【2020年】2020年苏教版高中数学必修二(全册)同步练习汇总

【推荐】2020年苏教版高中数学必修二（全
册）同步练习汇总

第1章 立体几何初步
1.1 空间几何体
1.1.1 棱柱、棱锥和棱台

A级 基础巩固
1．下列图中属于棱柱的有( )

A．2个
C．4个
B．3个
D．5个
解析：根据棱柱的定义, 第一行中前两个和第二行中后两个为棱
柱．
答案：C
2．五棱柱中, 不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连
线称为它的对角线, 那么一个五棱柱共有对角线( )
A．20条
C．12条
B．15条
D．10条
解析：由题意五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的
一个顶点的连线, 因为不同在任何侧面内, 故从一个顶点出发的对
角线有2条, 五棱柱的对角线共有2×5＝10(条)．
答案：D
3．下面图形所表示的几何体中, 不是棱锥的为( )

解析：判断一个几何体是否是棱锥, 关键看它是否满足以下条
件：有一个面是多边形, 其余各面都是三角形, 且是有一个公共顶点
的三角形．故A不是棱锥；B是四棱锥；C, D是五棱锥．
答案：A
4．关于棱柱的下列说法中正确的是________(填序号)．
①所有的棱都相等；
②至少有两个面的形状完全相同；
③相邻两个面的交线叫作侧棱．
解析：①错误, 因为侧棱与底面上的棱不一定相等；②正确, 根
据棱柱的结构特征知, 棱柱的两个底面一定是全等的, 故棱柱中至
少有两个面的形状完全相同；③错误, 因为底面和侧面的公共边不是
侧棱．
答案：②
5．观察如图所示的正六棱柱, 共有________对平行平面, 能作为
棱柱底面的有________对．

解析：观察图中的正六棱柱, 可知共有4对平行平面, 其中能作
为棱柱底面的只有1对．
答案：4 1
6．下列说法正确的是________(填序号)．
①底面是正方形的棱锥是正四棱锥；
②各条侧棱都相等的棱锥是正棱锥；
③底面是正三角形, 其余各个面是等腰三角形的三棱锥一定是
正三棱锥；
④正四面体是正三棱锥．
解析：根据定义判定．
答案：④
7．在四棱锥的四个侧面中, 直角三角形最多有______个．
解析：从长方体中寻找四棱锥模型．
答案：4
8．有一个面是多边形, 其余各面都是三角形的几何体一定是棱
锥吗？
解：不一定, 因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各

面是有一个公共顶点的三角形”, 如图所示的几何体并不是棱锥．

9．下列三个命题, 其中正确的有________个．
①用一个平面去截棱锥, 棱锥底面和截面之间的部分是棱台；
②两个底面平行且相似, 其余各面都是梯形的多面体是棱台；
③有两个面互相平行, 其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱
台．
解析：由棱台定义知3个命题均不正确．
答案：0
B级 能力提升
10.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图所示),
则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为( )

解析：两个☆不能并列相邻, B、D错误；两个※不能并列相
邻, C错误, 故选A.也可通过实物制作检验来判定．
答案：A
11．下列说法不正确的是________(填序号)．
①有些棱台的侧棱都相等；
②四棱锥有五个顶点；
③三棱台的上、下底面是相似三角形；
④有两个面平行且相似, 其余各面都是梯形的几何体是棱台．
解析：根据棱锥顶点的定义可知, 四棱锥仅有一个顶点, 则②不

正确；显然①③正确；举反例：将两个相同的四棱台的上底面重合上
下放置, 得到的几何体不是棱台, ④不正确．
答案：②④
12．下列图中的几何体是棱台的是________(填序号)．

解析：①③都不是由棱锥截成的, 不符合棱台的定义, 故①③不
满足题意．②中的截面不平行于底面, 不符合棱台的定义, 故②不满
足题意．④符合棱台的定义．
答案：④
13.如图所示是一个正方体的表面展开图, 把它折回成正方体后,
下列命题中, 正确命题的序号是________．

①点H与点C重合；
②点D, M与点R重合；
③点B与点Q重合；
④点A与点S重合．
解析：把面EFNM作为该正方体的底面, 将展开图还原为正方
体, 如图所示, 然后逐个检验, 便可得到命题②④是正确的．

答案：②④
14．一个长方体过同一顶点的三个面的面积分别为2, 3, 6,
这个长方体的对角线的长是________．

解析：设三边分别为a, b, c, 则ab＝2, bc＝3, ca＝6, 解
得：a＝2, b＝1, c＝3, 所以对角线长为a
2
＋b
2
＋c
2
＝1＋2＋3
＝6.
答案：6
15．两个完全相同的长方体, 长、宽、高分别为5 cm, 4 cm, 3 cm,
把它们重叠在一起组成一个新长方体, 在这些新长方体中, 求最长的
对角线的长度．
解：当一个长方体放在另一个长方体的上方时, 这时新的长方体
的对角线长
d1
＝5
2
＋4
2
＋（3＋3）
2
＝77(cm )；
当一个长方体放在另一个长方体的右边时, 这时新的长方体的
对角线长
d< br>2
＝（5＋5）
2
＋4
2
＋3
2
＝55(c m)；
当一个长方体放在另一个长方体的前方时, 这时新的长方体的
对角线长
d
3
＝5
2
＋（4＋4）
2
＋3
2
＝72( cm)．
综上可知, 新长方体中, 最长的对角线的长度为55 cm.
16.如图所示, 已知正四棱锥V-ABCD的底面面积为16, 一条侧
棱长为211, 点E是BC的中点, 计算它的高和斜高．

解：因为正方形ABCD的面积为16,
所以边长为4, OB＝22.
又侧棱长为211,
所以VO＝（211）
2
－（22）
2
＝6.
又OE＝2, 所以斜高VE＝6
2
＋2
2
＝210.
故它的高为6, 斜高为210.

第1章 立体几何初步
1.1 空间几何体
1.1.2 圆柱、圆锥、圆台和球

A级 基础巩固
1．下列说法正确的是( )
A．直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥
B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．通过圆台侧面上一点, 有无数条母线
解析：圆锥是直角三角形绕直角边所在直线旋转得到的, 如果绕
斜边旋转就不是圆锥, A不正确；夹在圆柱两个平行于底面的截面间
的几何体才是旋转体, 故B不正确；通过圆台侧面上一点, 有且只
有一条母线, 故D不正确．
答案：C
2．下列说法正确的是( )
A．直线绕定直线旋转形成柱面
B．半圆绕定直线旋转形成球体
C．有两个面互相平行, 其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱
台
D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的

解析：两直线平行时, 直线绕定直线旋转才形成柱面, 故A不
正确；半圆以直径所在直线为轴旋转形成球体, 故B不正确；C不
符合棱台的定义．
答案：D
3．下列命题中, 正确的是( )
A．平行于圆锥的一条母线的截面是等腰三角形
B．平行于圆台的一条母线的截面是等腰梯形
C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形
D．过圆台一个底面中心的截面是等腰梯形
解析：A中的截面是抛物面, 故错误；B中截面只过一个底面时,
不成立；而D中截面不过另一个底面时, 也不成立；因为圆锥的母
线相等, 所以过圆锥顶点的截面是等腰三角形, 故C成立．
答案：C
4．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底
面, 下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体, 现用一个竖直的平面
去截这个组合体, 则截面图形可能是( )

A．①② B．①③ C．①④ D．①⑤

解析：一个圆柱挖去一个圆锥后, 剩下的几何体被一个竖直的平
面所截后, 圆柱的轮廓是矩形除去一条边, 圆锥的轮廓是三角形除
去一条边或抛物线的一部分．
答案：D
5．给出以下命题：
①空间中到定点的距离等于定长r的点的集合, 构成半径为r的
球；
②空间中到定点的距离等于定长r的点的集合, 构成半径为r的
球面；
③一个圆面绕其直径所在直线旋转180°所形成的曲面围成的
几何体是球；
④球面的对称轴有无数条, 对称中心有无数个．
其中正确的是________(填序号)．
解析：由球的定义知, ①错误, ②正确, ③正确；④错误, 因为
球面的对称中心只有一个, 即球心．
答案：②③
6．半圆绕着直径所在直线旋转一周所得的几何图形是______．
解析：注意球与球面、半圆与半圆面的区别．
答案：球面
7．如图所示, 一个圆环面绕着过圆心的直线l旋转180°, 想象
并说出它形成的几何体的结构特征．试着说出它的名称为________．

解析：旋转形成的几何体是由两个同心球构成的, 即大球中挖去
一个同心的小球．
答案：空心球
8．一个正方体内接于一个球, 过球心作一截面, 如下图所示, 则
截面的可能图形是________(填图序)．

解析：当截面平行于正方体的一个侧面时得③, 当截面过正方体
对角线时得②, 当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①, 但
无论如何都不能得出④.
答案：图①、图②、图③

B级 能力提升
9．下面平面图形中能旋转而形成如图所示的几何体的是( )

解析：此几何体自上向下是由一个圆锥、两个圆台和一个圆柱构
成, 是由A中的平面图形旋转而形成的．
答案：A
10．用一个平面截半径为25 cm的球, 截面圆的面积是49π cm
2
,
则球心到截面的距离为________．
解析：球的半径R＝25(cm), 截面圆的半径r＝7(cm), 则球心到
截面的距离d＝25
2
－7
2
＝24(cm)．
答案：24 cm
11．若一个圆锥的轴截面是等边三角形, 其面积为3, 则这个圆
锥的母线长为________．
解析：如图所示, 设等边三角形ABC为圆锥的轴截面, 由题意
易知其母线长即△ABC的边长, 且S
△
ABC
＝
AB
2
.
3
2
3
AB, 所以3＝
44

所以AB＝2.
故所求圆锥的母线长为2.
答案：2
12．指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的．

图① 图② < br>解：(1)图中的几何体是由六棱柱中挖去一个圆柱构成的．(2)图
中的几何体是由圆锥、圆柱 、圆台构成的．
13．已知圆柱的底面圆的半径是20 cm, 高是15 cm, 则平行于圆
柱的轴且与此轴相距12 cm的截面面积是________cm
2
.

