苏教版高中数学必修+选修知识点归纳总结(精编版)

2020年9月21日发(作者：严参)

.




高中数学必修+选修知识点归纳




有
恒
则
成
坚
持
到
底
奋
战
不
懈
追人
求
的
生
理
奋
一
想
斗
连
要串


恒
则
成
















整理范本

.
引言

1.课程内容：
必修课程由5个模块组成：
必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、
对、幂函数）
必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。
必修3：算法初步、统计、概率。
必修4：三角函数、平面向量、三角恒等变换。
必修5：解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学习的。
上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础< br>知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、
函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初
步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打
好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、
发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做
过高的要求。
此外，基础内容还增加了向量、算法、概
率、统计等内容。

选修课程有3个系列：

选修系列1：由2个模块组成。
选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
导数及其应用。
选修1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩
充与复数的引入、框图

选修系列2：由3个模块组成。
选修2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、
空间向量与立体几何。
选修2—2：导数及其应用，推理与证明、数系
的扩充与复数的引入
选修2—3：计数原理、概率，统计案例。

选修系列4：由4个专题组成。
选修4—1：几何证明选讲。
选修4—2：矩阵与变换。
选修4—4：坐标系与参数方程。
选修4—5：不等式选讲。



2．重难点及考点：
重点：函数，数列，三角函数，平面向量，
圆锥曲线，立体几何，导数
难点：函数、圆锥曲线

高考相关考点：
⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、简易逻
辑、充要条件
⑵函数：映射与函数、 函数解析式与定义域、
值域与最值、反函数、三大性质、函
数图象、指数与指数函数、对数与对
数函数、函数的应用
⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数
列、数列求和、数列的应用
⑷三角函数 ：有关概念、同角关系与诱导公式、
和、差、倍、半公式、求值、化
简、证明、三角函数的图象 与性
质、三角函数的应用
⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、
数量积及其应用
⑹不等式：概念与性 质、均值不等式、不等式
的证明、不等式的解法、绝对值不
等式、不等式的应用
⑺直 线和圆的方程：直线的方程、两直线的位
置关系、线性规划、圆、
直线与圆的位置关系
⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直
线与圆锥曲线的位置关系、
轨迹问题、圆锥曲线 的应用
⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线
与平面、平面与平面、棱柱、
棱 锥、球、空间向量
⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二
项式定理及其应用
⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、
抽样、正态分布
⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用
⒀复数：复数的概念与运算

整理范本

.




必修1数学
知识点

第一章：集合与函数概念
§1.1.1、集合
1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总
体叫做集合。集合三要素：确定性、互异 性、无
序性。
2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个
集合相等。
3、 常见集合：正整数集合：
N
*
或
N
?
，整数 集合：
域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完
全一致，则称这两个函数相等.
§1.2.2、函数的表示法
1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.
§1.3.1、单调性与最大（小）值
1、注意函数单调性的证明方法：
(1)定 义法：设
x
1
、x
2
?[a,b],x
1
?x2
那么
f(x
1
)?f(x
2
)?0?f(x)在[ a,b]
上是增函数；
f(x
1
)?f(x
2
)?0?f (x)在[a,b]
上是减函数.
步骤：取值—作差—变形—定号—判断
格式：解 ：设
x
1
,x
2
?
?
a,b
?
且
x
1
?x
2
，则：
f
?
x
1?
?f
?
x
2
?
=…
(2)导数法：设函 数
y?f(x)
在某个区间内可导，
若
f
?
(x)?0，则
f(x)
为增函数；
若
f
?
(x)?0
，则
f(x)
为减函数.
§1.3.2、奇偶性
1、 一般地，如果对于函数
f
?
x
?
的定义域内任意一个
Z
，有理数集合：
Q
，实数集合：
R
.
4、集合的表示方法：列举法、描述法、图示法、
区间法.
§1.1.2、集合间的基本关系
1、 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意< br>一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集
合B的子集。记作
A?B
.
2、 如果集合
A?B
，但存在元素
x?B
，且
x?A，
则称集合A是集合B的真子集.记作：AB.
3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：
?
.并规定：
空集合是任何集合的子集.
4、 如果集合A中含有n个元素，则集合A有
2
个子
集，
2
?
1
个真子集.
n
x
，都有
f
?
?x
?
?f
?
x
?
，那么就称函数
f
?
x
?
为
偶函数.偶函数图象关于
y
轴对称.
2、 一般 地，如果对于函数
f
?
x
?
的定义域内任意一个
x
，都有
f
?
?x
?
??f
?
x
?
，那么就称函数
f
?
x
?
为
奇函数.奇函数图象关于原点对 称.
知识链接：函数与导数
1、函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义： < br>函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f( x)
在
n
P(x
0
,f(x
0
))
处的切 线的斜率
f
?
(x
0
)
，相应的切线方
程是
y?y
0
?f
?
(
x
0
)(
x?x0
)
.
2、几种常见函数的导数
'
①
C
? 0
；②
(x)?nx
'
n'n?1
§1.1.3、集合间的基本运算
1、 一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成
的集合，称为集合A与B的并集.记作：
A?B
.
2、 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素
组成的集合 ，称为A与B的交集.记作：
A?B
.
3、全集、补集？
C
UA?
{
x
|
x?U
,
且x?U
}

§1.2.1、函数的概念
1、 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应
关系
f
，使对于集合A中的任意一个数
x
，在集
称
f:A? B
为集合A到集合B的一个函数，记
合B中都有惟一确定的数
f
?
x
?
和它对应，那么就
作：
y?f
?
x
?
, x?A
.
2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值
；
'
③
(sinx)
?
cosx
； ④
(cosx)??sinx
；
⑤
(
a
)?
a
ln
a
； ⑥
(e)?e
；
x'xx'x
⑦
(log
a
x )?
'
'
1
1
'
；⑧
(lnx)?

x
xlna
''
3、导数的运算法则
（1）
(u?v)?u?v
.
（2）
(uv)?uv?uv
.
'''
u
'
u
'
v?uv
'
(v?0)
.
（3）
()?
vv
2
整理范本

.
4、复合函数求导法则
复合函数
y?f(g(x))
的导数和函数
y?f(u),u?g(x)
的导数间的关系为
y
x
?
?y
u
?
?u
x
?
，
即
y
对
x
的导数等于
y
对
u
的导数与
u
对
x
的导 数的
乘积.
解题步骤:分层—层层求导—作积还原.



5、函数的极值
(1)极值定义：
极值是在
x
0
附 近所有的点，都有
f(x)
＜
f(x
0
)
，
则f
(
x
0
)
是函数
f(x)
的极大值；
极值是在
x
0
附近所有的点，都有
f(x)
＞f(x
0
)
，
则
f
(
x
0
)
是函数
f(x)
的极小值.
(2)判别方法：
①如果在
x
0
附近的左侧
f
'
(x)
＞0，右侧
f
'
(x)
＜0，
那么
f
(
x
0
)
是极大值；
②如果在
x
0
附近的左侧
f(x)
＜0，右侧
f(x)
＞0，
那么
f
(
x
0
)
是极小值.
6、求函数的最值
(1)求
y?f(x)
在
(a,b)
内的极值（极大或者极小值）
(2)将
y?f(x)
的各极值点与
f(a),f(b)
比较，其中
最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。
注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）；最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。

第二章：基本初等函数（Ⅰ）
§2.1.1、指数与指数幂的运算
1、 一般地，如果
x
?
a
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根。
n
''
?
a?0,m,n?N
⑵
a
?n
*
,m?1
；
?
?
1
?
n?
0
?
；
n
a
r?s
4、 运算性质：
⑴
aa
?
a
rs
?
a
?0,
r
,
s
?Q
?
；
⑵
a
r
??
s
?
a
rs
?
a
?0,
r
,
s
?
Q?
；
rr
⑶
?
ab
?
?
ab
?
a
?0,
b
?0,
r
?
Q
?
.
r


§2.1.2、指数函数及其性质
1、记住图象：
y?a
?
a?0,a?1
?

x





2、性质：


图
象
y
y=a
x
01
ox
a>1
a?1

0?a?1

1
1
-4-2
0
-1

-4-2
0
-1


(1)定义域：R
性
（2）值域：（0，+∞）
质
（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1
（4）在 R上是增函数 （4）在R上是减函数
(5)
x?
0,
a?
1
;
x
x?0,0?a?1

x
(5)
x?
0,0
?a?
1
;
x
x?0,a?1

x
§2.2.1、对数与对数运算
x
1、指数与对数互化式：
a?N?x?
log
a
N
；
2、对数恒等式：
a
log
a
N
?N
.
3、基本性质：
log
a
1?0
，
log
a
a?1
.
4、运算性质：当
a?0,a?1,M?0,N?0
时：
⑴< br>log
a
?
MN
?
?log
a
M
? log
a
N
；
⑵
log
a
?
其中
n?1,n?N
?
.
2、 当
n
为奇数时，
n
a
n
?
a
；
当
n
为偶数时，
a
?
a
.
n
n
3、 我们规定：
⑴
a
n
m
?
M
?
N
?
?
?log
a
M
? log
a
N
；
?
?
m
a
n

整理范本
n
⑶
log
a
M
?
n
log
a
M
.

.
5、换底公式：
log
a
b?
log
c
b

log
c
a

?
函数
y?f
?
x
?
有零点.
2、 零点存在性定理：
如果函数
y?f
?
x
?
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续不断
的一条曲线，并且有
f
?
a
?
?f
?
b
?
?0
，那么函数
?
a?0,a?1,c?0,c?1,b?0
?
.
6、重要公式：
log
a
n
b?
m
m
log
a
b

n
7、倒数关系：
log
a
b?
1
?
a? 0,a?1,b?0,b?1
?
.
log
b
a
y?f?
x
?
在区间
?
a,b
?
内有零点，即存在< br>c?
?
a,b
?
，
使得
f
?
c?
?0
，这个
c
也就是方程
f
?
x
?
?0
的根.
§3.1.2、用二分法求方程的近似解
1、掌握二分法.
§3.2.1、几类不同增长的函数模型
§3.2.2、函数模型的应用举例
1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函
数拟合，最后检验.
§2..2.2、对数函数及其性质
1、记住图象：
y?log
a
x
?
a?0,a?1
?






2、性质：


图
象
-1
2.5
1.5
y
y=log
a
x
0o
1
a>1
x
必修2数学
知识点
0?a?1

2.5
1.5
a?1

1
0
1
0.50.5
-0.5
1
-1
0
-0.5
1
第一章： 空间几何体
1、空间几何体的结构
⑴
常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的 旋转体有：
圆柱、圆锥、圆台、球。


⑵棱柱：
有两个面互相平行 ，其余各面都是四边形，并且
每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围
成的多面体 叫做棱柱。

-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2.5

-2
-2.5

(1)定义域：（0，+∞）
性
（2）值域：R
，即x=1时，y=0
质
（3）过定点（1，0）
(5)
x?1,log
a
x?0
；
0?x?1,log
a
x?0

0?x?1,log
a
x?0

§2.3、幂函数
1、几种幂函数的图象：
（4）在 （0，+∞）上是增函数
(5)
x?1,log
a
x?0
；
（4）在（0，+∞）上是减函数
⑶棱台：
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥， 底面与
截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。

2、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影
的投影线交于一点；把在一束平行光线照 射下的投影叫
平行投影，平行投影的投影线是平行的。
3、空间几何体的表面积与体积


⑴圆柱侧面积；
S
侧面
?2
?
?r?l


第三章：函数的应用
§3.1.1、方程的根与函数的零点
1、方程
f
?
x
?
?0
有实根
< br>?
函数
y?f
?
x
?
的图象与
x
轴 有交点

⑵圆锥侧面积：
S
侧面
?
?
?r?l





整理范本

.
⑶圆台侧面积：S
侧面
?
?
?r?l?
?
?R?l

⑷体积公式：
1、倾斜角与斜率：
k?tan
?
?
2、直线方程：
⑴点 斜式：
y?y
0
?k
?
x?x
0
?

⑵斜截式：
y?kx?b

⑶两点式：
y
2
?y
1

x
2
? x
1
V
柱体
?S?h
；
V
锥体
?
1
S?h
；
3
V
台体
1
?S
上
?S
上
?S
下
?S
下
h

3
??
⑸球的表面积和体积：
4
S
球
?4
?
R
2
，V
球
?
?
R
3
.
3
第二章：点、直线、平面之间的位置关系
1、公理1：
如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条
直线在此平面内。
y?y
1
y
2
?y
1
?

x?x
1
x
2
?x
1
⑷截距式：
xy
??
1

ab
2、公理2：
过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 < br>3、公理3：
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它
们有且只有一条过该点的公共 直线。
⑸一般式：
Ax?By?C?0


3、对于直线： 4、公理4：
平行于同一条直线的两条直线平行.
5、定理：
空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这
两个角相等或互补。 l
1
:y?k
1
x?b
1
,l
2
:y ?k
2
x?b
2
有：
6、线线位置关系：
平行、相交、异面。
7、线面位置关系：
直线在平面内、直线和平面平行、直
线和平面相交。
?
k
1
?k
2
⑴
l
1
l
2
?
?
；
b?b
2
?
1
⑵
l
1< br>和
l
2
相交
?k
1
?k
2
；
8、面面位置关系：
平行、相交。
9、线面平行：
⑴判定：
平面 外一条直线与此平面内的一条直线平行，则
该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行）。

⑵性质：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一
平面与此平面的交线与该 直线平行（简称线面平行，则
线线平行）。
?
k
1
?k
2
⑶
l
1
和
l
2
重合
?
?
；
b?b
2
?
1
⑷
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??
1
.
4、对于直线： 10、面面平行：
⑴判定：
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，
则这两个 平面平行（简称线面平行，则面面平行）。
l
1
:A
1
x?B1
y?C
1
?0,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
⑴
l
1
l
2?
?
有：
⑵性质：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行）。
11、线面垂直：
⑴定义：
如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，
那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定：
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直（简称线线垂 直，则线面垂直）。
?
A
1
B
2
?A
2
B
1
；
?
B
1
C
2
?B
2C
1
⑵
l
1
和
l
2
相交
?A
1
B
2
?A
2
B
1
；
⑶性质：
垂直于同一个平面的两条直线平行。
12、面面垂直：
⑴定义：
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面
角，就说这两个平面互相垂直。
?< br>A
1
B
2
?A
2
B
1
⑶
l
1
和
l
2
重合
?
?
；
BC?B C
21
?
12
⑷
l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?
0
.

