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苏教版高中数学必修1知识点总结及题型

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 05:45
tags:苏教版高中数学

高中数学试题及答案解析可下载-2016年高中数学联赛b卷

2020年9月21日发(作者:倪应颐)


1
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高中数学讲义必修一第一章复习

知识点一 集合的概念
1.集合:一般地,把一些能够________________对象看成一个整体,就 说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集),
通常用大写拉丁字母A,B,C,…来 表示.
2.元素:构成集合的____________叫做这个集合的元素,通常用小写拉丁字母a ,b,c,…来表示.
3.空集:不含任何元素的集合叫做空集,记为 .
知识点二 集合与元素的关系
1.属于:如果a是集合A的元素,就说a________集合A,记作a________A. < br>2.不属于:如果a不是集合A中的元素,就说a________集合A,记作a________A.
知识点三 集合的特性及分类
1.集合元素的特性 _______、________、________.
2.集合的分类:(1)有限集:含有__ _____元素的集合;(2)无限集:含有_______元素的集合.
3.常用数集及符号表示
名称
符号
知识点四 集合的表示方法
1.列举法:把集合的元素______________,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法
2.描述法:用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法.
知识点五 集合与集合的关系
1.子集与真子集


定义
如果集合A中的________元素都是
子集
集合B中的元素,我们就说这两个
集合有包含关系,称集合A为集合
B的子集
如果集合A?B,但存在元素
真子集 ________,且________,我们称集
合A是集合B的真子集

2.子集的性质
(1)规定:空集是____________的子集,也就是说,对任意集 合A,都有________.(2)任何一个集合A都是它本身的子集,即
________.(3) 如果A?B,B?C,则________.(4)如果A
?
B,B
?
C,则 ________.
3.集合相等
________(或
________)

________(或
________)

符号语言
图形语言
(Venn图)
非负整数集(自然数集)
N

N
*
或N


整数集
Z

Q
实数集
R


1









知识点六 集合的运算
1.交集







2.并集
自然语言
由_________________
_________________组成的
集合,称为A与B的并集

3.交集与并集的性质
交集的运算性质
A∩B=________
A∩A=________
A∩?=________
A?B?A∩B=________
4.全集
在研究集合与集合之间的关系时,如 果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________,那么就称这个集合为全集,通常记作
___ _____.
5.补集
文字语言
符号语言
图形语言


典例精讲
题型一 * 判断能否构成集合
1.在“①高一数学中的难题 ;②所有的正三角形;③方程x
2
-2=0的实数解”中,能够构成集合的是 。
对于一个集合A,由全集U中__________的所有元素组成的集合称为集
合A相对于全 集U的补集,记作________
?
U
A=________________
并集的运算性质
A∪B=________
A∪A=________
A∪?=________
A?B?A∪B=________
A∪B=_______________

符号语言 图形语言
自然语言
由___________________
_____________________
组成的集合,称为A与B的
交集
A∩B=_________

符号语言 图形语言
集合相等
如果集合A是集合B的子集(A
?B),且________________,此
时,集合A 与集合B中的元素
是一样的,因此,集合A与集合
B相等
A=B


定义 符号语言
图形图言
(Venn图)


1
题型二 * 验证元素是否是集合的元素
1、已知集合
A?xx?m
2?n
2
,m?Z,n?Z
??
,判断3是不是集合A的元素。
1
2?3
是不是集合A中的元素. 2、集合A是由形如
m?
题型三 ** 求集合
3n
?
m?Z,n?Z
?
的数构成的,判断
?
3x+y=2
1.方程组
?
的解集是( )
?
2x-3y=27
?
x=3
A.
?
B.{x,y|x=3且y=-7} C.{3,-7} D.{(x,y)|x=3且y=-7}
?
y=-7
2.下列六种表示法:①{x= -1,y=2};②{(x,y)|x=-1,y=2};③{-1,2};④(-1,2);⑤{(-1,2) };⑥{(x,y)|x=-1或
y=2}.
?
2x+y=0,
能表示方程组
?
的解集的是( )
?
x-y+3=0
A.①②③④⑤⑥ B.②③④⑤ C.②⑤
题型四 ** 利用集合中元素的性质求参数
1.已知集合S={a,b,c}中的三个元素是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是( )
A.锐角三角形
C.钝角三角形
2.设a,b∈R,集合{1,a+b,a}=
B.直角三角形
D.等腰三角形
D.②⑤⑥



