焦点坐标。




2.2.2抛物线的简单性质
学习目标:1.使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导
这
些性质．
2.从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、
推理等能力
重点、难点：理解并掌握抛物线的几何性质；能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质。
自主学习
1. 平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做＿＿＿定点F不 在定直
线l上)．定点F叫做抛物线的＿＿＿，定直线l叫做抛物线的＿＿＿.

2. 抛物线的＿＿＿在一次项对应的轴上，其数值是一次项系数的＿＿倍，准线方程与焦
点坐 标相反；反之可以逆推。

3.已知抛物线的标准方程是y2=8x，求它的焦点坐标和准线方程


4.已知抛物线的焦点是F(-2，0)，求它的标准方程


合作探究
1.抛物线的几何性质：通过和椭圆几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？
(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．
(2)抛物 线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，
第23页
23

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2

抛物线没有中心．
(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点． (4)抛物线的离心率要联系椭圆第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛
物线的离 心率为1．

2.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m) 到焦点的距离等于5，
求抛物线的方程和m的值．



3.过抛 物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(x1，y1)、
B(x2，y2)



图2-2-1
练习反馈

1.点M到点F(4,0)的距离比它到直线l：x + 6 =0的距离小2，求M得轨迹。

2.求顶点在原点，通过点（
3
，-6），且以坐标为轴的抛物线的标准方程。



3.某单行隧道横断面由一段抛物线及矩形的三边组成，尺寸如图，某 卡车载一集装箱，车
宽3m,车与箱总高4.5m,此车能否安全通过隧道？说明理由。

第24页
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重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2










图2-2-2
2.3.1双曲线及其标准方程
学习目标：1.理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；
2.理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；


重点、难点：理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义；
会用双曲线的定义解决实际问题.

自主学习
复习旧知:1.
把平面内与两个定点，的距离之和等于＿＿＿ （大于）的点
的轨迹叫做椭圆（ellipse）．其中这两个定点叫做＿＿＿＿＿，两定点间的距离叫 做
＿＿＿＿＿＿．即当动点设为时，椭圆即为点集．

2.平面内与一定点F和一条定 直线l的距离相等的点的轨迹叫做＿＿＿定点F不在定直线
l上)．定点F叫做抛物线的＿＿＿，定直线 l叫做抛物线的＿＿＿.

3.抛物线的＿＿＿在一次项对应的轴上，其数值是一次项系数的 ＿＿倍，准线方程与焦点
坐标相反；反之可以逆推。
合作探究
1.由教材探究过程容易得到双曲线的定义．

叫做双曲线．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即
当动点 设为
M
时，双曲线即为点集
P?
。
2.双曲线标准方程的推导过程
思考：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法自
第25页
25

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2

己建立直角坐标系．
类比椭圆：设参量
b
的意义：第一、便于写出双曲线的 标准方程；第二、
a,b,c
的关系
有明显的几何意义．
类比：写出焦点 在
y
轴上，中心在原点的双曲线的标准方程
y
2
x
2
??1
?
a?0,b?0
?
．推导过程：
b
2
a
2

3.已知双曲线两个焦点分别为
F双曲线上一点
P
到
F
1
，
F
2
距离差 的
1
?
?5,0
?
，
F
2
?
5, 0
?
，
绝对值等于
6
，求双曲线的标准方程．




4.已知
A
，
B
两地相距
800m< br>，在
A
地听到炮弹爆炸声比在
B
地晚
2s
，且声速为
340ms
，求炮弹爆炸点的轨迹方程．



练习反馈
1.求满足下列条件的双曲线的标准方程：
（1）a=3,b=4,焦点在x轴上；




（2）焦点为（0，-10），（0，10），双曲线上的点到两个焦点距离之差的绝对值是16；


（3）焦点为（0，-5），（0,5），经过点（2，
35
）。
2
26
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重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2