解析：圆柱的底面如图所示,

设所求截面的底边长为x cm,
?
x
?
由题意得
?< br>2
?
＝20
2
－12
2
, 解得x＝32, ??
2
所以S
截面
＝32×15＝480(cm
2
)．
答案：480
14．把四个半径为R的小球放在桌面上, 使下层三个, 上层一个,
两两相切, 求上层小球最高处离桌面的距离．
解：如图所示, 由于四个半径为R的球两两相切, 故四个球的
球心构成一个棱长为2R的正四面体O
4
-O
1
O
2
O
3
, 因为底面等边三角
形O1
O
2
O
3
的高为
3
×2R, 所以该棱锥的高
2

OO
4
＝
?
23
?
26
2
??
（2R）－R.
R
＝
3
?
3
?
2
所以上层小球最高处离桌面的距离
?
26
26
?
??
R. d＝R＋R＋R＝
2＋
3
3
??


第1章 立体几何初步
1.1 空间几何体
1.1.3 中心投影和平行投影

A级 基础巩固
1．已知△ABC, 若选定的投影面与△ABC所在平面平行, 则经
过中心投影后所得三角形与△ABC( )
A．全等
C．不相似
B．相似
D．以上都不对
解析：根据中心投影的概念判断是相似．
答案：B
2．下列命题正确的是( )
A．矩形的平行投影一定是矩形
B．梯形的平行投影一定是梯形
C．两条相交直线的投影可能平行
D．一条线段中点的平行投影仍是这条线段投影的中点
解析：因为当平面图形与投射线平行时, 所得投影是线段, 故
A, B错．又因为点的平行投影仍是点, 所以相交直线的投影不可能
平行, 故C错．由排除法可知, 选项D正确．
答案：D
3．(2014·福建卷)某空间几何体的正视图是三角形, 则该几何体

不可能是( )
A．圆柱
C．四面体
B．圆锥
D．三棱柱
解析：由三视图知识, 知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使
其正视图为三角形, 而圆柱的正视图不可能为三角形．
答案：A
4．下列几何体各自的三视图中, 有且仅有两个视图相同的是
( )

A．①②
C．①④
B．①③
D．②④
解 析：在各自的三视图中：①正方体的三个视图都相同；②圆锥
有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不 同；④正四棱锥有两个视
图相同．
答案：D
5．将长方体截去一个四棱锥, 得到的几何体如图所示, 则该几何
体的侧视图为( )

解析：所给几何体的侧视图是矩形, 里面从右上到左下加对角
线．
答案：D
6．一个图形的平行投影是一条线段, 这个图形不可能是下列图
形中的________(填序号)．
①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．
解析：①的平行投影是线段或点；②的平行投影是直线或点；对
于③④, 当图形所在面与投影面垂直时, 其正投影为线段；⑤的平行
投影显然不可能是线段．故填②⑤.

答案：②⑤
7．两条相交直线的平行投影是___________________________．
解析：当两条相交直线所在平面与投影线不平行时, 平行投影是
两条相交直线；当平行时, 其投影是一条直线．
答案：两条相交直线或一条直线
8．图①和图②为两个几何体的三视图, 根据三视图可以判断这
两个几何体分别为________、________．

解析：根据三视图的形状联想几何体的结构．
答案：圆台 四棱锥
9．如图所示的长方体和圆柱的三视图是否正确？

解：均不正确．画一个物体的三视图, 不仅要确定其形状, 而且
要确定线段的长短关系．长方体和圆柱的正确三视图如图所示：

B级 能力提升
10．(2014·江西卷)一几何体的直观图如图所示, 下列给出的四个
俯视图中正确的是( )

解析：该几何体是组合体, 上面的几何体是一个五面体, 下面是
一个长方体, 且五面体的一个面即为长方体的一个面, 五面体最上
面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等, 故选B.
答案：B
11．画简单组合体的三视图时, 下列说法错误的是________(填序
号)．
①主视图与俯视图长相同；
②主视图与左视图高平齐；
③俯视图与左视图宽相等；

④俯视图画在左视图的正下方．
解析：由画图时遵循“长对正、高平齐、宽相等”, 易知①②③
正确．
答案：④
12．下列实例中, 不是中心投影的是________(填序号)．
①工程图纸；②小孔成像；③相片；④人的视觉．
解析：由中心投影和平行投影的定义知, 小孔成像、相片、人的
视觉为中心投影, 工程图纸为平行投影．
答案：①
13．一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的直观图可以是
________(填图序)．

解析：由三视图可知该几何体上部分是一个圆台, 下部分是一个
圆柱, 故填图④.
答案：图④
14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示, 则这个正三棱柱的高
和底面边长分别为________、________．

解析：从左视图中得到高为2, 正三棱柱的底面正三角形的高为
23, 可得边长为4.
答案：2 4
15．已知正方体的棱长为1, 其俯视图是一个面积为1的正方形,
左视图是一个面积为2的矩形, 则该正方体的主视图的面积等于
________．
解析：由题意可知, 该正方体是斜放的, 其俯视图恰好是正方形,
而左视图和主视图都是正方体的对角面, 故该正方体的主视图的面
积等于2.
答案：2
16．在一个仓库里堆放着若干个相同的正方体货箱, 仓库管理员
将这堆货箱的三视图画了出来, 如图所示, 则这堆正方体货箱共有
________个．

解析：由主视图可知货箱有3层, 由左视图可知货箱前后有3
排, 由俯视图可知货箱有3列, 则货箱的具体分布情况如图所示,
其中小正方形的数字表示此位置上面货 箱的个数．因此这堆正方体货
箱共有3＋1＋1＋2＋1＋1＝9(个)．

答案：9


第1章 立体几何初步

1.1 空间几何体
1.1.4 直观图画法

A组 基础巩固
1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图, 对其中的线
段说法错误的是( )
A．原来相交的线段仍相交 B．原来垂直的线段仍垂直
C．原来平行的线段仍平行 D．原来共点的线段仍共点
解析：根据斜二测画法可知, 原来垂直的线段未必垂直．
答案：B
2．建立坐标系, 得到的两个正三角形ABC的直观图不是全等三
角形的一组是( )

解析：由斜二测画法规则易知A、B、D中的直观图全等．
答案：C
3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图, 正确的是
( )

解析：正方形的直观图应为平行四边形且平行于y′轴的线段的长
度减半, 故只有C正确．
答案：C
4．下图为一平面图形的直观图, 因此平面图形可能是( )

解析：根据直观图, 平面图形的一边在x′轴上, 另一边与y′轴平
行, 故此平面图形是左边为直角腰的直角梯形．
答案：C
5．如图所示, △A′B′C′是△ABC的直观图, 其中A′C′＝
A′B′, 那么△ABC是( )

A．等腰三角形
C．等腰直角三角形
B．直角三角形
D．钝角三角形
解析：由直观图看出, 三角形中有两边分别和两轴平行且相等,
由斜二测画法知原图中相应两边与两轴平行, 即有两边垂直且不等,
所以原三角形为直角三角形．
答案：B
6．利用斜二测画法得到的：
①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边
形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形；⑤梯形的
直观图是梯形．以上结论, 正确的是________(填序号)．
解析：因平行性不改变, 故②正确, ①也正确, 梯形的两底保持
平行且不相等, 故⑤也正确；平行于y轴的线段, 长度变为原来的一
半, 故③④不正确．
答案：①②⑤
7．如图所示, 用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观
图为一个正方形, 则原来图形的形状是________(填序号)．

① ② ③ ④
解析：根据斜二测画法知, 在y轴上的线段长度为直观图中相应
线段长度的2倍, 可知①正确．
答案：①
B级 能力提升
8.如图所示, Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图, 直角边
O′B′＝1, 则这个平面图形的面积是( )

A．22
C.2
B．1
D．42
解析：设这个平面图形为△OAB.因为O′B′＝1, 所以O′A′＝
2.所以在Rt△OAB中, ∠AOB＝90°, OB＝1, OA＝22, 所以S
1
△
AOB
＝×1×22＝2.
2
答案：C
9.如图所示, 正方形O′A′B′C′的边长为1 cm, 它是水平放置的一
个平面图形的直观图, 则原图的周长是( )

A．8 cm
C．2(1＋3)cm
B．6 cm
D．2(1＋2)cm
解析：根据直观图的画法, 原几何图形如图所示,

四边形OABC为平行四边形, OB＝22, OA＝1, AB＝3, 从而
原图周长为8 cm.
答案：A
10．有一个长为5 cm, 宽为4 cm的矩形, 则其直观图的面积为
________．
解析：该矩形的面积为S＝5×4＝20(cm
2
), 由平面图形的面积
与直观图的面积间的关系, 可得直观图的面积为S′＝
答案：52
11．画出水平放置的等腰梯形的直观图．
解：等腰梯形及其直观图如图①和图②所示．
2
S＝52cm
2
.
4

(1)如图①所示, 取AB所在直线为x轴, AB的中点O为原点,
AB的中垂线为y轴建立直角坐标系, 画出对应的直观图中的坐标系
x′O′y′, 使∠x′O′y′＝45°(或135°)．
1
(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′＝AB, 在y′轴上取O′E′＝
2
OE, 以E′为中点画C′D′∥x′轴并使C′D′＝CD.
(3)连接B′C′, D′A′, 如图②所示, 所得到的四边形A′B′
C′D′即是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图．
12．下图是已知几何体的三视图, 用斜二测画法画出它的直观
图．

解：(1)画轴, 如图①所示, 画x轴、y轴、z轴, 三轴相交于点
O, 使∠xOy＝45°, ∠xOz＝90°.

