【2020年】2020年苏教版高中数学必修一(全册)精品教案汇总

2020年9月21日发(作者：叶全真)

【推荐】2020年苏教版高中数学必修一（全册）
精品教案汇总

1.1 集合的含义及其表示
教学目标：
1．使学生理解集合的含义, 知道常用集合及其记法；
2．使学生初步了解“属于”关系和集合相等的意义, 初步了解有限集、无限集、空集
的意义；
3．使学生初步掌握集合的表示方法, 并能正确地表示一些简单的集合．

教学重点：
集合的含义及表示方法．

教学过程：
一、问题情境
1．情境．
新生自我介绍：介绍家庭、原毕业学校、班级．
2．问题．
在介绍的过程中, 常常涉及像“家庭”、“学校”、“班级”、“男生”、
“女生”等概念, 这些概念与“学生×××”相比, 它们有什么共同的
特征？
二、学生活动
1．介绍自己；
2．列举生活中的集合实例；
3．分析、概括各集合实例的共同特征．
三、数学建构
1．集合的含义：一般地, 一定范围内不同的、确定的对象的全体组成一个集合．构成
．．．．．．
集合的每一个个体都叫 做集合的一个元素．
个体与群体
群体是由个体
组成

2．元素与集合的关系及符号表示：属于?, 不属于?．
列举法
自然语言描述 如{15的正整数约数}
描述法
3．集合的表示方法：
数学语言描述 规范格式为{x|p(x)}
图示法
另集合一般可用大写的拉丁字母简记为“集合
A
、集合
B
”．
4．常用数集的记法：自然数集N, 正整数集N*, 整数集Z, 有理数集Q, 实数集R．
5．有限集, 无限集与空集．
6．有关集合知识的历史简介．
四、数学运用
1．例题．
例1 表示出下列集合：
（1）中国的直辖市；（2）中国国旗上的颜色．
小结：集合的确定性和无序性
例2 准确表示出下列集合：
（1）方程
x
―2
x
－3=0的解集；
（2）不等式2－
x
＜0的解集；
（3）不等式组
?
2
?
2x+3?5
的解集；
1 ?x?-1
?
?
2
x
－1≤－3
（4）不等式组
?
的解集．
?
3
x
＋1≥0
解：略．
小结：（1）集合的表示方法——列举法与描述法；
（2）集合的分类——有限集⑴, 无限集⑵与⑶, 空集⑷
例3 将下列用描述法表示的集合改为列举法表示：
（1）{(
x
,
y
)|
x
＋
y
= 3,
x
?N,
y
?N }
（2）{(
x
,
y
)|
y
=
x
－1, |
x
|≤2,
x
?Z }
（3）{
y
|
x
＋
y
= 3,
x
?N,
y
?N }
（4）{
x
?R |
x
－2
x
＋
x
=0}
小结：常用数集的记法与作用．
32
2

例4 完成下列各题：
（1）若集合
A
＝{
x
｜
ax
＋1＝0}＝?, 求实数
a
的值；
（2）若－3?{
a
－3, 2
a
－1,
a
－4}, 求实数
a
．
小结：集合与元素之间的关系．
2．练习：
（1）用列举法表示下列集合：
①{
x
｜
x
＋1＝0}；
②{
x
｜
x
为15的正约数}；
③{
x
｜
x
为不大于10的正偶数}；
④{(
x
,
y
)｜
x
＋
y
＝2且
x
－2
y
＝4}；
⑤{(
x
,
y
)｜
x
∈{1, 2},
y
∈{1, 3}}；
⑥{(
x
,
y
)｜3
x
＋2
y
＝16,
x
∈N,
y
∈N}．
（2）用描述法表示下列集合：
①奇数的集合；②正偶数的集合；③{1, 4, 7, 10, 13}
五、回顾小结
（1）集合的概念——集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集；
（2）集合的表示——列举法、描述法以及Venn图；
（3）集合的元素与元素的个数；
（4）常用数集的记法．
六、作业
课本第7页练习3, 4两题．
2
1.2 子集、全集、补集（1）
教学目标：
1．使学生进一步理解集合的含义, 了解集合之间的包含关系, 理解掌握子集的概念；
2．理解子集、真子集的概念和意义；
3．了解两个集合之间的相等关系, 能准确地判定两个集合之间的包含关系．

教学重点：
子集含义及表示方法；

教学难点：
子集关系的判定．

教学过程：
一、问题情境
1．情境．
将下列用描述法表示的集合改为用列举法表示：
A
＝{
x
|
x
2
≤0},
B
＝{
x
|
x
＝(－1)
n
＋(－1)
n
+1
,
n
?Z}；
C
＝{
x
|
x
2
－
x
－2＝0},
D
＝{
x
|－1≤
x
≤2,
x
?Z}
2．问题．
集合
A
与
B
有什么关系？
集合
C
与
D
有什么关系？
二、学生活动
1．列举出与
C
与
D
之间具有相类似关系的两个集合；
2．总结出子集的定义；
3．分析、概括两集合相等和真包含的关系的判定．
三、数学建构
1．子集的含义：一般地, 如果集合
A
的任一个元素都是集合
B
的元素, （即
若
a
∈
A
则
a
∈
B
）, 则称集合
A
为集合
B
的子集, 记为
A
?
B
或
B
?
A
．读作集合
A
包含于集
合
B< br>或集合
B
包含集合
A
．
用数学符号表示为：若
a< br>∈
A
都有
a
∈
B
, 则有
A
?
B
或
B
?
A
．
（1）注意子集的符号与元素与集合之间的关系符号的区别：
元素与集合的关系及符号表示：属于∈, 不属于
?
；
集合与集合的关系及符号表示：包含于
?
．
元素与集合是个体与群
体的关系, 群体是由个
体组成；子集是小集体与
大集体的关系．
（2）注意关于子集的一个规定：规定空集?是任何集合的子集．理解规定
的合理性． （3）思考：
A
?
B
和
B
?
A
能否同 时成立？
（4）集合
A
与
A
之间是否有子集关系？
2．真子集的定义：
（1）
A
?
B
包含两层含义：即A
＝
B
或
A
是
B
的真子集．

（2）真子集的wenn图表示
（3）
A
＝
B
的判定
（4）
A
是
B
的真子集的判定
四、数学运用
例1 （1）写出集合{
a
,
b
}的所有子集；
（2）写出集合{1, 2, 3}的所有子集；
{1, 3}
?
?
{1, 2, 3}, {3}
?
?
{1, 2, 3},
小结：对于一个有限集而言, 写出它的子集时, 每一个元素都有且只有两种可能：取到
或没取到．故当集合的元素为
n
个时, 子集的个数为2．
例2 写出N, Z, Q, R的包含关系, 并用Venn图表示．
例3 设集合
A
＝{－1, 1}, 集合
B
＝{
x
｜
x
－2
ax
＋
b
＝0}, 若
B
≠?,
B
?
A
, 求
a
,
b
的
值．
小结：集合中的分类讨论．
练习：1．用适当的符号填空．
（1）
a
＿{
a
}；
（3）{
a
}＿{
a
,
b
,
c
}；
（5）{3, 5}＿{1, 3, 5, 7}；
（7）?＿{1, 2, 3},
（2）
d
＿{
a
,
b
,
c
}；
（4）{
a
,
b
}＿{
b
,
a
}；
（6）{2, 4, 6, 8}＿{2, 8}；
（8）{
x
|－1＜
x
＜4}__{
x
|
x
－5＜0}
2
n
2．写出满足条件{a
}?
M
?
{
a
,
b
,
c
,
d
}的集合
M
．
3．已知集合
P
= {
x
|
x
＋
x
－6=0}, 集合
Q
= {
x
|
ax
＋1=0}, 满足
Q
?
P
, 求
a
所取
2
的一切值．
4．已知集合
A
＝{< br>x
｜
x
＝
k
＋
＝{
x
｜
x
＝
1k
,
k
?Z}, 集合
B
＝{
x
｜
x
＝＋1,
k
?Z}, 集合
C
22
k?1
,
k
?Z}, 试判断集合
A
、
B
、
C
的关系．
2
五、回顾小结
1．子集、真子集及对概念的理解；
2．会用Venn图示及数轴来解决集合问题．
六、作业
教材P10习题1, 2, 5．

1.2 子集、全集、补集（2）
教学目标：
1．使学生进一步理解集合及子集的意义, 了解全集、补集的概念；
2．能在给定的全集及其一个子集的基础上, 求该子集的补集；
3．培养学生利用数学知识将日常问题数学化, 培养学生观察、分析、归纳等能力．

教学重点：
补集的含义及求法．
教学重点：
补集性质的理解．

教学过程：
一、问题情境
1． 情境．
（1）复习子集的概念；
（2）说出集合{1, 2, 3}的所有子集．
2．问题．
相对于集合{1, 2, 3}而言, 集合{1}与集合{2, 3}有何关系呢？
二、学生活动
1．分析、归纳出全集与补集的概念；
2．列举生活中全集与补集的实例．
三、数学建构
1．补集的概念：设
A
?
S
, 由
S
中不属于A
的所有元素组成的集合称为
S
的子集
A
的补
集, 记 为
?
S
A
(读作“
A
在
S
中的补集”), 即
?
S
A
＝{
x
｜
x
∈
S
, 且
x
?
A
},
?
S
A
可用右图
表示．


2．全集的含义：如果集合
S
包含我们研究的各个集合, 这时
S
可以看作一个全集, 全
集通常记作
U
．
S

A

3．常用数集的记法：自然数集N, 正整数集N*, 整数集Z, 有理数集Q, 实数集R．则
无理数集可表示为
?
R
Q
．
四、数学运用
1．例题．
例1 已知全集
S
＝Z, 集合
A
＝{
x
|
x
＝2
k
,
k
?Z},
B
＝{
x
|
x
＝2
k
＋1,
k
?Z}, 分别写出
集合
A
,
B
的补集?
S
A
和?
S
B
．
?
2
x
－1＞1
例2 不等式组
?
的解集为
A
,
S
＝R, 试求
A
及
?
S
A
, 并把它们表示在数轴上．
?
3
x
－6≤0
例3 已知全集
S
＝{1, 2, 3, 4, 5},
A
＝{
x
∈
S
｜
x
－5
qx
＋4＝0}．
（1）若
?
S
A
＝
S
, 求
q
的取值范围；
（2）若
?
S
A
中有四个元素, 求
?
S
A
和
q
的值；
（3）若
A
中仅有两个元素, 求
?
S
A
和
q
的值．
2．练习：
（1 ）
?
S
A
在
S
中的补集等于什么？即
?
S
(
?
S
A
)＝ ．
（2）若
S
＝Z,
A
＝{
x
｜
x
＝2
k
,
k
∈Z},
B
＝{
x
｜
x
＝2
k
＋1,
k
∈Z}, 则
?
S
A
＝ ,
?
S
B
＝ ．
（3）
?
S
?
＝ ,
?
S
S
＝ ．
五、回顾小结
1．全集与补集的概念；
2．任一集合对于全集而言, 其任意子集与其补集一一对应．
六、作业
教材第10页习题3, 4．
2
1.3 交集、并集
教学目标：
1．理解交集、并集的概念, 掌握交集、并集的性质；
2．理解掌握区间与集合的关系, 并能应用它们解决一些简单的问题．

教学重点：
理解交集、并集的概念．
教学难点：
灵活运用它们解决一些简单的问题．

教学过程：
一、情景设置
1．复习巩固：子集、全集、补集的概念及其性质．
2．用列举法表示下列集合：
（1）
A
＝{
x
|
x
－
x
－2
x
＝0}；（2）
B
＝{
x
|(
x
＋2)(
x
＋1)(
x
－2)＝0}．
思考：
集合
A
与
B
之间有包含关系么？
用图示如何反映集合
A
与
B
之间的关系呢？
二、学生活动
1．观察与思考；
2．完成下列各题．
（1）用wenn图表示集合
A
＝{－1, 0, 2},
B
＝{－2, －1, 2}, C＝{－1, 2}之间的关
系．
（2）用数轴表示集合
A
＝{
x
｜
x
≤3},
B
＝{
x
｜
x
＞0 }, C＝{
x
｜0＜
x
≤3}之间的关系．
三、数学建构
1．交集的概念．
A
32
A∩B

B
一般地, 由所有属于集合
A
且属于集合
B
的元素构
成的集合, 称为
A
与
B
的交集, 记为
A
∩
B
(读作“
A
交
A
A∪B

B
B
”), 即
A
∩
B
＝{
x
｜
x
∈
A
且
x
∈
B
}
2．并集的概念．
A∪B

一般地, 由所有属于集合
A
或属于集合
B
的元素构成的集合, 称为
A
与
B
的并集, 记为
A
∪
B
(读作“
A
并
B
”), 即
A
∪
B
＝{
x
｜
x
∈
A
或
x
∈
B
}
3．交、并集的性质．

A
∩
B
＝
B
∩
A
,
A
∩?＝?,
A
∩
A
＝
A
,
A
∩
B
?
A
,
A
∩
B
?
B
,
若
A
∩
B
＝
A
, 则
A
?
B
, 反之, 若
A
?
B
, 则< br>A
∩
B
＝
A
．即
A
?
B
?
A
∩
B
＝
A
．

A
∪
B
＝
B
∪
A
,
A
∪?＝
A
,
A
∪
A
＝
A
,
A
?
A
∪
B
,
B
?
A
∪
B
,
若
A
∪
B
＝
B
, 则
A
?
B
, 反之, 若
A
?
B
, 则< br>A
∩
B
＝
B
．即
A
?
B
?
A
∩
B
＝
B
．
思考：集合
A
＝{
x
|－1＜
x
≤3},
B
＝{
y
|1≤
y
＜5}, 集合
A
与集合
B
能进行交、并的
计算呢？
4．区间的概念．
一般地, 由所有属于实数
a
到实数
b
(
a
＜
b
)之间的所有实数构成的集合, 可表示成一个
区间,
a
、
b
叫做区间的端点．
考虑到端点, 区间被分为开区间、闭区间或半开半闭区间．
5．区间与集合的对应关系．
[
a
,
b
]＝{
x
|
a
≤
x
≤
b
}, (
a
,
b
)＝{
x
|
a
＜
x
＜
b
},
[
a
,
b
)＝{
x
|
a
≤
x
＜
b
}, (
a
,
b
]＝{
x
|
a
＜
x
≤
b
},
(
a
, ＋?)＝{
x
|
x
＞
a
}, (－?,
b
)＝{
x
|
x
＜
b
},
(－?, ＋?)＝R．
四、数学运用
1．例题．
例1 （1）设
A
＝{－1, 0, 1},
B
＝{0, 1, 2, 3}, 求
A
∩
B
和
A
∪
B
．
（2）已知
A
∪
B
＝{－1, 0, 1, 2, 3},
A
∩
B
＝{－1, 1}, 其中
A
＝{－1, 0, 1}, 求集
合
B
．
（3）已知
A
＝{(
x
,
y
)|
x
＋
y
＝2},
B
＝{(
x
,
y
)|
x
－
y
＝4}, 求集合
A
∩
B
．
（4）已知元素(1, 2)?
A
∩
B
,
A
＝{(
x
,
y
)|
y
＝
ax
＋
b
},
B
＝{(
x
,
y
)|
x
－
ay
－
b
＝
0}, 求
a
,
b
的值并求
A
∩
B
．
例2 学校举办了排球赛, 某班45名学生中有12名同学参赛．后来又举办了田径赛,
这个班有20名同学参赛．已知两项都参赛的有6名同学．两项比赛中, 这个班共有多少名
同学没有参加过比赛？
例3 （1）设
A
＝(0, ＋?),
B
＝(－?, 1], 求
A
∩
B
和
A
∪
B
．
（2）设
A
＝(0, 1],
B
＝{0}, 求
A
∪
B
．
2．练习：
（1）若
A
＝{
x
|2
x
＋3
ax
+2＝0},
B
＝{
x
|2
x
＋
x
+
b
＝0},
A
∩
B
＝{0, 5}, 求
a
与
A
∪
22
22

B
．
（2）交集与并集的运算性质．
并集的运算性质 交集的运算性质
A
∪
B

B
∪
A

A
∪
A
＝
A
∪?＝
A
?
B

?

A
∪
B
＝
五、回顾小结
A
∩
B

B
∩
A

A
∩
A
＝
A
∩?＝
A
?
B

?

A
∩
B
＝
交集和并集的概念和性质；区间的表示及其与集合的关系．
六、作业
教材第13页习题2, 3, 5, 7．
2.1.1 函数的概念和图象（1）
教学目标：
1．通过现实生活中丰富的实例, 让学生了解函数概念产生的背景, 进一步体会函数是
描述变量之间的依赖关系的重要数学模型, 在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函
数的概念, 掌握函数是特殊的数集之间的对应；
2．了解构成函数的要素, 理解函数的定义域、值域的定义, 会求一些简单函数的定义
域和值域；
3．通过教学, 逐步培养学生由具体逐步过渡到符号化, 代数式化, 并能对以往学习过
的知识进行理性化思考, 对事物间的联系的一种数学化的思考．

教学重点：
两集合间用对应来描述函数的概念；求基本函数的定义域和值域．

教学过程：
一、问题情境
1．情境．
正方形的边长为
a
, 则正方形的周长为 , 面积为 ．
2．问题．

在初中, 我们曾认识利用函数来描述两个变量之间的关系, 如何定义函数？常见的函
数模型有哪些？
如图,
A
(－2, 0),
B
(2, 0), 点
C
在直线
y
＝2上移
动．则 △
ABC
的面积
S
与点
C
的横坐标
x
之间 的变化关系
如何表达？面积
S
是
C
的横坐标
x
的函 数么？
二、学生活动
1．复述初中所学函数的概念；
y
C
y＝2

A O B x
2．阅读课本23页的问题（1）、（2）、（3）, 并分别说出对其理解；
3．举出生活中的实例, 进一步说明函数的对应本质．
三、数学建构
1．用集合的语言分别阐述23页的问题（1）、（2）、（3）；
问题1 某城市在某一天24小时
内的气温变化情况如下图所示, 试根
据函数图象回答下列问题：
（1）这一变化过程中, 有哪几个
变量？
10
?
℃
6
2
O
2
10
20
24
th
（2）这几个变量的范围分别是多少？
问题2 略．
问题3 略（详见23页）．
2．函数：一般地, 设
A
、
B
是两个非空的数集, 如果按某种对应法则
f
, 对于集合
A
中
的每一个元素
x
, 在集合
B
中都有惟一的元素
y
和它对应, 这样的对应叫做从
A
到
B
的一个
函数, 通常记为
y
＝
f
(
x
),
x
∈
A
．其中, 所有输入值
x
组成的集合
A叫做函数
y
＝
f
(
x
)的定
义域．
（1）函数作为一种数学模型, 主要用于刻画两个变量之间的关系；
（2）函数的本质是一种对应；
（3）对应法则
f
可以是一个数学表达式, 也可是一个图形或是一个表格
（4）对应是建立在
A
、
B
两个非空的数集之间．可以是有限集, 当然也就可以是单元集,
如
f
(
x
)＝2
x
, (
x
＝0)．
3．函数
y
＝
f
(
x
)的定义域：
（1）每一个函数都有它的定义域, 定义域是函数的生命线；

（2）给定函数时要指明函数的定义域, 对于用解析式表示的集合, 如果没
有指明定义域, 那么就认为定义域为一切实数．
四、数学运用
例1．判断下列对应是否为集合
A
到
B
的函数：
（1）
A
＝{1, 2, 3, 4, 5},
B
＝{2, 4, 6, 8, 10},
f
：
x
→2
x
；
（2）
A
＝{1, 2, 3, 4, 5},
B
＝{0, 2, 4, 6, 8},
f
：
x
→2
x
；
（3）
A
＝{1, 2, 3, 4, 5},
B
＝N,
f
：
x
→2
x
．
练习：判断下列对应是否为函数：
2
（1）
x
→,
x
≠0,
x
∈R；
x
（2）
x
→
y
, 这里
y
＝
x
,
x
∈N,
y
∈R.
例2 求下列函数的定义域：
1
（1）
f
(
x
) ＝
x
-1；（2）g(
x
)＝
x
＋1＋.
2
函数的本质是对应, 但并非所有
的对应都是函数，一个必须是建
立在两个 非空数集间的对应，二
是对应只能是单值对应
．

x
例3 下列各组函数中, 是否表示同一函数？为什么？
3
322
A．
y
＝
x
与
y
＝(
x
)； B．
y
＝
x
与
y
＝
x
；
判断两个函数是否为
同一函数, 一看对应
法则，二看定义域
．
< br>2
C．
y
＝2
x
－1(
x
∈R)与
y
＝2
t
－1(
t
∈R)； D．
y
＝
x
＋2·
x
－2与
y
＝
x
－4
练习：课本26页练习1～4, 6．
五、回顾小结
1．生活中两个相关变量的刻画→函数→对应(
A
→
B
)
2．函数的对应本质；
3．函数的对应法则和定义域．
六、作业：
课堂作业：课本31页习题2.1（1）第1, 2两题．
2.1.1 函数的概念和图象（2）
教学目标：
1．进一步理解用集合与对应的语言来刻画的函数的概念, 进一步理解函数的本质是数
集之间的对应；
2．进一步熟悉与理解函数的定义域、值域的定义, 会利用函数的定义域与对应法则判
定有关函数是否为同一函数；

3．通过教学, 进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化, 代数式化, 并能对以往学习
过的知识进行理性化思考, 对事物间的联系的一种数学化的思考．