2
x
2
y
22
2.证明：椭圆+=1与双曲线
x
-15
y
=15有相同的焦 点。
259




2.3.2双曲线的简单性质 学习目标:1.了解平面解析几何研究的主要问题：（1）根据条件，求出表示曲线的方程；（2）
通过方程，研究曲线的性质．
2.理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的
概念；
3.掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；通过例题和探究
了解双曲线的第二定义 ，准线及焦半径的概念．
重点、难点：理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的
概念；
掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题
自主学习
复习旧知 1.把平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离的差的绝对 值等于＿＿＿（小于
F
1
F
2
）的点的轨迹
叫做双曲线（h yperbola）．其中这两个定点叫做双曲线的＿＿＿，两定点间的距离叫做双
曲线的＿＿＿．即当 动点设为
M
时，双曲线即为点集
P?
MMF
1
?MF
2
?2a

2. 写出焦点在x轴上，中心在原点的双曲线的标准方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＿,
3.写出焦点在Y轴上，中心在原点的双曲线的标准方程：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＿。
合作探究
1.通过图像研究双曲线的简单性质：
??
y
2
x
2
①范围：由双曲线的标准方程得，
2
?
2
?1?0< br>，进一步得：
x??a
，或
x?a
．这
ba
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重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2

说明双曲线在不等式
x??a
，或
x?a
所表示的区域；
②对称性：由以
?x
代
x
，以
?y
代
y
和
?x
代
x
，且以
?y
代
y
这三个方面来研 究双
曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以
x
轴和
y
轴 为对称轴，原点为对称中
心；
③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆 锥曲线的交点叫做
圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在 的
对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；
x
2
y
2
b
④渐近线：直线
y??x
叫做双曲线
2
?
2
? 1
的渐近线；
ab
a
⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比
e?
22
c
叫做双曲线的离心率（
e?1
）
a
2.求 双曲线
9y?16x?144
的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．


x
2
y
2
??1
共渐近线，且经过< br>A23,?3
点的双曲线的标准方及离心率．3.求与双曲线
169
??


练习反馈
1.求下列双曲线的实轴和虚轴的长，焦距和离心率：
（1）9


x
2
—
y
2
x
2
y
2
=81； （2） - =1
9
25
x
2
y
2
x
2
y
2
2.已知双曲线-=1与双曲线 -+ =1，它们的离心率
e
1
，
e
2
是否满足等式
9
16
9
16ee
1
?2
+
?2
2
=1

第28页
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重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2

3.如图，设
M
?
x,y
?
与定点
F< br>?
5,0
?
的距离和它到直线
l
：
x?
求点
M
的轨迹方程．
分析：若设点
M
?
x,y
?，则
MF?
16
5
的距离的比是常数，
4
5
?
x?5
?
2
?y
2
，到直线
l
：
x?
16
16
的距离
d?x?
，则容易得点
M
的轨 迹方程．
5
5
图2-3-1
第三章 变化率与导数
3.1 变化的快慢与变化率
3.1.1 平均变化率
学习目标：1、通过大量实例，了解平均变化 率的计算，并能掌握求一个函数在某一区间
内的平均变化率。
2、理解平均变化率的几何意义。
重点、难点：平均变化率的几何意义。高
自主学习
（1）令
?f?f(x
2
)?f(x
1
)
或
?f?f(x
1
??x)?f(x
1
),?x?x2
?x
1
，函数
f(x)
在
[x
1
, x
2
]
上的平均变化率可简记作 ，式中
?x,?f
可正可负。
（2）平均变化率的几何意义：函数
f(x)
在
[x
1
,x
2
]
上的平均变化率是过点 ，
两点的割线的斜率。高考资源网
合作探究
例1某婴儿从出生到第 12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6
个月到第12个月该婴儿体重的平均 变化率。