5、两点间距离公式：
⑵判定：
一个平面经过另一个平面的一条垂线 ，则这两个
平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。
⑶性质：
两个平面互相垂直， 则一个平面内垂直于交线的
直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）。
P1
P
2
?
?
x
2
?x
1
?< br>2
?
?
y
2
?y
1
?
2


第三章：直线与方程
6、点到直线距离公式：
整理范本

.
d?
Ax
0
?By
0
?CA?B
22
3、算法的三种基本结构：

顺序结构、条件结构、循环结构
?
⑴顺序结构示意图：



（图 1）

⑵条件结构示意图：
①IF-THEN- ELSE格式：






语句n+1
语句n
7、两平行线间的距离公式：
?
当型循环结构

?
直到型循环结构
l
1
：
Ax?By?C
1
?0< br>与
l
2
：
Ax?By?C
2
?0
平行则d?
C
1
?C
2
A?B
22

第四章：圆与方程
1、圆的方程：
2
⑴标准方程：
?
x ?a
?
?
?
y?b
?
?r

22
其中圆心为
(a,b)
，半径为
r
.
⑵一般方程：
x?y?Dx?Ey?F?
0
.
22

满足条件？
是
语句1
否
其中圆心为
(
?
D
22
2、直线与圆的位置关系
,
?
E
半径为
r?
)
，
1
2
D< br>2
?E
2
?4F
.
语句2

22
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)?(y?b)?r
2

（图2）
②IF-THEN格式：







是

满足条件？
否
语句
的位置关系有三种:
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
弦长公式：
l?2r?d

22
?1?k
2
(x< br>1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2

3、两圆位置关系：
d?O
1
O
2

⑴外离：
d?R?r
；
⑵外切：
d?R?r
；
⑶相交：
R?r?d?R?r
；
⑷内切：
d?R?r
；
⑸内含：
d?R?r
.
3、空间中两点间距离公式：
（图3）
⑶循环结构示意图：
①当型（WHILE型）循环结构示意图：







循环体

满足条件？
否
是
P
1
P
2
?
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y< br>1
?
2
?
?
z
2
?z
1
?
2

必修3数学
知识点
（图4）
②直到型（UNTIL型）循环结构示意图：






第一章：算法
1、算法三种语言：
自然语言、流程图、程序语言；
2、流程图中的图框：
起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等
规范表示方法；
循环体
否

满足条件？
是
整理范本

.

（图5）

4、基本算法语句：
①输入语句的一般格式：INPUT“提示内容”；变量
②输出语句的一般格式：PRINT“提示内容”；表达式
③赋值语句的一般格式：变量＝表达式
（“=”有时也用“←”）.
④条件语句的一般格式有两种：
IF—THEN—ELSE语句的一般格式为：

IF 条件 THEN


语句1

ELSE

语句2

（图2）

END IF


IF—THEN语句的一般格式为：


IF 条件 THEN

语句

END IF
（图3）


⑤循环语句的一般格式是两种：
当型循环（WHILE）语句的一般格式：

WHILE 条件

循环体

（图
4）

WEND


直到型循环（UNTIL）语句的一般格式：


DO

循环体

LOOP UNTIL 条件

（图
5）




⑹算法案例：
①辗转相除法—结果是以相除余数为0而得到
利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
ⅰ）：用较大的数m除以较小的数n得到一个商< br>S
0
和
一个余数
R
0
；
ⅱ）：若
R
0
＝0，则n为m，n的最大公约数；若
R
0
≠0，则用除数n除 以余数
R
0
得到一个商
S
1
和一个余
数
R
1
；
ⅲ）：若
R
1
＝0，则
R
1
为m，n的最大公约数；若
R
1
≠0，则用除数
R
0
除以 余数
R
1
得到一个商
S
2
和一个余
数
R< br>2
；……
依次计算直至
R
n
＝0，此时所得到的
R
n?1
即为所求
的最大公约数。
②更相减损术—结果是以减数与差相等而得到
利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：
ⅰ）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。
若是，用2约简；若不是，执行第二步。
ⅱ）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与
所得的差比较，并以大数减小数。继续这个 操作，直
到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的
最大公约数。
③进位制
十进制数化为k进制数—除k取余法
k进制数化为十进制数
第二章：统计
1、抽样方法：
①简单随机抽样（总体个数较少）
②系统抽样（总体个数较多）
③分层抽样（总体中差异明显）
注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，
n
每个个体被抽到的机会（概率）均为。
N
2、总体分布的估计：
⑴一表二图：
①频率分布表——数据详实
②频率分布直方图——分布直观
③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势
注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。
⑵茎叶图：
①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据
的分布，以及中位数、众位数等。
②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大
书写，相同的数据重复写。
3、总体特征数的估计：
⑴平均数：
x?
x
1
?x
2
?x
3
???x
n
；
n
取值为
x< br>1
,x
2
,?,x
n
的频率分别为
p
1,p
2
,?,p
n
，则其
平均数为
x
1
p
1
?x
2
p
2
???x
n
p
n
；
注意：频率分布表计算平均数要取组中值。
⑵方差与标准差：一组样本数据< br>x
1
,x
2
,?,x
n

1
方差：
s
2
?
n
?
(x
i?1
n
2i
?x)
；
整理范本

.
标准差：
s?
1
n
?
(x
i?1
n
2
i
? x)

⑶如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，
等于事件A，B发生的概率的和，
即：
P(A?B)?P(A)?P(B)

⑷如果事件
A
1
,A
2
,?,A
n
彼此互斥，则有：
P(A
1< br>?A
2
???A
n
)?P(A
1
)?P(A
2
)???P(A
n
)

注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。
平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的
稳定水平。
⑶线性回归方程
①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；
②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程：
y?bx?a
（最小二乘法）
n
?
x< br>i
y
i
?nxy
?
?
i?1
?
?< br>b?
n
2

2
?
x?nx
?
i?
i?1
?
?
?
a?y?bx
⑸对立事件：两个互斥事 件中必有一个要发生，则称
这两个事件为对立事件。
①事件
A
的对立事件记作
A

P(A)?P(A)?1,P(A)?1?P(A)

?
②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事
件。
必修4数学
知识点

第一章：三角函数
§1.1.1、任意角
1、 正角、负角、零角、象限角的概念.
2、 与角
?
终边相同的角的集合：

注意：线性回归直线经过定点
(x,y)
。
第三章：概率
1、随机事件及其概率：
⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母
表示；
⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点；
⑶随机事件A的概率：
P
(< br>A
)?
m
,0?P(A)?1
.
n
?
??
?
?
?2k
?
,k?Z
?
.
§1.1.2、弧度制
1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度
的角.
2、
?
?
2、古典概型：
⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；
⑵古典概型的特点：
①所有的基本事件只有有限个；
②每个基本事件都是等可能发生。
⑶古典概型概率 计算公式：一次试验的等可能基本事
件共有n个，事件A包含了其中的m个基本事件，则
事件A 发生的概率
P(A)?
m
.
n
l
.
r
n
?
R
?
?
R
.
1803、弧长公式：
l?
n
?
R
2
1
?
l R
. 4、扇形面积公式：
S?
3602
§1.2.1、任意角的三角函数
1、 设
?
是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
3、几何概型：
⑴几何概型的特点：
①所有的基本事件是无限个；
②每个基本事件都是等可能发生。
⑵几何概型概率计算公式：
P(A)?
d的测度
；
D的测度
P
?
x,y
?
，那么：
sin
?
?y,cos< br>?
?x,tan
?
?
2、 设点
A
?
x,y
y

x
那么：（设
?为角
?
终边上任意一点，
r?x
2
?y
2
）

sin
?
?
其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、
体积等。
4、互斥事件：
⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；
⑵如果事件
A
1
,A
2
,?,A
n
任意两个都是互 斥事件，则称
事件
A
1
,A
2
,?,A
n
彼此互斥。
x
y
xy
cot
?
?

co s
?
?
，
tan
?
?
，，
y
r< br>rx
3、
sin
?
，
cos
?
，
tan
?
在四个象限的符号和三角
函数线的画法.
y

正弦线：MP;
余弦线：OM;
P
T
O
M
A
x
整理范本

.
正切线：AT
5、 特殊角0°，30°，45°，60°，
90°，180°，270等的三角函数值.
0
?

?
6
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
,

cos
?
?
?
?
?
??cos
?
,

?
?

4
?
3
?
2

2
?
3

3
?
4


3
?
2

2
?

tan
?
?
?
?
?
??tan
?
.
5、诱导公式五：

sin
?
























0








?
?
?
sin
?
?
?
?
?cos
?
,
?
2
?
?
c os
?
?
?
?
?sin
?
.
?
2
?
?
?

cos
?

tan
?

6、诱导公式六：
§1.2.2、同角三角函数的基本关系式
1、 平方关系：
sin
?
?
cos
?
?
1
.
22
sin
?
.
cos
?
3、 倒数关系：
tan
?
cot
?
?1

2、 商数关系：
tan
?
?
§1.3、三角函数的诱导公式
（概括为
“奇变偶不变，符号看象限”
k?Z
）
1、 诱导公式一：
?
?
?
sin
?
?
?
?< br>?cos
?
,
?
2
?


?
??
cos
?
?
?
?
??sin
?
.
?
2
?
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质
1、记住正弦、余弦函数图象：

y
y=sinx

?
3
?
7
?
-5
?
-
1

2
22
2
o
?
?
4
?
x
-2
?
-3
?
-
?
2
?
5
?3< br>?

-4
?
-7
?
-3
?
-122
2
2

y

y=cosx
?
3
?
7
?
-5
?

1
-
-
?
2
3
?
2
-3
?
2
?
2

-7
?
o
?
4
?
x
-2
?
-3
?
2
?5
?
- 4
?
-1
2

2
2
2
2、能够对照图象讲 出正弦、余弦函数的相关性质：定
义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、
奇偶性、单调 性、周期性.
3、会用五点法作图.
sin
?
?
?2k
?
?
?sin
?
,
cos
?
?
?2k?
?
?cos
?
,
（其中：
k?Z
）
tan
?
?
?2k
?
?
?tan
?
.< br>2、 诱导公式二：
sin
?
?
?
?
?
? ?sin
?
,

cos
?
?
?
?< br>?
??cos
?
,

tan
?
?
?
?
?
?tan
?
.
3、诱导公式三：
sin
?
?
?
?
??sin
?
,

cos
?
?
?
?
?cos
?
,

y?sinx
在
x?[0,2
?
]
上的五个关键点为： < br>tan
?
?
?
?
??tan
?
.
4 、诱导公式四：

§1.4.3、正切函数的图象与性质

1、记住正切 函数的图象：
y
?
3
?
（0，0）（，，1）（，
?
，0）（，，-1）（，2
?
，0）.
22



2、记住余切函数的图象：
y
y=tanx
y=cotx
-
3
?
2
-
?
-
?
2
o
?
2
?
3
?
2
x
-
?
-
?
2
o
?
2
?
3
?
2
2
?
x

3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.
整理范本

.

周期函数定义：对于函数
f
?
x
?
，如果存在一个非零常数T，使得当
x
取定义域内的每一个 值时，都有
f
?
x?T
?
?f
?
x
?，那么函数
f
?
x
?
就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数 的周期.
图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

y?sinx

y?cosx

y?tanx


图象

定义域
值域
x?2k
?
?

R

[-1,1]
?
2
R

[-1,1]

{x|x?
?
2
?k
?
,k?Z}

R



无
,k?Z时，y
max
?1
最值
x?2k
?
?
?
2

,k?Z时，y
mi n
??1
x?2k
?
,k?Z时，y
max
?1
x ?2k
?
?
?
,k?Z时，y
min
??1

周期性
奇偶性
单调性
2
T?2
?

奇
2
T?2
?

偶
T?
?

奇
在
(k
?
?
?
,k
?
??
)
上单调递增
22
在
[2k
?
?
?
,2k
?
?
?
]
上单调递增
在
[2k
?
?
?
,2k
?
]
上单调递增
k?Z

在
[2k
?
?
?
,2k
?
?
3
?
]
上单调递减
在
[2k
?,2k
?
?
?
]
上单调递减
22
对称性 < br>对称轴方程：
x?k
?
?
对称中心
(k
?
, 0)

?
2

对称轴方程：
x?k
?

对称中心
(
k
?
?
无对称轴
对称中心
(
k?Z

?
2
,0)

k
?
2
,0)

§1.5、函数
y?Asin?
?
x?
?
?
的图象
1、对于函数：

横坐标不变

纵坐标变为原来的A倍
y?Asin
?
x?
?
?

y?Asin
?
?
x?
?
?

y?Asi n
?
?
x?
?
?
?B
?
A?0,
?
?0
?
有：振幅A，周
期
T?