(2)画圆台的两底面．画出底面⊙O假设交x轴于A, B两点, 在
z轴上取点O′, 使OO′等于三视图中相应高度, 过点O′作Ox的平行
线O′x′, Oy的平行线O′y′.利用O′x′与O′y′画出底面⊙O′, 设⊙O′交
x′轴于A′, B′两点．
(3)成图, 连接A′A, B′B.去掉辅助线, 将被遮挡的部分改为虚
线, 即得到给出三视图所表示的直观图, 如图②所示．
13．如果一个水平放置的图形的斜二测画法得到的直观图是一个

底角为45°, 腰和上底均为1的等腰梯形, 那么原平面图形的面积是
多少？
解：由题意, 知原图形为直角梯形, 且上底为1, 下底为1＋2,
（1＋1＋2）×2
高为2, 所以实际图形的面积＝＝2＋2.
2


第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
1.2.1 平面的基本性质

A组 基础巩固
1．下列有关平面的说法正确的是( )
A．平行四边形是一个平面
B．任何一个平面图形都是一个平面
C．平静的太平洋面就是一个平面
D．圆和平行四边形都可以表示平面

解析：我们用平行四边形表示平面, 但不能说平行四边形就是一
个平面, 故A项不正确；平面图形和平面是两个概念, 平面图形是
有大小的, 而平面无法度量, 故B项不正确；太平洋面是有边界的,
不是无限延展的, 故C项不正确；在需要时, 除用平行四边形表示
平面外, 还可用三角形、梯形、圆等来表示平面．
答案：D
2.如图所示, 用符号语言可表示为( )

A．α∩β＝m, n?α, m∩n＝A
B．α∩β＝m, n∈a, m∩n＝A
C．α∩β＝m, n?α, A?m, A?n
D．α∩β＝m, n∈a, A∈m, A∈n
解析：α与β交于m, n在α内, m与n交于A.
答案：A
3．下列说法正确的是( )
A．经过三点确定一个平面
B．两条直线确定一个平面
C．四边形确定一个平面

D．不共面的四点可以确定4个平面
解析：对于A, 若三点共线, 则错误；对于B项, 若两条直线
既不平行, 也不相交, 则错误；对于C项, 空间四边形就不只确定
一个平面．
答案：D
4．一条直线和直线外的三点所确定的平面有( )
A．1个或3个
C．1个, 3个或4个
B．1个或4个
D．1个, 2个或4个
解析：若三点在同一直线上, 且与已知直线平行或相交, 或该直
线在由该三点确定的平面内, 则均确定1个平面；若三点有两点连线
和已知直线平行时可确定3个平面；若三点不共线, 且该直线在由该
三点确定的平面外, 则可确定4个平面．
答案：C
5.如图所示, 平面α∩平面β＝l, A, B∈α, C∈β, C?l, 直线AB∩l
＝D, 过A, B, C三点确定的平面为γ, 则平面γ, β的交线必过点
________．

解析：根据公理判定点C和点D既在平面β内又在平面γ内, 故

在β与γ的交线上．
答案：C和D
6．空间任意四点可以确定________个平面．
解析：若四点共线, 可确定无数个平面；若四点共面不共线, 可
确定一个平面；若四点不共面, 可确定四个平面．
答案：1个或4个或无数
7．下列命题说法正确的是________(填序号)．
①空间中两两相交的三条直线确定一个平面；
②一条直线和一个点能确定一个平面；
③梯形一定是平面图形．
解析：根据三个公理及推论知①②均不正确．
答案：③
8．下列各图的正方体中, P, Q, R, S分别是所在棱的中点, 则使这
四个点共面的图形是________(把正确图形的序号都填上)．

解析：①中PS∥RQ, ③中SR∥PQ, 由推论3知四点共面．
答案：①③
9．点A在直线l上但不在平面α内, 则l与α的公共点有

__________个．
答案：0或1
10．根据下列条件, 画出图形：平面α∩平面β＝AB, 直线CD
?α, CD∥AB, E∈CD, 直线EF∩β＝F, F?AB.
解：由题意画出图形如图所示．

B级 能力提升
11．如图所示, 在正方体ABCD-A
1
B
1
C1
D
1
中, 设A
1
C∩平面
ABC
1
D
1
＝E, 则B, E, D
1
三点的关系是________________________．

解析：连接AC、A
1
C
1
、AC
1
, (图略)则E为A
1
C与AC
1
的交点,

故E为AC
1
的中点．又ABC
1
D
1
为平行四边形, 所以B, E, D
1
三点
共线．
答案：共线
12．下列叙述中, 正确的是________(填序号)．
①若点P在直线l上, 点P在直线m上, 点P在直线n上, 则l, m,
n共面；
②若点P在直线l上, 点P在直线m上, 则l, m共面；
③若点P不在直线l上, 点P不在直线m上, 点P不在直线n上,
则l, m, n不共面；
④若点P不在直线l上, 点P不在直线m上, 则l, m不共面；
⑤若点P在直线l上, 点P不在直线m上, 则l, m不共面．
解析：因为P∈l, P∈m, 所以l∩m＝P.由推论2知, l, m共面．
答案：②
13.如图所示, 在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中, 点M, N, E, F分别
是棱CD, AB, DD
1
, AA
1
上的点, 若MN与EF交于点Q, 求证：D, A,
Q三点共线．

证明：因为MN∩EF＝Q,

所以Q∈直线MN, Q∈直线EF.
又因为M∈直线CD, N∈直线AB,
CD?平面ABCD, AB?平面ABCD,
所以M, N?平面ABCD.所以MN?平面ABCD.所以Q∈平面
ABCD.
同理, 可得EF?平面ADD
1
A
1
.
所以Q∈平面ADD
1
A
1
.
又因为平面ABCD∩平面ADD
1
A
1
＝AD,
所以Q∈直线AD, 即D, A, Q三点共线．
14．如图所示, 正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中, E, F分别是棱AA
1
, AB
的中点, 求证：D
1
E, CF, DA三线共点．

证明：如图所示, 连接EF, A
1
B, D
1
C,

因为E, F为AA
1
, AB的中点,
1
所以EF綊A
1
B.
2
1
又因为A
1
B綊D
1
C, 所以EF綊D
1
C.
2
故直线D
1
E, CF在同一个平面内, 且D
1
E, CF不平行, 则D
1
E,
CF必相交于一点, 设该点为M.
又因为M∈平面ABCD且M∈平面ADD
1
A
1
,
所以M∈AD, 即D
1
E、CF、DA三线共点．
15.如图所示, 在四面体ABCD中, E, G, H, F分别为BC, AB, AD,
CD上的点, EG∥HF, 且HF

证明：因为EG∥HF,
所以E, F, H, G四点共面,
又HF如图所示, 延长GH和EF交于一点O,

因为GH在平面ABD内, EF在平面BCD内,
所以点O既在平面ABD内, 又在平面BCD内．
所以点O在这两个平面的交线上, 而这两个平面的交线是BD,
且交线只有这一条．
所以点O在直线BD上．

所以GH和EF的交点在BD上,
即EF, GH, BD交于一点．
16.已知：如图所示, a∥b∥c, 直线l∩a＝A, l∩b＝B, l∩c＝C.
求证：a, b, c, l四线共面．

证明：因为a∥b, 所以a, b确定一个平面α.
因为A∈a, B∈b, 所以A∈α, B∈α.
所以AB?α, 即l?α.同理,
由b∥c, 得b, c确定一个平面β, 可证l?β.
所以l, b?α, l, b?β.
因为l∩b＝B, 所以l, b只能确定一个平面．
所以α与β重合．故c在平面α内．
所以a, b, c, l四线共面．


