高中数学圆强化练习题附答案详解

高中数学圆练习题

评卷人

得 分
一．选择题（共15小题）
1．在平面直角坐标系xOy中，两动圆O
1，O
2
均过定点（1，0），它们的圆心分别为（a
1
，
0）（ a
2
，0）（a
1
≠0，a
2
≠0），且与y轴正半轴分别 交于点（0，y
1
），（0．y
2
）．若y
1
＝，
则
A．
＝（ ）
B．﹣ C．2 D．﹣2
2．过点P（3，﹣4） 作圆（x﹣1）
2
+y
2
＝2的切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程 为
（ ）
A．x+2y﹣2＝0 B．x﹣2y﹣1＝0 C．x﹣2y﹣2＝0 D．x+2y+2＝0
3．已知直线l：xcosα+ysinα＝1（α∈R）与圆C：x
2
+y
2
＝r
2
（r＞0）相交，则r的取值范围
是（ ）
A．0＜r≤1
4．已知直线y＝
值为（ ）
A．5 B．﹣3 C．5或﹣3 D．﹣5或3
B．0＜r＜1 C．r≥1 D．r＞1
x+m与圆x2
+y
2
﹣2y﹣7＝0相交于A，B两点，若|AB|＝4，则实数m的
5．已知圆O：x
2
+y
2
＝4，直线2x﹣y+b＝0与圆O相切，则b 的值为（ ）
A．±2 B． C． D．
6．已知两圆x
2
+y2
+4ax+4a
2
﹣4＝0和x
2
+y
2
﹣ 2by+b
2
﹣1＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，
且ab≠0，则
A．3
的最小值为（ ）
B．1 C． D．
7．经过点M（3，0）作圆x
2
+y
2
﹣2x﹣4y﹣3＝0的切线l，则l的方程为（ ）
A．x+y﹣3＝0
C．x﹣y﹣3＝0
8．过坐标轴上一点M（x
0
，0）作圆
第1页（共14页）

B．x+y﹣3＝0或x＝3
D．x﹣y﹣3＝0或x＝3

的两条切线，切点分别为A、B．若

，则x
0
的取值范围是（ ）
A．
C．


B．
D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）

9．圆心在直线x﹣y﹣4＝ 0上，且经过两圆x
2
+y
2
+6x﹣4＝0和x
2
+y< br>2
+6y﹣28＝0的交点的圆
的方程为（ ）
A．x
2
+y
2
﹣x+7y﹣32＝0
C．x
2
+y
2
﹣4x+4y+9＝0
B．x
2
+y
2
﹣x+7y﹣16＝0
D．x
2
+y
2
﹣4x+4y﹣8＝0
10．经过两圆x
2
+y
2
＝9和（x+4）
2
+（y+3）
2＝8的交点的直线方程为（ ）
A．8x+6y+13＝0 B．6x﹣8y+13＝0 C．4x+3y+13＝0 D．3x+4y+26＝0
11．由直线x＝0上的一点向圆（x﹣3）
2
+y
2
＝1引切线，则切线长的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．3
12．由方程x
2
+y
2
﹣4tx﹣2ty+5t< br>2
﹣4＝0（t为参数）所表示的一组圆的圆心轨迹是（ ）
A．一个定点 B．一个椭圆 C．一条抛物线 D．一条直线
13．点M，N是圆x
2
+y
2
+kx+2y﹣4＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x﹣y+1＝0对称，
则该圆的 半径等于（ ）
A．2 B． C．3 D．1
14．如果圆（x﹣a）
2+（y﹣a）
2
＝1（a＞0）上总存在点到原点的距离为3，则实数a的取
值范 围为（ ）
A． B． C． D．
15．圆x
2
+y
2﹣2x＝0和圆x
2
+y
2
+4y＝0的公切线个条数为（ ）
A．1
评卷人