第29页
29

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2

例2水经过虹吸管 从容器甲中流向容器乙，
t
秒后容器甲中的水的体积
V(t)?5e
位
cm
），计算第一个
10s
内
V
的平均变化率。高考

例3已知函数
f(x)?x
，分别计算
f(x)
在下列区间上的平均 变化率：
（1）
[1,3]
（2）
[1,2]
（3）
[1,1.1]
（4）
[1,1.001]
高考资源网

2
?0.1t
（单
3
例4已知函数
f(x)?2x?1,g (x)??2x
，分别计算在区间
[?3,?1]
，
[0,5]
上< br>f(x)
及
g(x)
的平均变化率。高考资源网

练习反馈
1、甲、乙两人投入相同的资金经营某商品，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间
挣到 2万元，如何比较和评价甲、乙两人的经营成果？



2、国家环保局在 规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业进行检查，其连续检测结果
如图所示（其中
W
1
(t)
，
W
2
(t)
分别表示甲、乙两企业的排污量） ，试比较两个企业的治污
效果。



3、已知
f(x) ?3x?1
，求
f(x)
在区间
[a,b]
上的平均变化率：高考资 源
（1）
a??1,b?2
（2）
a??1,b?1
（3）
a??1,b??0.9




第30页
30

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2

4、求经过函数
y?x
图像上两点
A,B
的直线的斜率：高考资源网
（1）
x
A
?1,x
B
?1.001
（2）
x
A
?1,x
B
?0.9

（3）
x
A
?1,x
B
?0.99
（4）
x
A
?1,x
B
?0.999





2
3.1导数的概念及其几何意义&3.2计算导数
3.1.2 瞬时变化率
学习目标：1、认清平均变化率与瞬时变化率的区别和联系。
2、理解并掌握利用“割线逼近切线”的方法求切线斜率。高考
3、掌握在物理学中，瞬时变化率的应用：瞬时速度和瞬时加速度。
重点、难点：理解并掌握利用“割线逼近切线”的方法求切线斜率。
自主学习高考资源网 < br>1、
f(x)
从
x
1
到
x
2
的平均 变化率是

2、
f(x)
在
x?x
0
处的瞬时变化率是
合作探究
例1、圆面积A和直径
d
的关系由
A?
时变化率是多少？高考资源网








第31页
31
?
9
d
2
表示，当直径
d?10
时 ，面积关于直径的瞬

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2

例2、设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设
t
秒时的速度为
v(t)?t?3
，求
t?t
0
秒时轿车的加速度。










例3、物体作直线运动的方程为
s?s(t)?3t?5t

（1） 求物体在2秒到4秒时的平均速度；
（2） 求物体在2秒时的瞬时速度；
（3） 求物体在
t
0
秒时的瞬时速度。高考资


练习反馈 < br>1、一质点的运动方程为
s?t?10
（位移单位：米，时间单位：秒）试求该质点在< br>t?3
秒的瞬时速度。高考资源网


2、自由落体运动的位移S(m)
与时间
t(s)
的关系为
S?
（1） 求
t?t
0
秒时的瞬时速度。
（2） 分别求
t?0
、
1
、2秒时的瞬时速度。高考资源网


第32页
32
2
2
2
1
2
gt
（
g
为常数）
2

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2

3、某 个物体走过的路程s（单位：m）是时间t（单位：s）的函数：s=t
2
—1，通过平均速度估计物体在下列各时刻的瞬时速度：
（1）x=1 （2）x=—1 （3）x=4