教学重点：
用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域．

教学过程：
一、问题情境
1．情境．
复述函数及函数的定义域的概念．
2．问题．
概念中集合
A
为函数的定义域, 集合
B
的作用是什么呢？
二、学生活动
1．理解函数的值域的概念；
2．能利用观察法求简单函数的值域；
3．探求简单的复合函数
f
(
f
(
x
))的定义域与值域．
三、数学建构
1．函数的值域：
（1）按照对应法则
f
, 对于
A
中所有
x
的值的对应输出值组成的集合称之
为函数的值域；
（2）值域是集合
B
的子集．
2．
x
?
g
(
x
)?
f
(
x
) ?
f
(
g
(
x
)), 其中
g
(
x
)的值域即为
f
(
g
(
x
))的定义域；
四、数学运用
（一）例题．
例1 已知函数
f
(
x
)＝
x
＋2
x
, 求
f
(－2),
f
(－1),
f
(0),
f
(1)．
例2 根据不同条件, 分别求函数
f
(
x
)＝(
x
-1)＋1的值域．
（1）
x
∈{－1, 0, 1, 2, 3}；
（2）
x
∈R；
（3）
x
∈[－1, 3]；
（4）
x
∈(－1, 2]；
2
2

（5）
x
∈(－1, 1)．
例3 求下列函数的值域：
①
y
＝
x
2
?4
； ②
y
＝
4?x
2
．
例4 已知函数
f
(
x
)与
g
(
x
)分别由下表给出：
x

f
(
x
)
1
2
2
3
3
4
4
1


x

g
(
x
)
1
2
2
1
3
4
4
3
分别求
f
(
f
(1)),
f
(
g
(2)),
g
(
f
(3)),
g
(
g
(4))的值．
（二）练习．
（1）求下列函数的值域：
①
y
＝2－
x
；
2
2
②
y
＝3－|
x
|．
（2）已知函 数
f
(
x
)＝3
x
－5
x
＋2, 求f
(3)、
f
(－2)、
f
(
a
)、
f
(
a
＋1)．
（3）已知函数
f
(
x
)＝2
x
＋1, g(
x
)＝
x
－2
x
＋2, 试分别求出
g
(
f
(
x
))和
f
(
g
(
x< br>))的值域,
比较一下, 看有什么发现．
（4）已知函数
y
＝
f
(
x
)的定义域为[－1, 2], 求
f
(
x
)＋
f
(－
x
)的定义域．
（5）已知
f
(
x
)的定义域为[－2, 2], 求
f
(2
x
),
f
(
x
＋1)的定义域．
五、回顾小结
函数的对应本质, 函数的定义域与值域；
利用分解的思想研究复合函数．
六、作业
课本P31-5, 8, 9．
2
2
2.1.2 函数的表示方法（1）
教学目标：
1．进一步理解函数的概念, 了解函数表示的多样性, 能熟练掌握函数的三种不同的表
示方法；
2．在理解掌握函数的三种表示方法基础上, 了解函数不同表示法的优缺点, 针对具体
问题能合理地选择表示方法；
3．通过教学, 培养学生重要的数学思想方法——分类思想方法．

教学重点：

函数的表示．
教学难点：
针对具体问题合理选择表示方法．

教学过程：
一、问题情境
1． 情境．
下表的对应关系能否表示一个函数：
x

y

2．问题．
1
－1
3
－3
5
0
7
0
如何表示一个函数呢？
二、学生活动
1．阅读课本掌握函数的三种常用表示方法；
2．比较三种表示法之间的优缺点．
3．完成练习
三、数学建构
1．函数的表示方法：
2．三种不同方法的优缺点：
函数的表示方法
列表法
解析法
图象法
优点
对应关系清晰直接
便于用解析式研究函数的性质
直观形象, 整体把握
缺点
不连贯, 容量小
抽象, 不直观
图象过程比较繁
列表法—用列表来表示两个变量之间函数关系的方法
解析法—用等式来表示两个变量之间函数关系的方法
图象法—用图象来表示两个变量之间函数关系的方法
3．三种不同方法的相互转化：能用解析式表示的, 一般都能列出符合条件的表、画出
符合条件的图, 反之亦然；列表法也能通过图形来表示．
四、数学运用
（一）例题
例1 购买某种饮料
x
听, 所需钱数为
y
元．若每听2元, 试分别用解析法、列表法、
图象法将
y表示成
x
(
x
∈{1, 2, 3, 4})的函数, 并指出该函数的值域．

跟踪练习：某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售, 每天可卖出100个,
若这种商品的销售价每个上涨1元, 则销售量就减少10个．
（1）列表：
单价
数量
利润
（2）图象：
（3）解析式：
将条件变换成：“某公司将进货单价为8元一个
的商品按10元一个销售, 每天可卖出110个”
例2 如图, 是一个二次函数的图象的一部分, 试根据图象
中的有关数据, 求出函数
f
(
x
)的解析式及其定义域．



（二）练习：
1．1 nmile(海里)约为1854m, 根据这一关系, 写出米数
y
关于海里数
x
的函数解析式．
2．用长为30cm的铁丝围成矩形, 试将矩形的面积
S
(cm)表示为矩形一边长
x
(cm)的函
数, 并画出函数的图象．
3．已知
f
(
x
)是一次函数, 且图象经过(1, 0)和(－2, 3)两点, 求
f
(
x
)的解析式．
4．已知
f
(
x
)是一次函数, 且
f
(
f
(
x
))＝9
x
－4, 求
f
(
x
)的解析式．
五、回顾小结
1．函数表示的多样性；
2．函数不同表示方法之间的联系性；
3．待定系数法求函数的解析式．
六、作业
课堂作业：课本35页习题1, 4, 5．
2
10
100
200
























20
0
0
(3，3)
(0，－3)
(2，－3)
2.1.2 函数的表示方法（2）
教学目标：

1．进一步理解函数的表示方法的多样性, 理解分段函数的表示, 能根据实际问题列出
符合题意的分段函数；
2．能较为准确地作出分段函数的图象；
3．通过教学, 进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化, 代数式化, 并能对以往学习
过的知识进行理性化思考, 对事物间的联系的一种数学化的思考．

教学重点：
分段函数的图象、定义域和值域．

教学过程：
一、问题情境
1．情境．
复习函数的表示方法；
已知
A
＝{1, 2, 3, 4},
B
＝{1, 3, 5}, 试写出从集合
A
到集合
B
的两个函数．
2．问题．
函数
f
(
x
)＝|
x
|与
f
(
x)＝
x
是同一函数么？区别在什么地方？
二、学生活动
1．画出函数
f
(
x
)＝|
x
|的图象；
2．根据实际情况, 能准确地写出分段函数的表达式．
三、数学建构
1．分段函数：在定义域内不同的部分上, 有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函
数．
（1）分段函数是一个函数, 而不是几个函数；
（2）分段函数的定义域是几部分的并；
（3）定义域的不同部分不能有相交部分；
（4）分段函数的图象可能是一条连续但不平滑的曲线, 也可能是由几条曲线共同组成；
（5）分段函数的图象未必是不连续, 不连续的图象表示的函数也不一定是分段函数,
如反比例函数的图象；
（6）分段函数是生活中最常见的函数．
四、数学运用

1．例题．
例1 某市出租汽车收费标准如下：在3km以内(含3km)路程按起步价7元收费, 超过
3km以外的路程按2.4元km收费．试写出收费额关于路程的函数解析式．
例2 如图, 梯形
OABC
各顶点的坐标分别为
O
(0, 0),
A
(6, 0),
B
(4, 2),
C
(2, 2)． 一
条与
y
轴平行的动直线
l
从
O
点开始作平行移动 , 到
A
点为止．设直线
l
与
x
轴的交点为
M,
OM
＝
x
, 记梯形
被直线
l
截得的在< br>l
左侧的图形的面积为
y
．求函数
y
＝
f(x
)的解析式、定义域、值域．
例3 将函数
f
(
x
)＝ |
x
＋1|＋|
x
－2|表示成分
段函数的形式, 并画出其图象, 根据图象指出函数
y
C B
O
A x
f
(
x
)的值域．
2．练习：
练习1：课本35页第7题, 36页第9题．
练习2：
x
－1
(x≥0)

（1）画出函数
f
(
x
)＝ 的图象．
1－
x

(x＜0)

x
2
－1，
x≥0，

1
（2） 若
f
(
x
)＝ 求
f

(－1),
f
(0),
f
(2),
f
(
f
(－1)),
f
(
f
(0)),
f
(
f
())
2
x
＋1，
x＜0．
2
的值．
（3）试比较函数
f
(
x
)＝|
x< br>＋1|＋|
x
|与
g
(
x
)＝|2
x
＋1|是否为同一函数．
（4）定义[
x
]表示不大于
x
的最大整数, 试作出函数
f
(
x
)＝[
x
] (
x
∈[－1, 3))的图
象．并将其表示成分段函数．
练习3：如图, 点
P
在边长为2的正方形边上按
A
→
B
→
C
→
D
→
A
的方向移动, 试将
AP
表示成移动的距离
x
的函数．
五、回顾小结
分段函数的表示→分段函数的定义域→分段函数的图象；
含绝对值的函数常与分段函数有关；
利用对称变换构造函数的图象．
六、作业
课堂作业：课本35页习题第3题, 36页第10, 12题；
课后探究：已知函数
f
(
x
)＝2x
－1（
x
∈R）, 试作出函数
f
(|
x
|), |
f
(
x
)|的图象．
D C
P
A B

2.2 函数的简单性质（1）
教学目标：
1．在初中学习一次函数、二次函数的性质的基础上, 进一步感知函数的单调性, 并能
结合图形, 认识函数的单调性；
2．通过函数的单调性的教学, 渗透数形结合的数学思想, 并对学生进行初步的辩证唯
物论的教育；
3．通过函数的单调性的教学, 让学生学会理性地认识与描述生活中的增长、递减等现
象．

教学重点：
用图象直观地认识函数的单调性, 并利用函数的单调性求函数的值域．

教学过程：
一、问题情境
如图（课本37页图2-2-1）, 是气温
10
8
6
4
2
－2
?
℃
?
关于时间
t
的函数, 记为
?
＝
f
(
t
), 观
察这个函数的图象, 说出气温在哪些时
间段内是逐渐升高的或是下降的？
2
4
14
24
th
问题：怎样用数学语言刻画上述时间段内“随时间的增大气温逐渐升高”这一特征？
二、学生活动
1．结合图2―2―1, 说出该市一天气温的变
化情况；
2．回忆初中所学的有关函数的性质, 并画图
O
予以说明；
3．结合右侧四幅图, 解释函数的单调性．
三、数学建构
1．增函数与减函数：
一般地, 设函数
y
＝
f
(
x
)的定义域为
A
, 区间
O
x
O
x
y
y＝
f
2
(
x
)

y
y＝
g
2
(
x
)

x
O
x
y
y＝
f
1
(
x
)

y
y＝
g
1
(
x
)

I
?
A
．

如果对于区间
I
内的任意两个值
x
1
,
x
2
, 当
x
1
＜
x
2
时, 都 有
f
(
x
1
)＜
f
(
x
2
), 那么就说
y
＝
f
(
x
)在区间
I
是单调增函数, 区间
I
称为
y
＝
f
(
x
)的单调增区间．
如果对于区间
I
内的任意两个值
x
1
,
x
2
, 当
x
1
＜
x
2
时, 都 有
f
(
x
1
)＞
f
(
x
2
), 那么就说
y
＝
f
(
x
)在区间
I
是单调减函数, 区间
I
称为
y
＝
f
(
x
)的单调减区间．
2．函数的单调性与单调区间：
如果函数
y
＝
f
(
x
)在区间
I
是单调增函数或单调减函数, 那么就说函数
y
＝< br>f
(
x
)在区间
I
上具有单调性．
单调增区间与单调减区间统称为单调区间．
注：一般所说的函数的单调性, 就是要指出函数的单调区间, 并说明在区间上是单调增
函数还是单调减函数．
四、数学运用
例1 画出下列函数的图象, 结合图象说出函数的单调性．
1．
y
＝
x
＋2
x
－1
2
2
2．
y
＝
x
1
例2 求证：函数
f
(
x
)＝－－1在区间(－∞, 0)上是单调增函数．
x
练习：说出下列函数的单调性并证明．
1．
y
＝－
x
＋2
五、回顾小结
利用图形, 感知函数的单调性→给出单调性的严格意义上的定义→证明一个函数的单
调性．
六、作业
课堂作业：课本44页1, 3两题．
2
2
2．
y
＝＋1
x
2.2 函数的简单性质（2）
教学目标：
1．进一步理解函数的单调性, 能利用函数的单调性结合函数的图象, 求出有关函数的
最小值与最大值, 并能准确地表示有关函数的值域；
2．通过函数的单调性的教学, 让学生在感性认知的基础上学会理性地认识与描述生活
中的增长、递减等现象．

教学重点：
利用函数的单调性求函数的值域．

教学过程：
一、问题情境
1．情境．
（1）复述函数的单调性定义；
（2）表述常见函数的单调性．
2．问题．
结合函数的图象说出该天的气温变化范围．





二、学生活动
1．研究函数的最值；
2．利用函数的单调性的改变, 找出函数取最值的情况；
三、数学建构
1．函数的值域与函数的最大值、最小值：
一般地, 设
y
＝
f
(
x
)的定义域为
A
．若存在
x
0
?
A
, 使得对任意
x
?
A
,
f
(
x
)≤
10
8
6
4
2
－2
θ℃
2
4
14
24
th
f
(
x
0
)恒成立, 则称
f
(
x
0
)为
y
＝
f
(
x
)的最大值, 记为
y
max
＝
f
(
x
0
)．
若存在定值
x
0
?
A
, 使得对任意
x
?
A
,
f
(
x
)≥
f
(
x
0
)恒成立, 则称
f
(
x
0
)为
y
＝
f
(x
)的最小
值, 记为
y
min
＝
f
(
x
0
)．
注：（1）函数的最大值、最小值分别对应函数图象上的最高点和最低点, 典型的例子就
是二 次函数
y
＝
ax
＋
bx
－
c
(
a
≠0), 当
a
＞0时, 函数有最小值；当
a
＜0时, 函数有最大值．
（2）利用函数的单调性, 并结合函数的图象求函数的值域或函数的最值是求函数的值
域或函数的最值的常用方法．
2．函数的最值与单调性之间的关系：
已知函数
y
＝
f
(
x
)的定义域是[
a
,
b
],
a
＜< br>c
＜
b
．当
x
?[
a
,
c
]时,
f
(
x
)是单调增函数；
2

当
x
?[
c
,
b
] 时,
f
(
x
)是单调减函数．则
f
(
x
)在
x
＝
c
时取得最大值．反之, 当
x
?[
a
,
c
]
时,
f
(
x
)是单调减函数；当
x
?[
c
,
b
] 时,
f
(
x
)是单调增函数．则
f
(
x
)在
x
＝
c
时取得最小
值．
四、数学运用
例1 求出下列函数的最小值：
1
2
（1）
y
＝
x
－2
x
；（2）
y
＝,
x
∈[1, 3]．
x
变式：
（1）将
y
＝
x
－2
x
的定义域变为(0, 3]或[1, 3]或[－2, 3], 再求最值．
1
（2）将
y
＝的定义域变为(－2, －1], (0, 3]结果如何？
2
x
跟踪练习：求
f
(
x
)＝－
x
＋2
x
在[0, 10]上的最大值和最小值．
例2 已知函数
y
＝
f
(
x
)的定义域为[
a
,
b
],
a
＜
c
＜
b
．当
x∈[
a
,
c
]时,
f
(
x
)是单 调增
函数；当
x
∈[
c
,
b
]时,
f
(
x
)是单调减函数．试证明
f
(
x
)在
x
＝
c
时取得最大值．
变式：已知函数
y
＝
f< br>(
x
)的定义域为[
a
,
b
],
a＜
c
＜
b
．当
x
∈[
a
,
c
]时,
f
(
x
)是单调减
函数；当
x
∈[
c
,
b
]时,
f
(
x
) 是单调增函数．试证明
f
(
x
)在
x
＝
c
时取得最小值．
例3 求函数
f
(
x
)＝
x
－2
ax
在[0, 4]上的最小值．

练习：如图, 已知函数
y
＝
f
(
x
)的定
义域为[－4, 7], 根据图象, 说出它的最
大值与最小值．
求下列函数的值域：
（1）
y
＝
x?1
,
x
?[0, 3]；
2
2
5
4
3
－1
O
－4
y
x
－1
－2
3 5 7
1
（2）
y
＝,
x
?[2, 6]；
x?1
（3）
y
＝
?x
2
?1
；
（4）
y
＝
1
．
1?x(1?x)
五、回顾小结
利用图形, 感知函数的单调性→证明一个函数的单调性→确定一个函数的最值→确定
一个函数的值域．

六、作业
课堂作业：课本40页第3题, 44页第3题．
2.2 函数的简单性质（3）
教学目标：
1．进一步认识函数的性质, 从形与数两个方面引导学生理解掌握函数奇偶性的概念,
能准确地判断所给函数的奇偶性；
2．通过函数的奇偶性概念的教学, 揭示函数奇偶性概念的形成过程, 培养学生观察、
归纳、抽象的能力, 培养学生从特殊到一般的概括能力, 并渗透数形结合的数学思想方法；
3．引导学生从生活中的对称联想到数学中的对称, 师生共同探讨、研究, 从代数的角
度给予严密的代数形式表达、推理, 培养学生严谨、认真、科学的探究精神．

教学重点：
函数奇偶性的概念及函数奇偶性的判断．
教学难点：
函数奇偶性的概念的理解与证明．

教学过程：
一、问题情境
1．情境．
复习函数的单调性的概念及运用．
教师小结：函数的单调性从代数的角度严谨地刻画了函数的图象在某范围内的变化情况,
便于我们正确地画出相关函数的图象, 以便我们进一步地从整体的角度, 直观而又形象地
反映出函数的性质．在画函数的图象的时候, 我们有时还要注意一个问题, 就是对称（见
P41）．
2．问题．
1
2
观察函数
y< br>＝
x
和
y
＝（
x
≠0）的图象, 从对称的角度你发现了什么？
x
二、学生活动
1
2
1．画出函数
y
＝
x
和
y
＝（
x
≠0）的图象
x
2．利用折纸的方法验证函数
y
＝
x
图象的对称性
2

3．理解函数奇偶性的概念及性质．
三、数学建构
1．奇、偶函数的定义：
一般地, 如果对于函数
f
(
x
)的定义域内的任意的一个
x
, 都有
f
(－
x
)＝
f
(
x
), 那么称
函数
y
＝
f
(
x
)是偶函数；
如 果对于函数
f
(
x
)的定义域内的任意的一个
x
, 都有
f
(－
x
)＝－
f
(
x
), 那么称函数
y
＝
f
(
x
)是奇函数；
2．函数的奇偶性：
如果函数
f
(
x
)是奇函数或偶函数, 我们就说函数
f
(
x
)具有奇偶性, 而如果一个函数既
不是奇函数, 也不是偶函数(常说该函数是非奇非偶函数), 则说该函数不具有奇偶性．
3．奇、偶函数的性质：
偶函数的图象关于
y
轴对称, 奇函数的图象关于原点对称．
四、数学运用
（一）例题
例1 判断函数
f
(
x
)＝
x
＋5
x
的奇偶性．
例2 判定下列函数是否为偶函数或奇函数：
（1）
f
(
x
)＝
x
－1； （2）
f
(
x
)＝2
x
；
（3）
f
(
x
)＝2|
x
|； （4）
f
(x)＝(
x
－1)．
小结：1．判断函数是否为偶函数或奇函数, 首先判断函数的定义域是否关于原点对称,
如函数
f
(
x
)＝
2x
,
x
∈[－1, 3]就不具有奇偶性；再用定义．
2．判定函数是否具有奇偶性, 一定要对定义域内的任意的一个
x
进行讨论, 而不是某
一特定的值．如函数
f
(
x
)＝
x
－
x
－1, 有
f
(1)＝－1,
f
(－1)＝1, 显然有
f
(－1)＝－
f
(1),
但函数
f
(< br>x
)＝
x
－
x
－1不具有奇偶性, 再如函数
f(
x
)＝
x
－
x
－
x
＋2, 有
f
(－1)＝
f
(1)＝
1, 同样函数
f
(< br>x
)＝
x
－
x
－
x
＋2也不具有奇偶性．
32
232
2
2
2
3
x
2
－x－ 1 x＜0
例3 判断函数
f
(
x
)＝ 的奇偶性．
x
2
＋x－1 x＞0

小结：判断分段函数是否为具有奇偶性, 应先画出函数的图象, 获取直观的印象, 再利
用定义分段讨论．
（二）练习

1．判断下列函数的奇偶性：
（1）
f
(
x
)＝
x
＋
1
；
x
（2）
f
(
x
)＝
x
＋
x
；
2
（3）
f
(
x
)＝
x
2
； （4）
f
(
x
)＝
|x|
．
x
y < br>2．已知奇函数
f
(
x
)在
y
轴右边的图象如图所示 , 试画出函数
f
(
x
)在
y
轴左边的图象．
3．已知函数
f
(
x
＋1)是偶函数, 则函数
f
(
x
)的对称轴是 ．
4．对于定义在R上的函数
f
(
x
), 下列判断是否正确：
（1）若
f
(2)＝
f
(－2), 则
f
(
x
)是偶函数；
（2）若
f
(2)≠
f
(－2), 则
f
(
x
)不是偶函数；
（3）若
f
(2)＝
f
(－2), 则
f
(
x
)不是奇函数．
五、回顾小结
1．奇、偶函数的定义及函数的奇偶性的定义．
2．奇、偶函数的性质及函数的奇偶性的判断．
六、作业
课堂作业：课本44页5, 6题．
O
x
2.2 函数的简单性质（4）