得 分
B．2 C．3 D．4
二．解答题（共3小题）
16．已知圆C
1
：x
2
+y
2
﹣4x﹣3＝0和C
2
：x
2
+y
2﹣4y﹣3＝0．
（1）求两圆C
1
和C
2
的公共弦方程；
（2）若圆C的圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，并且通过圆C
1
和C
2
的交点，求圆C的方程．


第2页（共14页）

17．已知圆x
2
+y
2
﹣2x﹣4y＝0．
（1）求该圆的圆心坐标；
（2）过点A（3，1）做该圆的切线，求切线的方程．














第3页（共14页）

18．已知平面上有两点A（﹣1，0），B（1，0）．
（Ⅰ）求过点B（1，0）的圆（ x﹣3）
2
+（y﹣4）
2
＝4的切线方程；
（Ⅱ）若P在圆（x ﹣3）
2
+（y﹣4）
2
＝4上，求AP
2
+BP
2
的最小值，及此时点P的坐标．
第4页（共14页）

高中数学圆练习题

参考答案与试题解析

一．选择题（共15小题）
1．在平面直角坐标系xOy中，两动圆O
1
， O
2
均过定点（1，0），它们的圆心分别为（a
1
，
0）（a2
，0）（a
1
≠0，a
2
≠0），且与y轴正半轴分别交于点 （0，y
1
），（0．y
2
）．若y
1
＝，
则A．
＝（ ）
B．﹣ C．2 D．﹣2
【分析】根据点点的距离公式可 得y
1
2
＝1﹣2a
1
，y
2
2
＝1﹣2 a
2
，根据对数的运算性质即可
得到y
1
y
2
＝1 ，可得＝2，
，则y
1
2
＝1﹣2a
1
， 【解答】解： 因为r
1
＝|1﹣a
1
|＝
同理可得y
2
2
＝1﹣2a
2
，
又因为y
1
y
2
＝1，
则（1﹣2a
1
）（1﹣2a
2
）＝1，
即2a
1
a
2
＝a
1
+a
2
，
则＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了点的轨迹方程，考查了点和圆的位置关系，属于中档题．
2．过点P（3 ，﹣4）作圆（x﹣1）
2
+y
2
＝2的切线，切点分别为A、B，则直线A B的方程为
（ ）
A．x+2y﹣2＝0 B．x﹣2y﹣1＝0 C．x﹣2y﹣2＝0 D．x+2y+2＝0
【分析】求出已知圆的圆心坐标，得到以点（3，﹣4）、（1，0）为直径两 端点的圆的方
程，与已知圆的方程联立求解．
【解答】解：圆（x﹣1）
2
+y
2
＝2的圆心坐标为（1，0），
则以点（3，﹣4）、（1，0）为直径两端点的圆的方程为（x﹣2）
2
+（y+2 ）
2
＝5．
联立，可得直线AB的方程为x﹣2y﹣2＝0．
第5页（共14页）

故选：C．
【点评】本题考查圆的切线方程，考查数学转化思想方法，是中档题．
3．已知直线l：xc osα+ysinα＝1（α∈R）与圆C：x
2
+y
2
＝r
2（r＞0）相交，则r的取值范围
是（ ）
A．0＜r≤1 B．0＜r＜1 C．r≥1 D．r＞1
【分析】根据点到直线的距离小于半径列式解得．
【解答】解：圆心到直线的距离为，故r＞1，
故选：D．
【点评】本题考查了直线与圆相交的性质，属中档题．
4．已知直线y＝
值为（ ）
A．5 B．﹣3 C．5或﹣3 D．﹣5或3
x+m与圆x
2
+y
2
﹣2y﹣7＝0相交于A，B两点，若|AB|＝4，则实数m的
【分析】根据题意 ，求出圆的圆心与半径，由直线与圆的位置关系分析可得圆心到直线l
即AB的距离d，结合点到直线的 距离公式可得＝2，解可得m的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，圆x
2
+ y
2
﹣2y﹣7＝0，即x
2
+（y﹣1）
2
＝8，其圆心 为（0，1），
半径r＝2，
＝
＝
＝2，
，则有＝
若| AB|＝4，则圆心到直线l即AB的距离d＝
又由圆心到直线y＝
2，
解可得：m＝5或﹣3；
故选：C．
x+m即x﹣y+m＝0的距离d＝
【点评】本题考查直线与圆的的位置关系，涉及直线与圆相交的性质，属于基础题．
5．已知圆O：x
2
+y
2
＝4，直线2x﹣y+b＝0与圆O相切，则b的值为（ ）
A．±2 B． C． D．
【分析】利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线l的距离d ，由d等于圆的半径列出
关于b的方程，求出b的值；
【解答】解：（1）直线l与圆O相切 ，则圆心O（0，0）到直线：2x﹣y+b＝0的距离等
于半径2，
第6页（共14页）