{
b
0,,b
a
}
,则b-a=________. 3.已知P={x|2<x<k,x∈N,k∈R},若集合P中恰有3个元素,则实数k的取值范围是__ ______.
4.已知集合A是由0,m,m
2
-3m+2三个元素组成的集合, 且2∈A,则实数m的值为( )
A.2 B.3 C.0或3 D.0或2或3
题型五 ** 判断集合间的关系
1、设
M
????< br>k1k1
?
?
xx??,k?Z
?
,
N?
?
xx??,k?Z
?
,则M与N的关系正确的是( )
2442
????
A. M=N B.
M
2.判断下列集合间的关系:
?N
C.
M?N
D.以上都不对
??
(1)A={x|x-3>2},B={x|2x-5≥0};
(2)A={x∈Z|-1≤x<3},B={x|x=|y|,y∈A}.
题型六 ** 求子集个数
1.已知集合A={x|ax
2
+2x+a=0,a∈R},若集合A有 且仅有2个子集,则a的取值构成的集合为________.
2.已知集合A={1,2,3},写出集合A的所有子集,非空子集,真子集,非空真子集



题型七 ** 利用两个集合之间的关系求参数
1.已知集合A={ 1,2,m
3
},B={1,m},B?A,则m=________.
2.已知集合A={1,2},B={x|ax-2=0},若B?A,则a的值不可能是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
题型八 *** 集合间的基本运算


1
1.下面四个结论:①若a∈(A∪B),则 a∈A;②若a∈(A∩B),则a∈(A∪B);③若a∈A,且a∈B,则a∈(A∩B);④
若A ∪B=A,则A∩B=B.其中正确的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知集合M={x|-33},则M∪N=( )
A.{x|x>-3} B.{x|-33.已知集合A={2,-3},集合B满足B∩A=B,那么符合条件的集合B的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4.(2016·全国卷Ⅲ 理,1)设集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},则S∩T=( )
A.[2,3] B.(-∞,2]∪[3,+∞) C.[3,+∞)
5.下列关系式中,正确的个数为( )
①(M∩N)?N;②(M∩N)?(M∪N);③(M∪N)?N;④若M?N,则M∩N=M.
A.4 B.3 C.2 D.1
D.(0,2]∪[3,+∞)
6.(2016·唐山一中月考试题)已知全集U={x|x ≤4},集合A={x|-2U
A) ∪B,A∩(?
U
B).


题型九 ** 根据集合运算的结果求参数
1.若集合A={2,4,x},B={2,x
2
},且 A∪B={2,4,x},则x=________.

2.设A={x|x
2+8x=0},B={x|x
2
+2(a+2)x+a
2
-4=0},其 中a∈R.如果A∩B=B,求实数a的取值范围.


3.U={1,2},A= {x|x
2
+px+q=0},?
U
A={1},则p+q=_______ _.
题型十 ** 集合中的新定义问题
1.集合P={3,4,5},Q={6,7 },定义P*Q={(a,b)|a∈P,b∈Q},则P*Q的子集个数为( )
A.7 B.12 C.32 D.64
2.当x∈A时,若x-1?A,且x+1?A,则称x 为A的一个“孤立元素”,由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤
星集”,若集合M={0,1, 3}的孤星集为M′,集合N={0,3,4}的孤星集为N′,则M′∪N′=( )
A.{0,1,3,4} B.{1,4} C.{1,3} D.{0,3}