教学目标：
1．进一步理解函数的性质, 从形与数两个方面引导学生理解掌握函数单调性与函数的
奇偶性；
2．能正确地运用函数的有关性质解决相关的问题；
3．通过函数简单性质的教学, 培养学生观察、归纳、抽象的能力, 培养学生从特殊到
一般的概括能力, 并从代数的角度给予严密的代数形式表达、推理, 培养学生严谨、认真、
科学的探究精神, 并渗透数形结合的数学思想方法．

教学重点：
函数的简单性质的综合运用．

教学过程：

一、问题情境
1．情境．
（1）复习函数的单调性；
（2）复习函数的奇偶性．
小结：函数的单调性与函数的奇偶性都反映了函数图象的某种变化, 通过我们观察、归
纳、抽象、概括, 并从代数的角度给予严密的代数形式表达、推理．
2．问题．
函数的单调性与函数的奇偶性二者之间是否具有某些必然的联系呢？
二、学生活动
画出函数
f
(
x
)＝
x
－ 2|
x
|－1图象, 通过图象, 指出它的单调区间, 并判定它的奇偶
性．
三、数学建构
奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性, 而偶函数在关于原点对称的区间
上具有相反的单调性．
四、数学运用
1．例题．
例1 已知奇函数
f
(
x
)在区间[
a
,
b
](0＜
a
＜
b
)上是单调减函数．
求证：函数
f
(
x
)在区间[－
b
, －
a
]上仍是单调减函数．
跟踪练习：
（1） 已知偶函数
f
(
x
)在区间[
a
,
b
](0＜
a
＜
b
)上是单调减函数,
求证：函数
f
(
x
)在区间[－
b
, －
a
]上是单调增函数．
（2）已知奇函数
f
(
x
)在区间[
a
,
b
](0＜
a
＜
b
)上的最大值是3, 则函数
f
(
x
)在区间[－
2
b
, －
a
]上 ( )
A．有最大值是3 B．有最大值是－3
C．有最小值是3 D．有最小值是－3
例2 已知函数
y
＝
f
(
x
)是R上的奇函数, 而且
x
＞0时,
f
(
x
)＝
x
－1, 试求函数
y
＝
f
(
x
)
的表达式．
例3 已知函数
f
(
x
)对于任意的实数
x
,
y
, 都有
f
(
x
＋
y
)＝
f< br>(
x
)＋
f
(
y
)．
（1）
f
(0)的值；
（2）试判断函数
f
(
x
)的奇偶性；

（3）若
x
＞0都有
f
(
x
)＞0, 试判断函数的单调性．
2．练习：
（1）设函数
f
(
x
)是R上的偶函数, 且在(－?, 0)上是 增函数．则
f
(－2)与
f
(
a
－2
a
＋ 3)(
a
?R)的大小关系是 ．
（2）函数
f
(
x
)是定义在(－1, 1)上的奇函数, 且在定 义域上是增函数．若
f
(1－
a
)＋
2
f
(1－< br>a
2
)＞0, 则实数
a
的取值范围是 ．
（3）已知函数
f
(
x
＋1)是偶函数, 则函数
f
(
x
)的对称轴是 ．
（4）已知函数
f
(
x
＋1)是奇函数, 则函数
f
(
x
)的对称中心是 ．
（5）已知定义域为R的函数
f
(
x
)在(8, ＋?)上为减函数, 且函数
y
＝
f
(
x
＋8)为偶函
数, 则
f
(2),
f
(8),
f
(10)的大小关系为 ．
（6）已知函数
f
(
x
)是定义在R上的偶函数, 且
f
(
x
)＝
f
(2－
x
), 若
f
(
x
)在区间[1,
2]上是减函数, 则
f
(
x
)在区间 [－2, －1]上的单调性为 , 在区间[3, 4]上的单
调性为 ．
五、回顾小结
奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性, 偶函数在关于原点对称的区间上
具有相反的单调性．
六、作业
课堂作业：课本45页8, 11题．
2.3 映射的概念

教学目标：
1．了解映射的概念,能够判定一些简单的对应是不是映射；
2．通过对映射特殊化的分析, 揭示出映射与函数之间的内在联系．

教学重点：
用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域．

教学过程：
一、问题情境

1．复习函数的概念．
小结：函数是两个非空数集之间的单值对应, 事实上我们还遇到很多这样的集合之间的
对应：
（1）
A
＝{
P
｜
P
是数轴上的点},
B
＝R,
f
：点的坐标．
（2）对于任意一个三角形, 都有唯一确定的面积和它对应．
2．情境问题．
这些对应是
A
到
B
的函数么？
二、学生活动
阅读课本46～47页的内容, 回答有关问题．
三、数学建构
1．映射定义：一般地, 设
A
,
B
是两个非空集合．如果按照某种对应法则?, 对于集合
A
中的任何一个元素, 在集合
B
中都有唯一的元素和它对应, 那么这样的对应（包括集合
A
,
B
及
A
到
B的对应法则
f
）叫做集合
A
到集合
B
的映射, 记作：
f
：
A
→
B
．
2．映射定义的认识： < br>（1）符号“
f
：
A
→
B
”表示
A
到
B
的映射；
（2）映射有三个要素：两个集合, 一种对应法则；
（3 ）集合的顺序性：
A
→
B
与
B
→
A
是不同 的；
（4）箭尾集合中元素的任意性（少一个也不行）, 箭头集合中元素的惟一性（多一个
也不行）．
四、数学运用
1．例题讲解：
例1 下列对应是不是从集合
A
到集合
B
的映射, 为什么？
（1）
A
＝R,
B
＝{
x
∈R∣
x
≥0 }, 对应法则是“求平方”；
（2）
A
＝R,
B
＝{
x
∈R∣
x
>0 }, 对应法则是“求平方”；
（3）
A
＝{
x
∈R∣
x
>0 },
B
＝R, 对应法则是“求平方根”；
（4）
A
＝{平面上的圆},
B
＝{平面上的矩形}, 对应法则是“作圆的内接矩形” ．
例2 若
A
＝{－1,
m
, 3},
B
＝{－2, 4, 10}, 定义从
A
到
B
的一个映射
f
：
x
→
y
＝3
x
＋1, 求
m
值．
例3 设集合
A
＝{
x
∣0≤
x
≤6 }, 集合
B
＝{
y
∣0≤
y
≤2}, 下列从
A
到
B
的
对应法则
f
, 其中不是映射的是( )

A
．
f
：
x
→
y
＝
x

B
．
f
：
x
→
y
＝
x

11
C．
f
：
x
→
y
＝
x
D．
f
：
x
→
y
＝
x

46
2．巩固练习：
（1）下列对应中, 哪些是 从
A
到
B
的映射．
1
2
1
3
x

1
2

3
4



f
y
2
4
6
8
x
1
2
3
4
f
y
2
4
6
8
x
1
2
3
4
f
y
2
4
6
8
x
1
2
3
4
f
y
2
4
6
8
(1)
(2)
(3)
(4)
注：①从
A
到
B
的映射可以有一对一, 多对一, 但不能有一对多；
②
B
中可以有剩余但
A
中不能有剩余； ③如果
A
中元素
a
和
B
中元素
b
对应 , 则
a
叫
b
的原象,
b
叫
a
的象．
（2）已知
A
＝R,
B
＝R, 则
f
：
A
→
B
使
A
中任一元素
a
与
B
中元素2
a
－1相对应, 则
在
f
：
A
→
B
中,
A
中元 素9与
B
中元素_________对应；与集合
B
中元素9对应的
A
中元素
为_________．
（3）若元素(
x
,
y
)在映射
f
的象是(2
x
,
x
＋
y
), 则(－1, 3)在
f
下的象是 , (－
1, 3)在
f
下的原象是 ．
（4）设集合
M
＝{
x
∣0≤
x
≤1 }, 集合
N
＝{
y
∣0≤
y
≤1 }, 则下列四个图象中, 表示从
M
到
N
的映射的是 ( )




A B C D
五、回顾小结
1．映射的定义；
2．函数和映射的区别．
六、作业
P47练习1, 2题, P48第5, 6题．

3.1.1 分数指数幂（1）
教学目标：
理解根式的概念及
n
次方根的性质．

教学重点：
根式的运算．
教学难点：
根式性质的理解．

教学过程：
一、情景设置
邓小平同志提出中国经济发展三步走方针： 从1981年到1990年实现国民生产总值翻一
番, 从1991年到二十世纪末, 国民生产总值再翻一番, 人民生活水平达到小康水平；到21
世纪中叶, 人均国民生产总值达到中等国家水平, 人民生活比较富裕, 基本实现现代化．这
里面涉及到一个数学问题, 十年翻一番, 每年平均要增长多少呢？
如果设每年平均增长
p
%, 1980年的国民生产总值记为1, 则有（1＋
p
%）＝2, 从这里
如何求
p
呢？
二、学生活动
1．复习平方根、立方根的定义：
（1）如果
x
＝
a
, 那么
x
＝
（2）如果
x
＝
a
, 那么
x
＝
2．类比得出
n
次实数方根的概念
如果
x
＝
a
, 那么
x
＝ （
n
为正整数, 且
n
≥2）
三、数学建构
1．
n
次实数方根的概念
注：（1）在实数范围内, 正数的奇次方根是一个正数, 负数的奇次方根是一个负数, 零
的奇次方根是零, 即任一个实数都有 且只有一个奇次方根．设
x
＝
a
（
a
?R,
n
是奇数, 且
n
＞1）, 则
x
＝
n
a
；
（2）在实数范围内, 正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数, 零的偶次方根
n
n
3
2
10

是零, 负数的偶次方根没有意义．设
x
＝
a
（
a
＞0,
n
是正偶数）, 则
x
＝±
n
a
．
n
（3）当
a
≥0时, 对于任意不小于2的整数
n
,
n
a
的值存在且惟一, 表示
a
的
n
次算
术根；当
a
＜0时, 当且仅当
n
为奇数（
n
＞1）时,
n
a
才有意义．
2．根式的性质．
n
（1）
(
n
a)
＝
a
． （2） n
a
n
＝
?
?
a，n为奇数，
?
|a |，n为偶数．

四、数学运用
（一）例题讲解．
例1 求值．
（1）
??
4
5
（2）
4
2
?
?5
?
2
（3）
2
（5）
?
?2
?
（6）
总结：根式的性质．
?
3?π
?
?
（7）
?
3
?2
（4）
3
?
?2
?

3?1

?
3
3
?
0
例2 计算下列各式的值．
（1）< br>?
2?1?
?
?2
?
?
?
?1
?< br>?
?
16
?
?8
?1
?4
2
?2< br>4
?
?
?32
?

3
?
0
43?2
（2）
3?22?
2
?
1?2
?
3
?
4
?
1?2
?
4

（3）
4x?12x?9?4x?20x?25(?
（二）练习：
2
35
?x?)

22
1．（1）25的平方根是 ；（2）27的立方根是 ；
（3）16的四次方根是 ；（4）－32的五次方根是 ；
（5）
a
的六次方根是 ；（6）0的
n
次方根是 ．
2．下列说法：（1）正数 的
n
次方根是正数；（2）负数的
n
次方根是负数；（3）0的
n< br>次方根是0；（4）
n
a
是无理数．其中正确的是 （写出所有正确命题的序号）．
3．对于
a
＞0,
b
≠0,
m
,
n
?Z, 以下说法：（1）
a?b?a
mnmn< br>6
；（2）
a
??
m
n
?a
m?n
；
（3）
ab
?
mn
?
?
?
ab
?
m?n
?
b
?
；（4）
??
?a
?m
b
m
．其中正确的是 （写出所有正
?
a
?
m
确命题的序号）．

4．如果
a
,
b
是实数, 则下列等式：（1）
a?b< br>＝
a
＋
b
；（2）
＋
2ab
；（3）
4
4
3
32
?
a?b
?
2
＝
a
＋
b
（4）
a
2
?2ab?b
2
＝
a
＋
b
．其中一定成立的是
?
a
2
?b
2
?
＝
a
2
＋
b
2；
（写出所有正确命题的序号）．
5．已知
x?
x?yx?y
11
,
y?
, 求的值．
?
23
x?yx?y
五、小结：
1．根式的概念；
2．根式的性质．
六、作业：
课本P63习题3.1（1）1．
3.1.1 分数指数幂（2）
教学目标：
1． 理解正数的分数指数幂的含义, 了解正数的实数指数幂的意义；
2． 掌握有理数指数幂的运算性质, 会进行根式与分数指数幂的相互转化, 灵活运用
乘法公式幂的运算法则进行有理数指数幂的运算和化简．

教学重点：
分数指数幂的含义及有理数指数幂的运算和化简．

教学难点：
分数指数幂含义的理解；有理数指数幂的运算和化简．

教学过程：
一、情景设置
1．复习回顾：说出下列各式的意义, 并说出其结果
（1）
3
?64?

（3）
5
32?
（2）
4
81?

?
4
81?

3
?
3
?
4
4
?

?
5
?6
?
5
?

1012
（4）
2?

2?

1012
54
2．情境问题：将
2?
2,
2?
2推广到一般情况有：
3

（1）当
m
为偶数时,
2?2
；（2）当
m
为
n
的倍数时,
2?2
．
如果将
2
表示成2的形式,
s
的最合适的数值是多少呢？
二、数学建构
1．正数的正分数指数幂的意义：
a?
（ ）
2．正数的负分数指数幂的意义：
a
3．有理数指数幂的运算法则：
?
m
n
m
n
s
m
m
2
n
m
m
n
?
（ ）

a
t
?a
s
?
,
?
a
s
?
?
,
?
ab
?
?

t
t
三、数学应用
（一）例题：
1．求值：（1）
100
； （2）
8
；（3）
9
2．用分数指数幂的形式表示下列各式（式中
a
＞0）
（1）
a?a
； （2）
a
3
?
3
a
2
；
3
（3）
aa
（4）
aaa

3
2
1
2
2
3
?
3
2
（4）
?
81
?
?
3
4

小结：有理数指数幂的运算性质．
62
?
2
?
?
?
?3
?
?
3
?102
3．化简：
3
2?
27
?
3
?
2
??
2
?4
2；
4．化简：（1）
xy
3
2
?
2
3
xy
?
3

（2）
x
?2
?y
?2x
?
2
3
?y
?
2
3
?
x< br>?2
?y
?2
x
?
?y
?
2
3?
x?y
?
．
2
3
3
2
3
1
3
5．已知
a??
a?3ab?9ba
817
?
的值．
,b?,
求
41
33
2771
a?3b
a
3
?27a
3
b
（二）练习：化简下列各式：
1．
a?a
3
7
2
?3
?
3
a
?8
?
3
a
15
?
3
a
?3
?a
?1
；
1
?
?
1
?
2．
?
x?x? x
?
?
x
2
?x
2
?
；
??
?10

3．
a?b?1a?b
?bb
?
(
a
＞0,
b
＞0)
??
?
?
?
??
a?ab2ab
?
a?aba?ab
?
4．当
t?
t?1t?1t?t
1
?
2
?
时, 求
1
的值
11
8
t
3
?1t
3
?t
3
?1t
3
?1
1
3
四、小结：
1．分数指数幂的意义；
2．有理数指数幂的运算性质；
3．整式运算律及乘法公式在分数指数幂运算中仍适用；
4．指数概念从整数指数幂推广到有理数指数幂, 同样可以推广到实数指数幂．
五、作业：
课本P63习题3.1（1）2, 4, 5．
3.1.2 指数函数（1）
教学目标：
1．掌握指数函数的概念（能理解对
a
的限定以及自变量的取值可推广至实数范围）, 会
作指数函数的图象；
2．能归纳出指数函数的几个基本性质, 并通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过
程, 培养学生探究、归纳分析问题的能力．

教学重点：
指数函数的定义、图象和性质．
教学难点：
指数函数性质的归纳．

教学过程：
一、创设情境
课本第59页的细胞分裂问题和第64页的古莲子中的C的衰变问题．
二、学生活动
（1）阅读课本64页内容；
（2）动手画函数的图象．
14

三、数学建构
1．指数函数的概念：一般地, 函数
y
＝
a
(
a
＞0且
a
≠1)叫做指数函数 , 它的定义域是
R, 值域为(0, ＋?)．
练习：
（1）观察并指出函数< br>y
＝
x
与函数
y
＝2有什么区别？
（2）指出函数
y
＝2·3,
y
＝2,
y
＝3,
y
＝4,
y
＝
a
(
a
＞0, 且
a
≠1)中哪些是指
数函数, 哪些不是, 为什么？
思考：为什么要强调
a
＞0, 且
a
≠1？
a
≠1自然将所有的正数分为两部分
(0, 1)和(1, ＋?), 这两个区间对函数的性质会有什么影响呢？
2．指数函数的图象和性质．
xx
+32
x
2
x
x
xx
?
1< br>??
1
?
（1）在同一坐标系画出
y?2
x
,y?< br>??
,y?10
x
,y?
??
的图象, 观察并总结函数?
2
??
10
?
y
＝
a
x
(
a
＞0, 且
a
≠1)的性质．


图象
xx
a?1

y
1
O
x





0?a?1

y
1
O
x
定义域
值域
性质




?
1
?
?
5
?
x
（2）借助于 计算机技术, 在同一坐标系画出
y
＝10,
y?
??
,
y?
??
,
?
10
?
?
2
?< br>?
2
?
y?
??
等函数的图象, 进一步验证函数
y
＝
a
x
(
a
＞0, 且
a
≠1)的性质, 并探讨函数
y
＝
a
x
?5
?
与
y
＝
a
(
a
＞0, 且
a
≠1)之间的关系．
四、数学应用
（一）例题：
x
xx
x

1．比较下列各组数的大小：
?1.2?1.5
（1）
1.5,1.5
（2）
0.5,0.5
（3）
1.5,0.8
2.53.20.31.2

2．求下列函数的定义域和值域：
（1）
y?8
1
2x?1
（2）
y?1?
??
x
2
?3x?1
?
1
?
?< br>2
?
x
（3）
y?
??
?
1
?
?
2
?
2x?x
2

3．已知函数
f
(
x
)＝
a
的取值范围．
（二）练习：
,
g
(
x
)＝
a
x2
?2x?4
(
a
＞0且
a
≠1) , 若
f
(
x
)＞
g
(
x
), 求
x
（1） 判断下列函数是否是指数函数：①
y
＝2·3；②
y< br>＝3
xxx
2
xx
1
；③
y
＝
x< br>；
x
3
④
y
＝－3；⑤
y
＝(－3)；⑥
y
＝?；⑦
y
＝3
x
；⑧
y
＝
x
；⑨
y
＝(2
a
－1)(
a
＞
2
x
1
, 且
a
≠1)．

2
（2）若函数
y
＝(
a
－3
a
＋3)·
a
是指数函数, 则它的单调性为 ．
x
2
x
?1
课后思 考题：求函数
y?
x
的值域, 并判断其奇偶性和单调性．
2?1
五、小结
1．指数函数的定义（研究了对
a
的限定以及定义域和值域）．
2．指数函数的图象．
3．指数函数的性质：
（1）定点：（0, 1）；
（2）单调性：
a
＞1, 单调增；0＜
a
＜1, 单调减．
六、作业
课本P70习题3.1（2）5, 7．
3.1.2 指数函数（2）
教学目标：
1．进一步理解指数函数的性质；
2．能较熟练地运用指数函数的性质解决指数函数的平移问题；

教学重点：
指数函数的性质的应用；

教学难点：
指数函数图象的平移变换．

教学过程：
一、情境创设
1．复习指数函数的概念、图象和性质
练习：函数
y
＝
a
(
a
＞0且
a
≠1)的定义域是_____, 值域是______, 函数图象所过的定
点坐标为 ．若
a
＞1, 则当
x
＞0时,
y
1；而当
x
＜0时,
y
1．若0＜
a
＜1, 则
当
x
＞0时,
y
1；而当
x
＜0时,
y
1．
2．情境问题：指数函数的性质除了比较大小, 还有什么作用呢？我们知道对任意的
a
＞0且
a
≠1, 函数
y
＝
a
的图象恒过(0, 1), 那么对任意的
a
＞0且
a
≠1, 函数
y
＝
a
图象恒过哪一个定点呢？
二、数学应用与建构
例1 解不等式：
（1）
3?3
；
（3）
9?3
xx?2
x0.5
x
2
x
1
x
的
（2）
0.2?25
；
（4）
3?4?2?6?0
．
xx
x
；
小结：解关于指数的不等式与判断几个指数值的大小一样, 是指数性质的运用, 关键是
底数所在的范围．
例2 说明下列函数的图象与指数函数
y
＝2的图象的关系, 并画出它们的示意图：
（1）
y?2
x?2
x
； （2）
y?2
x?2
；
x
（3）
y?2?2
； （4）
y?2?2
．
x
小结：指数函数的平移规律：
y
＝
f
(
x
)左右平移?
y
＝
f
(
x
＋
k
)(当
k
＞0时, 向左平移, 反
之向右平移), 上下平移?
y
＝
f
(
x
)＋
h
(当h
＞0时, 向上平移, 反之向下平移)．
练习：
（1）将函数
f
(
x
)＝3的图象向右平移3个单位, 再向下平移2个单位, 可以得到函
数 的图象．
（2）将函数
f
(
x
)＝3的图象向右平移2个单位, 再向上平移3个单位, 可以得到函
数 的图象．
x
x
?
1
?
（3）将函数
y?
??
?2
图象先向左平移2个单位 , 再向下平移1个单位所得函数的
?
3
?
2x

