苏教版高中数学 概念及公式复习

数学公式
第一章集合与简易逻辑
1、对于任意集合
2、若集合
A,B
，则
C
U
A?C
U
B?
；
?C
U
(A?B)
；
A
中有
n
个元素， 则集合
A
的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是
____ ______，所有非空子集的个数是 ，所有非空真子集的个数是 。
3、
A?B
中元素的个数的计算公式为：
Card(A?B)?
；
4、原命题与逆否命题，否命题与逆命题具有相同的
第二章函数
1、函数定义域的求法：
①
y?
f(x)
*
，则 ； ②
y?
2n
f(x)(n?N)
则 ；
g(x)
③
y?[f(x)]
0
，则 ； ④如：
y?log
f(x)
g(x)
，则 ；
⑤含参问题的定义域要分类讨论；
⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域，此时的定义域要根据实际意义来确定。
2、函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型
的形式；
②逆 求法（反求法）：通过反解，用
常用来解，型如：
f(x)?ax
2
?bx? c,x?(m,n)
y
来表示
x
，再由
x
的取值范围，通过 解不等式，得出
y
的取值范围；
y?
ax?b
,x?(m,n)；
cx?d
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥基本不等式 法：转化成型如：
y?x?
k
(k?0)
，利用平均值不等式公式来求值域；
x
⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。
⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。
3、函数的性质：函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
⑴单调性：定义（注意定义是相对与某个具体的区间而言）
判定方法有：①定义法（作差比较和作商比较）②导数法（适用于多项式函数）
注： 函数 上的区间I且x
1
，x
2
∈I.若
f(x
1
)?f (x
2
)
x
1
?x
2
＞0（x
1
≠x
2
），则函数f(x)在区间I上是增函数；
若
f(x
1
)?f(x
2
)
x
1
?x
2
＜0（x
1
≠x
2
），则函数f(x)是在区间I上是减函数。
⑵奇偶性：定义（注意区间是否关于原点对称，比较f(x) 与f(-x)的关系）
f(x) －f(-x)=0
?
f(x) =f(-x)
?
f(x)为偶函数；
f(x)+f(-x)=0
?
f(x) =－f(-x)
?
f(x)为奇函数。

注:①若f(x)为偶函数,则f(x) =f(-x)= f(｜x｜);②若f(x)为奇函数且定义域中含0,则f(0)=0.

⑶周期性: ①若f(x+T)=f(x)且T≠0的常数,则T是函数f(x)的周期;
②若f(x+a)=f(x+b) ，a、b为常数且a≠b,则b- a是函数f(x)的周期。
⑷对称性:①若f(x+a)=f(b-x),则函数f(x)关于直线x=
a?b
对称;( 即:‘一均二等’的原则)
2
b?a
②若函数y=f(x+a)和函数y=f(b- x),则函数y=f(x+a)和函数y=f(b-x)关于直线x=对称.
2
③你还知道函 数y=f(x)关于直线x=0(即y轴),直线y=0(即x轴),原点,直线x+y+c=0, 直线x-y+c=0
对称的函数吗?写出来
⑸函数图象的变换你知道吗?平移变换,伸缩变换,翻折变换
⑹函数与反函数之间:f(a)=b
?
f(b)=a
-1
4、常用的初等函数：一次函数,二次函数,反比例函数, 指数函数,对数函数,
y?x?
k
(k?0)
的图象
x
和性质(重点掌握!!)
（1）一次函数：
（2）二次函数：
一般式：
两点式：
y?ax? b(a?0)
，当
a?0
时，是增函数；当
a?0
时，是减函数；
y?ax
2
?bx?c(a?0)
；对称轴方程是 ；顶点为 ；
y?a(x?x
1
)(x?x
2
)
；对称轴方程是 ；与
x
轴的交点为 ；
y?a(x?k)
2
?h
；对称轴方程是 ；顶点为 ； 顶点式：
（3）反比例函数：
y?
x
acmx?b
(遇y=的函 数一般用反比例函数来解决)
(x?0)
?
y?a?
xx?bnx?amn
a
n
（4）指数函数：
y?a(a?0,a?1)
指数运算法则
ab
= ；
m
b
（5）对数函数：
y
(ab)
= ；
a
= 。 = ；
n
0
?log
a
x(a?0,a?1)
对数运算法则：log
a
MN= ；log
a
n
M
N
= ；
log
a
M
n
= ；log
a
M
= ；log
a
m
M
n
= ； log
a
a
=1； log
a
1=0
log
a
b=

（换底公式）；
注意：（1）
a
log
a
N
=N（对数恒等式）
y?a
x
与
y?log
a
x
的图象关系是 ；
⑹
y?x?
k
(k?0)
的图象：定义域： ；值域： ； 奇偶性： ；
x
单调性： 是增函数； 是减函数。
5、补充内容：抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：
①
②< br>f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)
?
正比例函数
f(x)?kx(k?0)

f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)
；
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)
?
；