知识点一 函数的有关概念


1

知识点二 两个函数相等的条件
1.定义域________.2.________完全一致.
知识点三 区间的概念及表示
1.一般区间的表示
设a,b∈R,且a定义
{x|a≤x≤b}
{x|a{x|a≤x{x|a2.特殊区间的表示

定义
符号

知识点四 函数的表示方法
函数的三种表示法:解析法、图象法、列表法.
知识点五 分段函数 如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的________,那么 称这样的函数
为分段函数.分段函数是一个函数,分段函数的定义域是各段定义域的________, 值域是各段值域的________.
知识点六 映射的概念
设A,B是两个______ __________,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的________________ ,
在集合B中都有________确定的元素y与之对应,那么就称对应f:A→B为从集合A到集合 B的一个映射.
知识点七 函数的单调性
1.增函数、减函数:设函数f(x)的定义域为 I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x
1

x
2,当x
1
2
时,都有f(x
1
) 2
),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数;当x
1
2
时 ,都有f(x
1
)>f(x
2
),那
么就说函数f(x)在区间D上 是减函数.
2.函数的单调性:若函数f(x)在区间D上是增(减)函数,则称函数f(x)在这一 区间上具有(严格的)单调性,区
R
(-∞,+∞)
{x|x≥a}
a,+∞)
{x|x>a}
(a,+∞)
{x|x≤a}
(-∞,a]
{x|x(-∞,a)
名称
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
符号




数轴表示




1
间D叫做f(x)的单调区间.
3.单调性的常见结论:若函数 f(x),g(x)均为增(减)函数,则f(x)+g(x)仍为增(减)函数;若函数f(x)为增(减)< br>1
函数,则-f(x)为减(增)函数;若函数f(x)为增(减)函数,且f(x)>0,则为 减(增)函数.
f?x?
知识点八 函数的最大值、最小值
最值
类别
最大值 最小值
设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足
条件
(1)对于任意的x∈I,都有__________ (1)对于任意的x∈I,都有________
(2)存在x
0
∈I,使得______________
结论

性质:定义在闭区间上的单调函数,必有最大(小)值.
知识点九 函数的奇偶性
1.函数奇偶性的概念


偶函数 奇函数
M是函数y=f(x)的最大值
(2)存在x
0
∈I,使得________
M是函数y=f(x)的最小值
条件
对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有
f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x)
函数f(x)是奇函数 结论

2.性质
函数f(x)是偶函数
(1)偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称,奇函数在原点有定义,则f(x)=0
(2)奇函数在对称的区间上单调性相同,偶函数在对称的区间上单调性相反.
(3)在定义 域的公共部分内,两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数;两个奇函数之和为奇函数;两个偶函
数的 和、积与商为偶函数;一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数.
知识点十 函数的周期性
若存在非零常数T,对定义域内任意x,都有
f
?
x?T
?< br>?f(x)

数的一个周期。

如:若f
?
x?a
?
??f(x),则
典例精讲
题型一 *** 函数的定义域
1 函数f(x)=ln(x-3)的定义域为( )
A.{x|x>-3} B.{x|x>0} C.{x|x>3} D.{x|x≥3}

,称这样的函数为周期函数,T叫函


1
2.函数f(x)=1-2
x

1
的定义域为( )
x+3
A.(-3,0] B.(-3,1] C.(-∞,-3)∪(-3,0] D.(-∞,-3)∪(-3,1]
?x
2
?3x?4
3.函数
y?
的定义域为 ( )
x
A.
[?4,1]
B.
[?4,0)
C.
(0,1]
D.
[?4,0)(0,1]

4.已知函 数f(x)=
mx
2
?mx?1
的定义域是一切实数,则m的取值范围是( )
A.05、若函数
y

f(x)
的定义域是[1,4], 则
y

f(2x?1)
的定义域是 .
< br>6、若函数
y

f(3x?1)
的定义域是[1,2],则
y

f(x)
的定义域是
题型二 *** 函数概念的考察
1 下列图象中,不可能成为函数y=f(x)图象的是( )

