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新课标高中数学必修二第四章圆与方程-经典例题-[含答案]

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-21 05:57
tags:高中数学圆

全国高中数学联赛预测卷-高中数学15分钟课堂教学

2020年9月21日发(作者:龚六堂)


习题精选精讲圆标准方程
已知圆心
C(a,b)
和半径
r
,即得圆的标准方程
(x?a)

C(a,b)
和半径
r
,进而可解得与圆有关的任何问题.
一、求圆的方程
例1 (06卷文) 以点< br>(2,?1)
为圆心且与直线
3x?4y?5?
2
?(y?b)
2
?r
2
;已知圆的标准方程
(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
,即得圆
0
相切的圆的方程为( )
2222
(A)
(x?2)?(y?1)?3
(B)
(x?2)?(y?1)?3

(C)
(x?2)
2
?(y?1)
2
?9
(D)
(x?2)
2
?(y?1)
2
?9

解 已知圆心为
(2,?1)
,且由题意知线心距等于圆半径,即
d
故选(C).
点评:一般先求得圆心和半径,再代入圆的标准方程
(x?a)
二、位置关系问题
例2 (06卷文) 直线
x?
(A)
(0,
(C)
(?< br>2
?
6?4?5
3
2
?4
2

?3 ?r
,∴所求的圆方程为
(x?2)
2
?(y?1)
2
?9

?(y?b)
2
?r
2
即得圆的方程.
y?1
与圆
x
2
?y
2
?2ay?0
(a?0)
没有公共点,则
a
的取值围是( )
2?1)
(B)
(2?1,2?1)

2?1,2?1)
(D)
(0,2?1)

2
解 化为标准方程
x
∵直线< br>?(y?a)
2
?a
2
,即得圆心
C(0,a)
和半 径
r?a
.
x?y?1
与已知圆没有公共点,∴线心距
d?
a?1
2
?r?a
,平方去分母得
a
2
?2a?1?2a
2
,解得
?2?1?a?2?1
,注意到
a?0
,∴
0?a?2?1
,故选(A).
点评:一般通过比较线心距
d
与圆半径< br>r
的大小来处理直线与圆的位置关系:
d?r?
线圆相离;
d?r?< br>线圆相切;
d?r?
线
圆相交.
三、切线问题
例3 (06卷理) 过坐标原点且与圆
x
(A)
2
?y
2
?4x ?2y?
5
?0
相切的直线方程为( )
2
11
x
(B)
y?3x

y??x

33
11
(C)
y??3x

y??x
(D)
y?3x

y?x

33
5
5
22
解 化为标准方程
(x?2)?(y?1) ?
,即得圆心
C(2,?1)
和半径
r?
.
2
2
2k?1
5
设过坐标原点的切线方程为
y?kx
,即
kx? y?0
,∴线心距
d?
,平方去分母得
(3k?1)(k?3)?0
,解得
?r?
2
2
k?1
11
k??3
或,∴所求 的切线方程为
y??3x

y?x
,故选(A).
33
点 评:一般通过线心距
d
与圆半径
r
相等和待定系数法,或切线垂直于经过切点 的半径来处理切线问题.
y??3x

y?
四、弦长问题
y?3 ?0
与圆
(x?1)
2
?(y?2)
2
?4
相交于
A、B
两点,且弦
AB
的长为
23
,则
a?
.
22
解 由已知圆
(x?1)?(y?2)?4
,即得圆心
C(1,2)
和半径
r?2
.
例4 (06卷理) 设直线
ax?
a?1
2
AB
2
)?(3)
2
?2
2
,即
(a?1)
2
?a
2
?1
,解得
a?0
.
)?r
2
,∴
(
2
a
2
?1a
2
?1
AB
22
)?r
2
. 点评:一般 在线心距
d
、弦长
AB
的一半和圆半径
r
所组成的直角三角 形中处理弦长问题:
d?(
2
∵线心距
d?
a?1
,且d
2
?(
五、夹角问题
例5 (06全国卷一文) 从圆
x< br>2
?2x?y
2
?2y?1?0
外一点
P(3,2)
向这个圆作两条切线,则两切线夹角的余弦值为( )