③
f(x
1
?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)
；
f(
x
1
)?f(x
1
)?f(x
2
)
?

x
2
第三章数列
1、常用公式：
a
n
=
?
S
1
(n?1)

?
?
?
S
n
?S
n?1
(n?2且n?N)
?a
n
?d(d
为常数
)
，则
?
a
n
?
是等差数列（证明 等差数列的依据）； 2、等差数列：⑴定义：若
a
n?1
⑵通项公式：①a
n
?a
1
?(n?1)d
；②
a
n
?a
m
?(n?m)d
；③
a
n
?dn?b

⑶求和公式：①
S
n
?na
1
?
n(a1
?a
n
)
n(n?1)
2
；②
S
n
?
；③
S
n
?pn?qn

2
2
*
⑷性质：①
若m+n=p+q（m，n，p，q∈N），则

②等差数列中
S
k
,S
2k
?S
k,S
3k
?S
2k
成等差数列；
?a
2
???a
n
=③等差数列{
a
n
}中
a
1
n
(a
1
?a
n
)
< br>2
3、等比数列：⑴定义：若
a
n?1
?q(q
为常数
)
，则
?
a
n
?
是等比数列（证明等比数列的依据）；
a
n
⑵通项公式：①
a
n
?a
1
q
n?1
；②
a
n
?a
m
q
n?m
；
?
na
1
(q?1)
?
na
1
(q ?1)
?
?
n
⑶求和公式：①
S
n
?
?
a
1
(1?q
n
)
；②
S
n
?
?
a
1
?a
n
q
； ③
S
n
?Aq?A

?
1?q
(q?1)
?
1?q
(q?1)
?
?
⑷性质：①
若m+n=p+q（m，n，p，q∈N），则

②等比数列中
S
k
,S
2k
*
?S
k
,S
3k
?S
2k
成比差数列；
③等比数列
{a
n< br>}
中.
a
1
a
2
a
3
?a
n
?(a
1
a
n
)
n
2

第四章三角函数
1、 任意圆中圆心角弧度的计算公式：____________；弧长公 式：____________；扇形的面积公式：
____________。（其中α的单位都是_ ______）
2、任意角的三角函数的定义：设
?
是一个任意大小的角，
?
的终边上任意的一点
P
距离是r=_____则：
sin
?
?
x,y
?
，它与原点的

?
___，
cos< br>?
?
___，
tan
?
?
___，
cot< br>?
?
___，
sec
?
?
___，
csc< br>?
?
___。
3、 同角三角函数间的基本关系式：
（1）平方关系 ：sin
2
α+cos
2
α=1；1+tan
2
α=sec
2
α；1+cot
2
α=csc
2
α
（2）商数关系：
tan
?
?
sin
?
cos< br>?
,cot
?
?
cos
?
sin
?

（3）倒数关系：sinα·cscα=1; cosα·secα=1; tanα·cotα=1

4、第一套诱导公式（函数名不变，符号看象限）
（1）sin(2kπ+α)＝_____，cos(2kπ+α)＝_____，tan(2kπ +α)＝____，
（2）sin(－α)＝_______， cos(－α)＝_______， tan(－α)＝_______，
（3）sin(π－α)＝_______， cos(π－α)＝_______， tan(π－α)＝_______，
（4）sin(π+α)＝_______， cos(π+α)＝_______， tan(π+α)＝_______，
（5）sin(2π－α)＝_______， cos(2π－α)＝_______， tan(2π－α)＝_______，
第二套诱导公式（函数名改变，符号看象限）
（1）sin(90
0
－α)＝_______， cos(90
0
－α)＝_______， tan(90
0
－α)＝_______，
（2）sin(90
0
＋α)＝_______， cos(90
0
＋α)＝_______， tan(90
0
＋α)＝_______，
（3）sin(270
0
－α)＝_______， cos(270
0
－α)＝_______， tan(270
0
－α)＝_______，
（4）sin(270
0
＋α)＝_______， cos(270
0
＋α)＝_______， tan(270
0
＋α)＝_______，
5、三角函数的和、差、倍、半公式
（1）和、差角公式：sin(α±β)＝___________，cos(α±β)＝ ， tan(α±β)＝___________
▲变形公式： tanα±tanβ＝tan(α±β)（1
?
tanα·tanβ）
▲
a
sinx+
b
cosx＝
a
2
?b
2
（
a
a?b
b
a
2
?b
2
22
si nx+
b
a?b
22
cosx）＝
a
2
?b
2
sin(x+φ),
(其中cosφ=
a
a
2
?b
2
，sinφ=，tanφ=
b
)
a
（2）二倍角公式：sin2α＝2sinα·cosα； cos2α＝cos
2
α－sin
2
α＝2cos
2
α－1=1－2sin
2α
2tan
?
▲万能公式：sin2α=
1?tan
2
?
▲降次公式：sin
2
α＝
1?tan
2
?
； cos2α=
1?tan
2
?
， cos
2
α＝
； tan2α=
2tan
?
1?tan
2
?