2 下列各组函数中表示同一函数的是( )
A.y=
5
C.
y?
52
x

y?
x
B.y=ln
e
x

y?
e
lnx

< br>?
x?1
??
x?3
?
和y?
?
x?3?
D.
y?
0
和y?
1
x
0
?
x?1
?
x
) 3 下列四组函数中,表示同一函数的是(
A.
y?x?1与y?(x?1)
2
B.
y?x?1与y?
2
x?1
x?1

C.
y?4lgx与y?2lgx
D.
y?lgx?2与?lg
4 已知函数y=
x

100
x
2
?2
定义域为
?
?1,0.1,2
?
,则其值 域为
题型三 *** 分段函数的考察
1、已知函数
f(x)?
?
A.4 B.
?
log
3
x,x?0
x
?
2,x?0
,则
f(f())?

1
9
1

4
1
C.-4 D-
1
4

?
1-
2
x,x≥0,
2、已 知函数f(x)=
?
1
?
x
,x<0,

若f(a)=a,则实数a=________.


1
?
x
2
?4x?6,x?0
3、设函数
f(x)?
?
则不等 式
f(x)?f(1)
的解集是( )
?
x?6,x?0
A.
(?3,1)?(3,??)
B.
(?3,1)?(2,??)
C.
(?1,1)?(3,??)
D.
(??,?3)?(1,3)

?
x
2
?4x,
4、已知函数
f(x)?
?
2
?
4x?x,
x?0
x?0
2

f(2?a)?f(a),
则实数
a
的取值范 围是( )A
(??,?1)?(2,??)
B
(?1,2)
C
(?2,1)
D
(??,?2)?(1,??)

题型四 *** 函数图像的考察

1、设
abc?0
,二次函数
f(x)?ax?bx?c
的图像可能是
2

2、函数y=2-
x
的图像大致是
x
2

e< br>x
?e
?x
3、函数
y?
x
的图像大致为
?x
e?e







A
B
y
1
O
1

x
1
O
1
y

y
( )
y
1
O
1
x

1
x
O
1
x

D
C
4、已知 甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为
v< br>甲
和v

(如图2所示).那么对于图中给定的
t
0
和t
1
,下列判断中一定正确的是 ( )
A. 在
t
1
时刻,甲车在乙车前面 B.
t
1
时刻后,甲车在乙车后面
C. 在
t
0
时刻,两车的位置相同 D.
t
0
时刻后,乙车在甲车前面


1

题型五 *** 求函数的解析式
1、求下列函数的解析式
① 已知
f
?
x?
?
?
1
?
?
?
x
?
x
3
?
1
x
3
,求f(x).


已知f
?



?
2
?
?1
?
?lgx,求f(x).

?
x
?
③ 已知f(x)是二次函数,若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x).



④ 已知f(x)满足
2f
?
x
?
?f
?


2
2、已知f(x)为奇函数,x>0, f(x)=x+x,求f(x)解析式


3、设
f(x)
是奇函数,
g(x)
是偶函数,并且f(x)?g(x)?x?x
,求
f(x)



题型六 ** 函数的值域与最值
1、函数
y?x?2x?3

x?
?
?1,4
?
的值域为 .
2
?
1
?
?
?3x.
求f(x).
x
??
2
2、求函数
f(x)?


x?1

x?
?
1,4
?
的最大值和最小值。
x?5
xx?1
3、求函数
f(x)?4?2


?3

x?
?
?2,4
?
的最大值和最小值。
题型七 *** 函数性质的考察
1、写出函数
f(x)?log
1
(?x?4x?3)
的单调递减区间
2
2
2、设二次函数f(x)=x-(2a+1)x+3
(1)若函数f( x)的单调增区间为
?
2,??
?
,则实数a的值__________;
(2)若函数f(x)在区间
?
2,??
?
内是增函数,则实数a的 范围__________。
2