第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系

1.2.2 空间两条直线的位置关系

A组 基础巩固
1．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是( )
A．一定平行
C．一定异面
B．一定相交
D．相交或异面
解析：可能相交也可能异面, 但一定不平行(否则与条件矛盾)．
答案：D
2．a, b为异面直线是指( )
①a∩b＝?, 且a不平行于b；②a?平面α, b?平面α, 且a∩b＝
?；③a?平面α, b?平面β, 且α∩β＝?；④不存在平面α能使a?α,
且b?α成立．
A．①②③
C．②③
B．①③④
D．①④
解析：②③中的a, b有可能平行, ①④符合异面直线的定义．
答案：D
3．下列选项中, 点P, Q, R, S分别在正方体的四条棱上, 并且是
所在棱的中点, 则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( )

解析：易知选项A, B中PQ∥RS, 选项D中RS与PQ相交, 只
有选项C中RS与PQ是异面直线．
答案：C
4．下列命题中, 其中正确的为________(填序号)．
①若两条直线没有公共点, 则这两条直线互相平行；
②若两条直线都和第三条直线相交, 那么这两条直线互相平行；
③若两条直线都和第三条直线平行, 则这两条直线互相平行；
④若两条直线都和第三条直线异面, 则这两条直线互相平行；
⑤若两条直线都和第三条直线有公共点, 那么这两条直线不可
能互相平行．
解析：根据两条直线的位置关系, 知只有③正确．
答案：③
5．已知AB∥PQ, BC∥QR, 若∠ABC＝30°, 则∠PQR＝
______．
解析：由等角定理可知, 当∠ABC的两边和∠PQR的两边分别
平行并且方向相同时, ∠PQR＝30°；当∠ABC的两边和∠PQR的
两边分别平行并且方向相反时, ∠PQR＝150°.故填30°或150°.

答案：30°或150°
6.如图所示, 在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中, BD和B
1
D
1
分别是正
方形ABC D和A
1
B
1
C
1
D
1
的对角线．

(1)∠DBC的两边与∠________的两边分别平行并且方向相同；
(2)∠DBC的两边与∠________的两边分别平行并且方向相反．
解析：(1)B
1
D
1
∥BD, B
1
C
1
∥BC并且方向相同, 所以∠DBC的
两边与∠D
1
B
1
C
1
的两边分别平行并且方向相同．
(2)D
1
B
1
∥BD, D
1
A
1
∥BC并且方向相反, 所以∠DBC的两边与
∠B
1
D
1
A
1
的两边分别平行并且方向相反．
答案：(1)D
1
B
1
C
1
(2)B
1
D
1
A
1

7．两条异面直线指的是________(填序号)．
①空间中不相交的两条直线；
②分别位于两个不同平面内的两条直线；
③某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线；
④不同在任何一个平面内的两条直线．
解析：根据异面直线定义来判定．选项①中两条直线可以平行,
选项②③可以借助正方体(如下图所示), A′B′与AB这两条直线平

行．

答案：④
8.如图所示, 在正方体ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
中, E, F, G, H分别为AA
1
,
AB, BB
1
, B
1
C
1
的中点, 则异面直线EF与GH所成的角等于
________．

解析：如图所示, 连接BC
1
, BA
1
, A
1
C
1
,

因为EF∥BA
1
, GH∥BC
1
,
所以异面直线EF与GH所成的角即为BC
1
与BA
1
所成的角, 即
∠A
1
BC
1
,
又因为A
1
B＝B C
1
＝A
1
C
1
, 所以∠A
1
BC
1
＝60°.
答案：60°
9．已知空间四边形ABCD各边长与对角线都相等, 求AB与CD
所成的角的大小．
解：如图所示, 分别取AC, AD, BC的中点P, M, N.连接PM,
PN, 由三角形的中位线性质知PN∥AB, PM∥CD, 于是∠MPN(或
其补角)就是异面直线AB和CD所成的角．连接MN, AN, DN, 设
AB＝2, 所以PM＝PN＝1.而AN＝DN＝3, 则MN⊥AD, AM＝1,
得MN＝2, 所以MN
2
＝MP
2
＋NP
2
.

所以∠MPN＝90°, 即异面直线AB, CD所成的角是90°.
B级 能力提升
10．空间四边形的两条对角线相互垂直, 顺次连接四边形中点的
四边形一定是( )
A．空间四边形
C．菱形
B．矩形
D．正方形
解析：如图所示, 易证四边形EFGH为平行四边形,

又因为E, F分别为AB, BC的中点,
所以EF∥AC.又FG∥BD,

所以∠EFG或其补角为AC与BD所成的角．
而AC与BD所成的角为90°, 所以∠EFG＝90°.
故四边形EFGH为矩形．
答案：B
11.已知在正方体ABCD-A
1
B
1
C1
D
1
中(如图所示), l?平面
A
1
B
1
C
1
D
1
, 且l与B
1
C
1
不平行, 则下列一定不可能的是( )

A．l与AD平行
B．l与AD不平行
C．l与AC平行
D．l与BD垂直
解析：假设l∥AD, 则由AD∥BC∥B
1
C
1
, 知l∥B
1
C
1
, 这与l
与B
1
C
1
不平行矛盾, 所以l与AD不平行．
答案：A
12．a, b, c是空间中的三条直线, 下面给出四个命题：
①若a∥b, b∥c, 则a∥c；
②若a与b相交, b与c相交, 则a与c相交；
③若a?平面α, b?平面β, 则a, b一定是异面直线；

④若a, b与c成等角, 则a∥b.
上述命题中正确的命题是________(只填序号)．
解析：由公理4知①正确；当a与b相交, b与c相交时, a与
c可以相交、平行, 也可以异面, 故②不正确；a?α, b?β, 并不能
说明a与b“不同在任何一个平面内”, 故③不正确；当a, b与c
成等角时, a与b可以相交、平行, 也可以异面, 故④不正确．
答案：①
13.如图所示, 若正四棱柱ABCD-A
1
B
1C
1
D
1
的底面边长为2 , 高
为4, 则异面直线BD
1
与AD所成角的正切值是________．

解析：因为BC∥AD,
所以∠CBD
1
为异面直线BD
1
与AD所成角, 连CD
1
.
则由正四棱柱性质可知∠BCD
1
＝90°.
又因为BC＝CD＝2, DD
1
＝4,
所以CD
1
＝25.
所以tan∠CBD
1
＝
CD
1
＝5,
BC
即BD
1
与AD所成角的正切值是5.
答案：5

14.如图所示, 木工师傅沿长方体木块ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中棱BC
和上底面的中心E将长方体 木块锯开, 问怎样画线？

解：在面A
1
B
1
C
1
D
1
内过点E作B
1
C
1
的平行线, 与A
1
B
1
, C
1
D
1
分别相交于F、G, 连接BF, CG即可．
15.如图所示, 正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中, E, F分别是AD, AA
1
的中点．

(1)求直线AB
1
和CC
1
所成的角的大小；
(2)求直线AB
1
和EF所成的角的大小．
解：(1)如图所示, 连接DC
1
,

所以DC
1
∥AB
1
.
所以∠CC
1
D就是AB
1
和CC
1
所成的角．
因为∠CC
1
D＝45°,
所以AB
1
和CC
1
所成的角是45°.
(2)如图所示, 连接DA
1
,
因为EF∥A
1
D, AB
1
∥DC
1
,
所以∠A
1
DC
1
是直线AB
1
和EF所成的角．
因为△A
1
DC
1
是等边三角形,
所以∠A
1
DC
1
＝60°.
即直线AB
1
和EF所成的角是60°.


第1章 立体几何初步
1.2 点、线、面之间的位置关系
1.2.4 平面与平面的位置关系

A级 基础巩固
1．平面α内有两条直线a, b都平行于平面β, 则α与β的位置
关系是( )
A．平行
C．重合
B．相交
D．不能确定
解析：两条直线不一定相交, 所以两个平面的位置关系不能确
定．
答案：D
2．若平面α∥平面β, 直线a?α, 点B∈β, 则在β内过点B的
所有直线中( )
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数多条与a平行的直线
D．存在唯一一条与a平行的直线
解析：因为平面α∥平面β, 直线a?α, 点B∈β, 设直线a与
点B确定的平面为γ, 则α∩γ＝a, 设β∩γ＝b, 且B∈b, 则a∥b,
所以过点B与a平行的直线只有直线b.