1?cos2
?
2
1?cos2
?
2

?
?
2
??
2
+ cos
2
）；1－sinα =（sin
2
－cos
2
）< br>2222
?
?
1+cosα=2cos
2
； 1－cosα=2 sin
2

22
1?cos
?
???< br>（3）半角公式：sin＝________， cos＝_________，▲tan＝_____ ___＝
sin
?
222
▲变形公式：1+sinα =（sin
2
（2）函数f（x）=Asin（ωx+φ），振幅为 ，周期为
＝
sin
?
1?cos
?
.
6、▲（1）三角函 数y=sinx，y=cosx，y=tanx的图象、定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性。
若函数f（x）是偶函数，则φ= ；若函数f（x）是偶函数，则φ= 。
（3）函数f（x）=Acos（ωx+φ），振幅为 ，周期为
若函数f（x）是偶函数，则φ= ；若函数f（x）是偶函数，则φ= 。
7、函数
y?Asin
?
?
x?
?
?
?k
，振幅为A，周期为 。，（1）
A?
y
大
?y
小
2
k?
（2）
y
大
?y
小
2

（3）T
＝相邻的两个最高点（或最底点）之间的距离，
个拐点的距离，
T
2< br>＝相邻两个最高点与最底点的距离，或相邻两
T
4
＝相邻的最值点与拐点的距离 。
第五章平面向量
1、若
P
1
（
x
1
,，P (
x
,
y
)，
P
2
（
x
2
,
y
2
），P分
P
y
1
）
1
P
2
所 成的比λ
则定比分点坐标公式是
?
中点坐标公式是
?

?
?
?
?
2、若△ABC三顶 点的坐标为A（
x
1
,
y
1
）、B（
x
2
,
y
2
）、C（
x
3
,
y
3）,则△ABC的重心坐标为
?
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
?
,
??
.
33
??
3、已知
a
＝（
x
1
,

两向量的数量积
y
1
），
b
＝（
x
2< br>,
y
2
），设它们间的夹角是θ，填下表：
定义形式 坐标形式
a
·
b
＝
│
a
│＝
a
·
b
＝
│
a
│＝
向量的长度
两向量间的角度
cos
?
＝

cos
?
＝

a
在
b
上的投影
两向量垂直
a
⊥
b

a
∥
b

第六章不等式
a
⊥
b

a
∥
b

两向量平行
4、（a+b）（a-b）= ；（a+b）
2
= ；（a-b）
2
=
1、不等式的性质（作用：解决与不等式有关的问题）
（1）不等式的基本性质：a＞b
?
a-b＞0； ； .
（2）对称性：a＞b
?
b＜a ；b＜a
?
.
（3）传递性：a＞b且b＞c
?
；c＜b 且b＜a
?
.
（4）加法单调性：a＞b
?
；同向不等式相加：a＞b且c＞d
?
.
（5）不等式变向原则：a＞b且c 0
?
ac＞bc；a＞b且c 0
?
ac＜bc .
同向不等式相乘：
（6）
?
ac＞bd ；
?
a
n
＞b
n
（n
?
N，且n＞1）.
?

n
a
＞
n
b
（n
?
N，且n＞1）.
11

ab
；a＞b且ab＜0
?
（7）a＞b且ab＞0
?

11

ab

2、几个重要的不等式（作用：（1）证明不等式；（2）解不等式；（3）求最大（小）值）

1．如果a，b
?
，那么a+b≥2ab（当且仅当 时取“=”号）
22
a?b
≥
ab
（当且仅当 时取“=”号）
2
a?b?c
3

3．如果a，b，c
?
，那么≥
abc
（当且仅当 时取“=”号）
3
2．如果a，b
?
，那么
2aba?b
a
2
?b
2
5．若a，b都是正数，则≤
ab
≤≤
a?b2
2
6．若a，b ，m都是正数，并且a＜b，比较
7．三角形不等式：
a
-
（
a?b
时取等号即称不等式链）
aa?mb?mb
≤≤ ≤.
bb?ma?ma
，其中不等式
b
≤
a?b
≤
ab
＋
a?b
≤
ab
＋
取“=”号时的充要条件
是 ，取“＜”号时的充要条件是
第七章直线和圆
1、若直线的斜率是k，则此直线的一个方向向量是_________；
2、经过两点P< br>1
（x
1
，y
1
），P
2
（x
2< br>，y
2
）的直线斜率公式k =_________；
3、直线方程：⑴点斜 式：若直线经过点P
1
（x
1
，y
1
），且斜率为k，则直 线的方程设为_____________，
若直线经过 点P
1
（x
1
，y
1
），且斜率为0，则直线的方程为 ，
若直线经过点P
1
（x
1
，y
1
），且斜率不存在，则直线的方程为 .
⑵斜截式：若直线斜率为k，在y轴上的截距为b，则直线的方程设为 .
⑶若直线经过两点P
1
（x
1
，y
1
），P< br>2
（x
2
，y
2
）.则方程设为（x
2
-x
1
）（y-y
1
）=（y
2
-y
1
）（x -x
1
）
当x
1
≠x
2
，y
1
≠y
2
时，这条直线的方程是 ；
当x
1=x
2
，y
1
≠y
2
时，这条直线的方程是 ；
当x
1
≠x
2
，y
1
=y
2
时，这条直线的方程是 .
⑷若截距式：直线在x轴上的截距为a（a ≠0），在y轴上的截距为b
(
b≠0
)
，则直线的方程是 .
⑸直线方程的一般方程为Ax+By+C=0 （A、B不同时为0），当B≠0时，方程变为 ，斜率为 ，
在y轴上的截距为 ；当B=0时，方程变为 .
4、在两坐标轴上截距相等的直线方程可设为 或 .
5、两直线的位置关系