4、通过平均变化率估计函数y=
1
+2在下列各点的瞬时变化率：
x
（1）x=—1 （2）x=3 （3）x=4
3.2 导数的概念及其几何意义&3.3计算导数
3.2.1 导数的概念
学习目标：：1、理解导数的定义，并能求出一般函数的导数，理解某点处导数的几何意义；
2、理解导数与瞬时速度、瞬时加速度的关系。高考资源网
重点、难点：理解导数的定义，并能求出一般函数的导数高考资源网
自主学习
1、 函数
y?f(x)
在区间
(a,b)
上有定义，
x
0
?(a,b)
，当
?x
无限趋近于0时，比值
?y
?x
无 限趋近于一个常数A，则称
f(x)
在点
x?x
0
处 ，并称该常数A为
函数
f(x)
点
x?x
0
处的 ，记
作 。高考资源网
2、把上式中 的
x
0
看成变量
x
时，
f'(x)
即为
f (x)
的 ，简称
3、函数
y?f(x)
在点
x?x
0
处导数的几何意义就是
4、瞬时速度是运动物体位移
S(t)
对时间
t
的导数，即为
v(t)?
。
合作探究
2
例1、 已知< br>f(x)?x?2
高（1）求
f(x)
在
x?1
处的导数；（ 2）求
f(x)
在
x?a
处的
导数。高考
第33页
33

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2





例2、 曲线
y?t?t?t?1
的一条切线与已知 直线
x?y?1?0
垂直，求切点坐标。



例3、 求过点
(2,0)
且与曲线
y?




考资源
练习反馈
1、一物体的运动方程是
s?1?t?t
，其中
s
的单位是米，
t
的单位是秒，那么物体在
t?3
时的瞬时 速度为__________。（

2、质点运动方程为
S?3t?1
（位 移单位：米，时间单位：秒），分别求
t?1s,t?2s
时
的速度。高考

资源网
3、求下列函数在已知点处的导数：
（1）
y?3x?1
在
x?3
处的导数；高考资源网
2
（2）
y?x
在
x?a
处的导数；
32
1
相切的直线方程。高
x
2
（3）
y?

1
在
x?2
处的导数。
x
第34页
34

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2




4、
f'(1)
与
f(1)
的含义有什么不同？
f'(1)
与
f'(x)
的含义有什么不同？


3.2.2 导数的几何意义及应用
学习目标：1、理解并掌握利用“割线逼近切线”的方法求切线斜率。
2、会求曲线上一点
P
处的切线方法。
重点：求曲线上一点
P
处的切线方程。
难点：利用“割线逼近切线”的方法求切线斜率高考资源网
自主学习
（1）导数的几何意义：
函数
y
=
f
(
x
)在
x
=
x
0
处的导数等于在该点处的切线的斜率，
即
f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?k

?x
点的坐标;②求出函数在点
说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出
P
x
0
处的变化率
f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?k
，得到曲线在点
(x
0
,f(x
0
))
的切线的斜率；
?x
③利用点斜式求切线方程.
（2）导函数：
由函数
f
(
x
)在
x
=
x
0
处求导数的过程可以看到,当 时,
f
?
(x
0
)
是一个确定的数，那么,
当< br>x
变化时,便是
x
的一个函数,我们叫它为
f
(
x< br>)的导函数.记作：
f
?
(x)
或
y
?
，
即:
f
?
(x)?y
?
?lim
?x?0
f(x??x)?f(x)

?x
注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数． < br>（3）函数
f(x)
在点
x
0
处的导数
f
?
(x
0
)
、导函数
f
?
(x)
、导数 之间的区别与联系。
第35页
35

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2

1）函数在一点处的导数
f
?
(x
0< br>)
，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极
限，它是一个常数，不是变数 。
2）函数的导数，是指某一区间内任意点
x
而言的， 就是函数f(x)的导函数
'
3）函数
f(x)
在点
x
0
处的导数
f (x
0
)
就是导函数
f
?
(x)
在
x?x
0
处的函数值，这也是 求
函数在点
x
0
处的导数的方法之一。
合作探究
例1. 已知
f(x)?x
，求曲线
y?f(x)
在
x?2
处的切线 的斜率。

例2.已知函数
f(x)?x
的图像上点
P(
点的切线斜率。高考资源网

3
例3.求曲线
y?x
在
x ?
2
2
39
,)
，则在该点的切线斜率是多少？并写出该
4 16
3
处切线的倾斜角。高考资源网
3
练习反馈资源网
x
2
1
1．已知曲线
y?
的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）
4
2
A．1
3
B．2
2