?b＝±2
故选：C．
．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
6．已知两圆x
2
+ y
2
+4ax+4a
2
﹣4＝0和x
2
+y
2﹣2by+b
2
﹣1＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R，
且ab≠0，则< br>A．3
的最小值为（ ）
B．1 C． D．
【分析】求出两圆的标准 方程，结合两圆有三条公切线，得到两圆相外切，结合圆外切
的等价条件，求出a，b的关系，结合基本 不等式的性质进行求解即可．
【解答】解：两圆的标准方程为（x+2a）
2
+y< br>2
＝4和x
2
+（y﹣b）
2
＝1，
圆心为（﹣2a，0），和（0，b），半径分别为2，1，
若两圆恰有三条公切线，
则等价为两圆外切，
则满足圆心距
即4a
2
+b
2
＝9，
则a
2
+b
2
＝1，
）（a
2
+b
2
）＝++
＝2+1＝3，
则
＝1，
＝（+≥+2＝+
故选：B．
【点评】本题主要考查两 圆位置关系的应用，结合公切线条数，得到两圆外切，求出a，
b的关系，结合基本不等式的性质进行求 解是解决本题的关键．
7．经过点M（3，0）作圆x
2
+y
2
﹣ 2x﹣4y﹣3＝0的切线l，则l的方程为（ ）
A．x+y﹣3＝0
C．x﹣y﹣3＝0
B．x+y﹣3＝0或x＝3
D．x﹣y﹣3＝0或x＝3

【分析】当直线斜率存在时，设直线l存在斜率k，写出点斜式方程，利用圆心到直线l的距离等于半径求出斜率k，再讨论直线l不存在斜率时，是否能和圆相切，如果能，写
出直线方程 ，综上所述，求出切线方程．
【解答】解：由x
2
+y
2
﹣2x﹣ 4y﹣3＝0，得（x﹣1）
2
+（y﹣2）
2
＝8，
第7页（共14页）

则圆心坐标为（1，2），半径为，
当过点M（3，0）的切线存在斜率k，切线方程为y＝k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k＝0，
∵圆心到它的距离为，∴有；
当过点M（3，0）的切线不存在斜率时，即x＝3，显然圆心 到它的距离为
＝3不是圆的切线．
因此切线方程为x﹣y﹣3＝0，
故选：C．
，∴x
【点评】本题考查圆的切线方程的求法，考查点到直线距离公式的应用，体现了分类讨< br>论的数学思想方法，是基础题．
8．过坐标轴上一点M（x
0
，0）作圆，则x
0
的取值范围是（ ）
A．
C．


B．
D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）

的两条切线，切点分别为A、 B．若
【分析】根据题意，由切线的性质可得MA⊥AC，MC⊥AB，进而可得S
△
MAC
＝×|MA|
×|AC|＝×|MC|×，变形可得|AB|＝2×，即有≥，由切线长 公式
可得≥，解可得x
0
的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，，其圆心为（0，），半径r＝1，
过点M作圆的切线，切点为A、B，则MA⊥AC，MC⊥AB，
则S
△
M AC
＝×|MA|×|AC|＝×|MC|×
又由|AC|＝1，
变形可得：|AB|＝2×，则有≥，
，
又由M（x
0
，0）， C（0，），则|MC|
2
＝x
0
2
+，|MA|
2
＝|MC|
2
﹣1＝x
0
2
﹣，
第8页（共14页）