3
13
(B) (C) (D) 0
2
25
22
解 已 知圆化为
(x?1)?(y?1)?1
,即得圆心
C(1,1)
和半径
r?1
.
(A)
设由
P(3,2)
向这个圆作的两条切线的夹角 为
?
,则在切线长、半径
r

PC
构成的直角三角形中,< br>cos
?
2
?
2
5
,∴
cos
?< br>?2cos
2
?
2
?1?
3
,故选(B).
5
点评:处理两切线夹角
?
问题的方法是:先在切线长、半径
r

夹角
?
问题.
六、圆心角问题
PC
所构成的直角三角形 中求得
?
的三角函数值,再用二倍角公式解决
2
2)
的直线
l
将圆
(x?2)
2
?y
2
?4
分成两段弧,当劣 弧所对的圆心角最小时,直线
l
的斜率
k?
.
22
解 由已知圆
(x?2)?y?4
,即得圆心
C(2,0)< br>和半径
r?2
.
例6 (06全国卷二) 过点
(1,
设< br>P(1,2)
,则
k
PC
??2
;∵
PC?
直线
l
时弦最短,从而劣弧所对的圆心角最小,∴直线
l
的斜率
k? ?
1
k
PC
?
2
2
.
点评:一般利用圆 心角及其所对的弧或弦的关系处理圆心角问题:在同圆中,若圆心角最小则其所对的弧长与弦长也最短,若弧长与 弦长
最短则所对的圆心角也最小.
七、最值问题
例7 (06卷文) 圆
x
2
?y
2
?4x?4y?10?0
上的点到直线
x?y? 14

?0
的最大距离与最小距离的差是( )
(A) 30 (B) 18 (C)
62
(D)
52

22
解 已知圆化为
(x?2)?(y?2)?18
,即得圆心
C (2,2)
和半径
r?32
.
设线心距为
d
,则圆上的点到直线
x?
选(C).
点评: 圆上一点到某直线距离的最值问题一般转化为线心距
d
与圆半径
r
的关系解决 :圆上的点到该直线的最大距离为
d

d
y?14?0
的最大距离为
d?r
,最小距离为
d?r
,∴
(d?r)?(d?r)?2r?6 2
,故
?r
,最小距离
?r
.
八、综合问题
例8 (06卷理) 若圆
x
2
?y
2
?4x?4y?10 ?0
上至少有三个不同的点到直线
l:ax?by?0
的距离为
22
,则直线
l
的倾斜角的
取值围是( )
?
5
?
???
,]
(B)
[,]
(C)
[,]
(D)
[0,]

1241212632
22
解 已知圆化为
(x?2)?(y?2)?18
,即得圆心
C(2,2)
和半径
r?32
.
(A)
[
??
a
2
?b
2
a
?
5
?< br>2
由直线
l
的斜率
k??
代入得
k?4k?1?0< br>,解得
2?3?k?2?3
,又
tan?2?3

tan?2 ?3
,∴直线
l

b1212
?
5
?
,]
,故选(B). 倾斜角的取值围是
[
1212
点评:处理与圆有关的任何问 题总是先通过圆的标准方程,进而以“圆心半径线心距”的七字歌得到正确而迅速地解决.

圆的方程
1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式,要注意各种形式的圆方程的适用围.
(1) 圆的标准方程:(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
,其中(a,b)是圆心坐标,r是圆的半径;
(2)
∵圆上至少有三个不同的 点到直线
l:ax?by?0
的距离为
22
,∴
d?
2a? 2b
?r?22?2
,即
a
2
?4ab?b
2
?0

DE
,?
圆的一般方程:x
2
+y
2
+ Dx+Ey+F=0 (D
2
+E
2
-4F>0),圆心坐标为(
?
22
),半径为r=
D
2
?E
2
?4F
2

2. 直线与圆的位置关系的判定方法.
(1) 法一:直线:Ax+By+C=0;圆:x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0.