直线方程

斜截式 一般式
l
1
:y?k
1
x?b
1

l
2
:y?k
2
x?b
2

k
1
与k
2
、b
1
与b
2
的关
系




l
1
:A
1
x?B
1y?C
1
?0

l
2
:A
2
x?B< br>2
y?C
2
?0

比例式 乘积式
l
1
与
l
2
平行
l
1
与
l
2
重合







l
1
与
l
2
相交
l
1
与
l
2
垂直
7、已知两点P
1（x
1
，y
1
）、P
2
（x
2
，y< br>2
），则
P
1
P
2
＝______________ ____＝_______________；

8、已知直线
l
1
:y=k
1
x+b
1
和
l
2
:y=k2
x+b
2
,
l
1
到
l
2
的 角为
?
1
,
l
2
到
l
1
的角为< br>?
2
,
l
1
与
l
2
的夹角为
?
,
若1+k
1
k
2
=0,则
?
1< br>=
?
2
=
?
=
若1+k
1
k
2
≠0, 则tan
?
1
= ,tan
?
2
= , tan
?
= .
9、点P(x
0
,y
0
)到直线Ax+By+C=0的距离d= .
10、 两条平行线Ax+By+C
1
=0与Ax+By+C
2
=0的距离d= .
11、曲线C：f
(
x，y
)
=0.关于x轴的对称曲线C1
的方程为 ，关于y轴的对称曲线C
2
的方程为 ，
关于原点的对称曲线C
3
的方程为 ，关于直线x-y=0的对称曲线C
4
的方程为 ，关于直线
x+y=0的对称曲线C
5
的方程为 ，关于直线x-y+C=0的对称曲线C
6
的方程为 ，关于直线
x+y+C=0的对称曲线C
7
的方程为 。
12、关于点对称的两条直线的位置关系是 .
13、与两条平行线 Ax+By+C
1
=0与Ax+By+C
2
=0的距离相等的直线方程是 .
14、与直线Ax+By+C=0平行的直线可设为__________；与直线Ax+By+C =0垂直的直线可设为__________.
15、二元一次不等式表示的平面区域的判断方法

特殊点代入法：当直线f（x,y）=Ax+By+C=0不过原点时，常用点（0，0）代入
若f(0,0)＞0，则原点所在的平面区域即是Ax+By+C＞0所表示的平面区域
若f(0,0)＜0，则原点所在的平面区域即是Ax+By+C＜0所表示的平面区域
公式法：
若A＞0，B＞0，则Ax+By+C＞0所表示的平面区域在直线Ax+By+C＝0的_____方
若A＞0，B＜0，则Ax+By+C＞0所表示的平面区域在直线Ax+By+C＝0的_____方
若A＜0，B＞0，则Ax+By+C＞0所表示的平面区域在直线Ax+By+C＝0的_____方
若A＜0，B＜0，则Ax+By+C＞0所表示的平面区域在直线Ax+By+C＝0的_____方
不等式Ax+By+C＜0所表示的平面区域与Ax+By+C＞0相反
15、圆的方程 < br>⑴圆的标准方程是__________________，其中圆心是__________，半径是_ _________。
⑵二元二次方程x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0
①当____________时，方程表示以_____________为圆心，以__________为 半径的圆；
②当____________时，方程表示一个点，此点的坐标是当_________ _______ ；
③当____________时，方程不表示任何图形。
⑶圆的参数 方程是__________________，其中圆心是__________，半径是_________ _。
16、过圆x+y=r上一点（x
0
，y
0
）的切线方程是x
0
x+ y
0
y=r
222
2222
2
过圆(x－a)+(y－b)=r上一点（x
0
，y
0
）的切线方程是(x
0
－a) (x－a)+ (y
0
－b)(y－b)=r
17、直线和圆的几种位置关系
记圆心到直线的距离为d，圆的半径是r, 则
（1）相离
?
______ ____；（2）相切
?
__________；（3）相交
?
______ ____；
18、圆与圆的几种位置关系
记两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R、r（R≥r），则
（1）相离
?
__________；（2）相外切
?
__________；（3）相交
?__________；
（4）相内切
?
__________；（5 ）内含
?
__________。
19、.两圆相交弦所在直线方程的求法： < br>圆C
1
的方程为：x+y+D
1
x+E
1
y+C1
=0.
22