1
3、定义在
(?1,1 )
上的奇函数
f(x)?
x?m
,则常数
m?
____,< br>n?
_____
2
x?nx?1
4、已知函数
f(x)
(??,??)
上的偶函数,若对于
x?0
,都有
f(x?2 )?f(x)
,且当
x?[0,2)
时,
f(x)?log
2
(x?)1
,则
f(?2008)?f(2009)
的值为( )
A.
?2
B.
?1
C.
1
D.
2

2?x
的图像 ( )
2?x
A.关于原点对称 B.关于主线
y??x
对称 C .关于
y
轴对称 D.关于直线
y?x
对称
5、函数
y?log
2
4
x
?1
6、函数
f
?
x
?
?
的图象( )
2
x
A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x对称 C. 关于x轴对称 D. 关于y轴对称
7、定义在R上的奇函数
f(x)
,满足
f(x?4)??f(x)
,且在区间[0,2]上是增函数 ,则 ()
A.
f(?25)?f(11)?f(80)
B.
f(80)?f(11)?f(?25)

C.
f(11)?f(80)?f(?25)
D.
f(?25)?f(80)?f(11)

8、已知偶函数
f(x)
在区间
?
0,??)
单调增加,则满足
f(2x?1)

f ()
的x 取值范围( )
(A)(
1
3
1
2
1
21212
,) B.[,) C.(,) D.[,)
3
3
3
32323f(x
2
)?f(x
1
)
?0
.则 ( ) x
2
?x
1
9、定义在R上的偶函数
f(x)
满足:对 任意的
x
1
,x
2
?[0,??)(x
1
?x2
)
,有
(A)
f(3)?f(?2)?f(1)
B.
f(1)?f(?2)?f(3)

C.
f(?2)?f(1)?f(3)
D.
f(3)?f(1)?f(?2)

10、已知函数
f(x)
是定义在实数集
R
上的不恒为零的偶函数,且对任意实数
x
都有
xf (x?1)?(1?x)f(x)


f(f())
的值是 ( )
A.0 B.
5
2
15
C.1 D.
22
11、已知定义在R上的奇函数< br>f(x)
,满足
f(x?4)??f(x)
,且在区间[0,2]上是增函数, 若方程f(x)=m(m>0)
在区间
?
?8,8
?
上有四个不同的 根
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,则
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
?__ _______.

1+ax
2
12、已知函数f(x)=的图象经过点 (1,3),并且g(x)=xf(x)是偶函数.
x+b
(1)求函数中a、b的值;
(2)判断函数g(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并用单调性定义证明.


1








基本初等函数、方程的根与函数的零点

知识点一 指数函数
(1)根式的概念:
如果
x?a,a?R ,x?R,n?1
,且
n?N
?
,那么
x
叫做
a< br>的
n
次方根.
(2)分数指数幂的概念:
①正数的正分数指数幂的 意义是:
a
②正数的负分数指数幂的意义是:
a
意义.
(3)运算性质:

a?a?a
r
rsr?s
n
m
n
?
n
a
m
(a?0,m,n?N
?
,

n?1)
.0的正分数指数幂等于0.
m
n
?
1
m
1
?()
n
?
n
()
m
( a?0,m,n?N
?
,

n?1)
.0的负分数指数幂没有
aa
(a?0,r,s?R)

(a
r
)
s
?a
rs
(a?0,r,s?R)


(ab)?ab(a?0,b?0,r?R)

(4)指数函数
rr
函数名称
定义
x
指数函数
函数
y?a(a?0

a?1)
叫做指数函数
y
y
y
0?
a?1


a

?

1




y

y

y?a
x
图象




(0,1)
y?1
11
1
1




x
O
1
x
O
O
1
1
x
O
1
x
































D


O


定义域
x
R

A

B

C


1
知识点二
对数函数
(1)对数的
定义:
①若
值域
过定点
奇偶性

R
上是增函数
(0,??)

