高中数学圆的知识点有哪些

高中数学圆的知识点有哪些


圆是一种几何图形。同时，圆 又是“正无限多边形”，而
“无限”只是一个概念。当多边形的边数越多时，其形状、周
长、面 积就都越接近于圆。所以，世界上没有真正的圆，圆实
际上只是概念性的图形。
(一)圆的标准方程
1. 圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的轨
迹叫做圆。定点叫圆的圆心，定长叫做圆的半径。
2. 圆的标准方程：已知圆心为(a，b)，半径为r，则圆
的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2。
说明：
(1)上式称为圆的标准方程。
(2)如果圆心在坐标原点，这时a=0，b=0，圆的方程就是
x2+y2=r2。
(3)圆的标准方程显示了圆心为(a，b)，半径为r这一几
何性质，即(x-a)2+(y-b)2 =r2----圆心为(a，b)，半径为r。
(4)确定圆的条件 由圆的标准方程知有三 个参数a、b、r，
只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定.因此，确定圆的
方程，需三 个独立的条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是
圆的定型条件。
(5)点与圆的位置关系的判定 若点M(x1，y1)在圆外，则
点到圆心的距离大于圆的半径，即(x-a)2+(y-b)2>r2 ; 若点
M(x1，y1)在圆内，则点到圆心的距离小于圆的半径，即(x-
a)2+(y- b)2
(二)圆的一般方程 任何一个圆的方程都可以写成下面的

形式： x2+y2+Dx+Ey+F=0① 将①配方得：
②(x+D2)2+(y+E2)2=D2+E2-4F4 当时，方程①表示以(-
D2,-E2)为圆心，以为半径的圆; 当时，方程①只有实数解，
所以表示一个点(-D2,-E2); 当时，方程①没有实数解，因
此它不表示任何图形。 故当时，方程①表示一个圆，方程①
叫做圆的一般方程。
圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，而
一般方程突出了方程形式上的特点：
(1)和的系数相同，且不等于0;
(2)没有xy这样的二次项。 以上两点是二元二次方程表
示圆的必要条件，但不是充分条件。 要求出圆的一般方程，
只要求出三个系数D、E、F就可以了。
(三)直线和圆的位置关系
1. 直线与圆的位置关系 研究直线与圆的位置关系有两种
方法：
(l)几何法：令圆心到直线的距离为d，圆的半径为r。
d>r直线与圆相离;d=r直线与圆相切;0≤d
(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元
后得到一元二次方程，其判别式为Δ。 △<0直线与圆相
离;△=0直线与圆相切;△>0直线与圆相交。
说明：几何法研究直线与圆的关系是常用的方法，一般不
用代数法。
2. 圆的切线方程
(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程是
x0x+y0y=r2
(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程是
(x0-a)(x -a)+(y0-b)(y-b)=r2

(3)过圆 x2+y2+Dx +Ey+F=0(D2+E2-4F>0)上一点P(x0,y0)
的切线方程是x0x+y0y+D· (x0+x)2+E·(y0+y)2+F=0 3.
直线与圆的位置关系中的三个基本问题
(1)判定位置关系。方法是比较d与r的大小。
(2)求切线方程。若已 知切点M(x0，y0)，则切线方程为
(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2 若已知切线上一点N(x0，
y0)，则可设切线方程为y-y0=k(x-x0)，然后利用d=r求 k，
但需注意k不存在的情况。
(3)关于弦长：一般利用勾股定理与垂径定理，很 少利用
弦长公式，因其计算较繁，另外，当直线与圆相交时，过两交
点的圆系方程为 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0
(四)圆与圆的位置关系
1. 圆与圆的位置关系问题 判定两圆的位置关系的方法有
二：
第一种是代数法，研究两圆的方程所组成的方程组的解的
个数;
第二种是研究两圆的圆心距与两圆半径之间的关系。
第一种方法因涉及两个二元二次方程组成 的方程组，其解
法一般较繁琐，故使用较少，通常使用第二种方法，具体如下：
圆(x-a1 )2+(y-b1)2=r12与圆(x-a2)2+(y-b2)2=r22的位置关
系，其中r1> 0，r2>0 设两圆的圆心距为d，则d=根号下(a1-
a2)2+(b1-b2)2 当d>r1+r2时，两圆外离; 当d=r1+r2时，两
圆外切; 当|r1-r2|
2.我们在解决有关圆的问题时，应特别注意，圆的平面几
何性质的应用。
(二)、圆的方程
1. ⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的

与一个二元方程f(x,y)=0的实数建立了如下关系：
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
那么这个方程叫做曲线方程;这条曲线叫做方程的曲线(图
形).
⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M(x,y)其
坐标与方程f(x,y)=0的一种关系， 曲线上任一点(x,y)是方程
f(x,y)=0的解;反过来，满足方程f(x,y)=0的解所对应 的点
是曲线上的点.
注：如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点P0(x0 ,y)
线C上的充要条件是f(x0 ,y0)=01.提出反证法： 一般地，假
设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明
假设错误，从而证明了 原命题成立.
2.证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出
发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而
原命题的结论成立
3.应用关键：在正确的推理下得出矛盾(与已知条件矛盾，
或与假设矛盾，或与定义 、公理、定理、事实矛盾等).
4.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来< br>进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一
个命题的逆否命题的正确，从而肯定 原命题真实.