圆C
2
的方程为：x+y+D< br>2
x+E
2
y+C
2
=0.
把两式相减得相交 弦所在直线方程为：(D
1
-D
2
)x+(E
1
-E
2
)y+(C
1
-C
2
)=0
第八章圆锥曲线
一、椭圆
1、椭圆定义：一个动点P，两定点F
1
，F
2
，且
⑴若2
a
＞
⑵若2
a
=
⑶若2
a＜
2、 椭圆的方程：
22
PF
1
?PF
2
=2
a
（
a
为常数）
F
1
F
2
F
1
F
2
F
1
F
2
，则动点P的轨迹是椭 圆
，则动点P的轨迹是线段F
1
F
2

，则动点P无轨迹。
x
2
y
2
⑴椭圆的标准方程：焦点在 x轴上时，方程为
2
?
2
?1
（a＞b＞0）
ab
y
2
x
2
焦点在y轴上时，方程为
2
?
2
?1
（a＞b＞0）

ab
?
x?acos
?
⑵ 椭圆的参数方程：焦点在x轴上时，参数方程为
?

（
?
为参数）
y?bsin
?
?
焦点在y轴上时，参数方程为
?
?
x?bcos
?

（
?
为参数
）
?
y?asin
?
3、 掌 握椭圆的性质（范围、对称性、顶点坐标、焦点坐标、长轴长2
a
、短轴长2
b
、焦距2c、长半轴
a
、
2b
2
短半轴
b
、半焦 距
c
、通经
a
a
2
=
b
2
+c
2
）
二、双曲线
b
2
、相应焦准距
c< br>、准线方程、离心率
c
a
、焦半径（第二定义）、
1、双曲线定义：一 个动点P，两定点F
1
，F
2
，且
⑴若2
a
＞⑵若2
a
=
⑶若2
a
＜
PF
1
?PF
2
=2
a
（
a
为常数）
F
1
F
2
F
1
F
2
F
1
F
2
， 则动点P无轨迹
，则动点P的轨迹是以F
1
、F
2
为端点的两条射 线（在直线F
1
F
2
上）
，则动点P的轨迹是双曲线。
x
2
y
2
2、双曲线的标准方程：焦点在x轴上时，方程为
2
?
2
?1
（a＞0，b＞0）

ab
y
2
x
2
焦点在y轴上时，方程为
2
?
2
?1
（a＞ 0，b＞0）

ab

3、 掌握双曲线的性质（范围、对称性、顶点坐 标、焦点坐标、实轴长2
a
、虚轴长2
b
、焦距2c、
2b
2
实半轴
a
、虚半轴
b
、半焦距
c
、通经
a
半径（第二定义）、
a
2
+
b
2
=
c
2
）
b
2
、相应焦准距
c
、准线方程、渐近线方 程、离心率
c
、焦
a
x
2
y
2
4、①双曲 线方程
2
-
2
ab
x
2
y
2
②渐 近线是
2
-
2
ab
三、抛物线
x
2
y< br>2
=1(a＞0,b＞0)即
2
-
2
ab
=0(或y =±
b
x) (a＞0,b＞0)就是其渐近线方程;
a
=λ(λ≠0),k是待定系数.
x
2
y
2
b
=0(或y=±x) (a＞0,b＞0)的双 曲线设为
2
-
2
a
ab
5、等轴双曲线表示为 ,离心率为 ,渐近线为 .
1、 抛物线定义：一个动点P到定点F的距离与P到定直线
l
的距离的比为
e
.
若0＜
e
＜1,则动点P的轨迹是椭圆; 若
e
=1, ,则动点P的轨迹是抛物线;
若
e
＞1, ,则动点P的轨迹是双曲线
p

2
p
P
焦点在y轴上时，方程可设为x=2py
2
,焦点为(0，),准线方程是y=
?
2
2
2、 抛物线的标准方程：焦点在x轴上时，方程可设为y=2px
2
,焦点为(
P
2
，0),准线方程是x=
?
3、抛物线 的性质（范围、对称性、顶点坐标、通经为2p、焦准距p、离心率1）
3、 关于抛物线y
2
=2px（p＞0）焦点F弦的端点为A（x
1
，y
1
）、B（x
2
，y
2
），性质:⑴
AB
= x
1
+ x
2
+ p，
。 x
1
x
2
=
p2
4
，⑶y
1
y
2
=
?p
2
，⑷
112
2p
??
，⑸若AB与对称轴的夹角为
?
，则< br>AB
=
AFBFp
sin
2
?
四、圆锥曲线的性质：
x
2
y
2
1、P是椭圆
2
?
2
? 1
（
a
＞
b
b＞0）上的一点,F
1
、F
2
是两焦点，若∠F
1
PF
2
=
?
（0＜
?
＜
?
ab
求证△F
1
PF
2
的面积为< br>b
tan
2
），
?
.
2
），
x
2
y
2
2、P是双曲线
2
?
2
?1（a＞0,b＞0）上的一点,F
1
、F
2
是两焦点，若∠F
1
PF
2
=
?
（0＜
?
＜
?
ab< br>求证△F
1
PF
2
的面积为
b
cot
2?
.
2
1
y
1
?y
2
2
k
3、弦长公式(直线和曲线相交时,其被曲线所截的线段叫做弦) 设M(x,y),N(x,y),则弦长
MN