解析式是 ．
（4）对任意的
a
＞0且
a
≠1, 函数
y
＝
a
2
x
1
的图象恒过的定点的坐标是 ．函数
y
＝
a
2
x
－1的图象恒过的定点的坐标是 ．
小结：指数函数的定点往往是解决问题的突破口！定点与单调性相结合, 就可以构造出
函数的简图, 从而许多问题就可以找到解决的突破口．
（5）如何利用函数
f
(
x
)＝2的图象, 作出函数
y< br>＝2
x
xx
和
y
＝2
|
x
2|的图象？
（6）如何利用函数
f
(
x
)＝2的图象, 作出函数
y
＝|2
－
1|的图象？
小结：函数图象的对称变换规律．
例3 已知函数
y
＝
f
(
x
)是定义在R上的奇函数, 且
x
＜0时,
f
(
x
)＝1－2, 试画出此
函数的图象．
例4 求函数
y?4?2
xx?1
x
x
?1
的最小值以及取得最小值时的
x
值．
小结：复合函数常常需要换元来求解其最值．
练习：
（1）函数
y
＝
a
在[0, 1]上的最大值与最小值的和为3, 则
a
等于 ；
（2）函数
y
＝2
x
x
的值域为 ；
2
x
（3）设
a
＞0且
a
≠1, 如果
y
＝
a
＋2
a
－1在[－1, 1]上的最大值为14, 求
a
的值；
（4）当
x
＞0时, 函数
f
(
x
)＝(
a
－1)的值总大于1, 求实数
a
的取值范围．
三、小结
1．指数函数的性质及应用；
2．指数型函数的定点问题；
3．指数型函数的草图及其变换规律．
四、作业：
课本P71-11, 12, 15题．
五、课后探究
（1）函数
f
(
x
)的定义域为(0, 1), 则函数
f 2
x
2
x
x
?
2x?x
2
?
的定 义域为 ．
?
x
1
?x
2
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
与
22
??
（2）对于任意的
x
1
,
x
2
?R , 若函数
f
(
x
)＝2 , 试比较
f
?
的大小．
3.1.2 指数函数（3）

教学目标：
进一步理解指数函数及其性质, 能运用指数函数模型, 解决实际问题．

教学重点：
用指数函数模型解决实际问题．
教学难点：
指数函数模型的建构．

教学过程：
一、情境创设
1．某工厂今年的年产值为
a
万元, 为了增加产值, 今年增加了新产品的研发, 预计从
明年起, 年产值每年递增15%, 则明年的产值为 万元, 后年的产值
为 万元．若设
x
年后实现产值翻两番, 则得方程 ．
二、数学建构
指数函数是常见的数学模型, 也是重要的数学模型, 常见于工农业生产, 环境治理以
及投资理财等．
递增的常见模型为
y
＝(1＋
p
%)(
p
＞0)；递减的常见模型则为
y
＝(1－
p
%) (
p
＞0)．
三、数学应用
例1 某种放射性物质不断变化为其他, 每经过一年, 这种物质剩留的质量是原来的
84%, 写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式．
例2 某医药研究所开发一种新药, 据检测：如果
成人按规定的剂量服用, 服药后每毫升血液中的含药量
为
y
(微克), 与服药后的时间
t
(小时)之间近似满足如
图曲线, 其中
OA
是线段, 曲线
ABC
是函数
y
＝
ka
的图
象．试根据图象, 求出函数
y
＝
f
(
t
)的解析式．
例3 某位公民按定期三年, 年利率为2.70%的方
式把5000元存入银行．问三年后这位公民所得利息是多
少元？
例4 某种储蓄按复利计算利息, 若本金为
a
元, 每期利率为
r
, 设存期是
x
, 本利和
（本金加上利息）为
y
元．
O
B(7，1)
C
t
t
xx
y
A(1，8)

（1）写出本利和
y
随存期
x
变化的函数关系式；
（2）如果存入本金1000元, 每期利率为2.25%, 试计算5期后的本利和．
（复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金, 再计算下一期利息的一种计算利息
方法）
小结：银行存款往往采用单利计算方式, 而分期付款、按揭则采用复利计算．这是因
为在存款上, 为了减少储户的重复操作给银行带来的工作压力, 同时也是为了提高储户的
长期存款的积极性, 往往定期现年的利息比再次存取定期一年的收益要高；而在分期付款的
过程中, 由于每次存入的现金存期不一样, 故需要采用复利计算方式．比如“本金为
a
元,
每期还
b
元, 每期利率为
r
”, 第一期还款时本息和应为
a
(1＋
p
%), 还款后余额为
a
(1＋
p
%)
－
b
, 第二次还款 时本息为(
a
(1＋
p
%)－
b
)(1＋
p
%), 再还款后余额为(
a
(1＋
p
%)－
b
)(1＋
p
%)
－
b
＝
a
(1＋
p
%)－
b
(1＋
p
%)－
b
, ……, 第
n
次 还款后余额为
a
(1＋
p
%)－
b
(1＋
p
%)
＋
p
%)
n
2
2
nn
1
－
b
(1
－……－
b
．这就是复利计算方式．
例5 2000～2002年, 我国国内生产总值年平均增长7.8%左右．按照这个增长速度, 画
出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象, 并通过图象观察到2010年我国年
国内生产总值约为2000年的多少倍（结果取整数）．
练习：
1．（1）一电子元件去年生产某种规格的电子元件
a
个, 计划从今年开始的
m
年内, 每
年生产此种规格电子元件的产量比上一年增长
p
%, 试写出此种规格电子元件的年产量随年
数变化的函数关系式；
（2）一电子元件去年生产某种规格的电子元件的成本是
a
元个, 计划从今年开始的
m
年内, 每年生产此种规格电子元件的产量比上一年下降
p
%, 试写出此种规格电子元件的单
件成本随年数变化的函数关系式．
2．某种细菌在培养过程中, 每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）, 经3小时后, 这
种细菌可由1个分裂成个 ．
3．我国工农业总产值计划从2000年到2020年翻两番, 设平均每年增长率为
x
, 则得
方程 ．
四、小结：
1．指数函数模型的建立；
2．单利与复利；
3．用图象近似求解．

五、作业：
课本P71-10, 16题．
3.2.1 对数（1）
教学目标：
1．理解对数的概念；
2．能够进行对数式与指数式的互化；
3．会根据对数的概念求一些特殊的对数式的值．

教学重点：
对数的概念, 对数式与指数式的相互转化, 并求一些特殊的对数式的值；
教学难点：
对数概念的引入与理解．

教学过程：
一、情境创设
假设2005年我国的国民生产总值为
a
亿元, 如每年平均增长8%, 那么经过多少年, 国
民生产总值是2005年的2倍？
根据题目列出方程：______________________．
提问：此方程的特征是什么？?已知底数和幂, 求指数！
情境问题：已知底数和指数求幂, 通常用乘方运算；而已知指数和幂, 则通常用开方运
算或分数指数幂运算, 已知底数和幂, 如何求指数呢？
二、数学建构
1．对数的定义．
一般地, 如果
a
(
a
＞0,
a
≠1)的
b
次幂等于
N
, 即
a
＝
N
, 那么就称
b
是以
a
为底
N
的对
数, 记作log

a
N
, 即
b
＝log
a
N
．
其中,
a
叫作对数的底数,
N
叫做对数的真数．
2．对数的性质：
（1）真数
N
＞0, 零和负数没有对数；
（2）log
a
1＝0 (
a
＞0,
a
≠1)；
b

（3） log
a
a
＝1(
a
＞0,
a
≠1)；
（4）
a
log
a
N
＝
N
(
a
＞0,
a
≠1)．
3．两个重要对数：
（1）常用对数(commonlogarithm)：以10为底的对数lg
N
．
（2）自然对数(naturallogarithm)：以无理数
e?2.71828?为底的对数ln
N
．
三、数学应用
例1 将下列指数式改写成对数式．
（1）2＝16； （2）
4
3
?3
1
a
；（ 3）
5
?20
； （4）
1
?
2
27
??
?0.45
．
b
例2 求下列各式的值．
（1）log
2
64；
基础练习：
log
10
100＝ ；
log
2
log
25
5＝ ；
log
1
4＝ ；
4
（2）log
8
32．
1
＝ ；
2
log
3
3＝ ；
log
3
1＝ ；
例3 将下列对数式改写成指数式
（1）log
5
125＝3； （2）log
1
3
log
a
a
＝ ；
log
a
1＝ ．
3＝－2； （3）lg
a
＝－1．699．
2
m
例4 已知log
a
2＝
m
, log
a
3＝
n
, 求
a
练习：
n
的值．
1．（1）lg(lg10)＝ ； （2）lg(ln
e
)＝ ；
（3）log
6
[log
4
(log
3
81)]＝ ；（4）log
3
1?2x
＝1, 则
x
＝________． < br>9
2．把log
x
7
y
＝
z
改写成指数式是 ．
3．求2
2?log
2
5
的值．
?x
?1
?
2
,x?(??,1]
4．设
f(x)?
?
, 则满足
f(x)?
的
x
值为_______．
4
x ,x?(1,??)
?
?
log
81

5．设
x
＝log
2
3, 求
四、小结
2
2
?
2
x
3x
?
2
?3x
?x
．
1．对数的定义：
b
＝log
a
N
?
a
＝
N
．
2．对数的运算：用指数运算进行对数运算．
3．对数恒等式．
4．对数的意义：对数表示一种运算, 也表示一种结果．
五、作业
课本P79习题3.2(1)1, 2, 3(1)～(4)．
b
3.2.1 对数（2）
教学目标：
1．理解并掌握对数性质及运算法则, 能初步运用对数的性质和运算法则解题；
2．通过法则的探究与推导, 培养学生从特殊到一般的概括思想, 渗透化归思想及逻辑
思维能力；
3．通过法则探究, 激发学生学习的积极性．培养大胆探索, 实事求是的科学精神．

教学重点：
对数的运算法则及推导与应用；
教学难点：
对数的运算法则及推导．

教学过程：
一、情境创设
1．复习对数的定义．
2．情境问题
（1）已知log
a
2＝
m
, log
a
3＝
n
, 求
a
mn
的值．
（2）设log
a
M
＝
m
, log
a
N
＝
n
, 能否用
m
,
n
表示log
a
(
M
·
N
)呢？
二、数学建构
1．对数的运算性质．

（1）loga
(
M
·
N
)＝log
a
M
＋log
a
N
(
a
＞0,
a
≠1,
M
＞0,
N
＞0)；
（2）log
a
M
＝log
a
M
－log
a
N
(
a
＞0,
a
≠1,
M
＞0,
N
＞0)；
N
n
（3）log
a
M
＝
n
log
a
M
(
a
＞0,
a
≠1,
M
＞0,
n
?R)．
2．对数运算性质的推导与证明
由于
a
·
a
＝
a
, 设
M
＝
a
,
N
＝
a
, 于是
MN
＝
a
．
由对数的定义得到log
a
M
＝
m
, log
a
N
＝
n
, log
a
（
M
·
N
）＝
m
+
n
．所以有
log
a< br>（
M
·
N
）＝log
a
M
+log
a
N
．
仿照上述过程, 同样地由
a
÷
a
＝
a
他性质．
三、数学应用
例1 求值．
（1）log
5
125；
（3）(lg5)＋2lg5·lg2＋(lg2)；
22
mnm
+
nmnm
+
n
mnmn
和(
a
)＝
a
分 别得出对数运算的其
mnmn
（2）log
2
(2·4)；
（4）
lg(3?5?3?5)
．
35
例2 已知lg2≈0.3010, lg3≈0.4771, 求下列各式的值(结果保留4位小数)：
（1）lg12； （2）
lg
16
；
27
（3）
lg45
．
例3 设lg
a
＋lg< br>b
＝2lg(
a
－2
b
), 求log
4
xx
a
的值．
b
例4 求方程lg(4＋2)＝lg2＋lg3的解．
练习：
1．下列命题：（1）lg2·lg 3＝lg5；（2）lg3＝lg9；（3）若log
a
(
M
＋
N< br>)＝
b
, 则
M
＋
N
＝
a
；（4） 若log
2
M
＋log
3
N
＝log
2
N
＋log
3
M
, 则
M
＝
N
．其中真命题有
（请写出所有真命题的序号）．
2．已知lg2＝
a
, lg3＝
b
, 试用含
a
,
b
的代数式表示下列各式：
（1）lg54； （2）lg2.4； （3）lg45．
3．化简：
（1）< br>2log
3
2?log
3
b
2
32
?log
3
8
； （2）
log
9
2
；
(2?1)
2?1
（3）< br>log
3
(2?3?2?3)?log
3
(2?3?2?3)?log
3
2
．
4．若lg(
x
－
y
)＋lg(
x
＋2
y
)＝lg2＋lg
x
＋lg
y
, 求
x
的值．
y

四、小结
1．对数的运算性质；
2．对数运算性质的应用．
五、作业
课本P79习题3（5）、（6）, P80第6题．
六、课后探究
化简：（1）
2
|log
2
0.2|?1
；（2）
2
lg3?3
lg2
．
3.2.2 对数函数（1）
教学目标：
1．掌握对数函数的概念, 熟悉对数函数的图象和性质；
2．通过观察对数函数的图象, 发现并归纳对数函数的性质；
3．培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力.

教学重点：
理解对数函数的定义, 初步掌握对数函数的图象和性质.
教学难点：
底数
a
对图象的影响及对对数函数性质的作用.

教学过程：
一、问题情境
在细胞分裂问题中, 细胞个数
y
是分裂次数
x
的指数函数
y
＝2．因此, 知道
x
的值(输
入值是分裂的次数), 就能求出
y
的值(输出值是细胞个数).
反之, 知道了细胞个数
y
, 如何确定分裂次数
x
？?
x
＝log
2
y
.
在这里,
x
与
y
之间是否存在函数的关系呢？
同样地, 前面提到的放射性物质, 经过的时间
x
(年)与物质的剩余量
y
的关系为< br>y
＝0.84．反之, 写成对数式为
x
＝log
0.84
y
.
二、学生活动
1．回顾指数与对数的关系；引出对数函数的定义,给出对数函数的定义域
2．通过观察对数函数的图象, 发现并归纳对数函数的性质.
x
x
x
y＝2
x

x
x＝log
2
y

y
y

3．类比指数函数的定义、图象、性质得到对数函数的定义、图象、性质．
三、建构数学
1．对数函数的定义：一般地, 当
a
＞0且
a
≠1时, 函数
y
＝log
a
x
叫做对数函数, 自变
量是
x
；函数的定义域是(0, ＋∞)．
值域：R．
2．对数函数
y
= log
a
x
(
a
＞0且
a
≠1)的图像特征和性质．
a






a
＞1 0＜
a
＜1

y

x

O

1
y

O

1
图像
x

定义域

值域
性

质

(1)恒过定点：
(2)当
x
＞1时,
当0＜
x
＜1时,
(3)在 上是 函数
当
x
＞1时,
当0＜
x
＜1时,
在 上是 函数
x
3．对数函数
y
= log
a
x
(
a
＞0且
a
≠1)与指数函数
y
=
a
(
a
＞0且
a
≠1)的关系——互
为反函数．
四、数学运用
1．例题.
例1 求下列函数的定义域：
（1）
y?log
0.2
(4?x)
；（2）
y?log
a
x?1 (a?0,a?1)
；
变式：求函数
y?log
2
(3?x)
的定义域.
例2 比较大小：
（1）
log
2
3.4,log
2
3.8
； （2 ）
log
0.5
1.8,log
0.5
2.1
；（3）log
7
5,log
6
7
.
2．练习：
课本P85-1, 2, 3, 4．
五、要点归纳与方法小结
（1）对数函数的概念、图象和性质；
（2）求定义域；
（3）利用单调性比较大小.

六、作业
课本 P87习题2, 3, 4.
3.2.2 对数函数（2）
教学目标：
1．掌握对数函数的性质, 能初步运用性质解决问题．
2．运用对数函数的图形和性质．
3．培养学生数形结合的思想, 以及分析推理的能力．

教学重点：
对数函数性质的应用．
教学难点：
对数函数图象的变换．

教学过程：
一、问题情境
1．复习对数函数的定义及性质．
2．问题：如何解决与对数函数的定义、图象和性质有关的问题？
二、学生活动
1 ．画出
y?log
3
(x?2)
、
y?log
3
x ?2
等函数的图象, 并与对数函数
y?log
3
x
的图
象进行对比, 总结出图象变换的一般规律．
2．探求函数图象对称变换的规律．
三、建构数学
1．函数
y?log
a
(x?b)?c
（
a?0,a?1
） 的图象是由函数
y?log
a
x
的图象
得到；
2．函数
y?|log
a
x|
的图象与函数
y?l og
a
x
的图象关系是 ；
3．函数< br>y?log
a
|x|
的图象与函数
y?log
a
x< br>的图象关系是 ．
四、数学运用
例1 如图所示曲线是对数函数
y
＝log
a
x
的图象,
y
C
1
C
2
0
1
x
C
3

已知
a
值取0.2, 0.5, 1.5, e, 则相应于
C
1
,
C
2
,
C
3
,
C
4
的
a
的值依次为 ．
例2 分别作出下列函数的图象, 并与函数
y
＝log
3
x
的图象进行比较, 找出它们之间
的关系
（1）
y
＝log
3
(
x
－2)；
（3）
y
＝log
3
x
－2；
（2）
y
＝log
3
(
x
＋2)；
（4）
y
＝log
3
x
＋2．
练习：1．将函数
y
＝log
a
x
的图象沿
x
轴向右平移2个单位, 再向下平移1个单位, 所
得到函数图象的解析式为 ．
2．对任意的实数
a
(
a
＞0,
a
≠1), 函 数
y
＝log
a
(
x
－1)＋2的图象所过的定点坐标为 ．
3．由函数
y
＝ log
3
(
x
＋2),
y
＝log
3
x
的图象与直线
y
=－1,
y
＝1所围成的封闭图形的
面积是 ．
例3 分别作出下列函数的图象, 并与函数
y
＝log
2
x
的图象进行比较, 找出它们之间
的关系
（1）
y
＝log
2
|
x
|；
（3）
y
＝log
2
(－
x
)；
（2）
y
＝|log
2
x
|；
（4）
y
＝－log
2
x
．
练习 结合函数
y
＝log
2
|
x
|的图象, 完成下列各题：
（1）函数
y
＝log
2
|
x
|的奇偶性为 ；
（2）函数
y
＝log
2
|
x
|的单调增区间为 , 减区间为 ．
（3）函数
y
＝log
2
(
x
－2)的单调增区间为 , 减区间为 ．
（4）函数
y
＝|log
2
x
－1|的单调增区间为 , 减区间为 ．
五、要点归纳与方法小结
（1）函数图象的变换（平移变换和对称变换）的规律；
（2）能画出较复杂函数的图象, 根据图象研究函数的性质(数形结合)．
六、作业
1．课本P87－6, 8, 11．
2．课后探究：试说出函数
y
＝log
2
2
1
的图 象与函数
y
＝log
2
x
图象的关系．
2?x
3.2.2 对数函数（3）
教学目标：

1．进一步理解对数函数的性质, 能运用对数函数的相关性质解决对数型函数的常见问
题．
2．培养学生数形结合的思想, 以及分析推理的能力．

教学重点：
对数函数性质的应用．
教学难点：
对数函数的性质向对数型函数的演变延伸．

教学过程：
一、问题情境
1．复习对数函数的性质．
2．回答下列问题．
（1）函数
y
＝log
2
x
的值域是 ；
（2）函数
y
＝log
2
x
(
x
≥1 )的值域是 ；
（3）函数
y
＝log
2
x
(0＜
x
＜1)的值域是 ．
3．情境问题．
函数
y
＝log
2
(
x
＋2
x
＋2)的 定义域和值域分别如何求呢？
二、学生活动
探究完成情境问题．
三、数学运用
例1 求函数
y
＝log
2
(
x
＋2
x< br>＋2)的定义域和值域．
练习：
（1）已知函数
y
＝log
2
x
的值域是[－2, 3], 则
x
的范围是________________．
（2）函数
y?log
1
x
,
x
?(0, 8]的值域是 ．
2
2
2
（3）函数
y
＝log
1
(
x
－6
x
+17)的值域 ．
2
2
（4）函数
y?log
1
2?x
2
?
2
?
的值域是_______________．
例2 判断下列函数的奇偶性：

（1）
f
(
x
)＝lg
1?x
（2）
f
(
x
)＝ln(
1?x
2
－
x
)
1?x
x
例3 已知log
a
0.75＞1, 试求实数
a
取值范围．
例4 已知函数
y
＝log
a< br>(1－
a
)(
a
＞0,
a
≠1)．
（1）求函数的定义域与值域；
（2）求函数的单调区间．
练习：
1．下列函数(1)
y
＝
x
－1；(2)
y
＝log
2
(
x
－1)；(3)
y
＝
x?1
；(4)
y
＝ln
x
, 其中值
域为R的有 (请写出所有正确结论的序号)．
2
－1)的图象关于 对称．
1?x
1?mx
3．已知函数
f(x)?log
a
(
a
＞0,
a
≠1)的图象关于原点对称, 那么实数
m
x?1
2．函数
y
＝lg(
＝ ．
4．求函数
y?(log
3
x1
)?(log
3
3 x)
, 其中
x
?[, 9]的值域．
2727
五、要点归纳与方法小结
（1）借助于对数函数的性质研究对数型函数的定义域与值域；
（2）换元法；
（3）能画出较复杂函数的图象, 根据图象研究函数的性质（数形结合）．
六、作业
课本P87－10, 12, 13．
3.3 幂函数
教学目标：
1．使学生理解幂函数的概念, 能够通过图象研究幂函数的性质；
2．在作幂函数的图象及研究幂函数的性质过程中, 培养学生的观察能力, 概括总结的
能力；
3．通过对幂函数的研究, 培养学生分析问题的能力．