?
??0?相交
?
Ax?By?C?0
?
判 别式
????
一元二次方程
消元
?
??0?相切

?
22
?
x?y?Dx?Ey?F?0
?
??0?相离
?< br>(2) 法二:直线:Ax+By+C=0;圆:(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
,圆心(a,b)到直线的距离为d=
Aa?Bb?C
A2
?B
2
?
d?r?相交
?
?
?
d? r?相切
.
?
d?r?相离
?
3. 两圆的位置关系的判定方法.
设两圆圆心分别为O
1
、 O
2
,半径分别为r
1
、 r
2
, |O
1
O
2
|为圆心距,则两圆位置关系如下:
|O
1< br>O
2
|>r
1
+r
2
?
两圆外离;
|O
1
O
2
|=r
1
+r
2
?
两圆外切;
|r
1
-r
2
|<|O
1
O
2
|<r
1
+r
2
?
两圆相交;
|O
1
O
2
|=|r
1
-r
2

?
两圆 切;
0<|O
1
O
2
|<|r
1
-r
2

?
两圆含.
●点击双基
1.方程x
2
+y< br>2
-2(t+3)x+2(1-4t
2
)y+16t
4
+9= 0(t∈R)表示圆方程,则t的取值围是
111
B.-1727
1
解析:由D
2
+E
2
- 4F>0,得7t
2
-6t-1<0,即-7
A.-1 2.点P(5a+1,12a)在圆(x-1)
2
+y
2
=1 的部,则a的取值围是
A.|a|<1 B.a<
111
C.|a|< D.|a|<
13513
|a|<解析:点P在圆(x-1)
2
+y
2
=1部
?
(5a+1-1)
2
+(12a)
2
<1
?

1
.答案:D
13
3.已知圆的方程为(x-a )
2
+(y-b)
2
=r
2
(r>0),下列结论错误的是
222
A.当a+b=r时,圆必过原点B.当a=r时,圆与y轴相切
C.当b=r时,圆与x轴相切D.当b解析:已知圆的圆心坐标为( a,b),半径为r,当b故D是错误的.故选D.答案:D
●典例剖析
【例2】 一圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且直线y=x截圆所得弦长为2
7
,求此圆的方 程.
剖析: 利用圆的性质:半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.
解:因圆与y轴相切 ,且圆心在直线x-3y=0上,故设圆方程为(x-3b)
2
+(y-b)
2
=9b
2
.
又因为直线y=x截圆得弦长为2
7
,则有(
|3b?b|
2

2
+(
7

2
=9b
2
,解得b=±1.故所求圆方程为
(x-3)
2
+(y-1)< br>2
=9或(x+3)
2
+(y+1)
2
=9.
夯实基础
1.方程x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0(D
2
+E
2
-4F>0)表示的曲线关于x+y=0成轴对称图形,则
A.D+E=0B. B.D+F=0 C.E+F=0 D. D+E+F=0
解析:曲线关于x+y=0成轴对称图形,即圆心在x+y=0上.答案:A
2.(2004年全国Ⅱ,8)在坐标平面,与点A(1,2)距离为1,且与点B(3,1)距离为2的直线 共有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
解析:分别以A、B为圆心,以1、2为半径作圆,两圆的公切线有两条,即为所求.答案:B
3.(2005年黄冈市调研题)圆x
2
+y
2
+x-6y+3=0上两点 P、Q关于直线kx-y+4=0对称,则k=____________.
解析:圆心(-
1
,3)在直线上,代入kx-y+4=0,得k=2.答案:2
2
|?10|
=2.再由d-r=2-1=1,知最小距离为1.答案:1
5
4.(2004年全国卷Ⅲ,16)设P为圆x
2
+y
2
=1上的 动点,则点P到直线3x-4y-10=0的 距离的最小值为____________.
解析:圆 心(0,0)到直线3x-4y-10=0的距离d=
5.(2005年启东市调研题)设O为坐标原点 ,曲线x
2
+y
2
+2x-6y+1=0上有两点P、Q,满足关于直线x+ my+4=0对称,又满足
OP
·
OQ
=0.
(1)求m的值;(2 )求直线PQ的方程.
解:(1)曲线方程为(x+1)
2
+(y-3)
2
=9表示圆心为(-1,3),半径为3的圆.