纵坐标不变
横坐标变为原来的
|
平移
|B|
个单位

（上加下减）
2
?
?
，初相
?
，相位
?
x?
?
，频率
f?
1
T
?
?
2< br>?
.
1
?
|
倍
2、能够讲出函数
y?sinx
的图象与
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B
的图象之间的平移伸缩变
换关系.
① 先平移后伸缩：
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B


② 先伸缩后平移：
y?sinx

平移
|
?
|
个单位

y?sin
?
x?
?
?

y?sinx

横坐标不变
y?Asinx

纵坐标变为原来的A倍
整理范本
（左加右减）

.

纵坐标不变
横坐标变为原来的
|
平移
?
?
y?Asin
?x

6、
tan
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
tan
?
.
1
?
|
倍
§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式
1、
sin2
?
?2sin
?
cos
?
，
变形：
sin
?
cos
?
?
1
s in2
?
.
2
2、
cos2
?
?cos
?
?sin
?

22
个单位

y?Asin
?
?
x?
?
?

（左加右减）
平移
|B|
个单位

（上加下减）
y?Asin
?
?
x?
?
?
?B

?2cos
2
?
?1

?1?2sin
2
?
.
变形如下：
2
?
?
1?cos2
?
?2cos
?
升幂公式：
?

2
?
?
1?cos2
?
? 2sin
?
3、三角函数的周期，对称轴和对称中心
函数
y?sin(?
x?
?
)
，x∈R及函数
y?cos(
?
x ?
?
)
，
x∈R(A,
?
,
?
为常数，且 A≠0)的周期
T?
2
?
；函数
|
?
|
y ?tan(
?
x?
?
)
，
x?k
?
?且A≠0)的周期
T?
?
2
,k?Z
(A,ω,
?为常数，
?
.
|
?
|
对于
y?Asin(< br>?
x?
?
)
和
y?Acos(
?
x?
?
)
来
说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.
求函数
y?Asin(
?
x?
?
)
图像的对称轴与对称中心，
只 需令
?
x?
?
?k
?
?
?
cos
2
?
?
1
(1?cos2
?
)
?
2
降幂公式：
?

2
1
?
sin
?
?(1 ?cos2
?
)
?2
3、
tan2
?
?
?
2
解出
x
即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.
4、由图像确定三角函数的解析式
利用图像特征：
A?
(
k?Z< br>)
与
?
x?
?
?k
?
(k?Z)

4、
tan
?
?
2tan
?
.
2
1?tan
?
sin2
?
1?cos2
?

?< br>1?cos2
?
sin2
?
y
max
?y
m in
y?y
min
，
B?
max
.
22
§3.2、简单的三角恒等变换
1、 注意正切化弦、平方降次.
2、辅助角公式
?
要根据周期来求,
?
要用图像的关键点来求.
§1.6、三角函数模型的简单应用
1、 要求熟悉课本例题.

第三章、三角恒等变换
§3.1.1、两角差的余弦公式
记住15°的三角函数值：
?

cos
?

sin
?

?
12
y?asinx?bcosx?a
2
?b
2
sin(x?
?
)

（其中辅助角< br>?
所在象限由点
(a,b)
的象限决
定,
tan
?< br>?
b
).
a
tan
?

2?3


6?2
4

6?2
4

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
1、
sin
?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?
?cos< br>?
sin
?

2、
sin
?
?
?< br>?
?
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?

3、
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

4、
cos
?
?
?
?
?
? cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

第二章：平面向量
§2.1.1、向量的物理背景与概念
1、 了解四种常见向量：力、位移、速度、加速度.
2、 既有大小又有方向的量叫做向量.
§2.1.2、向量的几何表示
1、 带有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三
个要素：起点、方向、长度.
2、 向量AB
的大小，也就是向量
AB
的长度（或称模），
uuur
记作
AB
；长度为零的向量叫做零向量；长度等
于1个单位的向量叫做单位向量.
3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（或共
线向量）.规定：零向量与任意向量平行.
§2.1.3、相等向量与共线向量
1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.
整理范本
tan
?
?tan
?
5、
tan
?
?
?
?
?
?
1?tan
?
tan?
.

.
§2.2.1、向量加法运算及其几何意义
1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.






2、
a?b
≤
a?b
.
§2.2.2、向量减法运算及其几何意义
1、 与
a
长度相等方向相反的向量叫做
a
的相反向量.
2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.






§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义
1、 规定：实数
?
与向量a
的积是一个向量，这种运
算叫做向量的数乘.记作：
?
a
，它 的长度和方向
规定如下：
⑴
?
a?
?
a
,
⑵当
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相同；当
⑴
a?b ?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2< br>?
，
⑵
a?b?
?
x
1
?x
2< br>,y
1
?y
2
?
，
⑶
?
a??
?
x
1
,
?
y
1
?
， < br>⑷
ab?x
1
y
2
?x
2
y
1.
2、 设
A
?
x
1
,y
1
?,B
?
x
2
,y
2
?
，则：

AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?
.
§2.3.4、平面向量共线的坐标表示
1、设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x2
,y
2
?
,C
?
x
3
,y
3
?
，则
?
⑵△ABC的重心坐标为
?
⑴线段AB中点坐标为
1、
a?b?abcos
?
.
x
1
?x
2
2
y
2
，
,
y
1
?
2
?
x
1
?x
2
?x< br>3
3
,
y
1
?y
3
2
?y
3
.
?
§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义
2、
a
在
b
方向上的投影为：
acos
?
.
3、
a?a
.
4、
a?
2
2
a
.
2
5、
a?b?a?b?0
.
§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1、 设
a?
?
x
1
,y
1
?
, b?
?
x
2
,y
2
?
，则：
⑴
a?b?x
1
x
2
?y
1
y
2

⑵
a?
?
?0
时,
?
a
的方向与
a
的方向相反.
2、 平面向量共线定理：向量
aa?0
与
b
共线，当
且仅当有唯一一个实数
?
，使
b?
?
a
.
§2.3.1、平面向量基本定理
1、 平面向量基本定理：如果
e
1,e
2
是同一平面内的两
个不共线向量，那么对于这一平面内任一向量
a
，
有且只有一对实数
?
1
,
?
2
，使a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2< br>.
§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示
1、
a?xi?yj?
?
x,y
?
.
§2.3.3、平面向量的坐标运算
1、 设
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2< br>?
，则：
??
x
1
2
?y
1
2

rrrr
⑶
a?b?a?b?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

rrrr
⑷
ab?a?
?
b? x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

2、 设
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，则：
AB?
?
x
2
?x
1
?
2
?
?
y
2
?y
1
?
2
x
1
x
2
?y< br>1
y
2
.
3、 两向量的夹角公式
rr
a?b

cos
?
?
rr
?
ab
整理范本
x?y ?x
2
?y
2
2
1
2
1
22

.
4、点的平移公式
平移前的点为
P(x,y)
（原坐标），平移后的对应点
2、 用向量方法判定空间中的平行关系
⑴线线平行
uuur
???
为
P(x,y)
（新坐标），平移向量为
PP
?
?(h,k)
，
rr
b
，则要证明
l
1
∥
设直线
l< br>1
,l
2
的方向向量分别是
a、
?
x
??x?h
则
?

?
y?y?k.
?
r
函数
y?f(x)
的图像按向量
a?(h,k)
平移后的
图像的解析 式为
y?k?f(x?h).

§2.5.1、平面几何中的向量方法
§2.5.2、向量在物理中的应用举例

知识链接：空间向量
空间向量 的许多知识可由平面向量的知识类比而得.
下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行
总结归纳.
1、
直线的方向向量和平面的法向量

⑴．直线的方向向量：
rr
rr
l
2
，只需证明
a
∥
b
，即
a?kb(k?R)
.
即：两直线平行或重合
⑵线面平行
两直线的方向向量共线。
r
①（法一）设直线
l
的方向向量是a
，平面
?
的法向
rrrrr
?
量是
u
，则要证明
l
∥，只需证明
a?u
，即
a?u?0
.
即：直线与平面平行直线的方向向量与该平面
的法向量垂直且直线在平面外
②（法二 ）要证明一条直线和一个平面平行，也可
以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线
向 量即可.
⑶面面平行
r
r
若平面
?
的法向量为
u
，平面
?
的法向量为
v
，要
r
r
rr< br>证
?
∥
?
，只需证
u
∥
v
，即证< br>u?
?
v
.
即：两平面平行或重合两平面的法向量共线。
uuur
若A、B是直线
l
上的任意两点，则
AB
为直 线
l
的
uuur
一个方向向量；与
AB
平行的任意非零向量 也是直线
l
的方向向量.
⑵．平面的法向量：
3、用向量方法判定空间的垂直关系
⑴线线垂直
r
若向量
n
所在直线垂直于平面
?
，则称这个向量
rrr
垂直于平面
?
，记作
n?
?
，如果
n?
?
，那么向量
n
叫做平面
?
的法向量.
⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：
①建立适当的坐标系．
rr
b
，则要证明
设直线
l
1
,l
2
的方向向量分别是
a、
rrrr
l
1
?l
2
，只需证明
a?b
，即
a?b?0
.
即：两直线垂直
⑵线面垂直
两直线的方向向量垂直。
r
②设平面
?
的法向量为
n?(x,y,z)
．
③求出平面内两个不共线向量的坐标
r
①（法一）设直线
l
的方向向量是a
，平面
?
的法向
rrrrr
量是
u
，则要证 明
l?
?
，只需证明
a
∥
u
，即
a??
u
.
rur
a?(a
1
,a
2
, a
3
),b?(b
1
,b
2
,b
3
)．
rr
?
?
n?a?0
④根据法向量定义建立方程组
?
rr
.
?
?
n?b?0
（如图）



r
②（法二）设直线
l
的方向向量是
a
，平面< br>?
内的两
rur
uruur
?
?
a?m?0
n
，若
?
rr
,则l?
?
.

个相交向量 分别为
m
、
?
?
a?n?0
⑤解方程组，取其中一组解，即 得平面
?
的法向量.
即：直线与平面垂直
法向量共线
直线的方向 向量与平面的
直线的方向向量与平面内两条不共线

直线的方向向量都垂直。
整理范本

.
⑶面面垂直
r
r
若平 面
?
的法向量为
u
，平面
?
的法向量为
v
，要
rrrr
证
?
?
?
，只需证
u?v
， 即证
u?v?0
.
即：两平面垂直两平面的法向量垂直。
?
或其补角
?
?
?
.

根据具体图形确定
?
是锐角或是钝角：
4、利用向量求空间角
⑴求异面直线所成的角
已知
a,b
为两异面直线，A，C与B，D分别是< br>a,b
上
的任意两点，
a,b
所成的角为
?
， urr
m?n
◆如果
?
是锐角，则
cos
?
?
cos
?
?
urr
，
mn
urr
m?n
即
?
?
arccos
urr
；
mn
urr
m?n
◆ 如果
?
是钝角，则
cos< br>?
??cos
?
??
urr
，
mn
urr
?
m?n
?
即
?
?
arccos
?
?
urr
?
.
?
mn
?
??
5、利用法向量求空间距离
⑴点Q到直线
l
距离
uuuruuur
AC?BD
则
cos
?
?
uuuruuur
.

ACBD
⑵求直线和平面所成的角
①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成
的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
< br>r
②求法：设直线
l
的方向向量为
a
，平面
?
的法向量
rrr
为
u
，直线与平面所成的角为
?
，
a
与
u
的夹角为
?
，
则
?
为
?
的余角或
?
的补角
的余角.即有：
若Q为直线
l
外的一点,
P
在直线< br>l
上，
a
为直线
l
的
r
r
r
uuu
方向向量，
b
=
PQ
，则点Q到直线
l
距 离为
1
r
r
2
r
r
2
h?
r
(|a||b|)?(a?b)

|a|
⑵点A到平面
?
的距离
若点
P
为平面?
外一点，点
M
为平面
?
内任一点，
rr
a ?u
sin
?
?cos
?
?
r
.

au
r
平面
?
的法向量为
n
，则P到平面
?的距离就等于
r
uuur
MP
在法向量
n
方向上的投影 的绝对值.
uuurruuuur
即
d?MPcosn,MP

ruuur
uuur
n?MP

?MP?
ruuur

nMP
ruuur
n?MP

?
r
n
⑶直线
a
与平面
?
之间的距离
⑶求二面角
①定义：平面内的一条直线把平面分为两个部分，
其中的每一部分叫做半 平面；从一条直线出发的两个
半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面
角的棱，每个 半平面叫做二面角的面

二面角的平面角是指在二面角
?
?l?
?< br>的棱上
任取一点O，分别在两个半平面内作射线
AO?l,BO?l
，则
?AOB
为二面角
?
?l?
?
的平
面角.
如图：



A
B
O
l
B
②求法：设二面角
?
?l?
?
的两个半平面的法向量
O
A
当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平
面的距离相等。由此可知， 直线到平面的距离可转化
为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。

urrurr
n
，再设
m、n
的夹角为
?
，二面角
分别为
m
、
urr
n
的夹角
?
?l??
的平面角为
?
，则二面角
?
为
m、

ruuur
n?MP
即
d?
r
.

n
整理范本

.
⑷两平行平面
?
,
?
之间的距离
利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平
面间的距离转化为求点面距离。
?a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC;

?sinA?
ruuur
n?MP
即
d?
r
.

n
abc
,sinB?,sinC?;

2R2R2R
?a:b:c?sinA:sinB:sinC.