教学重点：
常见幂函数的概念、图象和性质；
教学难点：

幂函数的单调性及其应用．

教学方法：
采用师生互动的方式, 由学生自我探索、自我分析, 合作学习, 充分发挥学生的积极性
与主动性, 教师利用实物投影仪及计算机辅助教学．

教学过程：
一、问题情境
情境：我们以前学过这样的函数：
y
＝
x
,
y
＝
x
,
y
＝
x
, 试作出它们的图象, 并观察其
性质．
问题：这些函数有什么共同特征？它们是指数函数吗？
二、数学建构
1．幂函数的定义：一般的我们把形如
y
＝
x
?
(
?
?R)的函数称为
幂函数, 其中底数
x
是变量, 指数
?
是常数．
2．幂函数
y
＝
x
?
图象的分布与
?
的关系：
对任意的
?
? R,
y
＝
x
?
在第I象限中必有图象；
若
y
＝
x
?
为偶函数, 则
y
＝
x
?
在第II象限中必有图象；
若
III
y=X
21
II
I
y=1
y
＝
x
?
为奇函数, 则
y
＝
x
?
在第
X=1
III象限中必有图象；
对任意的
?
? R,
y
＝
x
?
的图象都不会出现在第VI象限中．
3．幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)：
（1）定点：
?
＞0时, 图象过(0, 0)和(1, 1)两个定点；
?
≤0时, 图象过只过定点(1, 1)．
（2）单调性：
?
＞0时, 在区间[0, ＋?)上是单调递增；
?
＜0时, 在区间(0, ＋?)上是单调递减．
三、数学运用
例1 写出下列函数的定义域, 并判断它们的奇偶性
（1）
y
＝
x
； （2）
y
＝
x
；
例2 比较下列各题中两个值的大小．
（1）1.5与1.7
0.50.5
1
2
?2
（3）< br>y
＝
x?x
； （4）
y
＝
x?x
2?2< br>1
2
?
1
2
．
（2）3.14与π
11

（3）(－1.25)与(－1.26)
mn
1
33
（4）3
14
与2
21

例3 幂函数
y
＝
x
；
y
＝
x
；
y
＝
x
与
y
＝
x
在第一象限内图象的排< br>y

列顺序如图所示, 试判断实数
m
,
n
与常数－1, 0, 1的大小关系．
练习：（1）下列函数：①
y
＝0.2；②
y
＝
x
； ③
y
＝
x
；④
y
＝3·
x
．其中是幂 函数的有 （写出
所有幂函数的序号）．
（2）函 数
y?(x?2x)
2
?
1
2
32
y＝x

y＝x
m

y＝x
?1

y＝x
n

x

x
0.2
O

的定义域是 ．
a
2
?a?1
（3）已知函数
f(x)?(a?1)x
, 当
a
＝ 时,
f
(
x
)为正比例函数；
当
a
＝ 时,
f
(
x
)为反比例函数；当
a
＝ 时,
f
(
x
)为二次函数；
当
a
＝ 时,
f
(
x
)为幂函数．
21
1
2
11（4）若
a
＝
()
3
,
b
＝
()
3
,
c
＝
()
3
, 则
a
,
b
,
c
三个数按从小到大的顺序排列
252
为 ．
四、要点归纳与方法小结
1．幂函数的概念、图象和性质；
2．幂值的大小比较方法．
五、作业
课本P90-2, 4, 6．
3.4.1 函数与方程（1）
教学目标：
1．理解函数的零点的概念, 了解函数的零点与方程根的联系．
2．理解“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”这一结论的实质, 并运用其解决有关
一元二次方程根的分布问题．
3．通过函数零点内容的学习, 分析解决对一元二次方程根的分布的有关问题, 转变学
生对数学学习的态度, 加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识．

教学重点：
函数零点存在性的判断．

教学难点：
数形结合思想, 转化化归思想的培养与应用．

教学方法：
在相对熟悉的问题情境中, 通过学生自主探究, 在合作交流中完成学习任务．尝试指
导与自主学习相结合．

教学过程：
一、问题情境
1．情境：在第3.2.1节中, 我们利用对数求出了方程0.84＝0.5的近似解；
2．问题：利用函数的图象能求出方程0.84＝0.5的近似解吗？
二、学生活动
1．如图1, 一次函数
y
＝
kx
＋
b
的图象与< br>x
轴交于点(－2, 0), 试根据图象填空：
（1）
k
0,
b
0；
（2）方程
kx
＋
b
＝0的解是 ；
（3）不等式
kx
＋
b
＜0的解集 ；
2
x
x
y
－2
O
x
2．如果二次 函数
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
的图象与
x
轴交于点(－3, 0)和(1, 0),
图1
且开口方向
向下, 试画出图象, 并根据图象填空：
（1）方程
ax
＋
bx
＋
c
＝0的解是 ；
（2）不等式
ax
＋
bx
＋
c
＞0的解集为 ；
2
2
ax
2
＋
bx
＋
c
＜0 的解集为 ．
三、建构数学
1．函数
y
＝
f
(
x
)零点的定义；
2．一元二次方程
ax
＋
bx
＋
c
＝0(
a
＞0)与二次函数
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
的图象之间关系：
22
△
＝
b
2
－4
ac

ax
2
＋
bx
＋
c
＝0的根
△
＞0

y

△
＝0

y

△
＜0

y

x
1

O
x
2

x

O
x
1
＝x
2

x

O
x

y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
的图象
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
的零点< br>

3．函数零点存在的条件：函数
y
＝
f
(
x
)在区间[
a
,
b
]上不间断, 且
f
(
a
)·
f
(
b
)＜0,
则函数
y
＝
f
(
x
)在区间(
a
,
b
)上有零点．
四、数学运用
例1 函数
y
＝
f
(
x
)(
x
?[－5, 3])的图象如图所示 , 根据图象, 写出函数
f
(
x
)的零
点及不等式
f
(
x
)＞0与
f
(
x
)＜0的解集．



例2 求证：二次函数
y
＝2
x
＋3
x
－7有两个不同的零点．
例3 判断函数
f
(
x
)＝
x
－2
x－1在区间(2, 3)上是否存在零点？
例4 求证：函数
f
(
x< br>)＝
x
＋
x
＋1在区间(－2, －1)上存在零点．
练习 ：（1）函数
f
(
x
)＝2
x
－5
x
＋2 的零点是_______ ．
（2）若函数
f
(
x< br>)＝
x
－2
ax
＋
a
没有零点, 则实数
a
的取值范围是___________；
（3）二次函数
y
＝2
x
＋
px
＋15的一个零点是－3, 则另一个零点是 ；
（4）已知函数
f
(
x
)＝
x
－3
x＋3在R上有且只有一个零点, 且该零点在区间[
t
,
t
＋1]上,
则实数
t
＝___ __．
五、要点归纳与方法小结
1．函数零点的概念、求法．
2．函数与方程的相互转化, 即转化思想；以及数形结合思想．
六、作业
课本P97－习题2, 5．
3
2
2
2
32
2
2
y
－5 －3
－1
O
1
3
x
3.4.1 函数与方程（2）
教学目标：
1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件, 并能够根据这样的过程进行实际求

解．了解二分法是求方程近似解的常用方法, 从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问
题中的应用．
2．通过本节内容的学习, 让学生体会到在现实世界中, 等是相对的, 而不等是绝对的,
这样可以加深对数学的理解．

教学重点：
用二分法求方程的近似解；
教学难点：
二分法原理的理解．

教学方法：
讲授法与合作交流相结合．

教学过程：
一、问题情境
1．情境：（1）复习函数零点的定义以及函数零点存在的条件；
（2）给出函数
f
(
x
)＝lg
x
＋
x
－3存在零点的区间；
2．问题：如何求方程lg
x
＝3－
x
的近似解？
二、学生活动
用二分法探求一元二次方程
x
－2
x
－1＝0区间(2, 3)上的根的近似值．
三、建构数学
1． 对于区间[
a
,
b
]上连续不断, 且
f
(
a
)
f
(< br>b
)＜0的函数
y
＝
f
(
x
), 通过不断地
把函数
f
(
x
)的零点所在区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近
似值的方法叫做二分法．
2．给定精确度, 用二分法求函数
f
(
x
)零点近似值的步骤：
（1）确定
f
(
a
)
f
(
b
)＜0, 从而确定零点存在的区间(
a
,
b
)；
（2）求区间(
a
,
b
)的中点
x
1
, 并计算
f
(
x
1
)；
（3）判断零点范围：若
f
(
x
1
)＝0, 则
x
1
就是函数
f
(
x
)的零点；若
f
(a
)
f
(
x
1
)＜0, 则
零点
x
1
?(
a
,
x
1
), 令
b
＝
x
1
, 否则令
a
＝
x
1
；
（4）判断精确度：若区间两个端点的近似值相同（符合精确度要求）, 这个近似值即
2

为所求, 否则重复(2)～(4)．
四、数学运用
例1 求方程
x
－2
x
－1＝0在区间(－1, 0)上的近似解(精确到0.1)．
例2 借助计算器用二分法求方程lg
x
＝3－
x
的近似解(精确到0.1)
变式训练：利用计算器求方程2＋
x
＝4的近似解(精确到0.1)．
练习
1．确定下列函数
f
(
x
)的零点与方程的根存在的区间(
k
,
k
＋1)(
k
?Z)：
（1）函数
f
(
x
)＝
x
－3
x
－3有零点的区间是 ．
（2）方程5
x
－7
x
－1＝0正根所在的区间是 ．
（3）方程5
x
－7
x
－1＝0负根所在的区间是 ．
（4）函数
f
(
x
)＝lg
x
＋
x
－3有零点的区间是 ．
2．用二分法求方程
x
－2
x
－5＝0在区间[2, 3]内的实根, 取区间中点
x
0
＝2.5, 那么
下一个有根区间是 ．
3．已知方程
x
－3
x
－3＝0在实数范围内有且只有一个根, 用二分法求根的近似解(精
确到0.1)．
五、要点归纳与方法小结
1．二分法的概念及其适用条件, 并能够根据这样的过程进行实际求解．
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法．
六、作业
P96练习第1, 2, 3题．
3
3
2
2
3
2
x
3.4.1 函数与方程（3）
教学目标：
1．进一步理解二分法原理, 能够结合函数的图象求函数的近似解, 从中体会函数与方
程之间的联系及数形结合在实际问题中的应用．
2．通过本节内容的学习, 渗透无限逼近的数学思想及数学方法．

教学重点：
用图象法求方程的近似解；
教学难点：

图象与二分法相结合．

教学方法：
讲授法与合作交流相结合．

教学过程：
一、问题情境
1．复习二分法定义及一般过程；
2．二分法求方程近似解的前提是确定根存在的区间, 如何能迅速地确定呢？
二、学生活动
利用函数图象确定方程lg
x
＝3－
x
解所在的区间．
三、建构数学
1．方程的解的几何解释：方程
f
(
x
)＝
g
(
x
)的解, 就是函数
y
＝
f
(x
)与
y
＝
g
(
x
)图象交
点的横坐 标．
2．图象法解方程：利用两个函数的图象, 可精略地估算出方程
f
(
x
)＝
g
(
x
)的近似解,
这就是图象法解方程．
注：（1）在精确度要求不高时, 可用图象法求解；
（2）在精确度要求较高时, 先用图象法确定解存在的区间, 再用二分法求解．
3．数形结合：数形结合思想是一种很重要的数学思想, 数与形是事物的两个方面, 正
是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科, 才能使人们能够从不同侧面认识事物,
华罗庚先生说过：“数与形本是两依倚, 焉能分作两边飞．数缺形时少直观, 形少数时难入
微。”把数量关系的研究转化为图形性质的研究, 或者把图形性质的研究转化为数量关系的
研究, 这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略, 就是数形结合的思想。数
形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来, 使抽象思维与形象思维结合
起来。
四、数学运用
例1 利用函数图象确定方程lg
x
＝3－
x
的近似解．
例2 在同一坐 标系作出函数
y
＝
x
与
y
＝3
x
－1的图 象, 利用图象写出方程
x
－3
x
＋1
＝0的近似解(精确到0.1)．
变式训练：
33

（1）用二分法求方程
x?3x?1?0
的近似解(精确到0.1)．
（2）用Excel求方程
x?3x?1?0
的近似解(精确到0.1)．
例3 在同一坐标系中作出函数
y
＝2与
y
＝4－
x
的图象, 利 用图象写出方程
x
3
3
2
x
?x?4
的近似解(精 确到0.1)．
练习：
（1）方程lg
x
＝
x
－5的大 于1的根在区间(
a
,
a
＋1)内, 则正整数
a
＝ ．再
结合二分法, 得lg
x
＝
x
－5的近似解约为 （精确到0.1）．
（2）用两种方法解方程2
x
＝3
x
－1．
五、要点归纳与方法小结
1．方程解的几何解释；
2．先用图象确定范围, 再用二分法求方程的近似解；
3．数形结合思想．
六、作业
课本P97－7, 9．
2
3.4.2 函数模型及其应用（1）
教学目标：
1．能根据实际问题的情境建立数学模型, 利用计算工具, 结合对函数性质的研究, 给
出问题的解答；
2．通过实例, 理解一次函数、二次函数等常见函数在解决一些简单的实际问题中的应
用, 了解函数模型在社会生活中的广泛应用；
3．在解决实际问题的过程中, 培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力,
培养学生的应用意识, 提高学习数学的兴趣.

教学重点：
一次函数、二次函数以及指、对数函数等常见函数的应用．
教学难点：
从生活实例中抽象出数学模型.

教学过程：
一、问题情境
某城市现有人口总数为100万, 如果人口的年自然增长率为1.2﹪, 问:
（1）写出该城市人口数
y
(万人)与经历的年数
x
之间的函 数关系式;
（2）计算10年后该城市的人口数；
（3）计算大约多少年后, 该城市人口将达到120万?
（4）如果20年后该城市人口数不超过120万, 年人口自然增长率应该控制在多少？
二、学生活动
回答上述问题, 并完成下列各题：
1．等腰三角形顶角
y
(单位：度)与底角
x
的函数关系为 ．
2．某种茶杯, 每个0.5元, 把买茶杯的钱数
y
(元)表示为茶杯个数
x
(个)的函
数 , 其定义域为 ．
三、数学应用
例1 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元, 生产每台计算机
的可变成本为3000元, 每台计算机的售价为5000元, 分别写出总成本
C
(万元)、单位成本
P
(万元)、销售收入
R
(元)以及利润< br>L
(万元)关于总产量
x
台的函数关系式．
例2 大气温度
y
(℃)随着离开地面的高度
x
(km)增大而降低, 到上空11 km为止, 大
约每上升1 km, 气温降低6℃, 而在更高的上空气温却几乎没变(设地面温度为22℃)．
求：（1）
y
与
x
的函数关系式；
（2）
x
＝3.5 km以及
x
＝12km处的气温．
变式：在例2的条件下, 某人在爬一座山的过程中, 分别测得山脚和山顶的温度为26℃
和14.6℃, 试求山的高度．
四、建构数学
利用数学某型解决实际问题时, 一般按照以下步骤进行：


1．审题：理解问题的实际背景, 概括出数学实质, 尝试将抽象问题函数化；
2．引进数学符号, 建立数学模型, 即根据所学知识建立函数关系式, 并确定函数的定
义域；
3．用数学的方法对得到的数学模型予以解答, 求出结果；
实际问题
建立数学某型 得到数学结果 解决实际问题

4．将数学问题的解代入实际问题进行检验, 舍去不合题意的解, 并作答.
五、巩固练习
1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本, 可表示为商品数量的函数, 现知
道一 企业生产某种产品的数量为
x
件时的成本函数是
C
(
x
)＝ 200＋10
x
＋0.5
x
(元), 若每售
出一件这种商品的收入是200元, 那么生产并销售这种商品的数量是200件时, 该企业所得
的利润可达到 元．
2．有
m
部同样的机器一起工作, 需要
m
小时完成一项任务．设由
x
部机
器（
x
为不大于
m
的正整数）完成同一任务, 求所需时间
y
(小时)与机器的
部数
x
的函数关系式．
3．
A
,
B
两地相距150千米, 某人以60千米时的速度开车从
A
到
B
, 在
B
地停留1小
时后再以50千米时的速度返回
A
, 则汽车离开
A
地的距离
x
与时间
t
的函数关系式为 ．
4．某车站有快、慢两种车, 始发站距终点站7.2km, 慢车到达终点需16min, 快车比慢
车晚发车3min, 且行驶10min到达终点站.试分别写出两车所行路程关于慢车行驶时 间的函
数关系式．两车在何时相遇？相遇时距始发站多远？
5．某产品总成本
C(万元)与产量
x
(台)满足关系
C
＝3000＋20
x
－0.1
x
, 其中0＜
x
＜
240．若每台产品售价25万元, 要使厂家不亏本, 则最少应生产多少台？
六、要点归纳与方法小结
1．利于函数模型解决实际问题的基本方法和步骤；
2．一次函数、二次函数等常见函数的应用．
七、作业
课本P100－练习1, 2, 3．
2
2
3.4.2 函数模型及其应用（2）
教学目标：
1.能根据图形、表格等实际问题的情境建立数学模型, 并求解；进一步了解函数模型在
解决简单的实际问题中的应用, 了解函数模型在社会生活中的广泛应用；
2.在解决实际问题的过程中, 培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力,
培养学生的应用意识, 提高学习数学的兴趣.

教学重点：

在解决以图、表等形式作为问题背景的实际问题中, 读懂图表并求解.
教学难点：
对图、表的理解.

教学方法：
讲授法, 尝试法.

教学过程：
一、情境创设
已知矩形的长为4, 宽为3, 如果长增加
x
, 宽减少0.5
x
, 所得新矩形的面积为
S
．
（1）将
S
表示成
x
的函数；
（2）求面积
S
的最大值, 并求此时
x
的值．
二、学生活动
思考并完成上述问题．
三、例题解析
例1 有一块半径为
R
的半圆形钢板, 计划剪裁成等腰梯
形
ABCD
的形状, 它的下底
AB
是⊙
O
的直径, 上底
CD
的端点
在圆周上, 写出这个梯形周长
y
和腰长
x
间的函数关系式,
并求出它的定义域．
例2 一家旅社有100间相同的客房, 经过一段时间的经
营实践, 旅社经理发现每间客房每天的价格与住房率有如下关系：
每间客房定价
住房率
20
65%
18
75%
16
85%
14
95%
C D
A E O B
要使每天收入最高, 每间客房定价为多少元？
例3 今年5月, 荔枝上市．由历年的市场行情得知,
从5月10日起的60天内, 荔枝的市场售价与上市时间的关系大致可用如图所示的折线
ABCD
表示(市场售价的单位
为元／500g)．
请写出市场售价
S
(
t
)(元)与上市时间
t
(天 )的函数关
S(元)
10
A B

7
5
D
C
10 40
t(天)
60 O

系式, 并求出6月20日当天的荔枝市场售价．
练习：1．直角梯形
OABC
中,
AB
∥
OC
,
AB
＝1,
OC
＝
BC
＝2, 直线
l
：
x
＝
t
截此梯形所得
位于
l
左方图形的面积为< br>S
, 则函数
S
＝
f
(
t
)的大致图象为( )
y




A B
3
1
S
3
2
t
1
A
2
S
3
1
S
3
t
1
2
C
1
S
O



l
t
x
C
t
1
B
2
t
1
2
D
2．一个圆柱形容器的底部直径是
d
cm, 高是
h
cm, 现在以
v
cm3s的速度向容器内注入
某种溶液, 求容器内溶液的高度
x
(cm)与注入溶液的时间
t
(s)之间的函数关系式 , 并写出
函数的定义域．
3．向高为
H
的水瓶中注水, 注满为止．如果注水量
V
与水深
h
的函数关系的图象如图
所示, 那么水瓶的形状可能是( )

V



A
元一个的商品按
B
13元一个销售,
C
每天可卖200个．若这种
D
4．某公司将进货单价为10
H h
商品每涨价1元, 销售量则减少26个．
（1）售价为15元时, 销售利润为多少？
（2）若销售价必须为整数, 要使利润最大, 应如何定价？
5．根据市场调查, 某商品在最近40天内的价格
f
(
t
)与时间
t
满足： < br>?
1
143
?
t?11(0≤t?20,t?N)
f
(
t
)＝
?
2
, 销售量
g
(
t
)与时间
t
满足：
g
(
t
)＝
?t?
< br>33
?
?
?t?41(20≤t≤40,t?N)
(0≤
t< br>≤40,
t
?N), 求这种商品日销售金额的最大值．
四、小结
利用图、表建模；分段建模．
五、作业
课本P110－10．

3.4.2 函数模型及其应用（3）
教学目标：
1．学会通过数据拟合建立恰当的函数某型, 并利用所得函数模型解释有关现象或对有
关发展趋势进行预测；
2．通过实例了解数据拟合的方法, 进一步体会函数模型的广泛应用；
3．进一步培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力.

