高一数学圆的方程试题

19．（14分）已知圆
x?y?x?6y?m?0
和直线
x?2y?3?0
交于P、Q两点，且OP⊥OQ
（O为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径长．







22


20．（14分）求圆心在直线
x? y?0
上，且过两圆
x?y?2x?10y?24?0
，

x?y
?2x?2y?8?0
交点的圆的方程．








22
22
参考答案
一、DCDAA BCCBB．
二、11．
30?105
；
12 ．
x?y?2?0
；13．x=0或15x＋8y－32=0；14．内切；

三、15．解：设弦所在的直线方程为
y?4?k(x?6)
，
即
kx?y ?6k?4?0
①

则圆心
（0，0）
到此直线的距 离为
d?
|6k?4|
．
1?k
2
y
因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成
Rt△， 所以
(
|6k?4|
1?k
2
)
2
?(32)
2
?20
．
O
x
由此解得
k??
7
或
k??1
．
17

P
代入①得切线方程
?
7
x?y?6?(?
7
)?4?0
或
1717

?x?y?6?(?1)?4 ?0
，
即
7x?17y?26?0
或
x?y?2?0
．
16．解:(1)直线方程
l:
?
2m?1
?
x?< br>?
m?1
?
y?7m?4
,可以改写为
m
?
2x?y?7
?
?x?y?4?0
,
所以直线必经过直线
?
2x?y?7?0,
?
x?3,
解得
?
即两直线的交点为
A
(3,1)

又因为点
A
?
3,1
?
2x ?y?7?0和x?y?4?0
的交点.由方程组
?
x?y?4?0y?1
? ?
与圆心
C
?
1,2
?
的距离
d?5?5
,所以该点在
C
内,故不论
m
取什么实数,直线
l
与圆C
恒相交
.
(2)连接
AC
,过
A
作
AC
的垂线,此时的直线与圆
C
相交于
B
、
D
.
BD
为直线被圆所截得的最短弦长.此
时
,
AC?5,BC?5,所 以BD?225?5?45
.
即最短弦长为
45
.
又直线
AC
的斜率
k
AC
??
1
,所以直线
BD
的斜率为
2.
此时直线方程为
:
y?1?2
?
x?3
?
,即2x?y?5?0.

2
17．解：我们以台风中心为原点
O，
东西方向为
x
轴，建立如图所 示的直角坐标系．
这样，受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为


x
2
?y
2
?30
2
①
轮船航线所在直线
l
的方程为

xy
??1
，即
4x?7y?280?0
②
7040如果圆
O
与直线
l
有公共点，则轮船受影响，需要改变航向；如果
O
与直线
l
无公共点，则轮船不受影响，无需改变航向．

由于圆心
O（0，0）
到直线
l
的距离
|4?0?7?0?280|280

d???30
，
22
67
4?7

所以直线
l
与圆
O
无公共点．这说明轮船将不受台风影响，不用改变航向．
?
y
1
?y
2
?4
?
x
2
?y
2
?x?6y?m?0
?
18．解：由
?
?5y2
?20y?12?m?0

?
?
12?m
y
1
y
2
?
?
x?2y?3?0
?
5
?
又
OP⊥OQ， ∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=0,
而
x
1
x
2
=9－6 (y
1
+y
2
)+4y
1
y
2
=
4m?27

5
∴
4m?2712?m
??0

解得
m=3.

55
y
19．解：将
x
得
5y
设
P
2
?3?2y
代入方程
x
2?y
2
?x?6y?m?0
，
?20y?12?m?0
． < br>P
Q
O
x
?
x
1
,y
1
?
，Q
?
x
2
,y
2
?
，
则
y
1
,y
2
满足条件
：

y
1< br>?y
2
?4,y
1
y
2
?
m?12
．
5
∵ OP⊥OQ, ∴
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0,
而
x
1
?3?2y
1，
x
2
?3?2y
2
，
∴
x
1< br>x
2
?9?6
?
y
1
?y
2
??4y
1
y
2
．


∴
m?3，
此时Δ
?0
，
圆心坐标为
（－
将两圆的方程联立得方 程组

1
5
，3），
半径
r?
．

2
2
20．解法一：（利用圆心到两交点的距离相等求圆心）




?
x
2
?y
2
?2x?10y?24 ?0
?
22
?
x?y?2x?2y?8?0
，
解这个方程组求得两圆的交点坐标
A（－4，0），B（0，2）．
因所求圆心在直 线
x?y?0
上，故设所求圆心坐标为
(x,?x)
，
则它到上面的 两上交点
x
2
?(2?x)
2
，

（－4，0 ）
和
（0，
2）的距离相等，故有
(?4?x)
2
?(0? x)
2
?


即
4x??12
，∴
x??3
，
又
r?
．
y??x?3
，
从而圆心坐标是
（－3，3）
22
(?4? 3)
2
?3
2
?10
，
故所求圆的方程为
(x?3)?(y?3)?10
．
解法二：（利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程）

同解法一求得两交点坐标A（－4，0），B（0，2），
弦AB的中垂线为
2x?
它与直线
x?
y?3?0
，


y?0
交点
（－3，3）
就是圆心，又半径
r?10
，
2
故所求圆的方程为
(x?3)?(y?3)
2
?10
．
解法三：（用待定系数法求圆的方程）


同
解法
一求得两交点坐标为
A（－4，0），B（0，2）．
设所 求圆的方程为
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
，因两点在此圆上，且圆心在
x?y?0
上，所以得方

?
a?? 3
?
(?4?a)
2
?b
2
?r
2
?程组

?
a
2
?(3?b)
2
?r
2
，
解之得
?
b?3
，
?
?
a?b?0< br>?
?
?
r?10
故所求圆的方程为
(x?3)
2
?(y?3)
2
?10
．
解法四：（用“圆系”方法求圆的方程．过后想想为什么？）
设所求圆的方程为

x
2
?y
2
?2x?10y?24?
?
(x
2
?y
2
?2x?2y?8)?0
(
?
??1)
，
即

x
2
?y
2
?
2(1??
)2(5?
?
)8(3?
?
)
x?y??0
．
1?
?
1?
?
1?
?

可知圆心坐标为
(
1?
?
5?
?
,?)
．
1?
?
1?
?
y?0
上，所以
1?
?5?
?
??0
，
解得
?
??2
．
1 ?
?
1?
?
因圆心在直线
x?
将
?
??2
代入所设方程并化简，求圆的方程
x
2
?y
2
? 6x?6y?8?0
．