=
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
=
1?k
2
x
1
?x
2
=
1?< br> (k为已知直线斜率)

第九章 立体几何
一、证明（线线、线面、面面）平行和垂直
1、平行的证明：
(1)线线平行的证明
①若
a
∥
b
，
a
∥
c
.则
b
∥
c
; ②若
a
∥
?
,
a
③若
?
∥
?
,
?


(2)线面平行的证明
?
?
,
?
?
?
=
l
.则
a
∥
l

?
?
?m
,
?
?
?
?n
.则
m
∥
n
; ④
a?
?
?
?
?
a
∥
b

b?
?
?
a?b
?
?
①
a?
?
?
?
?
a
∥
?
②
a?
?< br>?
?
a
∥
?
b?
?
?
?


(3)面面平行的证明
; ③
?
?
?
?
?
?a
∥
?

a?
?
?
a?
?
b?
?
①
a?
?
?
?
?
?
?
?
?
∥
?
?
b?
?
?
a与b相交
?
?
②
a?
?
?
?
?
?
∥
?
a??
?

2、垂直的证明
(1)线线垂直的证明
①若
a
∥
b
，
l
则
l?b
； ②
?a，
l?
?
?
?
?
l?a

a?
?
?
③三垂线定理或三垂线定理的逆定理
PO?
?< br>??
??
a?
?
??
??
OA是PA在
?< br>上
?
?PA?a
；
OA是PA在
?
上
?
?OA?a

??
的 射影的射影
??
??
OA?aPA?a
??
④向量证明：
a ?b?0?a?b

PO?
?
a?
?
(2)线面垂直的证明
?
?
a?b
?
?
①
?
?l?
?
； ②
?
?b?
?
；
a、b?
?
?
a??
?
a与b相交
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?l
?
?
?
?
?
??a?
?
③ ； ④
?
?
?a?
?
.
a?
?
a?
?
?
?
?
a?l
?
l?a
l?b

< br>(3)面面垂直的证明
a?
?
?
①二面角
?
?l?
?
是直二面角
?
?
?
?
； ②
?
?
?
?
?
；
a?
?
?

?
的法向量为n
?
③
?
?
?
的法向量为m
?
?
?
?
?

?
n?m?0
?
?
二、所成的角
1、 直线与直线所成的角的范围是
?
0,90
?

00
⑴若直线 与直线平行，则所成角为0
0
；⑵若直线与直线相交，则所成角为
?
0,90
?
；
00
⑶两条异面直线所成角θ的范围是 (0?，90?].两条异面 直线所成的角是本单元的重点．求两条异面直线
所成的角的基本方法是通过平移将其转化为两条相交直线 (即作出平面角)．主要有四种方法：
① 直接平移法(利用图中已有的平行线)；
② 中位线平移法；
③ 补形平移法(延长某线段、延展某个面或补一个与已知几何体相同的几何体，以便找出平行线)．
④ 向量法：设
a
,
b
分别是异面直线a、b上的两个非零向量，则cos
?
=|cos<
a
,

a?b
b
>|=．
a?b
2、直线和平面所成的角的范围是［0
0
，90
0
］
⑴若直线和平面平行或在平面内，则直线和平面所成的角是0?；
⑵若直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是90
0
；
⑶斜线l
和平面
?
所成的角是平面
?
的斜线
l
和它在 这个平面内的射影的夹角.范围是（0，90）
00
方法：①关键是作垂线，找射影.构造一个直角三角形
②向量求法:求
?
的法向量
n
和
l
, |cos<
n
,

l
>|=
n?l
=k(0n?l
则
l
和
?
所成的角是
arcsink
(或
3、二面角大小范围 是［0?，180?］
?
-
arccosk
)
2
方法： ①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法；④射影面积公式S′=Scos
θ
；
⑤向量求法：求
?
、
?
的法向量分别为
n和
m
，coc＜
n
，
m
＞=k，若二面角
?< br>-
l
-
?
是
锐二面角时，则大小为
arccosk
；若二面角
?
-
l
-
?
是钝二面角时，则大 小为
?
-
arccos
k

三、距离：(1)两点之间的距 离.(2)点到直线的距离.(3)点到平面的距离.(4)两条平行线间的距离.(5)两条异面
直 线间的距离.(6)平面的平行直线与平面之间的距离.(7)两个平行平面之间的距离.在七种距离中，求点到
平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.
▲求点到平面的距离：(1)直接法， 即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平