⑸异面直线间的距离
用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；
⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它
元素。

2、余弦定理：
r
设向量
n
与两异面直线
a,b
都垂直，
M? a,P?b,
r
uuur
则两异面直线
a,b
间的距离
d< br>就是
MP
在向量
n
方向
上投影的绝对值。
ruuur
n?MP
即
d?
r
.

n
?
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA,
?
222
?
b?a?c?2accosB,

?
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC.
?
?
b
2
?c
2
?a
2
,
?
cosA ?
2bc
?
a
2
?c
2
?b
2
?
,

?
cosB?
2ac
?
?
a
2
?b
2
?c
2
.
?
cosC?
2ab< br>?
用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；
⑵已知三角形三边，求其它元素。
6、三余弦定理
设AC是平面
?
内的任一条直线，AD是
?
的一
条斜线AB在
?
内的射影，且BD⊥AD，垂足为D.设
AB与
?
(AD)所成的角为
?
1
， AD与AC所成的角为
?
2
， AB与AC所成的角为
?
．则
cos
?
?cos
?
1
cos
?
2
.

B


A
?
?
1
?
2
?
做题中两个定理经常结合使用.
D
C
3、三角形面积公式：

7、 面积射影定理
S
?ABC
?
111
ab sinC?bcsinA?acsinB

222
已知平面
?
内一个 多边形的面积为
SS
原
，它在
平面
?
内的射影图形的面积为
S
?
?
S
射
?
，平面
?
与平面
?
所成的二面角的大小为锐二面角
?
，则
??
4、三角形内角和定理：
在△ABC中，有
S
'
S
射

cos
?
?=.

SS
原
8、一个结论
长度为
l
的线段在三条两两互相垂直的直线上的射
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)

C
?
A?B
???
?2C?2
?
?2(A?B)
.
222
5、一个常用结论：
在
?ABC
中，
a?b?sinA?sinB?A?B;
< br>若
sin2
A?
sin2
B
,
则A?B或A?B?< br>?
2
sinA?sinB?A?B
不成立。
影长分别为
l< br>1
、l
2
、l
3
，夹角分别为
?
1
、
?
2
、
?
3
,则有
在三角函数中，

l
2
?l
1
2
? l
2
2
?l
3
2
?cos
2
?
1
?cos
2
?
2
?cos
2
?
3
?1

.
特别注意，
?sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?sin
2
?
3
?2.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.

第二章：数列
1、数列中
a
n
与
S
n
之间的关系：

必修5数学
知识点
第一章：解三角形
1、正弦定理：
,(n? 1)
?
S
1
a
n
?
?
注意通项能否合并。
S?S,(n?2).
n?1
?
n
2、等差数列：
⑴定义 ：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前
一项的差等于同一个常数，即
a
n
－
a
n?1
=d ，（n≥
2，n∈N），
整理范本
?
abc
???2R
.
sinAsinBsinC
（其中
R
为
?ABC
外接圆的半径）

.
那么这个数列就叫做等差数列。
⑵等差中项：若三数
a、A、b
成等差数列
①若
m?n?p?q??
?
m,n,p,q?N
?
?
，则
a?b

?A?
2
⑶通项公式：
a
n
?a
1
?(n?1)d?a
m
?(n?m)d

或
a
n
?pn?q
(
p、q是常数）.

⑷前
n
项和公式：
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
； < br>②
a
k
,
a
k?m
,
a
k?2m< br>,?
为等比数列，公比为
q
(下标成
k
等差数列,则对应的项 成等比数列)
③数列
?
?
a
n
?
（
?< br>为不等于零的常数）仍是公比为
q
的
等比数列；正项等比数列
?
a
n
?
；则
?
lga
n
?
是公差为n
?
n?1
?
n
?
a
1
?a
n
?
S
n
?na
1
?d?

22
⑸常用性质：
①若
m?n?p?q??
?
m,n,p ,q?N
?
?
，则
lgq
的等差数列；
1
④若< br>?
a
n
?
是等比数列，则
?
ca
n
?
，

??
，

?
a
n
2
?
，
?
a
n
?
2
1
r
q，q， ，q
r
.
是等比数列，公比依次是
a(r?Z)
?
n?
q
??
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
；
②下标为等差数列的项
?
a
k
,
a
k?m
,
a
k?2m
,?
?
，仍组成
等差数列；
③数列
?
?
a
n
?
b
?（
?
,b
为常数）仍为等差数列；
④若
{
a
n
}
、
{b
n
}
是等差数列，则
{ka
n
}
、
{ka
n
?pb
n
}

(< br>k
、
p
是非零常数)、
{a
p?nq
}(p,q?N )
、，…也成等
*
⑤单调性：
a
1
?0,q?1或a1
?0,0?q?1
?
?
a
n
?
为递增数列；
a
1
?0,0?q?1或a
1
?0,q?1?
?
a
n
?
为递减数列；
q?1?
?
a
n
?
为常数列；
q?0?
?
a
n
?
为摆动数列；
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。
⑦若等比数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
，则
S
k< br>、
S
2k
?S
k
、
差数列。
⑤单调性：
?
a
n
?
的公差为
d
，则：
ⅰ）
d?0?
?
a
n
?
为递增数列；
ⅱ）
d?0?
?
a
n
?
为递减数列；
ⅲ）
d?0?
?
a
n
?
为常数列；
⑥数 列{
a
n
}为等差数列
?a
n
?pn?q
（p,q 是常数）
⑦若等差数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
，则
S
k
、
S
2k
?S
k
、
S
3k
?S
2k
… 是等比数列.
4、非等差、等比数列通项公式的求法
类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项，求该数列< br>的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从
而根据规律写出此数列的一个通项。
的关系，求数列
?
a
n
?
的通项
a
n
可 用公式
类型Ⅱ 公式法：若已知数列的前
n
项和
S
n
与
a
n
S
3k
?S
2k… 是等差数列。
3、等比数列
⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前
一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等
比数列。
G、b
成等比数 列
?G?ab,
⑵等比中项：若三数
a、
2
,(n?1)
?
S
1
a
n
?
?
构造两式作差求解。
S? S,(n?2)
n?1
?
n
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一< br>分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即
a
1
和
a
n
合为一个表达，（要先分
n?1
和
n?2
两种情况分别进
行 运算，然后验证能否统一）。
类型Ⅲ 累加法：
形如
a
n?1
?a
n
?f
(
n
)
型的递推数列（其中
f(n)
是关
（
ab
同号）。反之不一定成立。
⑶通项公式：
a< br>n
?a
1
q
n?1
?a
m
q
n?m

⑷前
n
项和公式：
S
n
?
⑸常用性质
a
1
?
1?q
n
?
1?q
?
a< br>1
?a
n
q

1?q
整理范本

.
?
a
n
?a
n?1
?f(n? 1)
?
a?a?f(n?2)
?
n?1n?2
于
n
的函数）可
构造：
?

?
...
?
?
a
2
?a
1
?f(1)
将上述
n?1
个式子两边分别 相加，可得：
a
n
?f(n?1)?f(n?2)?...f(2)?f(1)?a< br>1
,(n?2)

①若
f(n)
是关于
n
的 一次函数，累加后可转化为等差
数列求和;
② 若
f(n)
是关于
n
的指数函数，累加后可转化为等
比数列求和;
③若
f(n)
是关于
n
的二次函数，累加后可分组求和;
④若
f(n)
是关于
n
的分式函数，累加后可裂项求和.
类型Ⅳ 累乘法：

法一：
设
a
n?1
?
?
?p(a
n
?
?
)
,展开移项整理得
a
n?1
?pa
n
?(p?1)
?
,与题设
an?1
?pa
n
?q
比较系
数（待定系数法）得
??
qqq
,(p?0)?a
n?1
??p(a
n
?)< br>p?1p?1p?1
?a
n
?
?
qq
q
?< br>?p(a
n?1
?)
,即
?
a
n
?
?
构成
p?1p?1
p?1
??
以
a
1
?
q
为首项，以
p
为公比的等比数列.再利用
p?1
等比数列 的通项公式求出
?
a
n
?
?
?
q
?
?
的通项整理可
p?1
?
得
a
n
.
< br>法二：
由
a
n?1
?
pa
n
?
q< br>得
a
n
?pa
n?1
?q(n?2)
两式
相 减并整理得
?
a
?
形如
a
n?1
?a
n< br>?f(n)
?
n?1
?f(n)
?
型的递推数列（其
?
a
n
?
a
n?1
?a
n
?p,
即
?
a
n?1
?a
n
?
构成以
a
n
?a
n?1
?
a
n
?
a
n?1
?a
n
?
的通项再转化为类型Ⅲ（累加法）便可求
?
a
?f (n?1)
?
n?1
出
a
n
.

?an?1
?f(n?2)
?
中
f(n)
是关于
n
的函数）
可构造：
?
a
n?2

㈡形如
a
n?1
?pa
n
?f(n)
(p?1)
型的递推式：
?
...
?
⑴当
f(n)
为一次函数类型（即等差数列）时：
a
?
2
?
a
?f(1)
?
1
法一：设
a
n
?An?B?p
?
a
n?1
?A(n? 1)?B
?
，
将上述
n?1
个式子两边分别相乘，可得：
通 过待定系数法确定
A、
转化成以
a
1
?A?B
B
的 值，
a
n
?f(n?1)?f(n?2)?...?f(2)f(1)a
1< br>,(n?2)

为首项，以
p
为公比的等比数列
?
a
n
?An?B
?
，再利
有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后 用这
种方法求解。
类型Ⅴ 构造数列法：
㈠形如
a
n?1< br>?
pa
n
?
q
（其中
p,q
均为常数且p?0
）
型的递推式：
（1）若
p?1
时，数列{
a
n
}为等差数列;
（2）若
q?0
时，数列{
a
n
}为等比数列;
（3）若
p?1
且
q?0
时，数列{
a
n
}为线性 递推数列，
其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法有如
下两种：
用等比数 列的通项公式求出
?
a
n
?An?B
?
的通项整
理 可得
a
n
.

a
2
?a
1
为首项 ，以
p
为公比的等比数列.求出
法二：
当
f(n)
的公差为
d
时，由递推式得：
a
n?1
?pa
n
?f(n)
，
a
n
?pa
n?1
?f(n?1)
两式相减得：
a
n?1
?a
n
?p(a
n
?a
n?1
)?d
，令
b
n
?a
n?1
?a
n
得：
b
n
?pb
n?1
?d
转化为类型Ⅴ㈠求出
b
n
，再用类型Ⅲ
（累加法）便可求出
a
n
.
整理范本

.
⑵当
f(n)
为指数函数类型（即等比数列）时：
lga
n?1< br>?qlga
n
?lgp
，令
b
n
?lga
n
得：
b
n?1
?qb
n
?lgp
，化归为
a
n?1
?pa
n
?q
型，求出
b
n
之后 得
a
n
?
10
n
.
（注意：底数不一定要取10， 可根据
b
法一：
设
a
n
?
?
f(n)?p
?
a
n?1
?
?
f(n?1)
?
，通过< br>待定系数法确定
?
的值，转化成以
a
1
?
?
f(1)
为首项，
以
p
为公比的等比数列
?
a
n< br>?
?
f
(
n
)
?
，再利用等比数
列 的通项公式求出
?
a
n
?
?
f
(
n
)
?
的通项整理可得
a
n
.

题意选择）。
类型Ⅶ 倒数变换法：
形如
a
n?1
?a
n
?pa
n?1
a
n
（
p
为常数且
p?0
） 的递推
式：两边同除于
a
n?1
a
n
，转化为
法二 ：
当
f(n)
的公比为
q
时，由递推式得：
a
n? 1
?pa
n
?f(n)
——①，
a
n
?pa
n?1
?f(n?1)
，两
边同时乘以
q
得
a
n
q?pqa
n?1
?qf(n?1)
——②，由
①②两式相减得a
n?1
?a
n
q?p(a
n
?qa
n?1< br>)
，即
11
??p
形式，
a
n
a
n ?1
化归为
a
n?1
?
pa
n
?
q
型求出
1
的表达式，再求
a
n
；
a
n
还有形如
a
n?1
?
ma
n
的递推式，也可采用取倒数方< br>pa
n
?q
法转化成
1
?
m1
?
m
形式，化归为
a
n?1
?
pa
n
?
qa
n?1
qa
n
p
型求出
1
的表达式，再求< br>a
n
.
a
n
a
n?1
?qa
n< br>?p
，在转化为类型Ⅴ㈠便可求出
a
n
.

a
n
?qa
n?1
法三：
递推公式为
a
n?1
?p a
n
?q
n
（其中p，q均
n
为常数）或
a
n?1
?pa
n
?rq
（其中p，q, r均为常数）

类型Ⅷ 形如
a
n?2
?pa
n?1
?qa
n
型的递推式：
用待定系数法，化为特殊数列
{
a
n
?a
n?1
}
的形式
求解。方法为：设
a
n?2
?ka
n?1
? h
(
a
n?1
?ka
n
)
，比较
时，要先 在原递推公式两边同时除以
q
n?1
，得：
a
n?1
pa
n
1
???
，引入辅助数列
?
b
n
?
（其中
q
n?1
q
q
n
q
b
n
?
a
n
p1
b?b?
），得：
再应用类型Ⅴ㈠的方
n?1n
q
n
qq
k
，于是系数得
h?k?p,? hk?q
，可解得
h、
{a
n?1
?ka
n
}是公比为
h
的等比数列，这样就化归为
a
n?1
?pa
n
?q
型。
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上
不同方法求解， 对不能转化为以上方法求解的数列，
可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式
a
n
.