答案：D
3．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有
( )
A．0个
C．无数个
B．1个
D．1个或无数个
解析：当两点连线与平面α垂直时, 可作无数个垂面, 否则, 只
有1个．
答案：D
4．对于直线m, n和平面α, β, 能得出α⊥β的一个条件是( )
A．m⊥n, m∥α, n∥β B．m⊥n, α∩β＝m, n?α
C．m∥n, n⊥β, m?α D．m∥n, m⊥α, n⊥β
解析：因为m∥n, n⊥β, 所以m⊥β.
又m?α, 所以α⊥β.
答案：C
5．过空间一点引和二面角两个面垂直的射线, 则该两条射线夹
角和二面角的平面角的大小关系是( )
A．相等
C．相等或互补
B．互补
D．以上都不对
解析：由二面角的平面角的做法之“垂面法”可知, 当二面角为
锐角时相等, 为钝角时互补．
答案：C
6．已知三条互相平行的直线a, b, c, 且a?α, b?β, c?β, 则两个
平面α, β的位置关系是________．
解析：如图①所示, 满足a∥b∥c, a?α, b?β, c?β, 此时α
与β相交．如图②所示, 亦满足条件a∥b∥c, a?α, b?β, c?β, 此
时α与β平行．故填相交或平行．

图① 图②
答案：相交或平行
7．已知平面α, β和直线m, l, 则下列命题中正确的是______(填
序号)．
①若α⊥β, α∩β＝m, l⊥m, 则l⊥β；
②若α∩β＝m, l?α, l⊥m, 则l⊥β；
③若α⊥β, l?α, 则l⊥β；
④若α⊥β, α∩β＝m, l?α, l⊥m, 则l⊥β.
解析：①中缺少了条件l?α, 故①错误．
②中缺少了条件α⊥β, 故②错误．
③中缺少了条件α∩β＝m, l⊥m, 故③错误．
④具备了面面垂直的性质定理中的全部条件, 故④正确．
答案：④
8．下列说法中正确的是________(填序号)．
①二面角是两个平面相交所组成的图形；
②二面角是指角的两边分别在两个平面内的角；
③角的两边分别在二面角的两个面内, 则这个角就是二面角的

平面角；
④二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱．
解析：由二面角的平面角的定义可知④正确．
答案：④
9．如果一个二面角的两个半平面与另一个二面角的两个半平面
分别平行, 则这两个二面角的大小关系是________．
解析：可作出这两个二面角的平面角, 易知这两个二面角的平面
角的两边分别平行, 故这两个二面角相等或互补．
答案：相等或互补
B级 能力提升
10．已知平面α∥平面β, P是α, β外一点, 过点P的直线m与α,
β分别交于点A, C, 过点P的直线n与α, β分别交于点B, D, 且PA
＝6, AC＝9, PD＝8, 则BD的长为________．
解析：分点P在两面中间和点P在两面的一侧两种情况来计算．
24
答案：24或
5
11.如图所示, 在正方体ABCD-A
1
B
1
C1
D
1
中, E, F, G, H分别是棱
CC
1
, C
1
D
1
, D
1
D, CD的中点, N是BC的中点, 点M在四边形EFGH
及其内部运动时, 则M满足条件________时, 有MN∥平面B
1
BDD
1
.

解析：取B
1
C
1
的中点R, 连接FR, NR,
可证面FHNR∥面B
1
BDD
1
,
所以当M∈线段FH时, 有MN?面FHNR.
所以MN∥面B
1
BDD
1
.
答案：M∈线段FH
12.如图所示, 在棱长为 2 cm的正方体 ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,
A
1
B
1
的中点是 P , 问过点 A
1
作与截面 PBC
1
平行的截面也是三角
形吗？并求该截面的面积．

解：如图所示, 取AB的中点M, 取C
1
D
1
的中点N, 连接A
1
M,

A
1
N, CM, CN.

由于A
1
N綊PC
1
綊MC,
所以四边形A
1
MCN是平行四边形．
由于A
1
N∥PC
1
, A
1
N?平面PBC
1
,
则A
1
N∥平面PBC
1
.
同理, A
1
M∥平面PBC
1
.
于是, 平面A
1
MCN∥平面PBC
1
.
过A
1
有且仅有一个平面与平面PBC
1
平行．
故过点A
1
作与截面PBC
1
平行的截面是平行四边形A
1
MCN.
因为A
1
M＝MC, A
1
N綊MC,
所以四边形A
1
MCN是菱形, 连接MN.
因为MB綊NC
1
, 所以四边形MBC
1
N是平行四边形, 所以MN
＝BC
1
＝22 cm.
在菱形A
1
MCN中, A
1
M＝5 cm,
所以A
1
C＝2
?
MN
?
2
（A
1
M）－
?
2
?
＝23 (cm)．
??
2

11
所以S菱形A
1
MCN＝×A
1
C·MN＝×23×22＝26(cm
2
)．
22
13.如图所示, P是四边形ABCD所在平面外一点, 四边形ABCD
是∠DAB＝60°且边长为a的菱形, 侧面PAD为正三角形, 其所在平
面垂直于底面ABCD.

(1)若G为AD边的中点, 求证：BG⊥平面PAD；
(2)求证：AD⊥PB.
证明：(1)在菱形ABCD中, ∠DAB＝60°, 连接BD, 则△ABD
为正三角形．
因为G为AD的中点, 所以BG⊥AD.
又因为平面PAD⊥平面ABCD, 所以BG⊥平面PAD.
(2)连接PG, 因为△PAD为正三角形, G为AD中点, 所以PG
⊥AD.
由(1)知BG⊥AD, 因为PG∩BG＝G,
所以AD⊥平面PBG.
又因为PB?平面PBG,
所以AD⊥PB.
14.如图所示, 在正方体AB CD-A
1
B
1
C
1
D
1
中, 其棱长为1.求证：

平面AB
1
C∥平面A
1
C
1
D.

证明：法一：

AA
1
綊BB
1
?
??AA
1
綊CC
1
?AA
1
C
1
C为 平行四边
BB
1
綊CC
1
?
形?AC∥A
1
C
1
.




?
?
?AC?平面A
1
C
1
D
?
?AC∥平面A
1< br>C
1
D
?
?
A
1
C
1
?平 面A
1
C
1
D
?
?
?
AC∥A
1
C
1
同理AB
1
∥平面A
1
C
1
D
AC∩AB
1
＝A
?
?
平面AB
1
C ∥平面A
1
C
1
D.
法二：易知AA
1
和CC< br>1
确定一个平面ACC
1
A
1
, 于是,
平面A CC
1
A
1
∩平面A
1
B
1
C
1
D
1
＝A
1
C
1
?
平面ACC
1
A
1
∩平面ABCD＝AC
平面A
1
B
1
C
1
D
1
∥平面ABCD
?
?
?A
1C
1
∥AC.
?
?
?
?
A
1
C
1
?平面AB
1
C
?
?A
1
C
1
∥平面AB
1
C.
?
AC?平面AB
1
C< br>?
A
1
C
1
∥AC

A
1
C
1
∥平面AB
1
C
?
?
同理A
1
D∥平面AB
1
C
?
?平面AB
1C∥平面A
1
C
1
D.
?
?
A
1< br>C
1
∩A
1
D＝A
1
15．在直三棱柱ABC-A< br>1
B
1
C
1
的底面△ABC中, AB＝BC, 能否在
侧棱BB
1
上找到一点E, 使得截面A
1
EC⊥侧面AA
1
C
1
C？若能找到,
指出点E的位置；若不能找到, 说明理由．
解：如图所示, 作EM⊥A
1
C于点M.

因为截面A
1
EC⊥侧面AA
1
C
1
C,
所以EM⊥侧面AA
1
C
1
C.
取AC的中点N, 因为AB＝BC,
所以BN⊥AC.
又因为平面ABC⊥侧面AA
1
C
1
C,
所以BN⊥侧面AA
1
C
1
C.所以BN∥EM .
因为平面BEMN∩侧面AA
1
C
1
C＝MN,
BE∥侧面AA
1
C
1
C, 所以BE∥MN∥A
1
A .
因为AN＝NC, 所以A
1
M＝MC.
1
又因为四边形BEMN为矩形, 所以BE＝MN＝A
1
A.
2

故BE＝
1
2
BB
1
, 即E为BB
1
的中点．
第1章 立体几何初步
1.3 空间几何体的表面积
1.3.1 空间几何体的表面积

A组 基础巩固
1．若一个圆台的正视图如图所示, 则其侧面积等于(

)

A．6 B．6π C．35π D．65π
解析：因为圆台的母线长为（2－1）
2
＋2
2
＝5,
所以S
圆台侧
＝π(1＋2)·5＝35π.
答案：C
2．一个几何体的三视图如图所示, 该几何体的表面积为( )

A．372 B．360 C．292 D．280
解析：由三视图可知该几何体是由下面一个长方体, 上面 一个长
方体组合而成的几何体．因为下面长方体的表面积为8×10×2＋
2×8×2＋10× 2×2＝232, 上面长方体的表面积为8×6×2＋

2×8×2＋2×6×2＝152, 又因为长方体表面积重叠一部分, 所以几
何体的表面积为232＋152－2×6×2＝360.
答案：B
3．(2014·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示, 则此
几何体的表面积是( )

A．90 cm
2

C．132 cm
2

B．129 cm
2

C．138 cm
2

解析：该几何体如图所示, 长方体的长、宽、高分别为6 cm, 4
cm, 3 cm, 直三棱柱的底面是直三角形, 边长分别为3 cm, 4 cm, 5
cm,

所 以表面积S＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋
?
1
?
?5×3＋4×3＋2××4×3
?
＝99＋39＝138(cm
2
)．
2
??
答案：D
4．将边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周, 所
得几何体的侧面积是( )
A．4π B．3π C．2π D．π
解析：底面圆半径为1, 高为1, 侧面积S＝2πrh＝2π·1×1＝2π.
答案：C
5．圆台的上、下底面半径分别是3和4, 母线长为6, 则其表面
积等于( )
A．72
C．67π
B．42π
D．72π
解析： S
圆台表
＝S
圆台侧
＋S
上底
＋S
下底
＝ π(3＋4)·6＋π·3
2
＋π·4
2
＝67π.
答案：C
6．长方体的高为2, 底面积等于12, 过不相邻两侧棱的截面(对
角面)的面积为10, 则此长方体的侧面积为________．
解析：设长方体的长与宽分别为a、b, 则a·b＝12且a
2
＋b
2
·2