∵点P、Q在圆上且关于直线 x+my+4=0对称,∴圆心(-1,3)在直线上.代入得m=-1.
(2)∵直线PQ与直线y=x+4垂直,
∴设P(x
1
,y
1< br>)、Q(x
2
,y
2
),PQ方程为y=-x+b.将直线y=-x+ b代入圆方程,得2x
2
+2(4-b)x+b
2
-6b+1=0.
Δ
=4(4-b)
2
-4×2×(b
2
-6b+1)>0,得b
2
?6b?1
2-3
2
2
.由 韦达定理得x
1
+x
2
=-(4-b),x
1
·x
2
=.
2
2
b?6b?1
y
1
·y
2< br>=b
2
-b(x
1
+x
2
)+x
1
·x
2
=+4b.∵
OP
·
OQ
=0,∴x
1x
2
+y
1
y
2
=0,即b
2
-6b +1+4b=0.
2
解得b=1∈(2-3
2
,2+3
2
).∴所求的直线方程为y=-x+1.
培养能力
7.已知实数x、y满足方程x
2
+y
2
-4x+1=0.求(1)
(3)x
2
+y
2
的最大值和最小值.
解:(1)如图,方程x
2
+y
2
-4x+1=0表示以点(2,0)为圆心,以


y
的最大值和最小值;(2)y-x的最小值;
x
3
为半径的圆.
|2k?0|
y
=k,即y=kx,由 圆心(2,0)到y=kx的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值.由=
3

2
x
k?1
解得k
2
=3.所以k
max
=
3
,k
min
=-
3
.
(2)设y-x=b, 则y=x+b,仅当直线y=x+b与圆切于第四象限时,纵轴截距b取最小值.由点到直线的距离公式,得即b=-2±
|2?0?b|
2
=
3

6
,故 (y-x)
min
=-2-
6
.
3
,(x
2+y
2

min
=|OB|(3)x
2
+y
2
是圆上点与原点距离之平方,故连结OC,与圆交于B点,并延长交圆于C′,则(x
2
+y
2

max
=|OC′|=2+
=2-
3
.
8.(文)求过两点A(1,4)、B(3,2),且圆心在直线y=0上的圆的标准方程.并判断点M
1
(2,3),M
2
(2,4)与圆的位置关系.
解:根据圆的标准方程,只要求得圆心坐标和圆的半径即可.
因为圆过A、B两点,所以圆心 在线段AB的垂直平分线上.由k
AB
=
4?2
=-1,AB的中点为(2, 3),
1?3
故AB的垂直平分线的方程为y-3=x-2,即x-y+1=0.又圆心在直 线y=0上,因此圆心坐标是方程组
x-y+1=0,
y=0
的解,即圆心坐标为(-1,0).
半径r=
(?1?1)
2
?( 0?4)
2
=
20
,所以得所求圆的标准方程为(x+1)
2
+y
2
=20.
(2?1)
2
?(3?0)
2
=
18
,|M
1
C|1
在圆C;而点M
2
到圆心C的距离因为M
1
到圆心C(-1,0)的距离为
|M
2
C|=


“求经过两圆
x
2
(2?1)
2
?(4?0)
2
=
25
>
20
,所以M
2
在圆C外.
?y
2
?6x?4?0

x
2< br>?y
2
?6y?28?0
的交点,并且圆心在直线
x?y?4?0上的圆的方程。”同学们普遍使用下
面两种方法求解:
方法—:先求出两已知圆交点
r,于是可得所求圆方程。
方法二:先求出两已知圆交点

x?
程。
但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解,可以更加方便。

经过两已知圆的交点的圆系
设圆C
1
与C
2
的方程为: C
1
:
C
2
:
A
1
?
?1,3
?
,A
2
?
?6 ,?2
?
,再设圆心坐标为
B(b?4,b)
,根据
A
1< br>B?A
2
B?r
,可求出圆心坐标及半径
E
A
1?
?1,3
?
,A
2
?
?6,?2
?
,再设所求圆的方程为:
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
,其圆心为
?
?
D
2
,?
2
?
,代
y?4?0
,再将A
1
,A
2
两点坐标代入所设圆的方程,可得三 个关于D,E,F的三元一次方程组,求出D,E,F的值,这样便可得所求圆的方
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
?0< br>
x
2
?y
2
?D
2
x?E
2y?F
2
?0
.
并且两圆相交于两点。引进一个参数
?
,并令:
x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
+
?