5、非等差、等比数列前
n
项和公式的求法
⑴错位相减法
①若数列
?
a
n
?
为等差数列，数 列
?
b
n
?
为等比数列，
则数列
?
an
?b
n
?
的求和就要采用此法.
②将数列
?
a
n
?b
n
?
的每一项分别乘以
?
b
n
?
的公比，
整理范本
法解决。
⑶当
f(n)
为任意数列时，可用通法：
n?1
在
a
n?1
?pa
n
?f(n)
两边同时除以
p
可得 到
a
n
a
n?1
a
n
f(n)f(n)
? ??bb?b?
，令，则，
n
n?1n
p
n
p
n? 1
p
n
p
n?1
p
n?1
n
在转化为类型 Ⅲ（累加法），求出
b
n
之后得
a
n
?pb
n.

类型Ⅵ 对数变换法：
q
形如
a
n?1< br>?pa(p?0,a
n
?0)
型的递推式：
q
在原递推式< br>a
n?1
?pa
两边取对数得

.
然后在错位 相减，进而可得到数列
?
a
n
?b
n
?
的前
n
项
和.
如果一个数列
?
a
n
?
，与 首末两项等距的两项之和等于
首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式
相加，就得到 了一个常数列的和，这种求和方法称为
倒序相加法。特征：
a
1
?a
n
?a
2
?a
n?1
?...

⑸记住常见数列的前
n
项和：
①
1?2?3?...?n?
此法是在推导等比数列的前
n
项和公式时所用的方
法.
⑵裂项相消法
c
一般地，当数列的通项
a
n
?

(an?b1
)(an?b
2
)
(a,b
1
,b
2
,c为常数）
时，往往可将
a
n
变成两项的差，
采用裂项相消法求 和.
可用待定系数法进行裂项：
设
a
n
?
n(n?1)
;

2
2
②
1?3?5?...?(2n?1)?n;

③1?2?3?...?n?
2222
1
n(n?1)(2n?1).
< br>6
?
an?b
1
?
?
an?b
2
， 通分整理后与原式相
第三章：不等式
§3.1、不等关系与不等式
1、不等式的基本性质
①（对称性）
a?b?b?a

②（传递性）
a?b,b?c?a?c

③（可加性）
a?b?a?c?b?c

（同向可加性）
a
?
b
,
c
?
d
?
a
?
c
?
b
?
d

（异向可减性）
a
?
b
,
c
?
d
?
a
?
c
?
b
?
d

④（可积性）
a
?
b
,
c
?0?
ac
?
bc

a
?
b
,
c
?0?
ac
?
bc

⑤
（同向正数可乘性）
a?b?0,c?d?0?ac?bd

（异向正数可除性）
a?b?0,0?c?d?
a
?
b

cd
比较，根据对应项系数相等得
?
?
c
，从而可得
b
2
?b
1
cc11
=(?).

(an ?b
1
)(an?b
2
)(b
2
?b
1
) an?b
1
an?b
2

常见的拆项公式有：
111
??；
①

n(n?1)nn?1
②
⑥（平 方法则）
a?b?
0
?a
n
?b
n
(
n? N
,
且n?
1)

1111
?(?);

(2n?1)(2n?1)22n?12n?1
⑦（开方法则）
a?b?
0
?
n
a?
n
b
(
n?N
,
且n?
1)

⑧
（倒数法则）
a?b?0?
2、几个重要不等式
①
a?b?2ab
?
a，b?R
?
,（当且仅当
a?b时取
22
11
?(a?b);

③
a?b
a? b
④
C
n
m?1mm
?C
n?1
?C
n< br>;

1111
?;a?b?0??

abab
⑤
n?n!?(n?1)!?n!.


⑶分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，
若将这类数列适当拆 开，可分为几个等差、等比或常
见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两
步：①找 通向项公式②由通项公式确定如何分组.

⑷倒序相加法
a
2
?b
2
.

?
号）. 变形公式：
ab?
2
②（基本不等式）
a?b
?ab

?
a，b?R
?
?
,（当
2
且仅当
a?b
时取到等号）.
?
a?b
?
变形公式：
a?b?2ab

ab?
??
.

2
??
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最
大），要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”.

2
整理范本

.
③（三个正数的算术—几何平均不等式）④二维形式的柯西不等式：
a?b?c
3
?abc
(a、b、c?R
?
)
（当且仅当
3< br>(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)? (ac?bd)
2
(a,b,c,d?R).
当且
仅当
ad?bc< br>时，等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式：
a?b?c
时取到等号）. < br>④
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca< br>?
a，b?R
?

（当且仅当
a?b?c
时取到等号）.
⑤
a?b?c?3abc(a?0,b?0,c?0)

（当且仅当
a?b?c
时取到等号）.
333
(a
12
?a
2
2
?a
3
2
)(b
1
2
?b
2
2
?b
3
2
)?(a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3< br>)
2
.
⑥一般形式的柯西不等式：
(a
1
2
?a
2
2
?...?a
n
2
)(b
1
2
?b
2
2
?...?b
n
2
)

ba
??
2
（当仅当a=b时取等号）
ab
ba
若ab?0,则???2
（当仅当a=b时取等号）
ab
bb?ma?na
⑦
??1??

aa?mb?nb< br>⑥
若ab?
0,
则
其中
(a?b?0，m?0，n?0)
规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.
⑧
当a?0时，x?a?x< br>2
?a
2
?x??a或x?a;

?(a
1
b
1
?a
2
b
2
?...?a
n
b
n
)
2
.

⑦向量形式的柯西不等式：
urur
urururur
?
,
?
设是两个向量，则
?
?
?
?
??
,
当且仅当
ur
urur
?
是零 向量，或存在实数
k
，使
?
?k
?
时，等号成
立.
⑧排序不等式（排序原理）：
设
a
1
?a
2
?. ..?a
n
,b
1
?b
2
?...?b
n
为两组实
数.
c
1
,c
2
,...,c
n
是
b
1
,b
2
,...,b
n
的任一排列，则
x?a?x
2
?a
2
??a?x?a.

⑨绝对值三角不等式
a?b?a?b?a?b.


3、几个著名不等式
a
1
b
n
?a
2
b
n?1
?...?a
n
b
1
?a
1
c1
?a
2
c
2
?...?a
n
c
n< br>
?a
1
b
1
?a
2
b
2
?...?a
n
b
n
.
（反序和
?
乱序和
?
顺序和）
当且仅当
a
1
?a
2
?...?a< br>n
或
b
1
?b
2
?...?b
n
时 ，反序
和等于顺序和.
⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）
若定义在某区间 上的函数
f(x)
,对于定义域中任
意两点
x
1
,x
2
(x
1
?x
2
),
有
f(
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
)? 或
22
f(
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)

)?.
22
2a?ba
2
?b
2
①平均不等式：
?1

?ab??
?1
a ?b22
?
a，b?R
?
,（当且仅当
a?b
时取
?
号）.
?
（即调和平均
?
几何平均
?
算术平均
?
平方平均）.
变形公式：
22
?
a?b
?
a?b
ab?
?
;

?
?
22
??
2
(a?b)
2
a?b?.

2
22
②幂平均不等式：
1
a
1
2
?a
2
2
?...?a
n
2
?(a
1
?a2
?...?a
n
)
2
.

n
③二维形式的三角不等式：
则称f(x)为凸（或凹）函数.
4、不等式证明的几种常用方法
常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、
分析法；
其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，
函数单调性法，数学归纳法等.
常见不等式的放缩方法：
①舍去或加上一些项，如
(a?)?
②将分子或分母放大（缩小），如
x< br>1
2
?y
1
2
?x
2
2
?y
2
2
?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2

(x
1
,y
1
,x
2
,y
2
?R).

1
2
2
31
?(a?)
2
;

42
1111
?,?,


22
kk(k?1)kk(k?1)
整理范本

.
212
(??)?,

2kk?kkk?k?1
12
?(k?N
*
,k?1)
等.
kk?k?1
5、一元二次不等式的解法
求一元二次不等式
ax?bx?c?0(或?0)

2
2
9、指数不等式的解法：
⑴当
a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)

f(x)
⑵当
0?a?1
时,
a?a
g(x)
?f(x)?g(x)

规律：根据指数函数的性质转化.
10、对数不等式的解法
⑴当
a?1
时,
(a?0,??b
2
?4ac?0)
解集的步骤：
一化：化二次项前的系数为正数.
二判：判断对应方程的根.
三求：求对应方程的根.
四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集.
规律：
当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.
6、高次不等式的解法：穿根法.
分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿
（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的
解集.
7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0< br>
?
f(x)?g(x)
?
⑵当
0?a?1
时, < br>?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
ag(x)?
?
g(x)?0.

?
f(x)?g(x)
?
规律：根据对数函数的性质转化.
11、含绝对值不等式的解法：
?
a(a?0)
⑴定义法：
a?
?
.

? a(a?0)
?
⑵平方法：
f(x)?g(x)?f
2
(x)?g< br>2
(x).

f(x)
?0?f(x)?g(x)?0
g(x )
?
f(x)?g(x)?0
f(x)
?0?
?
g(x)< br>?
g(x)?0
（时同理）
“?或?”
⑶同解变形法，其同解定理有：
①
x?a??a?x?a(a?0);

②
x?a?x?a或x??a(a?0);

③
f(x)?g(x)??g(x)?f(x)?g(x)(g(x)?0)

④
f(x)?g(x)?f(x)?g(x)或f(x)??g(x)(g(x)?0)

规律：关键是去掉绝对值的符号.
12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：
规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中
取交集，最后取各段的并集.
13、含参数的不等式的解法
解形如
ax?bx?c?0
且含参数的不等式 时，要
对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：
⑴讨论
a
与0的大小；
⑵讨论
?
与0的大小；
⑶讨论两根的大小.
14、恒成立问题
⑴不等式
ax?bx?c?0
的解集是全体实数（或恒成
立）的条件是：
①当
a?0
时
?b?0,c?0;

2
2
规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解
⑴
?
f(x)?0
f(x)?a(a?0)?
?

2
?
f(x)?a
?
f(x)?0
f(x)?a(a?0)?
?

2
f(x)?a
?
?
f(x)?0
?
f(x)?0
?
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
或
?

g(x)?0
?
f(x)?[g(x)]
2
?
?
⑵
⑶
⑷
?
f(x)?0
?
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0

?
f(x)?[g(x)]
2
?
?
f(x)?0
?
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0< br>
?
f(x)?g(x)
?
⑸
规律：把无理不等式等价转化为 有理不等式，诀窍在
于从“小”的一边分析求解.
整理范本

.
②当
a?0
时
?
?
2
?
a?0

?
??0.
如果目标函数
z?Ax?By
（
x、y
即为公共区域
中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都
在该公共区域的边界角点处 取得，将这些角点的坐标
代入目标函数，得到一组对应
z
值，最大的那个数为
目标函数
z
的最大值，最小的那个数为目标函数
z
的
最小值
法二：画——移——定——求：
第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，
作直线
l
0
:Ax?By?0
，平移直线
l
0
（ 据可行域，将
直线
l
0
平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解
⑵不等式
ax?bx?c?0
的解集是全体实数（或恒成
立）的条件是：
①当
a?0
时
?b?0,c?0;

②当
a?0
时
?
?
?
a?0

?
??0.
⑶
f(x)?a
恒成立
?f(x)
max
?a;

f(x)?a
恒成立
?f(x)
max
?a;

⑷
f(x)?a
恒成立
?f(x)
min
?a;

(x,y)
；第四步，将最优解
(x,y)
代入目标函数
z?Ax? By
即可求出最大值或最小值 .
第二步中最优解的确定方法：
利用
z
的几何意义：
y??
纵截距.
①若
B?0 ,
则使目标函数
z?Ax?By
所表示直
线的纵截距最大的角点处，
z
取得最大值，使直线的
纵截距最小的角点处，
z
取得最小值；
② 若
B?0,
则使目标函数
z?Ax?By
所表示直
线的纵截距最大的 角点处，
z
取得最小值，使直线的
纵截距最小的角点处，
z
取得最大 值.
⑷常见的目标函数的类型：
①“截距”型：
z?Ax?By;

f(x)?a
恒成立
?f(x)
min
?a.