'
C．3 D．4
2.
f(x)?ax?3x?2
,若f(1)?0
,则
f(a)
的值等于（ ）
A．
?2
B．
30
C．
?36
D．
32

3．曲线
y?x?2 x?4x?2
在点
(1，?3)
处的切线方程是＿＿＿＿．
2
4． 设曲线
y?ax
在点（1，
a
）处的切线与直线
2x?y?6?0< br>平行，则
a?
（ ）
32
A．1 B．
5. 设曲线
y?
1
1
C．
?
D．
?1

2
2
x?1
2)
处的切线与直线
ax?y?1?0
垂直，则
a?
（ ） 在点
(3，
x?1
第36页
36

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2

A．2 B．
3
1

2
C．
?
1

2
D．
?2

6. 曲线
y?x?2x?4
在点
(1，3)
处的切线的倾斜角为（ ）
7、分别求曲线
f(x)?x
在
x?0
，
x??2
，x?3
处的切线的斜率。高考
8、曲线
y?
2
x
上过点 的切线与直线
x?2y?5?0
平行。
2
9、曲线
f(x)?x< br>的一条切线的斜率时
?4
，求切点的坐标。高考资源网
3.4 导数的四则运算法则
3.4.1 常见函数的导数
学习目标：掌握定义法求函数导数的方 法，求熟练运用基本初等函数的求导公式，求常见
函数的导数
重点、难点：用定义推导常见函数的导数公式高考资源网
自主学习
①：
(kx?b)'?
②：
C'
(C为常数)
a
③：
(x)'?
④：
(log
a
x)'?

⑤：
(a)'?
⑥：
(e)'?

⑦：
(lnx)'?
⑧：
(sinx)'?

⑨：
(cosx)'?

合作探究：考资源网
例1下列各项中，正确的为 （ ）高考资源网
①：
(2x?1)'?2
；②：
(ln2)'?
xx
1< br>；③：
[f(x
0
)]'?f'(x
0
)
④：
[f(x
0
)]'?0

2
A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④

例2一质点的运动方程是
S?2sint
①：求
t?
高考资源网
?
3
时的速度；
第37页
37

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2


②：求该质点运动的加速度。







例3求抛物线
y?x
2
和直线
y?x?1
间最短距离。高





考资源网
练习反馈
1. 用定义法推导
(x
3
)'?3x
2
；
(x)'?
1
2x
高考


资源网
2. 求函数
y?
1
x
的图像在点（2，
1
2
）处的切线的方程。高考资



3. 若直线
y??x?b
是函数
y?
1x
图像的切线，求
b
及切点坐标。



第38页
38

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2

4. 若对于任意
x
，有
f'(x)?4x，
f(1)??1
，则此函数
f(x)?

5.
6. 直线
y?
3
1
x?3
能作为函 数
y?f(x)
图像的切线吗？若能，求出切点坐标，若不能，
2
1
4x
②
f(x)?x
③
f(x)?sinx
④
f(x)?e
高考
x
简述理由：
①
f(x)?
资源网

3.4.2 函数的和、差、积、商的导数
学习目标：1、能利用导数公式及四则运算求简单函数的导数；
2、体会建立数学理论过程， 感受学习数学和研究数学的一般方法，进一步发
展学生的思维能力。
重点、难点：利用求导法则求导
自主学习考资源网
①：
[f
②：
[f
③：
[
(x)?g(x)]'?

(x)?g(x)]'?
，若
g(x)?c
时，有
[cf(x)]'?

f(x)
]'?
，
(g(x)?0)

g(x)
合作探究
例1：求
y?




