高中数学最新-高考数学圆与圆的位置关系讲义 精品

高三第一轮复习数学---点与圆、直线与圆、
圆与圆的位置关系
一、教学目标：
通过练习掌握基本知识,并能综合运用所学知识正确解题

二、教学重点：
综合运用所学知识正确解题

三、教学过程：
（一）主要知识：
1、 若圆(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
，那么点(x
0
,y
0
)在
?
圆上?
?
x
0
?a
?
2
?
?y
0
?b
?
2
?r
2
?
22
2
?
圆内?
?
x
0
?a
?
?
?< br>y
0
?b
?
?r

?
圆外?
?x?a
?
2
?
?
y?b
?
2
?r2
00
?
2、直线与圆的位置关系
直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交。有两种判断方法：
?
??0?相交
?
（1） 代数法（判别式法）
?
??0?相切

?
??0?相离
?
?
d?r?相交
?
（2） 几何法，圆心到直线的距离
?
d?r?相切

?
d?r?相离
?
一般宜用几何法。
3、弦长与切线方程，切线长的求法
?
l
?
（1）弦长求法一般采 用几何法：弦心距d，圆半径r，弦长l，则
d
2
?
??
?r
2

?
2
?
（2）改写圆方程写出圆的切线方程：(x
0
,y
0
)为切点的圆的切线方程，分别以x
0
x,
y0
y,
2
x
0
?xy
0
?y
,
改写圆方程中的x
2
，y
2
,x,y
22
22
x
0
?y
0
?Dx
0
?Ey
0
?F?（3） 切线长
d?
?
x
0
?a
?
2
?
?
y
0
?b
?
2
?r
2

4、圆与圆的位置关系
O
1
O
2
?r
1
?r
2
?相离

O
1
O
2
?r
1
?r
2
?外切

r
1
?r
2
?O
1
O
2
?r
1
?r
2
?相交
< br>O
1
O
2
?r
1
?r
2
?内切
O
1
O
2
?r
1
?r
2
? 内含

5、圆系方程
2
（1）以 (a,b)为圆心的圆系方程：
?
x?a
?
?
?
y?b?
?r
?
r?0
?
。
22
（2）过两圆< br>C
1
:x?y?D
1
x?E
1
y?F
1?0
和
C
2
:x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
的交
点的圆系方程：
x?y?D
1
x ?E
1
y?F
1
?
?
x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
但不含C
2
22
222 2
?
22
?
?
??1
时，
l:
?
D
1
?D
2
?
x?
?
E
1
?E< br>2
?
y?
?
F
1
?F
2
?
?0
为两圆公共弦所在直线方程
其中当两圆相切时，L为过两圆公共切点所在直线的方程。

（二）例题分析：
例1、已知圆x
2
+y
2
+ x-6y+m=0与直线x+2y-3=0相交于P,Q两点，O为原点，且OP?OQ，
求实数m的值 。
y
1
y
2
解法一设P(x
1
,y
1< br>), Q(x
2
,y
2
)，由OP?OQ, 得: k
OP
k
OQ
= -1即 = -1即x
1
x
2
+y
1
y
2
=0 ①
x
1
x
2
?
x+2y-3=0
另一方面(x1
,y
1
),(x
2
,y
2
)是方程组
?
22
的实数解，
?
x+y+x-6y+m=0
4m-27
即x
1
,x
2
是5x
2
+10x+4m-27=0 ② 的两个实数根，∴x
1
+x
2
=-2,x
1
x
2
= ③
5
11
又P,Q在直线x+2y-3=0上，∴y
1
y
2
= (3-x
1
)(3-x
2
)= [9-3(x
1
+x
2
)+x
1
x
2
]
44
将③代入得y
1
y
2
=
m+12
④
5
将③④代入①知：m=3.
代入方程②检验?＞０成立． ∴m=3
1m
解法二将3=x+2y代入圆的方程知：x
2
+y
2
+ (x+2y)(x-6y)+ (x+2y)
2
=0, 整理得：
39
yy
(12+m)x
2
+4(m-3)x y+(4m-27)y
2
=0由于x≠0可得(4m-27)( )
2
+4(m-3) +12+m=0，∴k
OP
,
xx
k
OQ
是上方程的两根, 由k
OP
k
OQ
= -1知:
m+12
=-1, 解得:m=3. 检验知m=3为所求.
4m-27
【思维点拨】这是用韦达定理解题的典型 题，在以后的圆锥曲线中也有同类型题，注意?＞
０的检验
练习（变式1）：若直线ax+b y=1与圆x
2
+y
2
=1相交，则点P(a,b)的位置是（ ）
A、在圆上 B、在圆外 C、在圆内 D、都有可能
变式2、过点（2，1）的直线中，被x
2
+y
2
- 2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程是（ A ）
A、3x-y-5=0 B、 3x+y-7=0 C、 x+3y-5=0 D、x-3y+1=0
22
例2、已知圆C：
(x?1)?(y?2)?25,
直线
l:( 2m?1)x?(m?1)y?7m?4?0(m?R)
.
（1） 证明不论m取什么实数，直线与圆恒交于两点；
（2） 求直线被圆C截得的弦最小时的方程.
解 （1）
l
的方程为（x+y-4）+m(2x+y-7)=0 ∵m?R ∴x+y-4=0,且2x+y-7=0,得x=3, y=1