教学重点：
了解数据的拟合, 感悟函数的应用.
教学难点：
通过数据拟合建立恰当函数模型.

教学方法：
讲授法, 尝试法．

教学过程：
一、情境问题
某工厂第一季度某产品月产量分别为1万件、 1.2万件、1.3万件．为了估测以后每个
月的产量, 以这三个月的产量为依据, 用一个函数模拟 该产品的月产量
y
与月份
x
的关
系．模拟函数可以选用二次函数或函 数
y
＝
ab
＋
c
（其中
a
,
b
,
c
为常数）．已知4月份的产
量为1.36万件, 问：用以上哪个函数作为模拟函数好？为什么？
二、学生活动
完成上述问题, 并阅读课本第85页至第88页的内容, 了解数据拟合的过程与方法．
三、数学建构
1．数据的拟合：数据拟合就是研究变量之间的关系, 并给出近似的数学表达式的一种
方式．
2．在处理数据拟合(预测或控制)问题时, 通常需要以下几个步骤：
（1）根据原始数据, 在屏幕直角坐标系中绘出散点图；
（2）通过观察散点图, 画出“最贴近”的曲线, 即拟合曲线；
x

（3）根据所学知识, 设出拟合曲线的函数解析式——直线型选一次函数
y
＝
kx
＋
b< br>；对称型选二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋< br>c
；单调型选指数型函数
y
＝
ab
x
＋
c< br>或反比例型
函数
y
＝
k
x
＋
a
＋< br>b
．
（4）利用此函数解析式, 根据条件对所给的问题进行预测和控制．
四、数学应用
例1 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度为
T
0
,
经过一定时间
t
后的温度是
T
, 则
T
－
T
a
＝(
T
0
－
T
a
), (0.5)其中
T
a
表示环境温度,
h
称为
半衰期．
现有一杯用88C热水冲的速溶咖啡, 放在24℃的房间中, 如果咖啡降到40℃需要
20min, 那么降到35℃时, 需要多长时间(结果精确到0.1)．
例2 在经济学中, 函数
f
(
x
)的边际函数M
f
(
x
)的定义为
Mf
(
x
)＝
f
(x
+1)－
f
(
x
), 某公
司每月最多生长100台报警系统装置, 生产
x
台（
x
?N* )的收入函数为
R
(
x
)＝3000
x
－20
x< br>2
0
th
（单位：元）, 其成本函数为
C
(
x)＝500
x
＋4000（单位：元）, 利润是收入与成本之差．
（1）求利 润函数
P
(
x
)及边际利润函数
MP
(
x
)；
（2）利润函数
P
(
x
)与边际利润函数
MP
(
x
)是否有相同的最大值？
例3 （见情境问题）
五、巩固练习
1．一流的职业高尔夫选手约
70杆即可打完十八洞, 而初学者
约160杆．初学者打高尔夫球, 通
常是开始时进步较快, 但进步到
某个程度后就不易再出现大幅进
步．某球员从入门学起, 他练习
打高尔夫球的成绩记录如图所
示：
根据图中各点, 请你从下列函数中：（1 ）
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
；（2）
y
＝
k
·
a
＋
b
；（3）
2
160
140
120
100
80
打完18洞的杆数
0 20
40
60 80 100 120 140
练习总次数
160
x
y
＝
k
?b
；判 断哪一种函数模型最能反映这位球员练习的进展情况？
x?a
2．某地西红柿从2月1日起开始上市, 通过市场调查, 得到西红柿种植成本
y
(单位：
元100kg)与上市时间
t
(单位：天)的数据如下表：

时间
t

种植成本
y

50
150
110
108
250
150
（1）根据上表数据, 从下列函数中选取一个描述西红柿的种植成本
y
与上市时间< br>t
的
变化关系；
y
＝
at
+
b
,
y
＝
at
2
+
bt
+
c
,
y
＝
ab
t
,
y
＝
a
log
b
t

（2）利用你选取的函数, 求西红柿种植成本最低时的上市时间及最低种植成本．
简答：
（1）由提供的数据描述西红柿的种植成本
y
与上市时间
t
之间的变 化关系不可能是常
函数, 因此用
y
＝
at
+
b
,
y
＝
ab
,
y
＝
a
log
b< br>t
中的任一个描述时都应有
a
不等于0, 此时这三
个函数均为单调函数, 这与表中所给数据不符合, 所以, 选取二次函数
y
＝
at
+
bt
+
c
进行描
述.
（2）略．
六、要点归纳与方法小结
处理数据拟合(预测或控制)问题时的解题步骤.
七、作业
课本P104习题3.4（2）－4．




















2
t

以下为赠送内容



3.1.1 分数指数幂（1）
教学目标：
理解根式的概念及
n
次方根的性质．

教学重点：
根式的运算．
教学难点：
根式性质的理解．

教学过程：
一、情景设置
邓小平同志提出中国经济发展三步走方针：从1981 年到1990年实现国民生产总值翻一
番, 从1991年到二十世纪末, 国民生产总值再翻一番, 人民生活水平达到小康水平；到21
世纪中叶, 人均国民生产总值达到中等国家水平, 人民生活比较富裕, 基本实现现代化．这
里面涉及到一个数学问题, 十年翻一番, 每年平均要增长多少呢？
如果设每年平均增长
p
%, 1980年的国民生产总值记为1, 则有（1＋
p
%）＝2, 从这里
如何求
p
呢？
二、学生活动
1．复习平方根、立方根的定义：
（1）如果
x
＝
a
, 那么
x
＝
2
10

（2）如果
x
＝
a
, 那么
x
＝
2．类比得出
n
次实数方根的概念
如果
x
＝
a
, 那么
x
＝ （
n
为正整数, 且
n
≥2）
三、数学建构
1．
n
次实数方根的概念
注：（1）在实数范围内, 正数的奇次方根是一个正数, 负数的奇次方根是一个负数, 零
的奇次方根是零, 即任一个实数都有 且只有一个奇次方根．设
x
＝
a
（
a
?R,
n
是奇数, 且
n
＞1）, 则
x
＝
n
a
；
（2）在实数范围内, 正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数, 零的偶次方根
n
是零, 负数的偶次方根没有意义．设
x
＝
a
（
a
＞0,
n
是正偶数）, 则
x
＝±
n
a
．
n
n
3
（3）当
a
≥0时, 对于任意不小于2的整数
n
,
n
a
的值存在且惟一, 表示
a
的
n
次算
术根；当
a
＜0时, 当且仅当
n
为奇数（
n
＞1）时,
n
a
才有意义．
2．根式的性质．
n
（1）
(
n
a)
＝
a
． （2） n
a
n
＝
?
?
a，n为奇数，
?
|a |，n为偶数．

四、数学运用
（一）例题讲解．
例1 求值．
（1）
?
5
?
（2）
2
?
?5
?
2
（3）
2
（5）
4
?
?2
?
（6）
总结：根式的性质．
4
?
3?π
?
?
（7）
?
3
?2
（4）
3
?
?2
?

3?1

?
3
3
?
0
例2 计算下列各式的值．
（1）< br>?
2?1?
?
?2
?
?
?
?1
?< br>?
?
16
?
?8
?1
?4
2
?2< br>4
?
?
?32
?

3
?
0
43?2
（2）
3?22?
2
?
1?2
?
3
?
4
?
1?2
?
4

（3）
4x?12x?9?4x?20x?25(?
（二）练习：
2
35
?x?)

22
1．（1）25的平方根是 ；（2）27的立方根是 ；

（3）16的四次方根是 ；（4）－32的五次方根是 ；
（5）
a
的六次方根是 ；（6）0的
n
次方根是 ．
2．下列说法：（1）正数 的
n
次方根是正数；（2）负数的
n
次方根是负数；（3）0的
n< br>次方根是0；（4）
n
a
是无理数．其中正确的是 （写出所有正确命题的序号）．
3．对于
a
＞0,
b
≠0,
m
,
n
?Z, 以下说法：（1）
a?b?a
mnmn< br>6
；（2）
a
??
m
n
?a
m?n
；
（3）
ab
?
mn
?
?
?
ab
?
m?n
?
b
?
；（4）
??
?a
?m
b
m
．其中正确的是 （写出所有正
?
a
?
m
确命题的序号）．
4．如果
a
,
b
是实数, 则下列等式：（1）
a?b< br>＝
a
＋
b
；（2）
＋
2ab
；（3）
4
4
3
32
?
a?b
?
2
＝
a
＋
b
（4）
a
2
?2ab?b
2
＝
a
＋
b
．其中一定成立的是
?
a
2
?b
2
?
＝
a
2
＋
b
2；
（写出所有正确命题的序号）．
5．已知
x?
x?yx?y
11
,
y?
, 求的值．
?
23
x?yx?y
五、小结：
1．根式的概念；
2．根式的性质．
六、作业：
课本P63习题3.1（1）1．
3.1.1 分数指数幂（2）
教学目标：
1． 理解正数的分数指数幂的含义, 了解正数的实数指数幂的意义；
2． 掌握有理数指数幂的运算性质, 会进行根式与分数指数幂的相互转化, 灵活运用
乘法公式幂的运算法则进行有理数指数幂的运算和化简．

教学重点：
分数指数幂的含义及有理数指数幂的运算和化简．

教学难点：

分数指数幂含义的理解；有理数指数幂的运算和化简．

教学过程：
一、情景设置
1．复习回顾：说出下列各式的意义, 并说出其结果
（1）
3
?64?

（3）
5
32?
（2）
4
81?

?
4
81?

3
?
3
?
4
4
?

?
5
?6
?
5
?

1012
（4）
2?

2?

1012
54
2．情境问题：将
2?
2,
2?
2推广到一般情况有：
3
（1）当
m
为偶数时,
2?2
；（2）当
m
为
n
的倍数时,
2?2
．
如果将
2
表示成2的形式,
s
的最合适的数值是多少呢？
二、数学建构
1．正数的正分数指数幂的意义：
a?
（ ）
2．正数的负分数指数幂的意义：
a
3．有理数指数幂的运算法则：
?
m
n
m
n
s
m
m
2
n
m
m
n
?
（ ）

a
t
?a
s
?
,
?
a
s
?
?
,
?
ab
?
?

t
t
三、数学应用
（一）例题：
1．求值：（1）
100
； （2）
8
；（3）
9
2．用分数指数幂的形式表示下列各式（式中
a
＞0）
（1）
a?a
； （2）
a
3
?
3
a
2
；
3
（3）
aa
（4）
aaa

3
2
1
2
2
3
?
3
2
（4）
?
81
?
?
3
4

小结：有理数指数幂的运算性质．
62
?
2
?
?
?
?3
?
?
3
?102
3．化简：
3
2?
27
?
3
?
2
??
2
?4
2；
4．化简：（1）
xy
3
2
?
xy
?3

（2）
x
?2
?y
?2
x
?
2
3
?y
?
2
3
?
x
?2
?y
?2
x
?
2
3
?y
?
2
3
?
x?y
?
．
2
3
32
3
1
3
5．已知
a??
a?3ab?9ba
817
?
的值．
,b?,
求
41
33
2771< br>a?3b
a
3
?27a
3
b
（二）练习：化简下列各 式：
1．
a?a
3
7
2
?3
?
3
a
?8
?
3
a
15
?
3
a
?3
?a
?1
；
1
?
?
1
?
22< br>2．
?
x?x?x
?
?
x?x
?
；
??
?10
3．
a?b?1a?b
?
bb
?
(< br>a
＞0,
b
＞0)
??
?
?
?
??
a?ab2ab
?
a?aba?ab
?
1
3
t?1t?1t?t
1
??
4．当
t?
时, 求
1
的值
211
8
t
3
?1t
3
?t
3
?1t
3
?1
四、小结：
1．分数指数幂的意义；
2．有理数指数幂的运算性质；
3．整式运算律及乘法公式在分数指数幂运算中仍适用；
4．指数概念从整数指数幂推广到有理数指数幂, 同样可以推广到实数指数幂．
五、作业：
课本P63习题3.1（1）2, 4, 5．
3.1.2 指数函数（1）
教学目标：
1．掌握指数函数的概念（能理解对
a
的限定以及自变量的取值可推广至实数范围）, 会
作指数函数的图象；
2．能归纳出指数函数的几个基本性质, 并通过由指数函数的图像归纳其性质的学习过
程, 培养学生探究、归纳分析问题的能力．

教学重点：

指数函数的定义、图象和性质．
教学难点：
指数函数性质的归纳．

教学过程：
一、创设情境
课本第59页的细胞分裂问题和第64页的古莲子中的C的衰变问题．
二、学生活动
（1）阅读课本64页内容；
（2）动手画函数的图象．
三、数学建构
1．指数函数的概念：一般地, 函数
y
＝
a
(
a
＞0且
a
≠1)叫做指数函数, 它的定义域是
R, 值域为(0, ＋?)．
练习：
（1）观察并指出函数
y
＝
x
与函数
y< br>＝2有什么区别？
（2）指出函数
y
＝2·3,
y
＝2,
y
＝3,
y
＝4,
y
＝
a
(
a
＞0, 且
a
≠1)中哪些是指
数函数, 哪些不是, 为什么？
思考：为什么要强调
a
＞0, 且
a
≠1？
a
≠1自然将所有的正数分为两部分
(0, 1)和(1, ＋?), 这两个区间对函数的性质会有什么影响呢？
2．指数函数的图象和性质．
xx
+32
x
2
14
x
x
xx
?
1
??
1
?
（1）在同一坐标系画出
y?2
x,y?
??
,y?10
x
,y?
??
的图象, 观察并 总结函数
?
2
??
10
?
y
＝
a
x
(
a
＞0, 且
a
≠1)的性质．


图象
xx
a?1

y
1
O
x


0?a?1

y
1
O
x
定义域

值域
性质






xx
x
?
1
?
?
5
?
（2）借助于计算机技术, 在同一坐标系画出
y
＝10,
y?
??
,
y?
??
,
?
10
?
?
2
?
?
2
?
y?
??
等函 数的图象, 进一步验证函数
y
＝
a
x
(
a
＞0, 且
a
≠1)的性质, 并探讨函数
y
＝
a
x
?5
?
与
y
＝
a
(
a
＞0, 且
a
≠1)之间的关系．
四、数学应用
（一）例题：
1．比较下列各组数的大小：
?1.2?1.5
（1）
1.5,1.5
（2）
0.5,0.5
（3）
1.5,0.8
2.53.20.31.2
x
x

2．求下列函数的定义域和值域：
（1）
y?8
1
2x?1
（2）
y?1?
??
x
2
?3x?1
?
1
?
?< br>2
?
x
（3）
y?
??
?
1
?
?
2
?
2x?x
2

3．已知函数
f
(
x
)＝
a
的取值范围．
（二）练习：
,
g
(
x
)＝
a
x2
?2x?4
(
a
＞0且
a
≠1) , 若
f
(
x
)＞
g
(
x
), 求
x
（1） 判断下列函数是否是指数函数：①
y
＝2·3；②
y< br>＝3
xxx
2
xx
1
；③
y
＝
x< br>；
x
3
④
y
＝－3；⑤
y
＝(－3)；⑥
y
＝?；⑦
y
＝3
x
；⑧
y
＝
x
；⑨
y
＝(2
a
－1)(
a
＞
2
x
1
, 且
a
≠1)．

2
（2）若函数
y
＝(
a
－3
a
＋3)·
a
是指数函数, 则它的单调性为 ．
x
2
x
?1
课后思 考题：求函数
y?
x
的值域, 并判断其奇偶性和单调性．
2?1
五、小结
1．指数函数的定义（研究了对
a
的限定以及定义域和值域）．
2．指数函数的图象．
3．指数函数的性质：
（1）定点：（0, 1）；

（2）单调性：
a
＞1, 单调增；0＜
a
＜1, 单调减．
六、作业
课本P70习题3.1（2）5, 7．
3.1.2 指数函数（2）
教学目标：
1．进一步理解指数函数的性质；
2．能较熟练地运用指数函数的性质解决指数函数的平移问题；

教学重点：
指数函数的性质的应用；
教学难点：
指数函数图象的平移变换．

教学过程：
一、情境创设
1．复习指数函数的概念、图象和性质
练习： 函数
y
＝
a
(
a
＞0且
a
≠1)的定义域 是_____, 值域是______, 函数图象所过的定
点坐标为 ．若
a
＞1, 则当
x
＞0时,
y
1；而当
x
＜0时,
y
1．若0＜
a
＜1, 则
当
x
＞0时,
y
1；而当
x
＜0时,
y
1．
2．情境问题：指数函数的性质除了比较大小, 还有什么作用呢？我们知道对任意的
a
＞0且
a
≠1, 函数
y
＝
a
的图象恒过(0, 1), 那么对任意的
a
＞0且
a
≠1, 函数
y
＝
a
图象恒过哪一个定点呢？
二、数学应用与建构
例1 解不等式：
（1）
3?3
；
（3）
9?3
xx?2
x0.5
x
2
x
1
x
的
（2）
0.2?25
；
（4）
3?4?2?6?0
．
xx
x
；
小结：解关于指数的不等式与判断几个指数值的大小一样, 是指数性质的运用, 关键是
底数所在的范围．
例2 说明下列函数的图象与指数函数
y
＝2的图象的关系, 并画出它们的示意图：
x

（1）
y?2
x?2
； （2）
y?2
x?2
；
x
（3）
y?2?2
； （4）
y?2?2
．
x
小结：指数函数的平移规律：
y
＝
f
(
x
)左右平移?
y
＝
f
(
x
＋
k
)(当
k
＞0时, 向左平移, 反
之向右平移), 上下平移?
y
＝
f
(
x
)＋
h
(当h
＞0时, 向上平移, 反之向下平移)．
练习：
（1）将函数
f
(
x
)＝3的图象向右平移3个单位, 再向下平移2个单位, 可以得到函
数 的图象．
（2）将函数
f
(
x
)＝3的图象向右平移2个单位, 再向上平移3个单位, 可以得到函
数 的图象．
x
x
?
1
?
（3）将函数
y?
??
?2
图象先向左平移2个单位 , 再向下平移1个单位所得函数的
?
3
?
解析式是 ．
（4）对任意的
a
＞0且
a
≠1, 函数
y
＝
a
2
x
1
2x
的图象恒过的定点的坐标是 ．函数
y
＝
a
2
x
－1的图象恒过的定点的坐标是 ．
小结：指数函数的定点往往是解决问题的突破口！定点与单调性相结合, 就可以构造出
函数的简图, 从而许多问题就可以找到解决的突破口．
（5）如何利用函数
f
(
x
)＝2的图象, 作出函数
y< br>＝2
x
xx
和
y
＝2
|
x
2|的图象？
（6）如何利用函数
f
(
x
)＝2的图象, 作出函数
y
＝|2
－
1|的图象？
小结：函数图象的对称变换规律．
例3 已知函数
y
＝
f
(
x
)是定义在R上的奇函数, 且
x
＜0时,
f
(
x
)＝1－2, 试画出此
函数的图象．
例4 求函数
y?4?2
xx?1
x
x
?1
的最小值以及取得最小值时的
x
值．
小结：复合函数常常需要换元来求解其最值．
练习：
（1）函数
y
＝
a
在[0, 1]上的最大值与最小值的和为3, 则
a
等于 ；
（2）函数
y
＝2
x
x
的值域为 ；
2
x
（3）设
a
＞0且
a
≠1, 如果
y
＝
a
＋2
a
－1在[－1, 1]上的最大值为14, 求
a
的值；
（4）当
x
＞0时, 函数
f
(
x
)＝(
a
－1)的值总大于1, 求实数
a
的取值范围．
三、小结
1．指数函数的性质及应用；
2
x
x

2．指数型函数的定点问题；
3．指数型函数的草图及其变换规律．
四、作业：
课本P71-11, 12, 15题．
五、课后探究
（1）函数
f
(
x
)的定义域为(0, 1), 则函数
f2
x
?
2x?x
2
?
的定义域为 ．
?
x
1
?x
2
?
f(x
1
) ?f(x
2
)
?
与
22
??
（2）对于任意的x
1
,
x
2
?R , 若函数
f
(
x
)＝2 , 试比较
f
?
的大小．
3.1.2 指数函数（3）
教学目标：
进一步理解指数函数及其性质, 能运用指数函数模型, 解决实际问题．

教学重点：
用指数函数模型解决实际问题．
教学难点：
指数函数模型的建构．

教学过程：
一、情境创设
1．某工厂今年的年产值为
a
万元, 为了增加产值, 今年增加了新产品的研发, 预计从
明年起, 年产值每年递增15%, 则明年的产值为 万元, 后年的产值
为 万元．若设
x
年后实现产值翻两番, 则得方程 ．
二、数学建构
指数函数是常见的数学模型, 也是重要的数学模型, 常见于工农业生产, 环境治理以
及投资理财等．
递增的常见模型为
y
＝(1＋
p
%)(
p
＞0)；递减的常见模型则为
y
＝(1－
p
%) (
p
＞0)．
三、数学应用
例1 某种放射性物质不断变化为其他, 每经过一年, 这种物质剩留的质量是原来的
xx