高例2：.求下列函数的导数高考资源网
（1）

第39页
39
x
2
?x
的导数。
3
f(x)?x
2
?sinx
(2)
g(x)?x
3
?x
2
?6x?2

2

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2




例3：求下列函数的导数（1）
h(x)?x?sinx
（2）
s(t)?
t
2
?1
t





例4：求曲线
y?x
2
?2x?3
在
x?2
处的切线方程。




高考资源网
练习反馈
1、求下列函数的导数高考资源网
（1）
y?x
2
?cosx
（2）
y?2
x
?2lnx

（3）
f(x)?
1
x
2
（4）
f(x)?
x
2x?3

（5）
f(x)?
sinx
x
2
（6）
f(x)?x
2
?3x?1






2、求曲线
y?e
x
在
x?0
处的切线方程。高考资源网

第40页
40

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2




3、求曲线
y?




?
x
?cosx
在
x?
处的切线方程。
6
2
第四章 导数应用
4.1 函数的单调性与极值
4.1.1 导数与函数的单调性
学习目标：1、理解导数正、负与函数单调性之间的关系；
2、能利用导函数确定函数的单调区间高考资源网
重点、难点：利用导函数求单调性
自主学习
已知
y?f(x),x?(a,b)
高考资源网
,b)
，有
f'(x)?0
，则
f(x)
在区间
(a,b)
内
,b)
，有
f'(x)?0，则
f(x)
在区间
(a,b)
内
（1） 对任意
x?(a
（2） 对任意
x?(a
合作探究资源网
例1、确定函数



例2、确定函数


f(x)?x
2
?4x?3
在哪个区间上是增函数，哪个区间上是减函数？
f(x)?2x
3
?6x
2
?7
在哪些区间上是增函数。
第41页
41

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2


例3、确定函数
f(x)?sinx,x?(0,2
?
)
的单调区间。高考资源网



例4、证明：当
x?1
时，有
2x?3?
1
x
。高考资源网

练习反馈
1、确定下列函数的单调区间
（1）
y?x?x
2
（2）
y?x?x
3



2、讨论函数
f(x)
的单调性：
（1）
f(x)?kx?b

（2）
f(x)?
k
x

（3）
f(x)?ax
2
?bx?c






3、用导数证明：高考资源网
（1）
f(x)?e
x
在区间
(??,??)
上是增函数；


第42页
42

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2




（2）





f(x)?e
x
?x
在区间
(??,0)
上是减函数。
4.1.2 函数的极值
学习目标：1、掌握函数极值点的定义与求解步骤；
2、体会导数方法在研究函数性质中的一般性与有效性。高考资源网
重点、难点：利用导数求极大、极小值
自主学习
1、极大值

2、极小值

3、极值与导数之间的关系：
（1）极大值与导数的关系：高考资源网
x

f'(x)

f(x)


x
1
左侧
x
1

x
1
右侧
f'(x)?0

增加
f'(x)?0

极大值
f'(x)?0

减少
f(x
1
)

（2）极小值与导数的关系：高考资源网
x

f'(x)

x
2
左侧
x
2

x
2
右侧
f'(x)?0

f'(x)?0

f'(x)?0

第43页
43

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2

f(x)


合作探究
例1、求函数


例2、求函数

练习反馈
减少
极小值
f(x
1
)

增加
f(x)?x
2
?x?2
的极值。高考资源网
1
3
1
f(x)?x?4x?
的极值。高考资源网
33
1、求下列函数的极值：高考资源网
(1)
y?