即
l
恒过定点Ａ（３，1）．∵圆心Ｃ（1，２），｜ＡＣ｜＝５ ＜５ ∴点Ａ在圆Ｃ内，从
而直线
l
恒与圆Ｃ相交于两点．
1
（２）弦长最小值时，
l
?ＡＣ 由k
AC
= - , 所以
l
的方程为2x-y-5=0.
2
【思维点拨】用直线系方程求点
练习（变式3）把直线
x?2y?
?
?0
向左平移1个单位，再向下 平移2个单位后，所得直
线正好与圆x
2
+y
2
-2x+4y=0相 切，则实数
?
的值为（ ）
A、3或13 B、-3或13 C、3或-13 D、-3或-13
解：平移后直线
x?2y?
?
?3?0
，由题意
?1?2?2?
?
?3
5
? 5
，所以
?
?3
或13
例3、过圆x
2
+y2
=r
2
(r>0)外一点P(x
0
,y
0
) 作圆的两条切线，切点分别为M、N，证明直线MN
的方程是x
0
x+y
0< br>y=r
2

证法一 设M、N的坐标分别为(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
). M、N在已知圆x
2+y
2
=r
2
上，过M、N的切
线方程分别是x
1x+y
1
y=r
2
, x
2
x+y
2
y=r
2

又P是两切线公共点, 即有x
1
x
0
+y
1
y
0
=r
2
, x
2
x
0
+y
2
y
0
= r
2

上面两式表明点M(x
1
,y
1
), N( x
2
,y
2
)都在二元一次方程x
0
x+y
0y=r
2
表示的直线上，所以直线MN
的方程是x
0
x+y0
y=r
2
.
111
证法二以OP为直径的圆的方程为(x- x
0
)
2
+(y- y
0
)
2
= ( x
0
2
+y
0
2
)即x
2
+y
2
-x
0
x-y
0
y=0又圆
224
的方程是x< br>2
+y
2
=r
2
两式相减得x
0
x+y0
y=r
2
. 这便是过切点MN直线方程。
【思维点拨】（1）体现了曲线与方程的关系；（2）两圆相减得公共弦直线方程
例4、已知 两个圆C
1
：x
2
+y
2
=4，C
2
：x
2
+y
2
-2x-4y+4=0，直线L:x+2y=0，求经过C
1
和C
2
的交
点且和L相切的圆的方程。
解：设所求圆的方程为x
2
+y
2
-2x-4y+4+
?
( x
2
+y
2
-4)=0
即(1+
?
)x
2
+(1+
?
)y
2
-2x-4y+4-4
?
=0
所以圆心为
?
2
??
1
,
?

?
1?
?
1?
?
?
22
1
?
?2< br>??
?4
??
1?
?
?
半径为
??
?
??
?16
??

2
?
1?
?
??
1?
?
?
1?
?
??
14
?
1?
?
1?
?
?
依题意有
5
4?16?16
?
1?
?
?
2
?
1?
?
?
2< br>2

解之得
?
??1
，舍去
?
??1
，故所求圆的方程为x
2
+y
2
-x-2y=0。
222222
例5 已知C
1
：x+y-2mx+4y+(m-5)=0 与C
2
：x+y-2x-2my+(m-3)=0,当m为何值时：
（1）两圆外离（2）两圆外切（3）两圆相交（4）两圆内切（5）两圆内含
例6 已知与曲线C：x
2
+y
2
-2x-2y+1=0相切的直线L交x轴、 y轴于A、B两点, O为原点, 且
|OA|=a, |OB|=b (a>2,b>2)
（1）求证曲线C与直线L相切的条件是(a-2)(b-2)=2
(2) 求线段AB中点的轨迹方程

(3)求ΔAOB面积的最小值.
xy
解 依题意得，直线L的方程为 + =1即bx+ay- ab=0，圆C的方程为(x-1)
2
+(y-1)
2
=1
ab
（1） ∵直线与圆相切, ∴
|a+b-ab|
=1,化简: (a-2)(b-2)=2 ①
22
a+b
1
（2） 设AB的中点坐标为(x,y), 则a=2x,b=2y, 代入①得(2x-2)(2y-2)=2, 即(x-1)(y-1)=
2
(x>1,y>1)
（3） 由(a-2)(b-2)=2, 得

（三）巩固练习：
1.x轴与圆
x?y?2x?4y?1?0
的位置关系是（ ）
A 相切 B 相离 C 相交且不过圆心 D 通过圆心
答案: A
2.圆
x?y?2x?0
与圆
x?y?4y?0
的位置关系是（ ）
A 相离 B 外切 C 相交 D 内切
答案:C
3.由点M(5,3)向圆
x?y?2x?6y?9?0
所引切线长是（ ）
A
22
2222
22
ab=2a+2b-2 ∴S
Δ
AOB
=
1
|ab|=a+b-1=(a-2)+(b-2)+3≥
2
2(a-2)(b-2) +3=22 +3, 当且仅当a=b=2+2 时，面积有最小值：22 +3.
51
B
3
C 51 D 1
答案: A
4.（ 2003年上海春季高考题）若过两点A(-1,0),B(0,2)的直线l与圆
(x?1)?(y? a)?1
相
切,则a=_________________.
答案:
4?5

5.如果直线l将圆
x?y?2x?4y?0
平分,且不通 过第四象限,那么l的斜率取值范围是
____________.
答案:
?
0,2
?

6.方程
(x?y?1)x?y?4?0的曲线形状是_________________.
答案:圆或二射线
22
22
22
四、小结：
1.有关直线与圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定。
2.弦长计算问题要用直角三角形。
3．直线系，圆系的应用
五、作业：

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