15、线性规划问题
⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：
法一：取点定域法：
由于直线
Ax?By?C?0
的同一侧的所有点的
坐标 代入
Ax?By?C
后所得的实数的符号相同.所
以，在实际判断时，往往只需在直线 某一侧任取一特
殊点
(x
0
,y
0
)
（如原点）， 由
Ax
0
?By
0
?C
的正负即可
判断出
Ax?By?C?0
(
或
?0)
表示直线哪一侧的
平面区域.
即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选
原点.
法二：根据
Ax?B y?C?0
(
或
?0)
，观察
B
的
Azz
x?
,
为直线的
BB
B
Ax?By?C?0
(
符号 与不等式开口的符号，若同号，
或
?0)
表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上
方的区域.即：同号上方，异号下方.
⑵二元一次不等式组所表示的平面区域：
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的
平面区域的公共部分.
⑶利用线性规划求目标函数
z?Ax?By(A,B
为常
数）的最值：
法一：角点法：
②“斜率”型：
z?
y
y?b
;
或
z?
x?a
x
22
③“距离”型：
z?x?y
或
z?x
2
?y
2
;

z?(x?a)
2
?(y?b)2
或
z?(x?a)
2
?(y?b)
2
.
< br>在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线
性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题简单 化.
整理范本

.
选修数学
知识点
专题一：常用逻辑用语
1、命题：可以判断真假的语句叫命题；
逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑
联结词；
简单命题：不含逻辑联结词的命题;
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题. 常用小写的拉丁字母
p
，
q
，
r
，
s
，……表示命
题.
2、四种命题及其相互关系








四种命题的真假性之间的关系：
⑴、两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
⑵、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性
没有关系．
3、充分条件、必要条件与充要条件
⑴、一般地，如果已知
p?q
，那么就 说：
p
是
q
的
Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看：
已知< br>A?xx
满足条件
p
?
，
B?xx
满足条件
q
?
：
①若
A?B
,则
p
是
q
充分条件；
②若
B?A
,则
p
是
q
必要条件；
③若A B，则
p
是
q
充分而不必要条件;
④若B A，则
p
是
q
必要而不充分条件;
⑤若
A?B
，
则
p
是
q
的充要条件； < br>⑥若
A?B
且
B?A
，则
p
是
q
的 既不充分也不必要
条件.
4、复合命题
⑴复合命题有三种形式：
p
或
q
（
p?q
）；
p
且
q
（
p ?q
）；非
p
（
?p
）.
⑵复合命题的真假判断
“
p
或
q
”形式复合命题的真假判断方法：一真必真；
“
p
且
q
”形式复合命题的真假判断方法：一假必假；
“非
p
”形式复合命题的真假判断方法：真假相对.
?
?
充分条件，
q
是
p
的必要条件；
若
p?q
，则
p
是
q
的充分必要条件，简称充要条件． ⑵、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命
题的条件
p
与结论
q
之间的关系：
Ⅰ、从逻辑推理关系上看：
①若
p?q
，则
p
是
q
充分条件，
q< br>是
p
的必要条件；
②若
p?q
，但
q

p
，则
p
是
q
充分而不必要条件;
③若
p

q
，但
q?p
，则
p
是
q
必要而不充分条件;
5、全称量词与存在量词
⑴全称量词与全称命题
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称
量词，并用符号“
?
”表示.含有全称量词的命题，叫
做全称命题.
⑵存在量词与特称命题
短语“存在 一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做
存在量词，并用符号“
?
”表示.含有存在量 词的命题，
叫做特称命题.
⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定
①全称命题< br>p
：
?x??,p(x)
，它的否定
?p
：
?x0
??,?p(x
0
).
全称命题的否定是特称命题．
④若< br>p?q
且
q?p
，则
p
是
q
的充要条件；
⑤若
p

q
且
q

p
，则
p
是
q
的既不充分也不必要
条件.
②特称命题
p
：
?x
0
??,p(x
0
),，它的否定
?p
：
?x??,?p(x).
特称命题的否定是全称命题.


整理范本

.



专题二：圆锥曲线与方程
1．椭圆
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形


标准方程
x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
第一定义
第二定义
范围
F
2
的距离之和等于常数2
a
， 即
|MF
1
|?|MF
2
|?2a
（
2a?|F< br>1
F
2
|
）
到两定点
F
1
、与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数
e
，即
MF
?e
(0
?e?
1)

d
?a?x?a
且
?b?y?b

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?b?x?b
且
?a?y?a

?
1
?
0 ,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

顶点
?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?

轴长
对称性
焦点
焦距
?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?b,0
?

长轴的长
?2a
短轴的长
?2b

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
F
1< br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?< br>
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c(c2
?a
2
?b
2
)

cc
2
a
2
?b
2
b
2
e????1?
222
a aaa
a
2
x??

c
左焦半径：
MF
1
?a?ex
0

右焦半径：
MF
2
?a?ex
0

离心率
(0?e?1)

a
2
y??

c
准线方程
焦半径
下焦半径：
MF
1
?a?ey
0

上焦半径：
MF
2
?a?ey
0

M(x
0,
y
0
)

焦点三角形面积
S
?MF
1
F
2
?b
2
tan
?
2
(
?
??F
1
MF
2
)

整理范本

.
通径
b
2
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
HH
?
?

a
A(x
1,
y
1
),B(x
2,
y2
)
，
AB?1?k
2
x
1
?x
2< br>?1?k
2
(x
1
?x
2
)
2
?4 x
1
x
2

（焦点）弦长公式
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

标准方程

x
2
y
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
y
2
x
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
第一定义
第二定义
范围
顶点
轴长
对称性
焦点
焦距
F
2
的距离之差的绝对值等于常数
2a
，即
|MF
1
|?|MF
2
|?2a
（
0?2a?|F
1
F
2
|
）
到两定点
F
1
、
与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e
，即
MF
?e
(
e?
1)

d
x??a
或
x?a
，
y?R

y??a
或
y?a
，
x?R

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

实轴的长
?2a
虚轴的长
?2b

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
F
1< br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?< br>
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c(c2
?a
2
?b
2
)

cc
2
a
2
?b
2
b
2
e????1?
222
a aaa
a
2
x??

c
离心率
(e?1)

a
2
y??

c
准线方程
渐近线方程
y??
b
x

a
y??
a
x

b
焦半径
?MF
1
?ex
0
?a
?
左焦：

M
在右支
?
右焦：MF?ex?a
?
20
?
?M F
1
?ey
0
?a
?
左焦：

M
在上支
?
右焦：MF?ey?a
?
20
?
M(x
0 ,
y
0
)

?MF
1
??ex
0
?a
?
左焦：
M
在左支
?
MF
2
??ex
0
?a
?
?
右焦：
?MF
1
??ey
0
?a
?左焦：

M
在下支
?
MF
2
??ey
0
?a
?
?
右焦：
焦点三角形
面积
S
? MF
1
F
2
?b
2
cot
整理范本
?< br>2
(
?
??F
1
MF
2
)

.
通径
b
2
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：
HH
?
?



图形

2．双曲线



3．抛物线
a




整理范本

.
y
2
?2px

标准方程
y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

?
p?0
?

定义
顶点
离心率
对称轴
范围
?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?

与一定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点
F
不在定直线
l
上)
?
0,0
?

e?1

x
轴
y
轴
x?0

?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
x?0

?
p
?
F
?
?,0
?

?
2
?
y?0

p
??
F
?
0,
?

2
??
y?0

p
??
F
?
0,?
?

2
??
焦点
准线方程
焦半径
x??
p

2
x?
p

2
y??
p

2
y?
p

2
M(x
0,
y
0
)

通径
焦点弦长
公式
参数
p
的几
何意义
MF?x
0
?
p

2
MF??x
0
?
p

2
MF?y
0
?
p

2
MF??y
0
?
p

2
过抛物线的焦点 且垂直于对称轴的弦称为通径：
HH
?
?2p

AB?x
1
?x
2
?p

参数
p
表示焦点到准线的距离，
p
越大，开口越阔
关于抛物线焦点弦的几个结论：
B(x
2
,y
2
)
，直线
AB
的倾斜角为
?
，则
设
AB
为过抛物 线
y
2
?2px(p?0)
焦点的弦，
A(x
1
, y
1
)、
p
2
2p
,y
1
y
2< br>??p
2
;
⑵
AB?;

⑴
x
1
x
2
?
2
4
sin
?
⑶ 以
AB
为直径的圆与准线相切；
B
在准线上射影的张角为⑷ 焦点
F
对
A、
⑸
?
2
；

112
??.
|FA||FB|P
专题三：推理与证明
整理范本

.
知识结构
合情推理
推理
推
理
与
证
明
证明
间接证明
数学归纳法
演绎推理
归纳推理
类比推理
具有性质
P
,
S
是
M
的一个子集,那么
S
中所有元素也
都具有性质P.



从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正
确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都
正确的前提下，得到的结论一定正确.

比较法
直接证明

综合法

分析法

反证法

5、
直接证明与间接证明

⑴综合法 ：利用已知条件和某些数学定义、公理、定
理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明
的结论成立.
框图表示：
要点：顺推证法；由因导果.
⑵分析法：从要 证明的结论出发，逐步寻找使它成立
的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定
一个明 显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理
等）为止.
1、归纳推理
把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归
纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的
推理。
归纳推理的一般步骤：
?
通过观察个别情况发现某些相同的性质；
?
从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题
（猜想）；
?
证明（视题目要求，可有可无）.
2、类比推理
由两类对象具有某些类 似特征和其中一类对象的
某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推
理称为类比推理（ 简称类比）．
简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的一般步骤：
?
找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
?
用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，
从而得出一个猜想；
?
检验猜想。
3、合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经 过观
察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提
出猜想的推理.
归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，
合情推理是指“合乎情理”的推理.
4、演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结
论，这种推理称为演绎推理．
简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.
演绎推理的一般模式———
“三段论”，
包括
⑴大前提 -----已知的一般原理；
⑵小前提-----所研究的特殊情况；
⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
用集合的观点来理解：若集合
M
中的所有元素都
框图表示：
要点：逆推证法；执果索因.
⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的
推理，最后 得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明
了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.
反证法法证明一个命题的一般步骤：
(1)（反设）假设命题的结论不成立；
(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；
(3)（归谬）断言假设不成立；
(4)（结论）肯定原命题的结论成立.
6、数学归纳法
数学归纳法是证明关于正整数
n
的命题的一种方法.
用数学归纳法证明命题的步骤;
*
（1）（归纳奠基）证明当
n
取 第一个值
n
0
(n
0
?N)
时命题成立；
*（2）（归纳递推）假设
n?k(k?n
0
,k?N)
时命
题成 立，推证当
n?k?1
时命题也成立.
只要完成了这两个步骤，就可以断定命 题对从
n
0
开
始的所有正整数
n
都成立.
用数学 归纳法可以证明许多与自然数有关的数学
命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几
何 中的计算问题等.

专题四：数系的扩充与复数
1、复数的概念
⑴虚数单位
i
；
⑵复数的代数形式
z?a?bi(a,b?R)
；
整理范本

.
⑶复数的实部、虚部，虚数与纯虚数.
2、复数的分类
复数
z?a?bi
一一对应
复数
z?a?bi?????
复平面内 的点
Z（a,b)

?
a,b?R
?


uuur
复数
z?a?bi?????
平面向量
OZ
一一对应
?
实数
(b?0)
?
?
纯虚数
(a? 0,b?0)

?
?
虚数
(b?0)
?
非纯虚数< br>(a?0,b?0)
?
?
3、相关公式
⑴
a?bi?c?di?a?b,且c?d

⑵
a?bi?0?a?b?0

⑶
z?a?bi?
专题五：排列组合与二项式定理
1、基本计数原理
⑴ 分类加法计数原理：(分类相加)
做一件事情，完成它有
n
类办法，在 第一类办法中有
m
1
种不同的方法，在第二类办法中有
m
2
种不同的方
法……在第
n
类办法中有
m
n
种不同的方法.那 么完成
这件事情共有
N?m
1
?m
2
???m
n< br>种不同的方法.
⑵ 分步乘法计数原理：(分步相乘)
做一件事情，完成它需要n
个步骤，做第一个步骤有
a
2
?b
2

⑷
z?a?bi

z，z
指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共
轭复数）.

4、复数运算
⑴复数加减法：
?
a?bi
?
?
?
c?di
?
?
?
a?c
?
?
?
b ?d
?
i
；
⑵复数的乘法：
m
1
种不同的方法， 做第二个步骤有
m
2
种不同的方
法……做第
n
个步骤有m
n
种不同的方法.那么完成这
件事情共有
N?m
1
? m
2
???m
n
种不同的方法.
2、排列与组合
⑴排列 定义：一般地，从
n
个不同的元素中任取
?
a?bi
??
c ?di
?
?
?
ac?bd
?
?
?
bc?a d
?
i
；
a?bi
?
a?bi
??
c? di
?
?
⑶复数的除法：

c?di
?
c?di< br>??
c?di
?
?
m
?
m?n
?
个 元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从
n
个不同的元素中任取
m
个元素的一 个排列.
⑵组合定义：一般地，从
n
个不同的元素中任取
m
?m?n
?
个元素并成一组，叫做从
n
个不同的元素中

任取
m
个元素的一个组合.
⑶排列数：从
n
个不同的元素 中任取
m
?
m?n
?
个元素
的所有排列的个数，叫做从n
个不同的元素中任取
m
m
个元素的排列数，记作
A
n
.
?
ac?bd
?
?
?
bc?ad
?< br>i
?
ac?bd
?
bc?ad
i
c?d
22
c?d
22
c?d
22
（类似于无理数除法的分母有理化
?
虚数除法的分
母实数化）
5、常见的运算规律
(1)z?z;
2
(2)z?z?2a,z?z?2bi;

222
(3)z?z?z?z?a?b;(4)z?z;(5)z?z?z?R

⑷ 组合数：从
n
个不同的元素中任取
m
?
m?n
?
个 元素
的所有组合的个数，叫做从
n
个不同的元素中任取
m
m
个元素的组合数，记作
C
n
.
(6)i
4n?1
?i,i
4n?2
??1,i
4n?3
??i,i
4n?4
?1;< br>z
z
1
?
1

z
2
z
2< br>2
(7)
?
1?i
?
2
1?i1?i
?1?i
?
??i;(8)?i,??i,
?
??i

?
1?i1?i
?
2
?
?1?3i
是1的立方虚根，则
2
⑸排列数公式：
m
①
A
n
?n
?
n ?1
??
n?2
?
?
?
n?m?1
?
< br>(9)
设
?
?
m
A
n
?
n！
；
?
n?m
?
!
1?
?
?
?
2
?0
，
?
3n?1
?
?
,
?
3 n?2
?
?
,
?
3n?3
?1

6、复数的几何意义
复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中
x
轴叫做复平面的实轴，
y
轴叫做复平面的虚轴.
n
②
A
n
?
n!
，规定
0!?1
.
⑹组合数公式：
①< br>C
n
?
m
n
?
n?1
??
n?2< br>?
?
?
n?m?1
?
或
m!
整理范本

.
m
C
n
?
n！
；
m !
?
n?m
?
!
在
(
ax?b
)
的展开式中，第
r?1
项的二项式系数
n
为
C
n
， 第
r?1
项的系数为
C
n
a
r
rn?r
1
b
r
；而
(x?)
n
的
x
mn?m
0
②
C
n
?C
n
，规定
C
n
? 1
.
展开式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为
正，而项的系数不一定为正.
⑷
?
1?x
?
的展开式：
n
1n?12n?2n0
?
1?x
?
n
?C
n
0
x
n
?C< br>n
x?C
n
x???C
n
x
，
⑺排列与组合的区别：排列有顺序，组合无顺序.
mmm
⑻排列与组合的联系：A
n
?C
n
?A
m
，即排列就是先
组合再全排 列.
m
A
n
n?(n?1)?L?(n?m?1)n!
C?
m
??(m?n)
A
m
m?(m?1)?L?2?1m!
?
n?m
?
!
m
n
若令
x?1
，则有
12n
.
?
1?1
?
n
?2
n
?C
n
0
?C
n
?C
n
???C
n
⑼排列与组合的两个性质性质
mmm?1mmm?1
排列
A
n
； 组合
C
n
.