2、设函数







3、作出符合下列条件的函数图像高考资源网
（1）

第44页
44
x
2
?7x?6
(2)
y?x?
1

x
f(x)
有极小值
f(a)
、极大值
f(b)
，
f(a)
一定小于
f(b)
吗 ？试作图说明。
f(4)?3,f'(4)?0,x?4
时，
f'(x)?0,x? 4
时，
f'(x)?0
；

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2





（2）






f(1)?1,f'(1)?0,x?1
时，
f'(x)?0

4.2 导数在实际问题中的应用
4.2.1 实际问题中导数的意义
学习目标： 1、掌握解应用题的思路与方法，能分析出变量间的关系，建立起函数模型，
确定自变量的定义域。高考 资源网
2、能用导数的知识对实际问题求解。
重点、难点：1、建立起函数模型，确定自变量的定义域。
2、用导数的知识对实际问题求解高考资源网
自主学习
解应用题的思路与方法：
1、审题：理解题意，分析问题的主要关系高考资源网
2、建模：
3、求解：求得数学问题的解
4、反馈： 高考资
合作探究
例1、在边长为60厘米的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形，再把 它的边沿虚线
折起（如图），做成一个无盖的方底铁皮箱，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容< br>积是多少？
高考资源网

例2、某种圆柱形的饮料罐的容积一定时，如何确 定它的高与底半径，使得所用材料最省？
第45页
45

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2

高考资源网

例3、在平面直角坐标系内，过点（1，4）引一直线，使它与两坐标轴上的截距都为正，< br>且两截距之和最小，求这条直线的方程。高考资源

网
练习反馈
1、内接于半径为R的半圆的矩形周长最大时，它的边长为 ；高考2、
做一个容积为
256L
的方底无盖水箱，它的高为 ，材料最省？
3、把长为60㎝的铁丝围成矩形，它的长为 ，宽为 时，面积最大。
4、把长100㎝的铁丝分成两段，各围成正方形，怎样分法，能使两个正方形面积之和最
小？
高4.2.2 最大值与最小值
学习目标：1．掌握函数最值的概念，会从几何直观理 解函数的最值与其导数的关系，并
会灵活应用；
2．掌握求闭区间
[a,b]
上的函数
f(x)
的最大值和最小值的思想方法和步骤；
3．增强数形结合的思维意识，提高运用导数的基本思想去分析和解决实际问
题的能力；
重点：正确理解函数最值的概念，掌握求函数最值的方法和步骤并能灵活应用；
难点：正确掌握“点是最值点”的充要条件，灵活应用导数求有关函数最值方面的问题。
自主学习
1．最大值与最小值的概念：

2．最值与极值的区别与联系：

3．求解函数最值的步骤是：

合作探究
例1． 求函数
f(x)?x?3x?3
在区间
[?2,4]
上的最大值与最小值．


3
第46页
46

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2

例2．求函数
f(x)?e?ex
在区间
[?2,2]
上的最大值与最小值．


例3．求函数
f(x)?


x
1
x?sinx
在区间
[0,2
?
]
上的最大值与 最小值．
2
x
2
?2x?a
1
,x?
?
1,??
?
． 例4．已知函数
f(x)?
（1）当
a?
时，求函数
f(x)
的最小
x
2
值；（2）若对于任意
x ?
?
1,??
?
,f(x)?0
恒成立，试求实数
a
的取值范围．



练习反馈
1．求下列函数在所给区间上的最值：
（1）
f(x)?x?x,x?[0,2]
（2）
f(x)?


2．求下列函数的值域：
（1）
f(x)?3x?9x?5,x?[?2,2]
（2）
f(x)?x?lnx,x?[,3]

（3）
y?



3．已知实数
x、y
满足
x?y?2x
，求< br>xy
的取值范围．



4．若函数
f(x)?x ?2x?5
在区间
[?2,2]
上恒有
f(x)?m
成立，求实数< br>m
的取值范
第47页
47
42
2222
3
3
x?1
,x?[0,2]

x?2
1
3
1
??
x?cosx,x?[?,]

222

重庆市江津几江中学导学案 高中数学必修2

围。



5．设函数
f(x)?ax?6ax?b在区间
[?1,2]
上的最大值为3，最小值为
?29
，且
a? 0
，
32
试求实数
a、b
的值



6．已知正四棱柱的体积为
V
，试求：当正四棱柱的底面边长多大时其表面积最小．

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