即可得：≥，
解可得：x
0
≤﹣
即x
0
的取值范围是
故选：C．
或x
0
≥，
；

【点评】此题考查直线与圆的位置关系，注意分析|MC|与|AB|的关系，属于基础题．
9．圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，且经过两圆x
2
+y
2
+6x﹣4＝0和 x
2
+y
2
+6y﹣28＝0的交点的圆
的方程为（ ）
A．x
2
+y
2
﹣x+7y﹣32＝0
C．x
2
+y
2
﹣4x+4y+9＝0
B．x
2
+y
2
﹣x+7y﹣16＝0
D．x
2
+y
2
﹣4x+4y﹣8＝0
【分析】设所求圆 的方程为（x
2
+y
2
+6x﹣4）+λ（x
2
+y
2
+6y﹣28＝0）＝0，用λ表示出圆
心，代入直线x﹣y﹣4＝0，求出λ，从而求出 所求．
【解答】解：根据题意，要求圆经过两圆x
2
+y
2
+6x ﹣4＝0和x
2
+y
2
+6y﹣28＝0的交点，
设其方程为（x
2
+y
2
+6x﹣4）+λ（x
2
+y
2
+6y﹣28）＝0，
变形可得（1+λ）x
2
+（1+λ）y
2
+6x+6λy﹣4﹣28λ＝0，
其圆心为（﹣，），
又由圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，
则有（﹣）﹣（）﹣4＝0，
解可得λ＝﹣7；
则圆的方程为：（﹣6）x
2
+（﹣6）y
2< br>+6x﹣42y+192＝0，
第9页（共14页）

即x
2
+y
2
﹣x+7y﹣32＝0，
故选：A．
【点评】本题考查圆的标准方程以及圆系方程的应用，关键是设出过两圆交点的圆系方
程． < br>10．经过两圆x
2
+y
2
＝9和（x+4）
2
+（ y+3）
2
＝8的交点的直线方程为（ ）
A．8x+6y+13＝0 B．6x﹣8y+13＝0 C．4x+3y+13＝0 D．3x+4y+26＝0
【分析】利用圆系方程，求解即可．
22
【解答】解：联立x
2
+ y
2
＝9和（x+4）+（y+3）＝8，作差可得：8x+6y+26＝0，即4x+3y+ 13
＝0．
故选：C．
【点评】本题考查圆系方程的应用，考查计算能力． 11．由直线x＝0上的一点向圆（x﹣3）
2
+y
2
＝1引切线，则切 线长的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．3
【分析】根据题意，设直线x＝0上 的一点到圆（x﹣3）
2
+y
2
＝1的圆心的距离为d，由切
线长公 式可得过该点引圆（x﹣3）
2
+y
2
＝1的切线的长度为l＝
可得 当d最小时，切线长的最小，求出d的最小值，分析可得答案．
【解答】解：根据题意，圆（x﹣3）
2
+y
2
＝1的圆心为（3，0），半径r＝1，设直线x＝0
上的 一点到圆（x﹣3）
2
+y
2
＝1的圆心的距离为d，
则过该点引 圆（x﹣3）
2
+y
2
＝1的切线的长度为l＝
分析可得：当d最小 时，切线长的最小，
又由d的最小值为圆心（3，0）到直线x＝0的距离，则d
min
＝3，
则切线长的最小值为
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及圆的切线方程，属于基础题．
12．由方程x
2
+y
2
﹣4tx﹣2ty+5t
2
﹣4＝0（t为参数） 所表示的一组圆的圆心轨迹是（ ）
A．一个定点 B．一个椭圆 C．一条抛物线 D．一条直线
＝2；
＝，
＝，分析
【分析】圆的方程化为标准方程，消参可得结论．
【解答】解：动圆x
2
+y
2
﹣4tx﹣2ty+5t
2< br>﹣4＝0可化为（x﹣2t）
2
+（y﹣t）
2
＝4，
∴圆心的坐标为（2t，t），半径r＝2．
第10页（共14页）