x
2
?y
2
?D
2
x?E
2< br>y?F
2
)=0 ——① 其中
?
?
-1。


引进两个参数
?
1

?
2
,并令:
?
1

x
2
?y
2
?D
1
x?E
1
y?F
1
)+
?
2

x
2
?y
2
?D
2
x?E
2
y?F
2)=0 ——② 其中
?
1
+
?
2
?
0 不论参数取何值,方程①与②中的x
2
项和y
2
项的系数相等,方程没有 xy项,而且两已知圆的两个交点的坐标适合方程①与②,所以①与
②都是经过两已知圆的交点的圆系, 但是①与②稍有不同:
⑴ 当
?
=0时,方程①的曲线就是圆C
1
;不论
?
为何值,方程①的曲线都不会是圆C
2
。所以方程①表示经过两已知 圆的交点的一切圆,包
括圆C
1
在,但不包括圆C
2

⑵ 当
?
1
=0时,方程②的曲线就是圆C
2
;当
?
2
=0时,方程②的曲线就是圆
C
1
。所以方程②表示经过两已知圆的交点的 一切圆,包括圆C
1
和圆C
2
在。

下面应用圆系来解本文前面的问题:

设经过已知两圆的交点的圆的方程为:

x
2
?y
2
?6x?4?
?
(x
2
?y
2
?6y?28)?0
. (
??
-1)则其圆心坐标为
(?
33
?
,?)

1?
?
1?
?
33
?
+-4=0, 解得
?
=-7
1?
?
1?
?
222222
∴ 所求圆的方程为:
x?y?6x?4
-7
(x?y?6y?28)?0
即:
x?y?x?7y? 32?0

∵ 所求圆的圆心在直线
x?y?4?0
上∴
?
下面再举两例说明圆系的应用
例1. 求经过两已知圆:
x

2
?y
2
?4x?6?0

x
2
?y2
?4y?6?0
的交点且圆心的横坐标为3的圆的方程。
解: 设经过两已知圆交点的圆系的方程为:
x
2
?y
2
?4x?6?< br>?
(x
2
?y
2
?4y?6)?0

?
?
-1)
221
其圆心的横坐标为:
x?
,令 =3 得
?
??

1?
?
1?
?
3
1
2
22
222
∴ 所求圆的方程为:
x?y?4x?6?(x?y?4y?6)?0

x?y?6x?2y?6?0

3
例2. 设圆方程为:

(
?
?4)x
2
?(
?
?4)y
2
?(2
?
?4)x?(12
?
?40)y?48
?
?16 4?0
其中
?
?
-4
4(x
2
?y
2
?x?10y?41)?
?
(x
2
?y
2
?2x ?12y?48)?0

求证: 不论
?
为何值,所给圆必经过两个定点。
证明: 把所给方程写为:
这是经过以下两个圆的交点的圆系的方程:

x
2
?y
2
?x?10y?41?0
所以,不论
?
为何值,所给圆必经过这两个圆的两个交点
22
x?y?2x?12y?48?0
2
直线与圆的位置关系
二、例题选析
例1:求由下列条件所决定圆
x
(1)经过点
P(< br>?y
2
?4
的圆的切线方程;
3,1)
,(2)经过点
Q(3,0)
,(3)斜率为
?1

(3)
2
?1
2
?4
∴点
P(3,1)
在圆上,故所求切线方程为
3x?y?4
。 解:(1)
?
(2)
?3
2
?0
2
?4
∴点
Q
在圆外。
设切线方程为
y?k(x?3)

kx?y?3k?0

?
直线与圆相切,∴圆心到直线的距离等于半径,∴
∴所求切线方程为
?3k
1 ?k
2
?2
,∴
k??
2
5

5
2
5(x?3)

5
22
(3)设圆的切线方 程为
y??x?b
,代入圆的方程。整理得,
2x?2bx?b?4?0
,∵ 直线与圆相切
y??

??(?2b)
2
?4?2(b
2
?4)?0
,解得
b??22

y?22?0
。 ∴所 求切线方程为
x?
小结:利用圆心到切线的距离等于半径是解决圆的切线问题的常用方法。判别 式法求切线方程适用圆锥曲线,当然对于圆也适用。


例2:已知点
P(x0
,y
0
)
在圆
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0
的外部,过
P
作圆的切线,切点为
M
,求证< br>22
PM?x
0
?y
0
?Dx
0
?Ey0
?F

证明:如图7-53-1,圆心
C(?