＝10, 解得a＝4, b＝3, 故长方体的侧面积为2×(4＋3)×2＝28.
答案：28
7．一个正六棱柱的侧面都是正方形, 底面边长为a, 则它的表面
积是________．
解析：正六棱柱的侧面积为六个边长为a的正方形的面积之和,
3
2
为6a；底面积为两个正六边形的面积之和, 等于2×6×a＝33
4
2
a
2
, 故所求正六棱柱的表面积为6a
2
＋33a
2
.
答案：6a
2
＋33a
2

8．一个几何体的三视图如图所示, 则该几何体的表面积为
_____．

解析：如图所示：该几何体为长为4, 宽为3, 高为1的长方体
内部挖去一个底面半径为1, 高为1的圆柱后剩下的部分．

所以S
表
＝(4×1＋3×4＋3×1)×2＋2π·1×1－2π·1< br>2
＝38.
答案：38
9．将圆心角为120°, 面积为3π的扇形作为圆锥的侧面, 则圆
锥的表面积为________．
解析：由圆心角为120°知扇形面积是其所在圆面积的三分之一,
1
2
故有,
πR
＝3π, 所以R
2
＝9.
3
2
所以l＝3×
π＝2π.
3
所以r＝1.所以S
圆锥表
＝3π＋πr
2
＝4π.
答案：4π
10．圆台的高是12, 母线长为13, 两底面半径之比为8∶3, 求圆
台的全面积．
解：如图所示, 设两底面半径分别为8r和3r,

又圆台的高是12, 母线长为13, 可列式：(8r－3r)
2
＋12
2
＝13
2
,
解得r＝1, 故两底面半径分别为8和3, 代入表面积公式：S
π(R
2
＋r
2
＋Rl＋rl)＝216π.
B级 能力提升
11．已知由半圆的四分之三截成的扇形的面积为B, 由这个扇形
围成一个圆锥, 若圆锥的表面积为A, 则A∶B等于( )
A．11∶8
C．8∶3
B．3∶8
D．13∶8
圆台表
＝
解析：设圆锥的底面半径为r, 母线长为l,
38
则2πr＝
πl, 则l＝
r,
43
1
?
8
?
2
3π8
2
所以B＝
?
3
r
?
×＝
πr
,
2
??
43
8
2
11
22
A＝
πr
＋πr＝
πr
,
33
得A∶B＝11∶8.
答案：A
12．(2015·福建改编)某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的

表面积等于________．

解析：由题中三视图可知, 该几何体是底面为直角梯形, 高为2
的直四棱柱, 所以其表面积为S
表面积
＝S< br>侧面积
＋2S
下底面积
＝(1＋1＋2＋
1
22)×2＋2× ×(1＋2)×1＝11＋22.
2
答案：11＋22


第1章 立体几何初步
1.3 空间几何体的表面积和体积
1.3.2 空间几何体的体积

A组 基础巩固
1.如图所示, 正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱 长为1, 则三棱锥
D
1
-ACD的体积是( )

11
A. B.
63
1
C.
2
D．1
111
解析：三棱锥D
1
-ADC的体积V＝S
△
ADC
·D
1
D＝××
332
111
A D·DC·D
1
D＝×＝.
326

答案：A
2.某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为( )

560
A.
3
580
B.
3
C．200
D．240
解析：先将三视图还原为空间几何体, 再根据体积公式求解．由
三视图知该几何体为直四棱柱, 其底面为等腰梯形, 上底长为2,
（2＋8）×4
下底长为8, 高为4, 故面积为S＝＝20.
2
又棱柱的高为10, 所以体积V＝Sh＝20×10＝200.
答案：C
3．(2014·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示, 则该
几何体的体积是( )

A．72 cm
3

C．108 cm
3

B．90 cm
3

D．138 cm
3

解析：先根据三视图画出几何体, 再利用体积公式求解．
该几何体为一个组合体, 左侧为三棱柱, 右侧为长方体, 如图
所示．

1
V＝V
三棱柱
＋V
长方体
＝×4×3×3＋4×3×6＝18＋72＝90(cm
3
)．
2
答案：B
4．已知直角三角形的两直角边长为a, b, 分别以这两条直角边所

在直线为轴, 旋转所形成的几何体的体积之比为( )
A．a∶b
C．a
2
∶b
2

B．b∶a
D．b
2
∶a
2

1
2解析：以长为a的直角边所在直线旋转得到圆锥体积V＝
πb
a,
3
1
以长为b的直角边所在直线旋转得到的圆锥体积V＝
πa
2
b.
3
11
所以
πb
2
a∶
πa
2
b＝b∶a.
33
答案：B
5．设正方体的表面积为24, 那么其外接球的体积是( )
4
A.
π
3
C．43π
8π
B.

3
D．323π
解析：由题意可知, 6a
2
＝24, 所以a＝2.
设正方体外接球的半径为R, 则
4
3
3a＝2R, 所以R＝3, 所以V
球
＝
πR
＝43π.
3
答案：C
6．两个球的半径之比为1∶3, 那么两个球的表面积之比为( )
A．1∶9
C．1∶3
2
B．1∶27
D．1∶1
2
?
r
1
??
1
?
S
1
4πr
2
1
1
????
解析：＝
2
＝
r
＝
3
＝.
S
2
4πr
2
?
2
???
9
答案：A
7．(2014·天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位：m), 则该
几何体的体积为________m
3
.

解析：根据三视图知, 该几何体上部是一个底面直径为4 m, 高
为2 m 的圆锥, 下部是一个底面直径为2 m, 高为4 m的圆柱．
20
1
故该几何体的体积V＝
π·2
2
×2＋π·1
2
×4＝
π(m
3
)．
3
3
答案：
20
π
3
8.已知高为3的直 棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的底面是边长为1的正三角形(如图所示), 则三棱锥B
1
-ABC的体积为________．

解析：因为S
△
ABC
＝
3
2
3
×1＝, B
1
到底面ABC的距离即为三
44

棱锥的高等于3,
1133
所以VB
1
－ABC＝S
△
ABC
·h＝××3＝.
3344
答案：
3

4
1
9．圆锥的母线长为l, 高为l, 则过圆锥顶点的最大截面面积为
2
________．
32
解析：易得圆锥底面半径为l, 故轴截面的顶角为
π, 从而过
23
π
圆锥顶点的最大截面是顶角为的等腰直角三角形．
2
1
2
答案：l
2
B级 能力提升
10．某几何体三视图如图所示, 则该几何体的体积为( )

A．8－2π
π
C．8－
2
B．8－π
π
D．8－
4

1
解析：这是一个正方体切掉两个圆柱后得到的几何体, 如图所
4
示, 几何体的高为2,

1
V＝2－×π·1
2
×2×2＝8－π.
4
3
答案：B
11．若与球外切的圆台的上、下底面半径分别为r, R, 则球的表
面积为( )
A．4π(r＋R)
2

C．4πRr
B．4πr
2
R
2

D．π(R＋r)
2

解析：如图所示, 设球的半径为r
1
,

则在Rt△CDE中, DE＝2r
1
, CE＝R－r, DC＝R＋r.
22
由勾股定理得4r
2
1
＝(R＋r)－(R－r), 解得r< br>1
＝Rr.故球的表面
2
积为S
球
＝4πr
1
＝4πRr.
答案：C
12．如图所示, 在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中, 过
上底面一边A
1
B
1作一个平行于对棱AB的平面A
1
B
1
EF, 这个平面分
三棱台成两部分的体积之比为________．

解析：设棱台的高为h, 上底面积为S, 则下底面积为4S.

17
所以V
台
＝h(S＋4S＋2S)＝Sh, V柱A
1
B
1
C
1
-FEC＝Sh.
33
所以
V柱A
1
B
1
C
1
FEC
V
台
－V柱A
1
B
1
C
1
3
＝＝. 7
FEC
Sh－Sh
4
3
Sh
答案：3∶4或4∶3
13．把一个圆分为两个扇形, 一个顶角为120°, 另一个顶角为
240°, 把它们卷成两个圆锥, 则两个圆锥的体积之比为________．
2πR
解析：设圆的半径为R, 则第一个圆锥底面周长为C
1
＝,
3
4πR2R
R
所以r
1
＝.同理, C
2
＝, 所以r
2
＝.又母线为R,
333
所以h
1
＝
225
R, h
2
＝R.
33
1
2
22
3
1
2
45
3
所以V
1
＝
πr
1
h
1
＝
πR
, V
2
＝
πr
2
h
2
＝
πR
.
381381
故V
1
∶V
2
＝1∶10.
答案：1∶10
14.如图所示, 在等腰三角形ABC中, E, F分别为两腰AB, AC的
中点, AD⊥BC, EH⊥BC, FG⊥BC, D, H, G分别为垂足, 若将三角形
ABC绕AD旋转一周所得的圆锥的体积为V, 求其中由阴影部分所产
生的旋转体的体积与V的比值．