设圆心的坐标为（x，y），则x＝2t，y＝t，
消去参数t得x﹣2y＝0．
则圆心的轨迹为一条直线，
故选：D．
【点评】本题考查圆的方程，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于基础题．
13．点M ，N是圆x
2
+y
2
+kx+2y﹣4＝0上的不同两点，且点M，N关于直 线x﹣y+1＝0对称，
则该圆的半径等于（ ）
A．2 B． C．3 D．1
【分析】圆上的点关于直线对称，则直线经过圆心，求出圆的圆心，代入直线方程，即
可求出k，然后 求出半径．
【解答】解：圆x
2
+y
2
+kx+2y﹣4＝0的圆 心坐标为（），
因为点M，N在圆x
2
+y
2
+kx+2y﹣4＝ 0上，且点M，N关于直线l：x﹣y+1＝0对称，
所以直线l：x﹣y+1＝0经过圆心，
所以，k＝4．
＝3． 所以圆的方程为：x
2
+y
2
+ 3x+2y﹣4＝0，圆的半径为：
故选：C．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的一般方程的应用，考查计算能力．
14．如 果圆（x﹣a）
2
+（y﹣a）
2
＝1（a＞0）上总存在点到原点的距离为 3，则实数a的取
值范围为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意， 分析可得到原点的距离为3的轨迹方程为x
2
+y
2
＝9，进而可得圆（x< br>﹣a）
2
+（y﹣a）
2
＝1与圆x
2
+y
2
＝9有交点，结合圆与圆的位置关系分析可得
，解可得a的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，到原点的距离为3的轨迹方程为x
2
+y
2
＝9，
若圆（x﹣a）
2
+（y﹣a）
2
＝1（a＞0）上总存在点到原点 的距离为3，则圆（x﹣a）
2
+（y
﹣a）
2
＝1与圆x
2
+y
2
＝9有交点，
则有
解可得：