图象过定点
(0,1)
,即当
x?0
时,
y?1

非奇非偶

R
上是减函数
a
x
?N(a?0,且a
单调性
?1)

,则x
叫做

a
为底
N
的对数,
记作
函数 值的
变化情况
a
x
?1(x?0)
a
x
?1(x?0)

a
x
?1(x?0)
a
x
?1(x?0)
a
x< br>?1(x?0)

a
x
?1(x?0)
x?log
a
N
a
变化对图象
的影响
在第一象限内,
a
越大图象越高;在第二象限内,
a
越大图象越低.
,其中
a

做底数,
N
叫做真数.
②负数和零没有对数.
③对数式与指数式的互化:
x?log
a
N?a
x
?N(a?0,a?1,N?0)

(2)几个重要的对数恒等式:
log
a
1?0

log< br>a
a?1

log
a
a
b
?b

(3)常用对数与自然对数
常用对数:
lgN
,即
log
10
N
;自然对数:
lnN
,即
log
e
N
(其中
e?2.71828
…).
(4)对数的运算性质 如果
a?0,a?1,M?0,N?0
,那么
①加法:
log
a< br>M?log
a
N?log
a
(MN)
②减法:
log
a
M?log
a
N?log
a
n
③ 数乘:
nlog
a
M?log
a
M(n?R)

a
M

N
log
a
N
?N


log
a
b
M
n
?
(5)对数函数
函数
名称
定义
log
b
N
n
(b?0,且b?1)

log
a
M(b?0,n?R)
⑥换底公式:
log
a
N?
log
b
a
b
对数函数
函数
y?l og
a
x(a?0

a?1)
叫做对数函数
a?1

0?a?1

y?log
a
x
y
图象
x?

1
y

1x?
O
(1,0)
x
O

y?log
a
x



(1,0)

x



1
定义域
值域
过定点
奇偶性
单调性

(0,??)
上是增函数
(0,??)

R

图象过定点
(1,0)
,即当
x?1
时,
y?0

非奇非偶

(0,??)
上是减函数
log
a
x?0(x?1)
函数值的
变化情况
log
a
x?0(x?1)

log
a
x?0(x ?1)
log
a
x?0(0?x?1)
log
a
x?0(x ?1)
log
a
x?0(0?x?1)

a
变化对 图象的影响
知识点三 幂函数
(1)幂函数的定义
在第一象限内,
a< br>越大图象越靠低;在第四象限内,
a
越大图象越靠高.
一般地,函数< br>y?x
叫做幂函数,其中
x
为自变量,
?
是常数.
(2)幂函数的图象





过定点:所有的 幂函数在
(0,??)
都有定义,并且图象都通过点
(1,1)

知识点四 函数与方程
1、函数零点的定义
(1)对于函数
y?f(x )
,我们把方程
f(x)?0
的实数根叫做函数
y?f(x)
的零点 。
(2)方程
f(x)?0
有实根
?
函数
y?f(x)< br>的图像与x轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点。因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程
f(x)?0
是否有实数根,有几个实数根。函 数零点的求法:解方

f(x)?0
,所得实数根就是
f(x)
的零 点
(3)变号零点与不变号零点
①若函数
f(x)
在零点
x0
左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数
f(x)
的变号零点。
② 若函数
f(x)
在零点
x
0
左右两侧的函数值同号,则称该零点为函 数
f(x)
的不变号零点。
③若函数
f(x)
在区间
?< br>a,b
?
上的图像是一条连续的曲线,则
f(a)f(b)?0
f(x)
在区间
?
a,b
?
内有零点的充分不
必要条件 。
2、函数零点的判定
(1)零点存在性定理:如果函数
y?f(x)
在 区间
[a,b]
上的图象是连续不断的曲线,并且有
f(a)?f(b)?0
,那
么,函数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
内有 零点,即存在
x
0
?(a,b)
,使得
f(x
0
) ?0
,这个
x
0
也就是方程
f(x)?0
的根。
?