解：由题意画出图形, 如图所示, 设圆锥的高为h, 底面半径为
hr
r, 则圆柱的高为, 底面半径为.
22

V－V
柱
V
柱
所以＝1－＝
VV
?
r< br>?
2
h
π
?
2
?
·
2
??
1－
1
2
πr
h
3
35
＝1－＝.
88
15.如图所示, 在边长为23的正方形中, 剪下了一个扇形和一个
圆, 以此扇形和圆分别作圆锥的侧面和底面, 求所围成的圆锥的体

积．

解：设扇形半径为x, 圆的半径为r, 则扇形弧长等于圆的周长,
1
即×2x＝2r, 所以x＝4r.
4
232
又AC＝x＋r＋2r＝232, 所以r＝＝52－2.
5＋2
所以圆锥的高h＝x
2
－r
2
＝15r＝15×(52－2)． < br>1
2
1
所以圆锥体积V＝
πr
·h＝
π·(52－2 )
2
×15×(52－2)＝
33
15
×(52－2)
3< br>π.
3


第2章 平面解析几何初步
2.1 直线与方程
2.1.1 直线的斜率

A组 基础巩固
1．已知直线经过点A(0, 4)和点B(1, 2), 则直线AB的斜率为
( )
A．3 B．－2 C．2 D．不存在
4－2
解析：k
AB
＝＝－2.
0－1
答案：B
2．过点M(－2, m), N(m, 4)的直线的斜率等于1, 则m的值为
( )
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
解析：由斜率公式得
答案：A
3．下列说法正确的是( )
A．直线和x轴的正方向所成的正角, 叫作这条直线的倾斜角
B．直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α≤180°
C．和x轴平行的直线, 它的倾斜角为180°
D．每一条直线都存在倾斜角, 但并非每一条直线都存在斜率
4－m
＝1, 解得m＝1.
m＋2

解析：直线的倾斜角为直线向上的方向与x轴的正方向所成的角,
故A不正确；直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α<180°, 故B项
不正确；和x轴平行的直线, 它的倾斜角为0°, 故C不正确．
答案：D
4．斜率为
3
的直线的倾斜角为( )
3
A．30° B．45° C．60° D．150°
解析：设直线的倾斜角为α, 由题意得tan α＝
30°.
答案：A
5．设A(t, －t＋3), B(2, t－1), C(－1, 4), 直线AC的斜率等于直
线BC的斜率的3倍, 则实数 t 的值为________．
t－5
解析：由题意得k
BC
＝, 所以k
AC
≠0.
3
－t－1
故k
AC
＝＝－1.
t＋1
t－5
1
于是＝－, 解得t＝4.
33
答案：4
6．若直线x＝1的倾斜角为α, 则α为________．
解析：直线x＝1与y轴平行, 故α＝90°.
答案：90°
7．直线l经过原点O和点P(－1, －1), 则它的倾斜角是
________．
解析：过点P作PA⊥x轴, 垂足为A,
则在Rt△POA中, ∠POA＝45°, 即倾斜角是45°.
3
, 所以α＝
3

答案：45°
8．下列叙述正确的是________(填序号)．
①若直线的斜率存在, 则必有倾斜角与之对应；
②若直线的倾斜角为α, 则必有斜率与之对应；
③与y轴垂直的直线的斜率为0；
④与x轴垂直的直线的斜率不存在．
解析：每一条直线都有倾斜角且倾斜角唯一, 但并不是每一条直
线都有斜率；与y轴垂直的直线的倾斜角为0°, 其斜率为0；与x
轴垂直的直线的倾斜角为90°, 其斜率不存在．
答案：①③④
9．直线l的斜率为k, 倾斜角是α, －1______________________．
解析：由已知－1答案：
{
α|0°≤α<45°或135°<α<180°
}

10．已知直线l
1
, l
2
, l
3
的斜率分别为k
1
, k
2
, k
3
, 如图所示, 则k
1
, k
2
,
k
3
的大小关系为________．

解析：由题图可知直线l
1
的倾斜角为钝角, 所以k
1
＜0.直线l
2

与直线l
3
的倾斜角均为锐角, 且直线l
2
倾斜角较大, 所以k
2
＞k
3
＞0.
答案：k
1
＜k
3
＜k
2

11．已知P(3, －1), M(6, 2), N(－3, 3), 直线l过点P, 若直线
l与线段MN相交, 求直线l的倾斜角的取值范围．
解：考虑临界状态：令直线PM的倾斜角为α
1
,
直线PN的倾斜角为α
2
,
由已知得tan α
1
＝1, tan α
2
＝－
3
,
3
故直线PM的倾斜角为45°.直线PN的倾斜角为150°,
依据倾斜角定义 并结合图形可知符合条件的直线l的倾斜角的取
值范围为45°≤α≤150°.
B级 能力提升
3
12．已知直线l的倾斜角是直线y＝x＋5的倾斜角的2倍, 则
3
直线l的斜率为( )
23
A．1 B. C.3 D．－3
2
33
解析：直线y＝x＋5的斜率为, 则其倾斜角为30°, 故直
33
线l的倾斜角为60°, 所以k
l
＝3.
答案：C
11
13．若三点A(2, 2), B(a, 0), C(0, b)(ab≠0)共线, 则＋的值等于
ab
________．
解析：因为A(2, 2), B(a, 0), C(0, b)三点共线,
所以k
AB
＝k
AC
.
－2b－2
4
所以＝.所以a－2＝.
a－2－2b－2

2b
所以a＝.
b－2
11
b－2
1
b－2＋2
b
1
所以＋＝＋＝＝＝.
ab
2b
b
2b2b2
1
答案：
2
14．若过点P(1－a, 1＋a)和Q(3, 2a)的直线的倾斜角为钝角, 求
实数a的取值范围．
解：直线PQ的倾斜角为钝角, 则意味着直线的斜率小于0,
2a－（1＋a）a－1
由k
PQ
＝＝＜0,
3－（1－a）2＋a
解得－2＜a＜1, 故a的取值范围是(－2, 1)．
15．已知A(1, 1), B(3, 5), C(a, 7), D(－1, b)四点共线, 求a, b的值．
解：因为A, B, C, D四点共线,
所以直线AB, AC, AD的斜率相等．
5－17－1b－1
又k
AB
＝＝2, k
AC
＝, k
AD
＝,
3－1a－1－1－1
b－1
6
所以2＝＝, 解得a＝4, b＝－3.
a－1－2


第2章 平面解析几何初步
2.1 直线与方程
2.1.2 直线的方程

A组 基础巩固
1．直线x＋y－3＝0的倾斜角的大小是( )
A．45°
C．1
B．135°
D．－1
解析：直线x＋y－3＝0, 即y＝－x＋3, 它的斜率等于－1, 故
它的倾斜角为135°.
答案：B
2．直线y＝mx－3m＋2(m∈R)必过定点( )
A．(3, 2)
C．(－3, －2)
B．(－3, 2)
D．(3, －2)
解析：由y＝mx－3m＋2, 得y－2＝m(x－3)．所以直线必过点
(3, 2)．
答案：A
3．经过点(－1, 1), 斜率是直线y＝
方程是( )
A．x＝－1
C．y－1＝2(x＋1)
B．y＝1
D．y－1＝22(x＋1)
2
x－2的斜率的2倍的直线
2

2
解析：由方程知, 已知直线的斜率为, 所以所求直线的斜率
2
是2, 由直线方程的点斜式可得方程为y－1＝2(x＋1)．
答案：C
xy
4．直线＋＝1过第一、第二、第三象限, 则( )
ab
A．a>0, b>0
C．a<0, b>0
B．a>0, b<0
D．a<0, b<0
解析：因为直线l在x轴上的截距为a, 在y轴上的截距为b, 且
经过第一、第二、第三象限, 故a<0, b>0.
答案：C
5．直线(2m
2
－5m＋2)x－(m
2
－4)y＋5m＝0的倾 斜角为45°, 则
m的值为( )
A．－2
C．－3
B．2
D．3
2
2m－5m＋2
2
解析：由已知得m－4≠0, 且＝1,
m
2
－4
解得m＝3或m＝2(舍去)．
答案：D
6．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1, 且它的倾斜
角是直线3x－y－3＝0的倾斜角的2倍, 则a, b的值分别为( )
A.3, 1
C．－3, 1
B.3, －1
D．－3, －1
1
xy
解析：原方程化为＋＝1, 所以＝－1.所以b＝－1.又因为ax< br>b
11
ab
a
＋by－1＝0的斜率k＝－＝a, 且3x－y－3＝0的倾斜角为60°,
b

所以k＝tan 120°.所以a＝－3.
答案：D
7．直线ax＋3my＋2a＝0(m≠0)过点(1, －1), 则直线的斜率k
等于( )
A．－3
1
C.
3
B．3
1
D．－
3
解析：由点(1, －1)在直线上可得a－3m＋2a＝0(m≠0),
解得m＝a, 故直线方程为ax＋3ay＋2a＝0(a≠0),
1
所以x＋3y＋2＝0, 其斜率k＝－.
3
答案：D
8．下列三个说法中正确的有________(填序号)．
①任何一条直线在y轴上都有截距；
②直线在y轴上的截距一定是正数；
③直线的斜截式方程可以表示任何不垂直于x轴的直线．
解析：因为当直线垂直于x轴时, 直线在y轴上的截距不存在,
所以①错误．直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标, 截距
是一个数值, 可正、可负、可为0, 所以②错误．不垂直于x轴的任
何直线都有斜率, 所以都能用直线的斜截式方程表示, 所以③正确．
答案：③
9．直线3x－2y－4＝0的截距式方程是________．
3
y
解析：直线方程化为3x－2y＝4, 所以x－＝1.
42
xy
所以＋＝1.
4
－2
3

xy
答案：＋＝1
4
－2
3
10．已知三角形的顶点是A(8, 5), B(4, －2), C(－6, 3), 求经过每
两边中点的三条直线的方程．
解：设AB, BC, CA的中点分别为D, E, F, 如图所示．