面的距离.( 3)体积法；⑷向量法：如点P到面
?
的距离d=
PA?n
n
（其中
n
是面
?
的法向量，A
?
?
）
四、三个唯一
1、 过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线；
2、 过一点有且只有一条直线垂直于已知平面；3、过一点有且只有一个平面垂直于已知直线.
五、重要性质
1、O是P点在△ABC所在的平面上的射影，即PO⊥面ABC.
⑴若PA=PB=PC,则点O是△ABC的外心;
⑵若PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC垂足分别为D、E、F且PD=PE=PF.
则点O是△ABC的内心;
⑶若PA⊥BC,PB⊥AC. 则点O是△ABC的垂心
3、 ⑴若∠POA=∠POB，则PO在面AOB上的射影是∠AOB的角平分线；
⑵若∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别E、F且PE=PF.
则点P在面AOB上的射影在∠AOB平分线.
4、 如图，已知OB?平面
?
于B，OA是平面
?
的斜线，A为斜足，
直线AC?平面
?
，设?OAB=
?
1
，又?CAB=
?< br>2
，?OAC=
?
．
那么cos
?
=cos
?
1
?cos
?
2
．
5、 在Rt△ABC中，∠C=90
0
.对应边分别为
O
B
A
D
?

C
a
、
b
、
c

⑴Rt△ABC的外心（外接圆的圆 心）在斜边的中点且半径R=
⑵Rt△ABC的内心（内切圆的圆心）且半径r=
⑶ ⑷

c

2
a?b?c

2

六、简单几何体
1棱柱:
(1) {正方体}
?
{正四棱柱}< br>?
{长方体}
?
{直平行六面体}
?
{直四棱柱}
?
{四棱柱}
?
{棱柱}
{正方体}
?
{正四棱柱}
?
{长方体}
?
{直平行六面体}
?
{平行六面体}
?< br>{四棱柱}
?
{棱柱}
(2)棱柱的侧面积
S
侧
?C
直
l
（
其中
C
直
为直截面的周长,
l
为棱长
)
; 棱柱的体积
V
=
S
底
h

(3)直棱柱的侧面积
S
侧
① 对角线长
l
=
?C
底
l
; 直棱柱的体积
V
=
S
底
h

(4)特殊棱柱长方体 A
1
B
1
C
1
D
1
-ABCD的长、宽、 高分别为
a
、
b
、
c

a
2
?b
2
?c
2

2
② 长方体外接球的直径2R等于对角线长
l
；
③ 若对角线与一个顶点引的三条棱所成 角分别为
?
、
?
、
?
.则
cos
④
⑤
?
?cos
2
?
?cos
2
?
222
若对角线与一个顶点引的三个面所成角分别为
?
、
?
、?
.则
cos
?
?cos
?
?cos
?
长方体的表面积S=2
(ab?bc?bc)
;长方体的体积V=
abc
;
=1;
=2;
⑥ 正方体的内切球的直径等于棱长
2、 棱锥:
(1) 棱锥的性质：若棱锥P- ABC…被平行于底面ABC的截面A
1
B
1
C
1
所截，则
① 多边形ABC…∽多边形A
1
B
1
C
1
…，设 相似比为
?
；
②
h
截
h
原
?
?
；
S
截
S
原
?
?
2
；
V
截
V
原
?
?
3
。

③ V=
1
S
底
h

3
⑵正棱锥（①底面是正多边形；②顶点在底面的射影是正多边形的中心）
①
S
正侧
?
11
C
底
h
斜
； ②V=
S
底
h

23
3、多面体
⑴正多面体只有五种：正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体，正二十面体。
其中正四面体、正八面体、正二十面体的面都是三角形，正六面体的面是正方形，
正二十面体是五边形。
⑵简单多面体的顶点数
V
、面数
F
、棱数E之间的关系：
V
简单多面体各个面的内角和等于
(V
?F?E?2

?2)?360
0

nFmV
若各面多边形的边数
n
，则
E?
； 若各个顶点引出的棱数
m
，则
E?
22
3、 球
⑴球的截面有以下性质：
① 球心和截面圆心的连线垂直于截面
② 球心到截面的 距离
d
与球的半径
R
及截面的半径
r
有以下的关系：
r

?R
2
?d
2

?4
?
R
2
；
4
3
⑶球的体积：
V?
?
R

3
⑵球的表面积：
S
第十章 排列组合与二项式定理
１． 计数原理
①加法原理：
N?n
1
?n
2
???n
m
(分类) ②乘法原理：
N?n
1
?n
2
???n
m
(分步)
２． 排列（有序）与组合（无序）
①
m
A
n
?n(n?1)(n?2)?(n?m?1)
=
n!
n
②
A
n
?n!

(n?m)!
③
C
nm
?
n(n?1)(n?2)?(n?m?1)
?
m!
m
n!