，
，即a的取值范围为[，2]
第11页（共14页）

故选：B．
【点评】本题考查圆与圆的位置关系，注意分析“到原点的距离为3”的点的轨迹 ，属于
基础题．
15．圆x
2
+y
2
﹣2x＝0和圆x< br>2
+y
2
+4y＝0的公切线个条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意，求出两个圆的圆心以及半径，分析两圆的位置关系，据此分析可得
答案．
【解答】解：根据题意，圆x
2
+y
2
﹣2x＝0，即（x﹣1）< br>2
+y
2
＝1，其圆心为（1，0），半径
r
1
＝1 ，
圆x
2
+y
2
+4y＝0，即x
2
+（y+2 ）
2
＝4，其圆心为（0，﹣2），半径r
2
＝2，
两圆的圆心距 d＝＝，有|r
1
﹣r
2
|＜d＜r
1
+r
2，
两圆相交，则有2条公切线；
故选：B．
【点评】本题考查两圆共切线的条数判断，涉及圆与圆的位置关系，属于基础题．
二．解答题（共3小题）
16．已知圆C
1
：x
2
+y< br>2
﹣4x﹣3＝0和C
2
：x
2
+y
2
﹣4 y﹣3＝0．
（1）求两圆C
1
和C
2
的公共弦方程；
（2）若圆C的圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，并且通过圆C
1
和C
2
的交点 ，求圆C的方程．
【分析】（1）将圆C
1
和C
2
的方程相减得公共弦的方程． （2）设此圆的方程为：x
2
+y
2
﹣4x﹣3+λ（x
2+y
2
﹣4y﹣3）＝0，求出圆心坐标（
代入直线x﹣y﹣4＝0上，求解，可 得圆的方程．
，），
【解答】解：（1）将圆C
1
和C
2
的方程相减得：x﹣y＝0，此即为公共弦的方程．
（2）因为所求的圆过两已知圆的交点，故设此圆 的方程为：x
2
+y
2
﹣4x﹣3+λ（x
2
+y
2
﹣4y
﹣3）＝0，即 （1+λ）（x
2
+y
2
）﹣4x﹣4λy﹣3λ﹣3＝0，
即 ＝0，圆心为 （，），
由于圆心在直线x﹣y﹣4＝0上，
∴﹣﹣4＝0，解得
所求圆的方程为：x
2
+y
2
﹣6x+2y﹣3＝0．
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【点评】本题考查圆系方程的应用，两个圆的位置关系以及圆的方程的求法，考查计算
能力．
17．已知圆x
2
+y
2
﹣2x﹣4y＝0．
（1）求该圆的圆心坐标；
（2）过点A（3，1）做该圆的切线，求切线的方程．
【分析】（1）根据题意，将圆的方程变形为标准方程，分析可得圆心坐标，即可得答案；
（ 2）根据题意，由圆的方程分析可得点（3，1）恰好在圆上，求出直线AC的斜率，分
析可得切线的斜 率，据此分析可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，圆x
2
+y
2﹣2x﹣4y＝0，其标准方程为（x﹣1）
2
+（y﹣2）
2
＝5，
则其圆心的坐标为（1，2）；
（2）根据题意，圆的方程为（x﹣1）
2
+（y﹣2）
2
＝5，
而点（3，1）恰好在圆上，
又由K
AC
＝＝﹣，则切线的斜率k＝2，
则切线的方程为2x﹣y﹣5＝0．
【点评】本题考查圆的一般方程以及圆的切线方程，关键 是掌握圆的一般方程的形式，
属于基础题．
18．已知平面上有两点A（﹣1，0），B（1，0）．
（Ⅰ）求过点B（1，0）的圆（ x﹣3）
2
+（y﹣4）
2
＝4的切线方程；
（Ⅱ）若P在圆（x ﹣3）
2
+（y﹣4）
2
＝4上，求AP
2
+BP
2
的最小值，及此时点P的坐标．
【分析】（Ⅰ）根据题意，分直线的斜率存在与不存在两种 情况讨论，求出切线的方程，
综合即可得答案；
2222
（Ⅱ）根据题意，设P（m ，n），分析可得AP
2
+BP
2
＝（m+1）+n+（m﹣1）+n＝2（ m
2
+n
2
）
+2，分析（m
2
+n
2< br>）的几何意义，结合直线与圆的位置关系，分析可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，圆（ x﹣3）
2
+（y﹣4）
2
＝4的圆心为（3，4），半径r＝2，
分2种情况讨论：
①，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，与圆相切，符合题意，
②，当直线的斜率存在时，设切线的方程为y＝k（x﹣1），
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则有＝2，解可得k＝，此时切线的方程为y＝（x﹣1），即3x﹣4y﹣3＝0，
综合可得：切线的方程为x＝1或3x﹣4y﹣3＝0；
（Ⅱ）根据题意，设P（m，n），
则AP
2
+BP
2
＝（m+1）
2
+n
2
+（m﹣1）
2
+n
2
＝2（m
2
+n
2
）+2，
又由OP＝，则当OP最小时，AP
2
+BP
2
取得最小值， 又由P在圆（x﹣3）
2
+（y﹣4）
2
＝4上，则OP
min
＝5﹣2＝3，
即（m
2
+n
2
）的最小值为9，此时A P
2
+BP
2
取得最小值，且其最小值为2×9+2＝20；
此时m＝3×＝，n＝3×＝
即P的坐标为（，）．
，
【点评】本题考查直线与圆的方程的应用，涉及直线与圆的位置关系，属于基础题．


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