1
(2)函数
y?f(x)
零点个数(或方程< br>f(x)?0
实数根的个数)确定方法
① 代数法:函数
y?f(x)
的零点
?
f(x)?0
的根;
②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数
y?f(x)
的图象联系起来,并利 用函数的性质找
出零点。
(3)零点个数确定
??0?
y?f(x)有2个零点
?
f(x)?0
有两个不等实根;
??0?
y ?f(x)
有1个零点
?
f(x)?0
有两个相等实根;
??0?
y?f(x)
无零点
?
f(x)?0
无实根;对于二次函数在区间< br>?
a,b
?
上的零点个数,要结合图像进行确
定.
1、 二分法
(1)二分法的定义:对于在区间
[a,b]
上连续不断且
f(a) ?f(b)?0
的函数
y?f(x)
,通过不断地把函数
y?f(x)
的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;
(2)用二分法求方程的近似解的步骤:
① 确定区间
[a,b]
,验证< br>f(a)?f(b)?0
,给定精确度
?
;
②求区间
(a,b)
的中点
c
;
③计算
f(c)
;
(ⅰ)若
f(c)?0
,则
c
就是函数的零点;
(ⅱ) 若
f(a)?f(c)?0
,则令
b?c
(此时零点
x
0< br>?(a,c)
);
(ⅲ) 若
f(c)?f(b)?0
,则令
a?c
(此时零点
x
0
?(c,b)
);
④判断是否达 到精确度
?
,即
a?b?
?
,则得到零点近似值为
a
(或
b
);否则重复②至④步.
典例精讲
题型一 ** 有关幂函数定义及性质
1、函数
y?(m?1)x
m

3 2 -1
2、在函数①y=x②y=x③y=x④y=
x
中,定义域和值域相同的是 .
2
?2
是一个反比例函数,则m= .

3、将
a?1.2

b?0.9

c?1.1< br>按从小到大进行排列为________
1
2
?
1
2
1
2

题型二 *** 指数函数及其性质
1、函数
y?a
x?2
?1.(a?0

a?1)
的图像必经过点
2、 比较下列各组数值的大小:
(1)
1.7
3.3

0.8
2.1
; (2)
3.3
0.7

3.4
0.8


1
3、函数
y?
?
?
1
?
?
?
2
?
x
2
?2x
的递减区间为 ;值域是
x?
1
2
4、设
0?x ?2
,求函数
y?4?3?2
x
?5
的最大值和最小值。
xxxx
5、设
a,b,c,d
都是不等于
1
的正数,
y? a,y?b,y?c,y?d

在同一坐标系中的图像如图所示,则
a,b,c,d
的大小顺序是
A
.a?b?c?d
B
.a?b?d?c

C
.b?a?d?c
D
.b?a?c?d

题型三 ** 指数函数的运算
1、计算
?
?
(?2)
?
?
的结果是()
A、
2
B、C、—
2
D、—
1
2
1
2
?2
1
2

?
3
6
a
9
??
6
3
a
9
?????
????
等于() 2、
16842
aaaa
A、 B、C、 D、
a
?2b
3
44
3、若
3?8,3? 5
,则
3

题型四 ** 对数运算
1、求值
(log
2
3?2log
2
a
ab
=



3)(3log
3
4?log
3
2)?

2、已知
3?2
,那么
log
3
8?2log< br>3
6

a
表示是()
2
A、
a?2
B、
5a?2
C、
3a?(1?a)
D、
3a?a

2
3、 已知
log
7
[log
3
(log
2
x)]?0< br>,那么
x
A、
?
1
2
等于()
1
11
1
B、C、D、
3
23
2233

题型五 *** 对数函数及其性质
1、指数函数
y?a

(a?0

a?1)
的反函数为 ;它的值域是
2、已知
log
1
m?log
1
n?0
,则 ( )
22
x
A.

n?m?1

B.

m?n?1

C.

1?m?n

D.