?1
?A
n
?mA
n?1
?C
n
?C
n
二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数< br>0213
?C
n
?????C
n
?C
n
?? ???2
n?1

的和.即
C
n
⑽解排列组合问题的方法
①特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法：先考虑
有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素 ；位置优
先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他
位置）.
②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再
把不符合条件的所有情况去掉）.
③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”
为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排 列，
最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）.
④不相邻(相间)问题插空法（某 些元素不能相邻或某些
元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没
有限制元条件的元素 ，然后再把有限制条件的元素按
要求插入排好的元素之间）.
⑤有序问题组合法.
⑥选取问题先选后排法.
⑦至多至少问题间接法.
⑧相同元素分组可采用隔板法.
⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，
平均分成n组问题别忘除以n！.
3、二项式定理
⑴二项展开公式：
⑸二项式系数的性质：
（1）对称性： 与首末两端“等距离”的两个二项
mn?m
式系数相等，即
C
n
?C
n
；
（2）增减性与最大值：当
r?
数C
r
当< br>r?
n
的值逐渐增大，
n?1
时，二项式系
2
n?1
时,C
r
n
的值逐渐减小，
2
n
且在中间取得最大 值。当n为偶数时，中间一项（第
2
＋1项）的二项式系数
C
取得最大值.当 n为奇数时，
中间两项（第
n
2
n
n?1n?1
和＋1项） 的二项式系数
22
C
n?1
2
n
?C
n?1
2
n
相等并同时取最大值.
⑹系数最大项的求法
?
A
r
?A
r?1
设第
r
项的系数
A
r
最大， 由不等式组
?

A?A
r?1
?
r
可确定
r
.
⑺赋值法
n2n
若
(ax?b)?a
0
?a
1
x?a
2
x?...?a
n
x,

?
a?b
?
n
0n1n?12n?22rn?rr
?C
n
a?C
n
ab ?C
n
ab?L?C
n
ab

?L?C
n
b
nn
?
n?N
?
?
.
则设
f
(
x
)
?
(
ax?b
).
有：
n
⑵二项展开式的通项公式：
rn?rr
T
r?1
? C
n
ab
?
0?r?n,r?N,n?N
?
?
.主 要用途
①
a
0
?f(0);

②
a
0?a
1
?a
2
?...?a
n
?f(1);

n
③
a
0
?a
1
?a
2
?a3
?...?(?1)a
n
?f(?1);

是求指定的项.
⑶项的系数与二项式系数
项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当
二项式的两 个项的系数都为1时，系数就是二项式系
数.如
④
a
0
?a
2
?a
4
?a
6
?...?
f(1)?f(?1)
;

2
整理范本

.
⑤
a
1< br>?a
3
?a
5
?a
7
?...?
f(1)? f(?1)
.

2
②独立重复试验的概率公式
如果在1次试验中某 事件发生的概率是
p
，那么
在
n
次独立重复试验中这个试验恰好发生
k
次的概率

kkn?k
P
n
(k)?C
n
p(1?p)

专题六：随机变量及其分布
知识结构
?
k?0,1,2,Ln
?
.

⑸条件概率：对任意事件A 和事件B，在已知事件A
发生的条件下事件B发生的概率，叫做条件概率.记作
P(B|A)， 读作A发生的条件下B发生的概率.

公式：
P(BA)?
P(AB)
,P(A)?0.

P(A)
1、基本概念
⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件.
如果事 件
A、B、C
，其中任何两个都是互斥事
件，则说事件
A、B、C
彼 此互斥.
当
A、B
是互斥事件时，那么事件
A?B
发生（即
A、B
中有一个发生）的概率，等于事件
A、B
分别发
生的概率的和，即

P(A?B)?P(A)?P(B)
.
⑵对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件

2、离散型随机变量
⑴随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量
来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用
字母
X,Y,
?
,
?
等表示.
⑵离 散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可
以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型
随机变量.
⑶连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可
以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型
随机变量.
⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联
系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用 变量表
示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以
按一定次序一一列出，而连续性随机 变量的结果不可
以一一列出.
若
X
是随机变量，则
Y
Y ?aX?b(a,b
是常数）
也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）.
3、离散型随机变量的分布列
⑴概率分布（分布列）
A
的对立事件通常记着
A
.
对立事件的概率和等于1.
P(A)?1?P(A)
.
特别提醒：“互斥事件”与“对立事件”都是就
两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个
事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件 ，
因此，对立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定
是对立事件，也就是说“互斥”是“对立 ”的必要但
不充分的条件.
⑶相互独立事件：事件
A
（或
B
）是否发生对事件
B
（或
A
）发生的概率没有影响，（即其中一个事件是< br>否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两
个事件叫做相互独立事件.
当< br>A、B
是相互独立事件时，那么事件
A?B
发生
（即
A、B< br>同时发生）的概率，等于事件
A、B
分别发
生的概率的积.即
设离散 型随机变量
X
可能取的不同值为
x
1
,x
2
，…，
x
i
，…，
x
n
，
X
的每一个值
x
i
（
i?1,2,?,n
）的概率
P(X?x
i
)?p
i
，则称表
X

x
1

x
2

…
x
i

…
x
n

P

p
1

p
2

…
p
i

…
p
n

为随机变量
X
的概率分布，简称
X
的分布列.
性质：①< br>p
i
?
0,
i?
1,2,...
n
;
②
⑵两点分布
如果随机变量
X
的分布列为
n

P(A?B)?P(A)?P(B)
.
若A、B两事件相互独立，则A与
B
、
A
与B、
A
与
B
也都是相互独立的.
⑷独立重复试验
①一般地，在相同条件下重复做的
n
次试验称为
n
次独立重复试验.
?
p
i?1
i
?1.

整理范本

.

0 1
X


p


P

1?p



则称
X
服从两点分布，并称
p?P(X?1)
为成功概
率.
⑶二项分布
如果在一次试验中某事件发生的概率是
p
，那么在
n< br>次独立重复试验中这个事件恰好发生
k
次的概率是
kk
P(X?k)?C
n
p(1?p)
n?k
.

P

p
1

p
2

…
p
i

…
p
n

则称
E?
X
?
?x
1
p
1
?x
2
p
2
?L?x
i
p
i
?L?x
n
p
n
为离散型
随机变量
X
的均值或数学期望（简称期望）.它反映了
离 散型随机变量取值的平均水平.
性质：①
E(aX?b)?aE(X)?b.

②若
X
服从两点分布，则
E(X)?p.
③若
X~B
?
n,p
?
，则
E(X)?np.

⑵离散型随机变量的方差
一般地，若离散型随机变量
X
的分布列为
其中
k?0,1,2,...,n,q?1?p
，于是得到随机
…
k
变量
X
的概率分布如下：
X

0 1
k

kn?k
…
n
n

n
00n11n?1
P

C
n
pq

C
n
pq

…
C
n
pq

…
C
n
pq

0
我们称这样的随机变量
X
服从二项分布，记作
X

x
1

x
2

…
x
i

…
x
n

P

p
1

p
2

…
p
i

…
p
n

则称
X~B
?
n,p
?
，并称
p
为成功概率.
判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：
①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；
②重复性：即试验是独立重复地进行了
n
次;
③等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等.
注：⑴二项分布的模型是有放回抽样；
⑵二项分布中的参数是
p,k,n.

⑷超几何分布
一般地, 在 含有
M
件次品的
N
件产品中，任取
n
件,其中恰有
X
件次品数,则事件
?
X?k
?
发生的概率
kn?k
C
M
C
N?M
为
P
(
X?k
)
?
(
k?
0,1,2,
L
,
m
)
,于是得
n
C
N
D(X)?
?
(x
i
?E(X))
2
p
i
为离散型随机变量
X
的
i?1
n< br>方差，并称其算术平方根
D(X)
为随机变量
X
的标
准差.它 反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集
中与离散的程度.

D(X)越小，
X
的稳定性越高，波动越小，取值
越集中；
D(X)
越大 ，
X
的稳定性越差，波动越大，
取值越分散.
性质：①
D(aX?b)?aD(X).

0 1 …

2
到随机变量
X
的概率分布如下：

其中
m?m in
?
M,n
?
,
n≤N,M≤N,n,M,N?N
.
*
X


m

我们称这样的随机变量
X< br>的分布列为超几何分布列,
且称随机变量
X
服从超几何分布.
注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样；
⑵超几何分布中的参数是
M,N,n.
其意义分别是
总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量.
4、离散型随机变量的均值与方差
⑴离散型随机变量的均值
一般地，若离散型随机变量
X
的分布列为
0n?01n?1mn?m
C
M
C
N
CCC
?MMN?M M
C
N?M

…
P

nnn
C
N
C
N
C
N
②若
X
服从两点分布，则
D(X)?p(1?P).

③若
X~B
?
n,p
?
，则
D(X)?np(1?P).

5、正态分布
正态变量概率密度曲线函数表达式：
X

x
1

x
2

…
x
i

…
x
n

f
?
x
?
?
1
2
?
?
?
e
?
?
x?
?
?
2
2
?
2
,x?R
，其中
?
,
?
是参数，
整理范本

.
且
?
?0,? ??
?
???
.记作
N(
?
,
?
).如下图：
2
反之，越弱。

K
2
?3.841时，X与Y无关；
K
2
?3.841
时，
X与Y有95%可能性 有关；
K?6.635
时X与Y有
99%可能性有关.

2
专题七：统计案例
1、回归分析
?
?a?bx
， 回归直线方程
y
专题八：矩阵与变换

?
?
x
i< br>?x
??
y
i
?y
?
?
x
i
y
i
?nxy
?
?
?
b?
i?1
n?
i?1
n
2
其中
?
x?xx
i
2< br>?nx
2
??
??
i
?
i?1i?1
??
a?y?bx
nn

一、线性变换与二阶矩阵
1．矩阵的相关概念
?
ab
?
（1）由4个数a,b,c,d排成 的正方形数表
??
称为
cd
??
二阶矩阵，数a,b,c,d称为矩 阵的元素。在二阶矩阵中，
横的叫行，从上到下依次称为矩阵的第一行、第二行；
竖的叫列，从 左到右依次称为矩阵的第一列、第二列。
矩阵通常用大写的英文字母A，B，C，…表示。
相 关系数：
r?
?
?
x
i?1
n
i?1
n< br>i
?x
??
y
i
?y
?
2
n

2
?
?
x
i
?x
?
?
?y
i
?y
?
i?1
?
?
xy?nxy
ii
i?1
n
?
00
?
（2）二阶矩阵
??
称为零矩阵，简记为0，矩阵
00
??

?
22
??22
?
x?nxy?ny
?
?
i
??
?
i
?
?
i?1
??
i?1
?
nn
?10
?
?
01
?
称为二阶单位矩阵，记作E
2
。
??
（3）对于两个二阶矩阵A，B，如果它们的对应元素
分别相等，则称矩阵A 与矩阵B相等，记作A=B，设
A=
?
2、独立性检验
假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分另为{x
1
,
x
2
}和{y
1
, y
2
}，其样本频数2
?
2列联表为：

x
1

x
2

y
1

a
c
y
2

b
d
b+d
总计
a+b
c+d
a+b+c+d
?
a
1
b1
??
a
2
，B=
??
c
?
c
1
d
1
??
2
b
2
?
，若A=B，则< br>?
d
2
?
总计
a+c
a
1
?a
2
,b
1
?b
2
,c
1
?c
2< br>,d
1
?d
2
。
2．线性变换的相关概念
若 要推断的论述为H
1
：“X与Y有关系”，可以
利用独立性检验来考察两个变量是否有 关系，并且能
较精确地给出这种判断的可靠程度.