84%, 写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式．
例2 某医药研究所开发一种新药, 据检测：如果
成人按规定的剂量服用, 服药后每毫升血液中的含药量
为
y
(微克), 与服药后的时间
t
(小时)之间近似满足如
图曲线, 其中
OA
是线段, 曲线
ABC
是函数
y
＝
ka
的图
象．试根据图象, 求出函数
y
＝
f
(
t
)的解析式．
例3 某位公民按定期三年, 年利率为2.70%的方
式把5000元存入银行．问三年后这位公民所得利息是多
少元？
例4 某种储蓄按复利计算利息, 若本金为
a
元, 每期利率为
r
, 设存期是
x
, 本利和
（本金加上利息）为
y
元．
（1）写出本利和
y
随存期
x
变化的函数关系式；
（2）如果存入本金1000元, 每期利率为2.25%, 试计算5期后的本利和．
（复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金, 再计算下一期利息的一种计算利息
方法）
小结：银行存款往往采用单利计算方式, 而分期付款、按揭则采用复利计算．这是因
为在存款上, 为了减少储户的重复操作给银行带来的工作压力, 同时也是为了提高储户的
长期存款的积极性, 往往定期现年的利息比再次存取定期一年的收益要高；而在分期付款的
过程中, 由于每次存入的现金存期不一样, 故需要采用复利计算方式．比如“本金为
a
元,
每期还
b
元, 每期利率为
r
”, 第一期还款时本息和应为
a
(1＋
p
%), 还款后余额为
a
(1＋
p
%)
－
b
, 第二次还款 时本息为(
a
(1＋
p
%)－
b
)(1＋
p
%), 再还款后余额为(
a
(1＋
p
%)－
b
)(1＋
p
%)
－
b
＝
a
(1＋
p
%)－
b
(1＋
p
%)－
b
, ……, 第
n
次 还款后余额为
a
(1＋
p
%)－
b
(1＋
p
%)
＋
p
%)
n
2
2
y
A(1，8)
t
B(7，1)
C
O t
nn
1
－
b
(1
－……－
b
．这就是复利计算方式．
例5 2000～2002年, 我国国内生产总值年平均增长7.8%左右．按照这个增长速度, 画
出从2000年开始我国年国内生产总值随时间变化的图象, 并通过图象观察到2010年我国年
国内生产总值约为2000年的多少倍（结果取整数）．
练习：
1．（1）一电子元件去年生产某种规格的电子元件
a
个, 计划从今年开始的
m
年内, 每
年生产此种规格电子元件的产量比上一年增长
p
%, 试写出此种规格电子元件的年产量随年
数变化的函数关系式；

（2）一电子元件去年生产某种规格的电子元件的成本是
a
元个, 计划从今年开始的
m
年内, 每年生产此种规格电子元件的产量比上一年下降
p
%, 试写出此种规格电子元件的单
件成本随年数变化的函数关系式．
2．某种细菌在培养过程中, 每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）, 经3小时后, 这
种细菌可由1个分裂成个 ．
3．我国工农业总产值计划从2000年到2020年翻两番, 设平均每年增长率为
x
, 则得
方程 ．
四、小结：
1．指数函数模型的建立；
2．单利与复利；
3．用图象近似求解．
五、作业：
课本P71-10, 16题．
3.2.1 对数（1）
教学目标：
1．理解对数的概念；
2．能够进行对数式与指数式的互化；
3．会根据对数的概念求一些特殊的对数式的值．

教学重点：
对数的概念, 对数式与指数式的相互转化, 并求一些特殊的对数式的值；
教学难点：
对数概念的引入与理解．

教学过程：
一、情境创设
假设2005年我国的国民生产总值为
a
亿元, 如每年平均增长8%, 那么经过多少年, 国
民生产总值是2005年的2倍？
根据题目列出方程：______________________．

提问：此方程的特征是什么？?已知底数和幂, 求指数！
情境问题：已知底数和指数求幂, 通常用乘方运算；而已知指数和幂, 则通常用开方运
算或分数指数幂运算, 已知底数和幂, 如何求指数呢？
二、数学建构
1．对数的定义．
一般地, 如果
a
(
a
＞0,
a
≠1)的
b
次幂等于
N
, 即
a
＝
N
, 那么就称
b
是以
a
为底
N
的对
数, 记作log

a
N
, 即
b
＝log
a
N
．
其中,
a
叫作对数的底数,
N
叫做对数的真数．
2．对数的性质：
（1）真数
N
＞0, 零和负数没有对数；
（2）log
a
1＝0 (
a
＞0,
a
≠1)；
（3） log
a
a
＝1(
a
＞0,
a
≠1)；
（4）
a
log
a
N
b＝
N
(
a
＞0,
a
≠1)．
3．两个重要对数：
（1）常用对数(commonlogarithm)：以10为底的对数lg
N
．
（2）自然对数(naturallogarithm)：以无理数
e?2.71828?为底的对数ln
N
．
三、数学应用
例1 将下列指数式改写成对数式．
（1）2＝16； （2）
4
3
?3
1
a
；（ 3）
5
?20
； （4）
1
?
2
27
??
?0.45
．
b
例2 求下列各式的值．
（1）log
2
64；
基础练习：
log
10
100＝ ；
log
2
log
25
5＝ ；
log
1
4＝ ；
4
（2）log
8
32．
1
＝ ；
2
log
3
3＝ ；
log
3
1＝ ；
例3 将下列对数式改写成指数式
log
a
a
＝ ；
log
a
1＝ ．

（1）log
5
125＝3； （2）log
1
3
3＝－2； （3）lg
a
＝－1．699．
2
m
例4 已知log
a
2＝
m
, log
a
3＝
n
, 求
a
练习：
n
的值．
1．（1）lg(lg10)＝ ； （2）lg(ln
e
)＝ ；
（3）log
6
[log
4
(log
3
81)]＝ ；（4）log
3
1?2x
＝1, 则
x
＝________． < br>9
2．把log
x
7
y
＝
z
改写成指数式是 ．
3．求2
2?log
2
5
的值．
?x
?1
?
2
,x?(??,1]
4．设
f(x)?
?
, 则满足
f(x)?
的
x
值为_______．
4
x ,x?(1,??)
?
?
log
81
?
2
5．设< br>x
＝log3, 求
2
2
?
2
2
3x
x
?3x
?x
．
四、小结
1．对数的定义：
b
＝log
a
N
?
a
＝
N
．
2．对数的运算：用指数运算进行对数运算．
3．对数恒等式．
4．对数的意义：对数表示一种运算, 也表示一种结果．
五、作业
课本P79习题3.2(1)1, 2, 3(1)～(4)．
b
3.2.1 对数（2）
教学目标：
1．理解并掌握对数性质及运算法则, 能初步运用对数的性质和运算法则解题；
2．通过法则的探究与推导, 培养学生从特殊到一般的概括思想, 渗透化归思想及逻辑
思维能力；
3．通过法则探究, 激发学生学习的积极性．培养大胆探索, 实事求是的科学精神．

教学重点：
对数的运算法则及推导与应用；
教学难点：

对数的运算法则及推导．

教学过程：
一、情境创设
1．复习对数的定义．
2．情境问题
（1）已知log
a
2＝
m
, log
a
3＝
n
, 求
a
mn
的值．
（2）设log
a
M
＝
m
, log
a
N
＝
n
, 能否用
m
,
n
表示log
a
(
M
·
N
)呢？
二、数学建构
1．对数的运算性质．
（1）log
a
(
M
·
N
)＝log
a
M
＋log
a
N(
a
＞0,
a
≠1,
M
＞0,
N
＞0)；
（2）log
a
M
＝log
a
M
－log
a
N
(
a
＞0,
a
≠1,
M
＞0,
N
＞0)；
N
n
（3）log
a
M
＝
n
log
a
M
(
a
＞0,
a
≠1,
M
＞0,
n
?R)．
2．对数运算性质的推导与证明
由于
a
·
a
＝
a
, 设
M
＝
a
,
N
＝
a
, 于是
MN
＝
a
．
由对数的定义得到log
a
M
＝
m
, log
a
N
＝
n
, log
a
（
M
·
N
）＝
m
+
n
．所以有
log
a< br>（
M
·
N
）＝log
a
M
+log
a
N
．
仿照上述过程, 同样地由
a
÷
a
＝
a
他性质．
三、数学应用
例1 求值．
（1）log
5
125；
（3）(lg5)＋2lg5·lg2＋(lg2)；
22
mnm
+
nmnm
+
n
mnmn
和(
a
)＝
a
分 别得出对数运算的其
mnmn
（2）log
2
(2·4)；
（4）
lg(3?5?3?5)
．
35
例2 已知lg2≈0.3010, lg3≈0.4771, 求下列各式的值(结果保留4位小数)：
（1）lg12； （2）
lg
16
；
27
（3）
lg45
．
例3 设lg
a
＋lg< br>b
＝2lg(
a
－2
b
), 求log
4
xx
a
的值．
b
例4 求方程lg(4＋2)＝lg2＋lg3的解．
练习：

1．下列 命题：（1）lg2·lg3＝lg5；（2）lg3＝lg9；（3）若log
a
(
M
＋
N
)＝
b
, 则
M
＋
N
＝< br>a
；（4）若log
2
M
＋log
3
N
＝l og
2
N
＋log
3
M
, 则
M
＝
N
．其中真命题有
（请写出所有真命题的序号）．
2．已知lg2＝
a
, lg3＝
b
, 试用含
a
,
b
的代数式表示下列各式：
（1）lg54； （2）lg2.4； （3）lg45．
3．化简：
（1）< br>2log
3
2?log
3
b
2
32
?log
3
8
； （2）
log
9
2
；
(2?1)
2?1
（3）< br>log
3
(2?3?2?3)?log
3
(2?3?2?3)?log
3
2
．
4．若lg(
x
－
y
)＋lg(
x
＋2
y
)＝lg2＋lg
x
＋lg
y
, 求
四、小结
1．对数的运算性质；
2．对数运算性质的应用．
五、作业
课本P79习题3（5）、（6）, P80第6题．
六、课后探究
化简：（1）
2
|log
2
0.2|?1
x
的值．
y
；（2）
2
lg3
?3
lg2
．
3.2.2 对数函数（1）
教学目标：
1．掌握对数函数的概念, 熟悉对数函数的图象和性质；
2．通过观察对数函数的图象, 发现并归纳对数函数的性质；
3．培养学生数形结合的思想以及分析推理的能力.

教学重点：
理解对数函数的定义, 初步掌握对数函数的图象和性质.
教学难点：
底数
a
对图象的影响及对对数函数性质的作用.

教学过程：
一、问题情境
在细胞分裂问题中, 细胞个数
y
是分裂次数
x
的指数函数
y
＝2．因此, 知道
x
的值(输
入值是分裂的次数), 就能求出
y
的值(输出值是细胞个数).
反之, 知道了细胞个数
y
, 如何确定分裂次数
x
？?
x
＝log
2
y
.
在这里,
x
与
y
之间是否存在函数的关系呢？
同样地, 前面提到的放射性物质, 经过的时间
x
(年)与物质的剩余量
y
的关系为< br>y
＝0.84．反之, 写成对数式为
x
＝log
0.84
y
.
二、学生活动
1．回顾指数与对数的关系；引出对数函数的定义,给出对数函数的定义域
2．通过观察对数函数的图象, 发现并归纳对数函数的性质.
3．类比指数函数的定义、图象、性质得到对数函数的定义、图象、性质．
三、建构数学
1．对数函数的定义：一般地, 当
a
＞0且
a
≠1时, 函数
y
＝log
a
x
叫做对数函数, 自变
量是
x
；函数的定义域是(0, ＋∞)．
值域：R．
2．对数函数
y
= log
a
x
(
a
＞0且
a
≠1)的图像特征和性质．
x
x
x
y＝2
x

x
x＝log
2
y

y
y
a






a
＞1 0＜
a
＜1

y

x

O

1
y

O

1
图像
x

定义域

值域
性

质

(1)恒过定点：
(2)当
x
＞1时,
当0＜
x
＜1时,
(3)在 上是 函数
当
x
＞1时,
当0＜
x
＜1时,
在 上是 函数
x
3．对数函数
y
= log
a
x
(
a
＞0且
a
≠1)与指数函数
y
=
a
(
a
＞0且
a
≠1)的关系——互
为反函数．
四、数学运用
1．例题.

例1 求下列函数的定义域：
（1）
y?log
0.2
(4?x)
；（2）
y?log< br>a
x?1(a?0,a?1)
；
变式：求函数
y?log
2
(3?x)
的定义域.
例2 比较大小：
（1）
log
2
3.4,log
2
3.8
； （2 ）
log
0.5
1.8,log
0.5
2.1
；（3）log
7
5,log
6
7
.
2．练习：
课本P85-1, 2, 3, 4．
五、要点归纳与方法小结
（1）对数函数的概念、图象和性质；
（2）求定义域；
（3）利用单调性比较大小.
六、作业
课本 P87习题2, 3, 4.
3.2.2 对数函数（2）
教学目标：
1．掌握对数函数的性质, 能初步运用性质解决问题．
2．运用对数函数的图形和性质．
3．培养学生数形结合的思想, 以及分析推理的能力．

教学重点：
对数函数性质的应用．
教学难点：
对数函数图象的变换．

教学过程：
一、问题情境
1．复习对数函数的定义及性质．
2．问题：如何解决与对数函数的定义、图象和性质有关的问题？
二、学生活动

1．画出
y?log
3
(x?2)
、y?log
3
x?2
等函数的图象, 并与对数函数
y?log
3
x
的图
象进行对比, 总结出图象变换的一般规律．
2．探求函数图象对称变换的规律．
三、建构数学
1．函数
y?log
a
(x?b)?c
（
a?0,a?1
） 的图象是由函数
y?log
a
x
的图象
得到；
2．函数
y?|log
a
x|
的图象与函数
y?l og
a
x
的图象关系是 ；
3．函数< br>y?log
a
|x|
的图象与函数
y?log
a
x< br>的图象关系是 ．
四、数学运用
例1 如图所示曲线是对数函数
y
＝log
a
x
的图象,
已知
a
值取0.2, 0.5, 1.5, e, 则相应于
C
1
,
C
2
,
y
C
1
C
2
C
3
,
C
4
的
a
的值依次为 ．
0
x
1
例2 分别作出下列函数的图象, 并与函数
y
＝log
3
x
的图象进行比较, 找出它们之间
C
3
的关系
（1）
y
＝log
3
(
x
－2)；
（3）
y
＝log
3
x
－2；
（2）
y
＝log
3
(
x
＋2)；
（4）
y
＝log
3
x
＋2．
C
4练习：1．将函数
y
＝log
a
x
的图象沿
x
轴向右平移2个单位, 再向下平移1个单位, 所
得到函数图象的解析式为 ．
2．对任意的实数
a
(
a
＞0,
a
≠1), 函数
y
＝log
a
(
x
－1)＋2的图象所过的定点坐标< br>为 ．
3．由函数
y
＝ log
3
(
x
＋2),
y
＝log
3
x
的图象与直线
y
=－1,
y
＝1所围成的封闭图形的
面积是 ．
例3 分别作出下列函数的图象, 并与函数
y
＝log
2
x
的图象进行比较, 找出它们之间
的关系
（1）
y
＝log
2
|
x
|；
（3）
y
＝log
2
(－
x
)；
（2）
y
＝|log
2
x
|；
（4）
y
＝－log
2
x
．
练习 结合函数
y
＝log
2
|
x
|的图象, 完成下列各题：
（1）函数
y
＝log
2
|
x
|的奇偶性为 ；
（2）函数
y
＝log
2
|
x
|的单调增区间为 , 减区间为 ．

（3）函数
y
＝l og
2
(
x
－2)的单调增区间为 , 减区间为 ．
（4）函数
y
＝|log
2
x
－1|的单调增区间为 , 减区间为 ．
五、要点归纳与方法小结
（1）函数图象的变换（平移变换和对称变换）的规律；
（2）能画出较复杂函数的图象, 根据图象研究函数的性质(数形结合)．
六、作业
1．课本P87－6, 8, 11．
2．课后探究：试说出函数
y
＝log
2
2
1
的图 象与函数
y
＝log
2
x
图象的关系．
2?x
3.2.2 对数函数（3）
教学目标：
1．进一步理解对数函数的性质, 能运用对数函数的相关性质解决对数型函数的常见问
题．
2．培养学生数形结合的思想, 以及分析推理的能力．

教学重点：
对数函数性质的应用．
教学难点：
对数函数的性质向对数型函数的演变延伸．

教学过程：
一、问题情境
1．复习对数函数的性质．
2．回答下列问题．
（1）函数
y
＝log
2
x
的值域是 ；
（2）函数
y
＝log
2
x
(
x
≥1 )的值域是 ；
（3）函数
y
＝log
2
x
(0＜
x
＜1)的值域是 ．
3．情境问题．
函数
y
＝log
2
(
x
＋2
x
＋2)的 定义域和值域分别如何求呢？
二、学生活动
2

探究完成情境问题．
三、数学运用
例1 求函数
y
＝log2
(
x
＋2
x
＋2)的定义域和值域．
练习：
（1）已知函数
y
＝log
2
x
的值域是[－2, 3], 则
x
的范围是________________．
（2）函数
y?log
1
x
,
x
?(0, 8]的值域是 ．
2
2
（3）函数
y
＝log
1
(
x
－6
x
+17)的值域 ．
2
2
（4）函数
y?log
1
2?x
2
?
2
?
的值域是_______________．
例2 判断下列函数的奇偶性：
（1）
f
(
x
)＝lg
1?x
（2）
f
(
x
)＝ln(
1?x
2
－
x
)
1?x
x
例3 已知log
a
0.75＞1, 试求实数
a
取值范围．
例4 已知函数
y
＝log
a< br>(1－
a
)(
a
＞0,
a
≠1)．
（1）求函数的定义域与值域；
（2）求函数的单调区间．
练习：
1．下列函数(1)
y
＝
x
－1；(2)
y
＝log
2
(
x
－1)；(3)
y
＝
x?1
；(4)
y
＝ln
x
, 其中值
域为R的有 (请写出所有正确结论的序号)．
2
－1)的图象关于 对称．
1?x
1?mx
3．已知函数
f(x)?log
a
(
a
＞0,
a
≠1)的图象关于原点对称, 那么实数
m
x?1
2．函数
y
＝lg(
＝ ．
4．求函数
y?(log
3
x1
)?(log
3
3 x)
, 其中
x
?[, 9]的值域．
2727
五、要点归纳与方法小结
（1）借助于对数函数的性质研究对数型函数的定义域与值域；
（2）换元法；
（3）能画出较复杂函数的图象, 根据图象研究函数的性质（数形结合）．
六、作业
课本P87－10, 12, 13．

3.3 幂函数
教学目标：
1．使学生理解幂函数的概念, 能够通过图象研究幂函数的性质；
2．在作幂函数的图象及研究幂函数的性质过程中, 培养学生的观察能力, 概括总结的
能力；
3．通过对幂函数的研究, 培养学生分析问题的能力．

教学重点：
常见幂函数的概念、图象和性质；
教学难点：
幂函数的单调性及其应用．

教学方法：
采用师生互动的方式, 由学生自我探索、自我分析, 合作学习, 充分发挥学生的积极性
与主动性, 教师利用实物投影仪及计算机辅助教学．

教学过程：
一、问题情境
情境：我们以前学过这样的函数：
y
＝
x
,
y
＝
x
,
y
＝
x
, 试作出它们的图象, 并观察其
性质．
问题：这些函数有什么共同特征？它们是指数函数吗？
二、数学建构
1．幂函数的定义：一般的我们把形如
y
＝
x
?
(
?
?R)的函数称为
幂函数, 其中底数
x
是变量, 指数
?
是常数．
2．幂函数
y
＝
x
?
图象的分布与
?
的关系：
对任意的
?
? R,
y
＝
x
?
在第I象限中必有图象；
若
y
＝
x
?
为偶函数, 则
y
＝
x
?
在第II象限中必有图象；
若
III
y=X
21
II
I
y=1
y
＝
x
?
为奇函数, 则
y
＝
x
?
在第
X=1
III象限中必有图象；
对任意的
?
? R,
y
＝
x
?
的图象都不会出现在第VI象限中．

3．幂函数的性质(仅限于在第一象限内的图象)：
（1）定点：
?
＞0时, 图象过(0, 0)和(1, 1)两个定点；
?
≤0时, 图象过只过定点(1, 1)．
（2）单调性：
?
＞0时, 在区间[0, ＋?)上是单调递增；
?
＜0时, 在区间(0, ＋?)上是单调递减．
三、数学运用
例1 写出下列函数的定义域, 并判断它们的奇偶性
（1）
y
＝
x
； （2）
y
＝
x
；
例2 比较下列各题中两个值的大小．
（1）1.5与1.7
（3）(－1.25)与(－1.26)
mn
1
33
0.50.5
1
2
?2
（3）
y
＝< br>x?x
； （4）
y
＝
x?x
2?2
1
2< br>?
1
2
．
（2）3.14与π
（4）3
14
与2
21

11
例3 幂函数
y
＝
x
；
y
＝
x
；
y
＝
x
与
y
＝
x
在第一象限内图象的排
y

列顺序如图所示, 试判断实数
m
,
n
与常数－1, 0, 1的大小关系．
练习：（1）下列函数：①
y
＝0.2；②
y
＝
x
； ③
y
＝
x
；④
y
＝3·
x
．其中是幂 函数的有 （写出
所有幂函数的序号）．
（2）函 数
y?(x?2x)
2
?
1
2
32
y＝x

y＝x
m

y＝x
?1

y＝x
n

x

x
0.2
O

的定义域是 ．
a
2
?a?1
（3）已知函数
f(x)?(a?1)x
, 当
a
＝ 时,
f
(
x
)为正比例函数；
当
a
＝ 时,
f
(
x
)为反比例函数；当
a
＝ 时,
f
(
x
)为二次函数；
当
a
＝ 时,
f
(
x
)为幂函数．
1
2
1
2
1
1
33
（4）若
a
＝
()
,
b
＝
()
,
c
＝
()
3
, 则
a
,
b
,
c
三个数按从小到大的顺序排列
252
为 ．
四、要点归纳与方法小结
1．幂函数的概念、图象和性质；
2．幂值的大小比较方法．
五、作业
课本P90-2, 4, 6．