?
3
??
1< br>?
根据中点坐标公式得D
?
6，
2
?
, E
?
－1，
2
?
, F(1, 4)．
????
3
y－
x－6
2
由两点式得DE的直线方程为＝,
13
－1－6
－
22
整理得2x－14y＋9＝0, 这就是直线DE的方程．
1
2
x－（－1）
由两点式得EF的直线方程为＝,
1
1－（－1）
4－
2
y－
整理得7x－4y＋9＝0, 这就是直线EF的方程．
3
2
x－6
由两点式得DF的直线方程为＝,
3
1－6
4－
2
y－

整理得x＋2y－9＝0, 这就是直线DF的方程．
11．设直线l的方程为(m
2
－2m－3)x＋(2m
2
＋m－1)y＝2m－6, 根
据下列条件分别确定实数m的值．
(1)在x轴上的截距是－3；
(2)斜率是－1.
2m－6
解：(1)令y＝0, 所以
2
＝－3.
m－2m－3
所以2m－6＝－3m
2
＋6m＋9, 即3m
2
－4m－15＝0.
5
所以m＝－或m＝3.
3
当m＝3时, m
2
－2m－3＝0.
5
此时方程为y＝0不符合题设条件, 从而m＝－.
3
m
2
－2m－3
(2)由
2
＝1, 所以m
2
＋3m＋2＝0.
2m＋m－1
所以m＝－2或m＝－1(舍去)．
故m＝－2.
B级 能力提升
12．过点A(3, －1), B(5, 4)的直线方程的两点式为__________,
一般式为__________________．
y－（－1）x－3
答案：＝ 5x－2y－17＝0
4－（－1）5－3
13．已知△ABC的一个顶点为A(3, －1), AB被y轴垂直平分, AC
被直线y＝x垂直平分, 则直线BC的方程是________．
解析：A(3, －1)关于y轴的对称点为B(－3, －1), A(3, －1)
关于直线y＝x的对称点为C(－1, 3),
y＋1x＋3
所以BC的方程为＝, 即2x－y＋5＝0.
3＋1－1＋3

答案：2x－y＋5＝0
14．过点P(1, 1)作直线l与两坐标轴相交, 所得三角形面积为2,
则这样的直线l有________条．
解析：设l为y＝k(x－1)＋1即为y＝kx－k＋1,
1
（k－1）
2
则×＝2, 解得k＝3±22或k＝－1.
2|k|
答案：3
15．过点(a, 0), (0, b), (1, 3), 且a, b均为正整数的直线方程为
________________________．
xy
解析：设所求直线方程为：＋＝1,
ab
13
则＋＝1(a, b∈N
*
),
ab
?
?
a＝4，
?
?
a＝2，
b
*
所以a＝ ∈N, 故
?
或
?

b－3
??
?
b＝4
?
b＝6.
所求方程为x＋y－4＝0或3x＋y－6＝0.
答案：x＋y－4＝0或3x＋y－6＝0
16.某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李,
如果超过规定, 则需要购买行李票, 行李票费用y(元)与行李重量
x(kg)之间的关系用直线AB的方程表示．如图所示, 试求：(1)直线
AB的方程；

(2)旅客最多可免费携带多少行李．
解：(1)由题图知, 点A(60, 6), B(80, 10)．
所以直线AB的方程是x－5y－30＝0.
(2)依题意, 令y＝0, 得x＝30.
故旅客最多可免费携带30 kg行李．


第2章 平面解析几何初步
2.1 直线与方程
2.1.3 两条直线的平行与垂直

A组 基础巩固
1．过点(1, 0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0
C．2x＋y－2＝0
B．x－2y＋1＝0
D．x＋2y－1＝0
1
解析：由题意, 得所求直线斜率为, 且过点(1, 0)．故所求直
2
1
线方程为y＝(x－1), 即x－2y－1＝0.
2
答案：A
2．已知?ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0, 1), B(1, 0), C(4, 3),
则顶点D的坐标为( )
A．(3, 4)
C．(3, 1)
B．(4, 3)
D．(3, 8)
解析：设D(m, n), 由题意得AB∥DC, AD∥BC, 则有
k
AB
＝k
DC
, k
AD
＝k
BC
,
?
?
所以
?
n－13－0
?
?
m－0
＝
4－1
.
0－13－ n
＝，
1－04－m
?
?
m＝3，
解得
?

?
n＝4，
?

所以点D的坐标为(3, 4)．
答案：A
3．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直, 则实数
m＝( )
11
A．－1 B．1 C. D．－
22
1
?
2
?
解析：由两直线垂直, 得×
?
－
m
?
＝－1, 解得m＝1.
2
??
答案：B
4．与直线y＝2x＋1垂直, 且在y轴上的截距为4的直线的斜截
式方程是( )
1
A．y＝x＋4
2
C．y＝－2x＋4
B．y＝2x＋4
1
D．y＝－x＋4
2
解析：因为直线y＝2x＋1的斜率为2,
1
所以与其垂直的直线的斜率是－.
2
1
所以直线的斜截式方程为y＝－x＋4.
2
答案：D
5．以A(－1, 1), B(2, －1), C(1, 4)为顶点的三角形是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
－1－14－1
32
解析：k
AB
＝＝－, k
AC
＝＝,
3
2＋11＋1
2

所以k
AB
·k
AC
＝－1.所以AB⊥AC, ∠A为直角．
答案：C
6．已知过点A(－2, m)和B(m, 4)的直线与直线2x＋y－1＝0平
行, 则m的值为________．
4－m
解析：k
AB
＝, 因为过AB的直线与2x＋y－1＝0平行,
m＋2
4－m
所以＝－2, 解得m＝－8.
m＋2
答案：－8
7．已知直线l
1
：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l
2
： 2(k－3)x－2y＋5
＝0平行, 则k＝________．
解析：因为l
1
∥l
2
, 所以－2(k－3)－2(4－k)(k－3)＝0, 解得k＝
3或k＝5.经检验k＝3或k＝5时, l
1
∥l
2
.
答案：3或5
8．已知点A(－4, 2), B(6, －4), C(12, 6), D(2, 12), 下面四个结论
中正确的是________(填序号)．
①AB∥CD; ②AB⊥AD; ③AB⊥BD; ④AC⊥BD.
3531
解析：由题意得k
AB
＝－, k
AD
＝, k
CD
＝－, k
AC
＝, k
BD
＝
5354
－4, 所以k
AB
＝k
CD
, k
AB
·k
AD
＝－1, k
AC
·k
BD
＝－1.
所以AB∥CD, AB⊥AD, AC⊥BD, ①②④正确．
又k
AB
·k
BD
≠－1, 所以③错误．
答案：①②④
9．已知直线l
1
经过点A(－2, 0)和点B(1, 3a), 直线l
2
经过点M(0,
－1)和点N(a, －2a), 若l
1
⊥l
2
, 试确定实数a的值．
解：(1)当直线l
1
, l
2
的斜率都存在, 即a≠0时,

1－2a
直线l
1
, l
2
的斜率分别是k
1
＝a, k
2
＝.
a
1－2a
因为l
1
⊥l
2
, 所以a·＝－1.所以a＝1.
a
(2)当a＝0时, k
1
＝0, k
2
不存在, 此时l
1
⊥l
2
.
综合(1)(2)知, 若l
1
⊥l
2
, 则实数a的值为1或0.
10．若已知直线l
1
上的点满足ax＋2y＋6＝0, 直线l
2
上的点满足
x＋(a－1)y＋a
2
－1＝0(a≠0), 当a为何值时：(1)l
1
∥l
2
；(2)l
1
⊥l
2
.
1
a
解：k
1
＝－, k
2
＝－.
2
a－1
1
a
(1)l
1< br>∥l
2
时, k
1
＝k
2
, 即－＝－,
2
a－1
解得a＝2或a＝－1.
当a＝2时, l
1
的方程为2x＋2y＋6＝0, 即x＋y＋3＝0, l
2
的方
程为x＋y＋3＝0, 则l
1
与l
2
重合．
所以a＝－1.
1
??
a
?
?
－
????
＝－1,
－
(2)l
1
⊥l
2
时, 由k
1
k
2
＝－1, 得
2
a－1
??
??
2
解得a＝.
3
2
综上可知, a＝－1时, l
1
∥l
2
；a＝时, l
1
⊥l
2
.
3
B级 能力提升
11．在直角坐标平面内有两个点A(4, 2), B(1, －2), 在x轴上有
点C, 使∠ACB＝90°, 则点C的坐标是________．
0－20＋2
解析：设C(x
0
, 0), 由AC⊥BC, 得·＝－1,
x
0
－4x
0
－1
所以x
0
＝0或x0
＝5.
答案：(0, 0)或(5, 0)