DE
,?)

22


半径
1
D2
?E
2
?4F

2
DE
CP?(x
0
?)
2
?(y
0
?)
2

22
CM?
PM?CP?CM
22
由勾股定理得


D
2
E
2
D
2
?E
2
?4F
?(x
0
?)?(y
0
?)?
224
22< br>?x
0
?y
0
?Dx
0
?Ey
0
? F

y
N
C
M
P
O
x
图7-53 -1


小结:(1)此题的证明,给出了切线长公式,即将圆外一点的坐标代入圆的一般方 程左端,再取算术平方根即为切线长。
(2)以
CP
为直径的圆与圆
C相交于
M

N
两点,则
M

N
为切点 。若圆
C
的方程为
x
2
?y
2
?r
2,则两切点连线所在的直线方程为
2
x
0
x?y
0
y? r
2

例3:从圆外一点
P(a,b)
向圆
x?y
2
?r
2
引割线,交该圆于
A

B
两点,求弦< br>AB
的中点轨迹方程。


解:如图7-53-2,设
连接
OM

OM

OM
AB
的中点
M(x,y)
?(x,y)

PM?(x?a,y?b)

?PM
,∴
OM?PM?0


(x,y)(x?a,y?b)?0


x(x?a)?y(y?b)?0

22

x?y?ax?by?0

(?r?x?r)




Py
A
O
M
x
B
图7-53-2


小结:此题用向量法求得轨迹方程,显得简明快捷。读者可用一般方法求轨迹方程,即设出割线 方程,和圆联立方程组,由韦达定理建立中点
坐标的参数方程,继而求得普通方程。还可用两直线垂直的 充要条件,但必须讨论斜率存在与不存在两种情况。都比向量法要麻烦。
备选例题:
例4: 已知对于圆
x
*
2
?(y?1)
2
?1
上任意一点
P(x,y)
,不等式
x?y?m?0
恒成立,数
m
的取值 围。


解一:作直线
l

y??x

如图:7-53-3
向下平移与圆相切和相离时有
x?y?m?0
恒成立,
由点到直线的距离公式
?
1?m
?1
?
?m?2?1
。 得
?
2
?
m?0
?
轴对称
轴对称是解析几何的一 个重要容,利用它不仅可以解决点、线、曲线等关于直线的对称问题,而且还可以解决诸如最值、光线反射、角< br>平分线等问题,并且常得到意想不到的效果。本文将以数例来谈谈它的应用。
例1、已知点A( 4,1),B(0,4),在直线L:y=3x-1上找一点P,求使|PA|-|PB|最大时P的坐标。
分析:本题的常规方法是:(1)设点(2)列出相应的函数关系式(3)求解。
但本题若这样做,则就会走入死胡同。若巧妙利用轴对称的知识则可以轻松解决。
解:如图, 设点C(x,y)是点B关于直线L的对称点,则由
∴直线BC的方程为:
y
P
C
A
(4,1)
k
l
?3
,得:
k
BC
??
立,解得:D
?
1

3
1
y??x ?4
,将其与直线y=3x-1联
B
(0,4)
3
?
37< br>?
,
?
,其中D为BC
?
22
?
中点,利用 中点坐标公式,得C(3,3)。
显然:|PA|-|PB|=|PA|-|PC|≤|AC|,当且 仅当A、C、P三点
直线AC方程为:
2x?y?9?0
,与L方程联立解得P的坐< br>例2、光线由点C(3,3)出发射到直线L:y=3x-1上,已知
求反射光线方程。
解:设点B是点C关于L的对称点,则由光线反射的知
所求的反射光线的方程即为直线AB所在的直线 方程。
由例1知点C关于L的对称点为B(0,4),
故直线AB的方程易求得为:
o
P
'
x

共线时,|PA|-|PB|最大。可求得:
标为(2,5)。
其被直线L反射后经 过点A(4,1),
y
(0,4)
B
识易知:点B在反射光线上,故
3
y??x?4
。它即为反射光线
4
方程。
例3、已知ΔABC的 顶点A的坐标为(1,4),∠B、∠C的平分线
P
o
x?y?1?0
,求B C所在的直线方程。
C
A
(4,1)
的分别方程为
x?2y?0< br>和
分析:本题的常规思路是利用L1到L2的角的有关知识解决问题,但较繁,若能注意到角平分
线的有关性质,则可简捷求解。