具体的做法是，由表中的数据算出随机变量
K
的值< br>2
?
x
?
?ax?by
(
?
)
的几 何变换叫做（1）我们把形如
?
?
y?cx?dy
?
线性变换，(?)
式叫做这个线性变换的坐标变换公式，
P
?
(x
?
,y
?
)
是
P(x,y)
在这个线性变换作用下的像。
（2）常见的线性变换有旋转变换、反射变换、伸
缩变换、投影变换、切变变换。
（ 3）对同一个直角坐标平面内的两个线性变换
?
、
?
，如果对平面内任意一点 P，都有
?
（P）=
?
（P），则称这个两个线性变换相等，简记为
?
=
?
，
设
?
，
?
所对应的二阶矩阵分别 为A，B，则A=B。
注：旋转变换
R
?
，平行于x轴，y轴的切变变换，
n(ad?bc)
2
K?
，其中
(a?b)(c?d)(a?c)( b?d)
2
n?a?b?c?d
为样本容量，K
2
的值越大，说明“ X
与Y有关系”成立的可能性越大.
随机变量
K
越大，说明两个分类变量，关系越强；
2
整理范本

.
对应的二阶矩阵分别是：
?
cos
?
?
sin
?
?
?sin
?
??
1,k
??< br>1,0
?
，
k
是非零常数。
,
?
,
????
cos
?
??
01
??
k1
?
逆的，则A的逆矩阵是唯一的。
（2）性质2 设A，B是二阶矩阵，如果A，B都
可逆，则 AB也可逆，且（AB）
-1
=B
-1
A
-1
。
5．逆矩阵的判定及求法
定理：二阶矩阵A=
?
3．二阶矩阵与平面向量的乘法
?
ab??
x
?
设A=
??
，α=
?
y
?< br>，则
cd
????
Aα=
?
?
ab
??
是可逆的，当且仅当
cd
??
?
ab
?
可逆 时，
?
?
cd
?
?
ab
??
x
? ?
ax?by
?
=
?
.
????
?
cd
??
y
??
cx?dy
?
detA=ad- bc≠0,当矩阵A=
?
4.线性变换的基本性质
设A是一个二阶矩阵，α，β是平面上的任意两个
向量，λ是一个任意实数，
（1）性质1 ①A(λα)=λAα.
②A(α+β)=Aα+Aβ.
（2）定理1
A(
?
1
?
?
?
2?
)?
?
1
A
?
?
?
2
A< br>?

（3）定理2 二阶矩阵对应的变换（线性变换）
把平面上的直线变成直线（或一点）。
二、变换的复合与二阶矩阵的乘法及逆变换与逆矩阵
1．二阶矩阵的乘法
一般的， 设A=
?
?
d
?
detA
-1
A=
??
?c
?
?
detA
?b
?
detA
?
?
。
a
?
detA
?
?
6．逆矩阵与二元一次方程
（1）定理 如果关于变量x,y的二元一次方程组（线
性方程组）
?
?ax?by?e
?
ab
?
的系数矩阵A=
??
可逆cx?dy?fcd
???
?1
?
a
1
b
1< br>??
a
2
，B=
??
ccd
?
11
??
2
b
2
?
，则
?
d
2
??
x
??
ab
??
e
?
时，那么该方程组有唯 一解
??
?
???
f
?
。
ycd
??????
（2）推论 关于变量x,y的二元一次方程组
?a
1
b
1
?
AB=
??
?
c
1
d
1
?
?
a
2
?
c
?
2
b
2
??
a
1
a
2
?b
1b
2
=
?
d
2
?
??
c
1< br>a
2
?d
1
c
2
a
1
b
2
?b
1
d
2
?

c
1
b
2
?d
1
d
2
?
?
?
ax?by?0，其中a,b,c,d是不全为零的常数，有非
?
cx?dy?0
?
零解 的充分必要条件是系数矩阵的行列式
对直角坐标系xOy内任意向量α，有A（Bα）=（AB）
α。
2．矩阵乘法的性质
（1）结合律
设A，B，C是任意的三个二阶矩阵，则A（BC）
=（AB）C。
（2）二阶矩阵A的方幂的性质
ab
?
0
。
cd
注：利用矩阵知识解二元一次方程组的一般步骤
?
ax?by?e
是（先将二元一次 方程组化为
?
的形式，
cx?dy?f
?
其次判断系数矩形A=?
A
0
?E
2
,A
k
A
l
? A
k?l
,(A
k
)
l
?A
kl
(k,l ?N).

3．逆变换与逆矩阵
（1）一般地，设
?
是一个线性变 换，如果存在线
性变换
?
，使得
?
?
ab
?
是否可逆，若可逆则求
?
?
cd
?
?
=
?
，
?
=
I
，则称变换
?
可逆，
de?bf
?
x?
?
|A|
?
|A|
，代入
?
求解 ；若A不可逆，当
?ce?af
?
y?
?
|A|
?
并且称
?
是
?
的逆变换。
（2）一般地，设A是一个二阶矩阵，如 果存在二
阶矩阵B，使得BA=AB=E
2
，则称矩阵A可逆，并且
称B是A 的逆矩阵。
4．逆矩阵的性质
（1）性质1 设A是一个二阶矩阵，如果A是可
a beabe
??
时，方程组有无数个解，当
??
时，
cdfcdf< br>方程组无解。）
三、变换的不变量与矩阵的特征向量
1．矩阵特征值、特征向量的相关概念
整理范本

.
（1）定义 设矩阵A=
?
?
ab
?
，如果存在实数?
?
?
cd
?
变换
?
:
?
?
x
?
?
?
?x,(
?
?0),
的作用下， 点
P(x,y)
对
?
y
?
?
?
?y,(< br>?
?0).
以及非零向量
?
，使得A
?
=
?
?
，则称
?
是矩阵A的
一个特征值，
?
是矩阵A的 属于特征值
?
的一个特征
向量。
（2）一般地，设
?
是矩 阵A的属于特征值
?
的一
个特征向量，则对任意的非零常数
k
，k
?
也矩阵A
的属于特征值
?
的特征向量。
（3）一般地，属于矩阵的不同特征值的特征向量
不共线。
（4）设矩阵A=
?
应到点
P
?
(x
?
,y
?
)
，称
?
为平面直角坐标系中的坐标伸
缩变换，简称伸缩变换。
2、极坐标系的概念
在平面内取一个定点
O
，叫做极点；自极点
O
引
一条射线
Ox
叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角
度单位(通 常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，
这样就建立了一个极坐标系。



M
(
?
,
?
)

?

?
?a?b
?
ab
?
，称
f
(
?
)
?
?
?c
?
?d
?
cd
?为矩阵A的特征多项式，方程
?
?a
?c
?b
=0为矩
?
?d

?

x

O



图1


点
M
的极坐标：设
M
是平面内一点，极点
O
与
点
M
的距离
|OM|
叫 做点
M
的极径，记为
?
；以极
轴
Ox
为始边，射线
OM
为终边的
?xOM
叫做点
M
的极角，记为
?< br>。有序数对
(
?
,
?
)
叫做点
M
的 极坐标，
记为
M(
?
,
?
)
.
注：
极坐标
(
?
,
?
)
与
(
?
,
?
?2k
?
)(k?Z)
表示同一个
点。极点
O
的坐标为
(0,
?
)(
?
?R)
.
若
?
?0
,则
?
?
?0
,规定点
(?
?
,
?
)
与点
(
?
,
?
)关于极点对称，即
(?
?
,
?
)
与
(
?
,
?
?
?
)
表示同一点。
如果规定
?
?0,0?
?
?2
?
，那么除极点外，平
面内的点可用唯一 的极坐标
(
?
,
?
)
表示（即一一对应
的关系）； 同时，极坐标
(
?
,
?
)
表示的点也是唯一确定
的 。
极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面
上一个点，在极坐标系下，一对有序实数?
、
?
对应
惟一点
P
(
?
，
?
)，但平面内任一个点
P
的极坐标不惟
一．一个点可以有无数个坐标，这些 坐标又有规律可
阵A的特征方程。
2．特征向量的应用
（1）设A是一个二阶矩阵 ，
?
是矩阵A的属于
特征值
?
的任意一个特征向量，
则A
n
?
=
?
n
?
(n∈N
*
)
（2）性质1 设
?
1
，
?
2
是二阶矩阵A的两 个不同
特征值，
?
1
，
?
2
是矩阵A的分别属于特 征值
?
1
，
?
2
的
特征向量，对于任意的非零平面 向量
?
，设
?
=
t
1
?
1
?t< br>2
?
2
(其中t
1
，t
2
这实数)
，则对任意的正整
nnn
数n，有
A
?
?t
1
?< br>1
?
1
?t
2
?
2
?
2
.

注：求二阶矩阵特征值和特征向量的步骤是：（1）
求出矩阵A的特征多项式
f(
?
)
;（2）令
f(
?
)
=0，求
出矩阵A的特征值
?
1
，
?
2
；（3）分别就
?< br>1
，
?
2
列出相
应的二元一次方程组，求出对应的特征向量< br>?
1
，
?
2
。

专题九：坐标系与参数方程
1、平面直角坐标系中的伸缩变换
设点
P(x,y)
是平面直角坐标系中的任意一点，在
整理范本

.
循的，
P
(
?
，)的全部坐标为(?
,
?
＋
2k
?
)
?
（极点除外）< br>或（
?
?
，
?
＋
(2k?1)
?
） ，(
k?
Z)．极点的极径为0，
而极角任意取．若对
?
、
?
的取值范围加以限制．则
除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定
?
>0，
0≤
?
＜
2
?
或
?
<0，
?
?
＜
?
≤
?
等．
极坐标与直角坐标的不同是， 直角坐标系中，点
与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一
多对应的．即一个点的极 坐标是不惟一的．
3、极坐标与直角坐标的互化
设
M
是平面内任意一点 ，它的直角坐标是
(x,y)
，
极坐标是
(
?
,
?
)
，从图中可以得出：
⑵直线的极坐标方程
①过极点的直线的极坐标方程 是
?
?
?
(
?
?0)
和

?
?
?
?
?
(
?
?0)
. （如图1）
x?
?
cos
?
,y?
?
sin?

y
(x?0).
x
②过点
A(a,0)(a?0)
，且垂直于极轴的直线
l
的极坐
标方程是
?
cos
?
?a
. 化为直角坐标方程为
x?a
.
（如图2）
③过 点
A
(
a
,
?
2
?x
2
?y2
,tan
?
?
y




x

M
N

?


y

?


O

H
?

x

?

?

cos

?

2

2

2

?

?

?

?

x

y

?

?

?


?

?

?

?

?

?

?

?

y

sin

y

?
?


?
?


tan

?

?

(

x

?

0

)

x



（直极互化图）
4、简单曲线的极坐标方程
⑴圆的极坐标方程
①以极点为圆心，
a
为半径的圆的极坐标方程是
（如图1）
?
?a
；
?
2
)
且平行于极 轴的直线
l
的极坐标方程
是
?
sin
?
?a
. 化为直角坐标方程为
y?a
.（如图
4）
?
?
M
（ ， ）
M
?
?
0< br>M
?
a
?
Ox
?
O
图1
?
?
?
0
a
O
图2
?
?
a
cos< br>?
图3
?
??
a
cos
?
?
?M
（ ， ）
M
?
a
②以
(a,0)(a?0)
为圆心，
a
为半径的圆的极坐标
方程是
?
?2acos
?
；（如图2）
③以
(
a
,
?
?
O
M
O
?
a
a
O
N
(a,
?
)
p
图4
图5
?
??
?
2
)
(a?0)
为圆心，
a
为半径的圆的极坐标
a
?
?
sin
?
a
sin
?
图6
?
?
a
cos(
?
?
?
)
5、柱坐标系 与球坐标系
⑴柱坐标：空间点
P
的直角坐标
(x,y,z)
与柱坐 标
整理范本
方程是
?
?2asin
?
；（如图4）

.
?
x?
?
cos
?
?
(
?
,
?
,z)
的变换关系为：
?
y?
?
sin
?
.
?
z?z
?
⑵球坐标系
空 间点
P
直角坐标
(x,y,z)
与球坐标
(r,
?
,
?
)
的变
y
2
x
2
双曲线
2< br>?
2
?1(a?b?0)
的参数方程
ab
?
x?bcot
?
（
?
为参数）；
?
?
y?acsc
?

?
x
2
? y
2
?z
2
?r
2
?
?
x?rsin?
cos
?
换关系：
?
.
?
y?rsin< br>?
sin
?
?
?
z?rcos
?
6、参数方 程的概念
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标
?
x?2pt
2
（4）抛物线
y?2px
参数方程
?

(t
为参< br>?
y?2pt
2
数，
t?
1
）；
tan< br>?
参数
t
的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点
与原点连线的斜率 的倒数.
（6）过定点
P
(
x
0
,
y
0
)
、倾斜角为
?
(
?
?
的参数方程
??
x?f(t),
并且对于
t
的
x,y
都是某个变数
t
的函数
?
?
y?g(t),
每一个允许值，由这个方程所 确定的点
M(x,y)
都在
这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方
程，联系变数
x,y
的变数
t
叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方
程叫做普通方程。
7、常见曲线的参数方程
（1）圆
(x?a)?(y?b)?r
的参数方程 为
222
?
2
)
的直线
?
x?x
0
?tcos
?
（
t
为参数）.
y?y?tsin
?
0
?
8、参数方程与普通方程之间的互化 在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取
值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使
x,y
的取值范围保持一致.
参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变形，则一定要
通过
x?f(t),y?g(t)。根据t的取值范围导出
x,y
?
x?a?rcos
?
（
?
为参数）；
?
?
y?b?rsin
?
（2）椭圆
的取值范围.


xy
??1(a?b?0)
的参数方程为
22
ab
22
?
x?acos
?
（
?
为参数）； < br>?
?
y?bsin
?
y
2
x
2
椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的参数方程为
ab
?< br>x?bcos
?
（
?
为参数）；
?
y?asin
?
?

x
2
y
2
（3）双曲线
2
?
2
?1(a?b?0)
的参数方程
ab
?
x?asec
?
（
?
为参数）；
?
y?btan
?
?
整理范本