3.4.1 函数与方程（1）
教学目标：
1．理解函数的零点的概念, 了解函数的零点与方程根的联系．
2．理解“在函数的零点两侧函数值乘积小于0”这一结论的实质, 并运用其解决有关
一元二次方程根的分布问题．
3．通过函数零点内容的学习, 分析解决对一元二次方程根的分布的有关问题, 转变学
生对数学学习的态度, 加强学生对数形结合、分类讨论等数学思想的进一步认识．

教学重点：
函数零点存在性的判断．
教学难点：
数形结合思想, 转化化归思想的培养与应用．

教学方法：
在相对熟悉的问题情境中, 通过学生自主探究, 在合作交流中完成学习任务．尝试指
导与自主学习相结合．

教学过程：
一、问题情境
1．情境：在第3.2.1节中, 我们利用对数求出了方程0.84＝0.5的近似解；
2．问题：利用函数的图象能求出方程0.84＝0.5的近似解吗？
二、学生活动
1．如图1, 一次函数
y
＝
kx
＋
b
的图象与< br>x
轴交于点(－2, 0), 试根据图象填空：
（1）
k
0,
b
0；
（2）方程
kx
＋
b
＝0的解是 ；
（3）不等式
kx
＋
b
＜0的解集 ；
2
x
x
y
－2
O
x
2．如果二次 函数
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
的图象与
x
轴交于点(－3, 0)和(1, 0),
图1
且开口方向
向下, 试画出图象, 并根据图象填空：
（1）方程
ax
＋
bx
＋
c
＝0的解是 ；
2

（2）不等式
ax
＋
bx
＋
c
＞0的解集为 ；
2
ax
2
＋
bx
＋
c
＜0的解集为 ．
三、建构数学
1．函数
y
＝
f
(
x
)零点的定义；
2．一元二次方程
ax
＋
b x
＋
c
＝0(
a
＞0)与二次函数
y
＝
a x
＋
bx
＋
c
的图象之间关系：
22
△
＝
b
2
－4
ac

ax
2
＋
bx
＋
c
＝0的根
△
＞0

y

△
＝0

y

△
＜0

y

y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
的图象
x
1

O

x
2

x

O
x
1
＝x
2

x

O

x

y
＝
ax
2
＋
bx＋
c
的零点


3．函数零点存在的条件：函数
y
＝
f
(
x
)在区间[
a
,
b
]上不间断, 且
f
(
a
)·
f
(
b
)＜0,
则函数
y
＝
f
(
x
)在区间(
a
,
b
)上有零点．
四、数学运用
例1 函数
y
＝
f
(
x
)(
x
?[－5, 3])的图象如图所示 , 根据图象, 写出函数
f
(
x
)的零
点及不等式
f
(
x
)＞0与
f
(
x
)＜0的解集．



例2 求证：二次函数
y
＝2
x
＋3
x
－7有两个不同的零点．
例3 判断函数
f
(
x
)＝
x
－2
x－1在区间(2, 3)上是否存在零点？
例4 求证：函数
f
(
x< br>)＝
x
＋
x
＋1在区间(－2, －1)上存在零点．
练习 ：（1）函数
f
(
x
)＝2
x
－5
x
＋2 的零点是_______ ．
（2）若函数
f
(
x< br>)＝
x
－2
ax
＋
a
没有零点, 则实数
a
的取值范围是___________；
（3）二次函数
y
＝2
x
＋
px
＋15的一个零点是－3, 则另一个零点是 ；
（4）已知函数
f
(
x
)＝
x
－3
x＋3在R上有且只有一个零点, 且该零点在区间[
t
,
t
＋1]上,
则实数
t
＝___ __．
五、要点归纳与方法小结
3
2
2
2
32
2
2
y
－5 －3
－1
O
1
3
x

1．函数零点的概念、求法．
2．函数与方程的相互转化, 即转化思想；以及数形结合思想．
六、作业
课本P97－习题2, 5．
3.4.1 函数与方程（2）
教学目标：
1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件, 并能够根据这样的过程进行实际求
解．了解二分法是求方程近似解的常用方法, 从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问
题中的应用．
2．通过本节内容的学习, 让学生体会到在现实世界中, 等是相对的, 而不等是绝对的,
这样可以加深对数学的理解．

教学重点：
用二分法求方程的近似解；
教学难点：
二分法原理的理解．

教学方法：
讲授法与合作交流相结合．

教学过程：
一、问题情境
1．情境：（1）复习函数零点的定义以及函数零点存在的条件；
（2）给出函数
f
(
x
)＝lg
x
＋
x
－3存在零点的区间；
2．问题：如何求方程lg
x
＝3－
x
的近似解？
二、学生活动
用二分法探求一元二次方程
x
－2
x
－1＝0区间(2, 3)上的根的近似值．
三、建构数学
1． 对于区间[
a
,
b
]上连续不断, 且
f
(
a
)
f
(< br>b
)＜0的函数
y
＝
f
(
x
), 通过不断地
2

把函数
f
(
x
)的零点所在区间一分为二, 使区间的两个端点逐步逼近零点, 进而得到零点近
似值的方法叫做二分法．
2．给定精确度, 用二分法求函数
f
(
x
)零点近似值的步骤：
（1）确定
f
(
a
)
f
(
b
)＜0, 从而确定零点存在的区间(
a
,
b
)；
（2）求区间(
a
,
b
)的中点
x
1
, 并计算
f
(
x
1
)；
（3）判断零点范围：若
f
(
x
1
)＝0, 则
x
1
就是函数
f
(
x
)的零点；若
f
(a
)
f
(
x
1
)＜0, 则
零点
x
1
?(
a
,
x
1
), 令
b
＝
x
1
, 否则令
a
＝
x
1
；
（4）判断精确度：若区间两个端点的近似值相同（符合精确度要求）, 这个近似值即
为所求, 否则重复(2)～(4)．
四、数学运用
例1 求方程
x
－2
x
－1＝0在区间(－1, 0)上的近似解(精确到0.1)．
例2 借助计算器用二分法求方程lg
x
＝3－
x
的近似解(精确到0.1)
变式训练：利用计算器求方程2＋
x
＝4的近似解(精确到0.1)．
练习
1．确定下列函数
f
(
x
)的零点与方程的根存在的区间(
k
,
k
＋1)(
k
?Z)：
（1）函数
f
(
x
)＝
x
－3
x
－3有零点的区间是 ．
（2）方程5
x
－7
x
－1＝0正根所在的区间是 ．
（3）方程5
x
－7
x
－1＝0负根所在的区间是 ．
（4）函数
f
(
x
)＝lg
x
＋
x
－3有零点的区间是 ．
2．用二分法求方程
x
－2
x
－5＝0在区间[2, 3]内的实根, 取区间中点
x
0
＝2.5, 那么
下一个有根区间是 ．
3．已知方程
x
－3
x
－3＝0在实数范围内有且只有一个根, 用二分法求根的近似解(精
确到0.1)．
五、要点归纳与方法小结
1．二分法的概念及其适用条件, 并能够根据这样的过程进行实际求解．
2．了解二分法是求方程近似解的常用方法．
六、作业
P96练习第1, 2, 3题．
3
3
2
2
3
2
x
3.4.1 函数与方程（3）

教学目标：
1．进一步理解二分法原理, 能够结合函数的图象求函数的近似解, 从中体会函数与方
程之间的联系及数形结合在实际问题中的应用．
2．通过本节内容的学习, 渗透无限逼近的数学思想及数学方法．

教学重点：
用图象法求方程的近似解；
教学难点：
图象与二分法相结合．

教学方法：
讲授法与合作交流相结合．

教学过程：
一、问题情境
1．复习二分法定义及一般过程；
2．二分法求方程近似解的前提是确定根存在的区间, 如何能迅速地确定呢？
二、学生活动
利用函数图象确定方程lg
x
＝3－
x
解所在的区间．
三、建构数学
1．方程的解的几何解释：方程
f
(
x
)＝
g
(
x
)的解, 就是函数
y
＝
f
(x
)与
y
＝
g
(
x
)图象交
点的横坐 标．
2．图象法解方程：利用两个函数的图象, 可精略地估算出方程
f
(
x
)＝
g
(
x
)的近似解,
这就是图象法解方程．
注：（1）在精确度要求不高时, 可用图象法求解；
（2）在精确度要求较高时, 先用图象法确定解存在的区间, 再用二分法求解．
3．数形结合：数形结合思想是一种很重要的数学思想, 数与形是事物的两个方面, 正
是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科, 才能使人们能够从不同侧面认识事物,
华罗庚先生说过：“数与形本是两依倚, 焉能分作两边飞．数缺形时少直观, 形少数时难入
微。”把数量关系的研究转化为图形性质的研究, 或者把图形性质的研究转化为数量关系的

研究, 这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略, 就是数形结合的思想。数
形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来, 使抽象思维与形象思维结合
起来。
四、数学运用
例1 利用函数图象确定方程lg
x
＝3－
x
的近似解．
例2 在同一坐 标系作出函数
y
＝
x
与
y
＝3
x
－1的图 象, 利用图象写出方程
x
－3
x
＋1
＝0的近似解(精确到0.1)．
变式训练：
（1）用二分法求方程
x?3x?1?0
的近似解(精确到0.1)．
（2）用Excel求方程
x?3x?1?0
的近似解(精确到0.1)．
例3 在同一坐标系中作出函数
y
＝2与
y
＝4－
x
的图象, 利 用图象写出方程
x
33
3
3
2
x
?x?4
的近似解(精确到0.1)．
练习：
（1）方程lg
x
＝
x－5的大于1的根在区间(
a
,
a
＋1)内, 则正整数
a
＝ ．再
结合二分法, 得lg
x
＝
x
－5的近似解约为 （精确到0.1）．
（2）用两种方法解方程2
x
＝3
x
－1．
五、要点归纳与方法小结
1．方程解的几何解释；
2．先用图象确定范围, 再用二分法求方程的近似解；
3．数形结合思想．
六、作业
课本P97－7, 9．
2
3.4.2 函数模型及其应用（1）
教学目标：
1．能根据实际问题的情境建立数学模型, 利用计算工具, 结合对函数性质的研究, 给
出问题的解答；
2．通过实例, 理解一次函数、二次函数等常见函数在解决一些简单的实际问题中的应
用, 了解函数模型在社会生活中的广泛应用；

3．在解决实际问题的过程中, 培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力,
培养学生的应用意识, 提高学习数学的兴趣.

教学重点：
一次函数、二次函数以及指、对数函数等常见函数的应用．
教学难点：
从生活实例中抽象出数学模型.

教学过程：
一、问题情境
某城市现有人口总数为100万, 如果人口的年自然增长率为1.2﹪, 问:
（1）写出 该城市人口数
y
(万人)与经历的年数
x
之间的函数关系式;
（2）计算10年后该城市的人口数；
（3）计算大约多少年后, 该城市人口将达到120万?
（4）如果20年后该城市人口数不超过120万, 年人口自然增长率应该控制在多少？
二、学生活动
回答上述问题, 并完成下列各题：
1．等腰三角形顶角
y
(单位：度)与底角
x
的函数关系为 ．
2．某种茶杯, 每个0.5元, 把买茶杯的钱数
y
(元)表示为茶杯个数
x
(个)的函
数 , 其定义域为 ．
三、数学应用
例1 某计算机集团公司生产某种型号计算机的固定成本为200万元, 生产每台计算机
的可变成本为3000元, 每台计算机的售价为5000元, 分别写出总成本
C
(万元)、单位成本
P
(万元)、销售收入
R
(元)以及利润< br>L
(万元)关于总产量
x
台的函数关系式．
例2 大气温度
y
(℃)随着离开地面的高度
x
(km)增大而降低, 到上空11 km为止, 大
约每上升1 km, 气温降低6℃, 而在更高的上空气温却几乎没变(设地面温度为22℃)．
求：（1）
y
与
x
的函数关系式；
（2）
x
＝3.5 km以及
x
＝12km处的气温．
变式：在例2的条件下, 某人在爬一座山的过程中, 分别测得山脚和山顶的温度为26℃
和14.6℃, 试求山的高度．

四、建构数学
利用数学某型解决实际问题时, 一般按照以下步骤进行：


1．审题：理解问题的实际背景, 概括出数学实质, 尝试将抽象问题函数化；
2．引进数学符号, 建立数学模型, 即根据所学知识建立函数关系式, 并确定函数的定
义域；
3．用数学的方法对得到的数学模型予以解答, 求出结果；
4．将数学问题的解代入实际问题进行检验, 舍去不合题意的解, 并作答.
五、巩固练习
1．生产一定数量的商品时的全部支出称为生产成本, 可表示为商品数量的函数, 现知
道一 企业生产某种产品的数量为
x
件时的成本函数是
C
(
x
)＝ 200＋10
x
＋0.5
x
(元), 若每售
出一件这种商品的收入是200元, 那么生产并销售这种商品的数量是200件时, 该企业所得
的利润可达到 元．
2．有
m
部同样的机器一起工作, 需要
m
小时完成一项任务．设由
x
部机
器（
x
为不大于
m
的正整数）完成同一任务, 求所需时间
y
(小时)与机器的
部数
x
的函数关系式．
3．
A
,
B
两地相距150千米, 某人以60千米时的速度开车从
A
到
B
, 在
B
地停留1小
时后再以50千米时的速度返回
A
, 则汽车离开
A
地的距离
x
与时间
t
的函数关系式为 ．
4．某车站有快、慢两种车, 始发站距终点站7.2km, 慢车到达终点需16min, 快车比慢
车晚发车3min, 且行驶10min到达终点站.试分别写出两车所行路程关于慢车行驶时 间的函
数关系式．两车在何时相遇？相遇时距始发站多远？
5．某产品总成本
C(万元)与产量
x
(台)满足关系
C
＝3000＋20
x
－0.1
x
, 其中0＜
x
＜
240．若每台产品售价25万元, 要使厂家不亏本, 则最少应生产多少台？
六、要点归纳与方法小结
1．利于函数模型解决实际问题的基本方法和步骤；
2．一次函数、二次函数等常见函数的应用．
七、作业
课本P100－练习1, 2, 3．
2
2
实际问题
建立数学某型 得到数学结果 解决实际问题

3.4.2 函数模型及其应用（2）
教学目标：
1.能根据图形、表格等实际问题的情境建立数学模型, 并求解；进一步了解函数模型在
解决简单的实际问题中的应用, 了解函数模型在社会生活中的广泛应用；
2.在解决实际问题的过程中, 培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力,
培养学生的应用意识, 提高学习数学的兴趣.

教学重点：
在解决以图、表等形式作为问题背景的实际问题中, 读懂图表并求解.
教学难点：
对图、表的理解.

教学方法：
讲授法, 尝试法.

教学过程：
一、情境创设
已知矩形的长为4, 宽为3, 如果长增加
x
, 宽减少0.5
x
, 所得新矩形的面积为
S
．
（1）将
S
表示成
x
的函数；
（2）求面积
S
的最大值, 并求此时
x
的值．
二、学生活动
思考并完成上述问题．
三、例题解析
例1 有一块半径为
R
的半圆形钢板, 计划剪裁成等腰梯
形
ABCD
的形状, 它的下底
AB
是⊙
O
的直径, 上底
CD
的端点
在圆周上, 写出这个梯形周长
y
和腰长
x
间的函数关系式,
并求出它的定义域．
例2 一家旅社有100间相同的客房, 经过一段时间的经
营实践, 旅社经理发现每间客房每天的价格与住房率有如下关系：
C D
A E O B

每间客房定价
住房率
20
65%
18
75%
16
85%
14
95%
要使每天收入最高, 每间客房定价为多少元？
例3 今年5月, 荔枝上市．由历年的市场行情得知,
从5月10日起的60天内, 荔枝的市场售价与上市时间的关系大致可用如图所示的折线
ABCD
表示(市场售价的单位
为元／500g)．
请写出市场售价
S
(
t
)(元)与上市时间
t
(天 )的函数关
系式, 并求出6月20日当天的荔枝市场售价．
S(元)
10
A B

7
5
D
C
10 40
t(天)
60 O
练习：1．直角梯形
OABC
中,
AB
∥
OC
,
AB
＝1,
OC
＝
BC
＝2, 直线
l
：
x
＝
t
截此梯形所得
位于
l
左方图形的面积为
S
, 则函数
S
＝
f
(
t
)的大致图象为( )
y




A B
3
1
S
3
2
t
1
A
2
S
3
1
S
3
t
1
2
C
1
S
O



l
t
x
C
t
1
B
2
t
1
2
D
2．一个圆柱形容器的底部直径是
d
cm, 高是
h
cm, 现在以
v
cm3s的速度向容器内注入
某种溶液, 求容器内溶液的高度
x< br>(cm)与注入溶液的时间
t
(s)之间的函数关系式, 并写出
函数的定义域．
3．向高为
H
的水瓶中注水, 注满为止．如果注水量
V
与水深
h
的函数关系的图象如图
所示, 那么水瓶的形状可能是( )

V



A
元一个的商品按
B
13元一个销售,
C
每天可卖200个．若这种
D
4．某公司将进货单价为10
H h
商品每涨价1元, 销售量则减少26个．
（1）售价为15元时, 销售利润为多少？
（2）若销售价必须为整数, 要使利润最大, 应如何定价？

5．根据市场调查, 某商品在最近40天内的价格
f
(
t
)与时间
t
满足： < br>?
1
143
?
t?11(0≤t?20,t?N)
f
(
t
)＝
?
2
, 销售量
g
(
t
)与时间
t
满足：
g
(
t
)＝
?t?
< br>33
?
?
?t?41(20≤t≤40,t?N)
(0≤
t< br>≤40,
t
?N), 求这种商品日销售金额的最大值．
四、小结
利用图、表建模；分段建模．
五、作业
课本P110－10．
3.4.2 函数模型及其应用（3）
教学目标：
1．学会通过数据拟合建立恰当的函数某型, 并利用所得函数模型解释有关现象或对有
关发展趋势进行预测；
2．通过实例了解数据拟合的方法, 进一步体会函数模型的广泛应用；
3．进一步培养学生数学地分析问题、探索问题、解决问题的能力.

教学重点：
了解数据的拟合, 感悟函数的应用.
教学难点：
通过数据拟合建立恰当函数模型.

教学方法：
讲授法, 尝试法．

教学过程：
一、情境问题
某工厂第一季度某产品月产量分别为1万件、 1.2万件、1.3万件．为了估测以后每个
月的产量, 以这三个月的产量为依据, 用一个函数模拟 该产品的月产量
y
与月份
x
的关
系．模拟函数可以选用二次函数或函 数
y
＝
ab
＋
c
（其中
a
,
b
,
c
为常数）．已知4月份的产
量为1.36万件, 问：用以上哪个函数作为模拟函数好？为什么？
x

二、学生活动
完成上述问题, 并阅读课本第85页至第88页的内容, 了解数据拟合的过程与方法．
三、数学建构
1．数据的拟合：数据拟合就是研究变量之间的关系, 并给出近似的数学表达式的一种
方式．
2．在处理数据拟合(预测或控制)问题时, 通常需要以下几个步骤：
（1）根据原始数据, 在屏幕直角坐标系中绘出散点图；
（2）通过观察散点图, 画出“最贴近”的曲线, 即拟合曲线；
（3）根据所学知识, 设出拟合曲线的函数解析式——直线型选一次函数
y
＝
kx
＋
b< br>；对称型选二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋< br>c
；单调型选指数型函数
y
＝
ab
x
＋
c< br>或反比例型
函数
y
＝
k
x
＋
a
＋< br>b
．
（4）利用此函数解析式, 根据条件对所给的问题进行预测和控制．
四、数学应用
例1 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度为
T
0
,
经过一定时间
t
后的温度是
T
, 则
T
－
T
a
＝(
T
0
－
T
a
), (0.5)其中
T
a
表示环境温度,
h
称为
半衰期．
现有一杯用88C热水冲的速溶咖啡, 放在24℃的房间中, 如果咖啡降到40℃需要
20min, 那么降到35℃时, 需要多长时间(结果精确到0.1)．
例2 在经济学中, 函数
f
(
x
)的边际函数M
f
(
x
)的定义为
Mf
(
x
)＝
f
(x
+1)－
f
(
x
), 某公
司每月最多生长100台报警系统装置, 生产
x
台（
x
?N* )的收入函数为
R
(
x
)＝3000
x
－20
x< br>2
0
th
（单位：元）, 其成本函数为
C
(
x)＝500
x
＋4000（单位：元）, 利润是收入与成本之差．
（1）求利 润函数
P
(
x
)及边际利润函数
MP
(
x
)；
（2）利润函数
P
(
x
)与边际利润函数
MP
(
x
)是否有相同的最大值？
例3 （见情境问题）
五、巩固练习
1．一流的职业高尔夫选手约
70杆即可打完十八洞, 而初学者
约160杆．初学者打高尔夫球, 通
常是开始时进步较快, 但进步到
160
140
120
100
80
练习总次数
160
打完18洞的杆数
0 20
40
60 80 100 120 140