1?n?m

3、
a?(?1.2)

b?1.1

c?0.9

d ?log
3
0.34
的大小关系是
4、已知
log
a
2
3
2
3
1
3
1
<0 ,(
a
>0,
a
≠1),则
a
的取值范围是 .
2


1
5、函数
f(x)?log
a
(2x?1)

a
>0,且
a
≠1)的图像必经过点
6、已 知y=log
a
(2-ax)在[0,1]上是关于x的减函数,则a的取值范围是 ( )
A.(0,1) B.(1,2) C.(0,2) D.
[2,??)


题型六 *** 零点区间的判断
x
1、函数
f
(
x
)=2+3
x
的零点所在的一个区间是( )
A、(-2,-1) B、(-1,0) C、(0,1) D、(1,2)
2、函数f(x)=log
2
x+2x-1的零点必落在区间 ( )
?
A、
?
?
,
?

x2
11
?
84
?

?
B、
?
?
,
?

11
?
42
?

?
C、
?

?
,1
?

1
?
2
?
D、(1,2)
3、设
f(x)?3? x
,则在下列区间中,使函数
f(x)
有零点的区间是( )
A、[0,1] B、[1,2]
4、在下列区间中,函数
f(x)?e
x
?4x?3
的零点所在的区间为 ( )
111113
A、
(?,0)
B、
(0,)
C、
(,)
D、
(,)

444224
5、若
x
0
是方程lgx?x?2
的解,则
x
0
属于区间 ( )
A、
(0,1)
B、
(1,1.25)
C、
(1.25,1.75)
D、
(1.75,2)


题型七 *** 零点个数的判断
1、方程
2
?x
?x
2
?3
的实数解的个数为 .
2、函数
f(x)?lnx?x?2
的零点个数为 .
3、函数
f(x)?xcosx
在区间[0,4]上的零点个数为 ( )
A、4 B、5
4、函数
f(x)?
C、6 D、7
2
x?cosx

[0,??)
内 ( )
A、没有零点 B、有且仅有一个零点
C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点
?x
2
?2x?3,x?0
5、函数
f(x)?
?
, 零点个数为 ( )
?
?2?lnx,x?0
A、3 B、2 C、1 D、0
6、若函数
f(x)?
a
x
?x?a
(
a?0

a?1
)有两个零点,则实数
a
的取值范围是 .
7、若函数
f(x)?x?3x?a
有3个不同的零点,则实数
a
的取值范围是( )
A、
?
?2,2
?
B、
?
?2,2
?
C、
?
??,?1
?
D、
?
1,??
?

3

题型八 ** 二分法求函数零点
1、下列函数中能用二分法求零点的是 ( )


1

2、下列函数图象与
x
轴均有交点,但不宜用二分法求交点横坐标的是 ( )

3、设
f
?
x
?
?3?3x?8
,用二 分法求方程
3?3x?8?0在x?
?
1,2
?
内近似解的过程中得
xx
f
?
1
?
?0,f
?
1.5
?
?0,f
?
1.25
?
?0,
则方程的根落在区( )
A、
(1,1.25)
B、
(1.25,1.5)
C、
(1.5,2)
D、不能确定
4、用二分法研究函数
f (x)?x?3x?1
的零点时,第一次经计算
f(0)?0,f(0.5)?0
,可 得其中一个零点
3
x
0
?
,第二次应计算 . 以上横线上应填的内容为 ( )
A、(0,0.5),
f(0.25)

B、(0,1),
f(0.25)

C、(0.5,1),
f(0.7
(0,0.5),
f(0.15)
D、
25)

5、若函数
f(x)?x
3
?x
2< br>?2x?2
的一个正数零点附近的函数值用二分法计算,其参考数据如下:

f
(1) = -2
f
(1.375) = -0.260
f
(1.5) = 0.625
f
(1.4375) = 0.162
f
(1.25) = -0.984

f
(1.40625) = -0.054

那么方程
x
3
?x
2
?2x? 2?0
的一个近似根(精确到0.1)为 ( )
A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5


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