(n?m)!m!
④组合的两个性质：
C
n
n?m mm?1m
?C
n
?C
n
；
C
n
?C
n?1

３． 排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排
排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以
位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.
捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑）
插空法（解决相间问题） 间接法和去杂法等等
在求解排列与组合应用问题时，应注意：( 1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题；(2)通过分析确
定运用分类计数原理还是分步计数原理 ；(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；(4)列出式子计算
和作答.
经常运用的数学思想是：①分类讨论思想 ②转化思想； ③对称思想.
４． 二项式定理：
①
(a?b)
n0n1n?11rn?rnn
?C
n
a?C
n
ab???C
n
a
n
???C
n
b

1rrnn
x)
n
?1?C
n
x?? ?C
n
x???C
n
x
特别地：
(1?

②通项为第
r?1
项：
T
r?1
rn?rr?C
n
ab
作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。
mn?m
?C
n
③主要性质和主要结论：对称性
C
n< br>最大二项式系数在中间。（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项）
所有二项 式系数的和：
C
n
012n
?C
n
?C
n
???C
n
?2
n
0

C
n
奇数项二项式 系数的和＝偶数项而是系数的和：
项的系数的和时注意赋值法的应用。
24135
? C
n
?C
n
???C
n
?C
n
?C
n
???2
n?1

5.注意二项式系数与项的系数（字母项的系数，指定 项的系数等，指运算结果的系数）的区别，在求某几
6．二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问 题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有
关的不等式。
第十一章概率统计 1．必然事件
P(A)?1
，不可能事件
P(A)?0
，随机事件的定义
0?P(A)?1
。
2.⑴等可能事件的概率：（古典概率）
P(A)=
⑵事件
事件
m
n
理解这里
m
、
n
的意义。
即事件
A
、
B
不可能同时发生，这时
P(A?B)?0
，
P(A?B)?P(A)?P(B )

A
、
B
互斥，

A
、
B对立，即事件
A
、
B
不可能同时发生，但A、B中必然有一个发生。这时
P(A?B)?0
，
P(A)?P(B)?1

⑶独立事件：（事 件
A
、
B
的发生相互独立，互不影响）
P(A?B)?P(A)?P (B)

k
?C
n
P
k
(1?P)
n? k
表示事件
A
在
n
次独立重复试验中恰好发
．．．
独立重复事件（贝努里概型）
P
n
(k)
生了的概率。
．．
k
次
．
P
为在一次独立重复试验中事件
A
发生的概率。
n
特殊：令
k?0
得：在
n
次独立重复试验中，事件
A
没有发生的概率为
．．．．．．．．
P
n
(0)?(1?P)< br>
令
k
n
P(n)?P

?n
得：在
n
次独立重复试验中，事件A全部发生的概率为
n
．．．．．．．．
3.统计、总体、个体、样本、，样本个体、样本容量的定义；
抽样方法：1简单随机抽样：包括随机数表法，抽签法；2系统抽样 3分层抽样。
11
n
样本平均数：
x?(x
1
?x
2
? x
3
???x
n
)?
?
x
i
nn
i?1
样本方差：
S
S=
2

2
1
[( x
1
－
x
)
2
+(x
2
－
x)
2
+ (x
3
－
x
)
2
+…+(x
n
－
x
)
2
]
n
样本标准差：
S
=
S
2
作用：估计总体的稳定程度

第十二章、导数及应用

1 ．导数的定义：f(x)在点x
0
处的导数记作
y
?
x?x
0
?f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
。
?x
用定义求函数的导数步骤为：
⑴求函数的增量
?y?f(x??x)?f(x);

?yf(x??x)?f(x)
;
?
?x?x
?y
。 ( 3)取极限,得导数
f
?
(x)?lim
?x?0
?x
(2 )求平均变化率
2．导数的几何意义：曲线y＝f（x）在点P（x
0
,f(x
0
)）处的切线方程是
3．常见函数的导数公式：
C
?
y?y0
?f'(x
0
)(x?x
0
)
。
?0(C 为常数);(x
m
)
?
?mx
m-1
(m?Q);

（f（x）±g（x））
,
= （f（x）g（x））
,
=
（af（x））
,
= (a为常数) （x+1））= (n∈Q)
（（ax+1））= (a为常数,n∈Q)
4．导数的应用
（1）利用导数判断函数的单调性：设函数y＝f（x）在某个区间内可导， 若
若
n'
n'
f
?
(x)?0,
则f(x)为增函 数；
f
?
(x)?0,
则f(x)为减函数；若在某个区间内恒有
f
?
(x)?0,
则f(x)为常数，因此，
f
?
(x)?0
是
f(x)
为增函数的必要不充分条件；
（2）求可导函数极值的步骤：
①求导数
f
?
(x)
；②求方程
f
?
(x )?0
的根；③检验
f
?
(x)
在方程
f
?
(x)?0
根的左右的符号，如果
左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值； 如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值；
（3）求可导函数f（x）在区间[a ，b]最大值与最小值的步骤：①求y=f(x)在(a,b)内的极值；②将y=f(x)在
各极值点 的极值与f（a）、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值。