解:设∠B、∠C的平分线分别为L
1< br>、L
2
,则由角平分线的知识可知:AB与CB关于L
1
对称,AC与
BC关于L2对称,故点A关于L
1
、L
2
的对称点A1、A2都应 该在直线BC上,故BC所在的直线方程即为A
1
A
2
所在的直线方程。 < br>x
198
A
1
(,?),A
2
(?3,0)
(过程略)
55
于是BC方程可求得为:
4x?17y?12?0

利用对称性可求得:

直线和圆
1.自点(-3,3)发出的光线L射到x 轴上,被x轴反射,其反射线所在直线与圆
x
2
?y
2
?4x?4y ?7?0
相切,求光线L所在直
线方程.
2222
解:已知圆的标准方程是 (x-2)+(y-2)=1,它关于x轴的对称圆的方程是(x-2)+(y+2)=1。
设光线L所在直线方程是:y-3=k(x+3)。
由题设知对称圆的圆心C′(2,-2 )到这条直线的距离等于1,即
d
整理得
12k
2
?
|5k ?5|
1?k
2
?1

3434
?25k?12?0,
解得
k??或k??
.故所求的 直线方程是
y?3??(x?3)
,或
y?3??(x?3)

4343
即3x+4y-3=0,或4x+3y+3=0.



2.已知圆C:
x
2
?y
2
?2x?4y?4?0
,是否存在斜率为1的直线L,使以L被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点,若存在求出
直线L的方程 ,若不存在说明理由.(14分)
.解:圆C化成标准方程为:
(x?1)
2
?(y?2)
2
?3
2
假设存在以AB为直径的圆M,圆心M的坐标为(a,b)
由于CM⊥L,∴k
CM
?k
L
=-1 ∴k
CM
=
b?2
??1
,即a+b+1=0,得b= -a-1 ①
a?1


直线L的方程为y-b=x--,即x-y+b-a=0 ∴ CM=
b?a?3
∵以AB为直径的圆M过原点,∴
MA?MB?OM

2
MB?CB?CM
222
?9?
(b?a?3)

2
OM?a
2
?b
2

2
2
(b?a?3)
2

9??a
2
?b
2
② 把①代入②得
2a2
?a?3?0
,∴
a?
3
或a??1

2< br>2

a?
3
,时b??
5
此时直线L的方程为:x- y-4=0;当
a??1,时b?0
此时直线L的方程为:x-y+1=0
22
故这样的直线L是存在的,方程为x-y-4=0 或x-y+1=0.
?y
2
?20
截得长为
62
的弦所在的直线方程.
解:设弦所在的直线方程为
y?4?k(x?6)
,即
kx?y?6k?4?0
3.(12分)求过点P(6,-4)且被圆
x
则圆心(0,0)到此直线的 距离为
d?
|6k?4|

2
1?k
2
y
因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成Rt△, < br>所以
(
|6k?4|
1?k
2
)
2
?(32 )
2
?20

O
x
由此解得
k??
7

k??1

17

y?2?0

22
4.(12分)已知圆C:?
x?1
?
?
?
y?2
?
?25
及直 线
l:
?
2m?1
?
x?
?
m?1
?y?7m?4
.
?
m?R
?

(1)证明:不论
m
取什么实数,直线
l
与圆C恒相交;
(2)求直线
l
与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线
l
的方程. .解:(1)直线方程
l:
?
2m?1
?
x?
?
m?1
?
y?7m?4
,可以改写为
m
?
2x?y?7< br>?
?x?y?4?0
,所以直线必经过直线
代入①得切线方程
?
7
x?y?6?(?
7
)?4?0

1717
?x?y ?6?(?1)?4?0
,即
7x?17y?26?0

x?
P
?
2x?y?7?0,
?
x?3,
解得
?
即 两直线的交点为A
(3,1)
又因为点
A
?
3,1
?与圆心
C
?
1,2
?

2x?y?7?0和x?y?4 ?0
的交点.由方程组
?
x?y?4?0y?1
??
距离
d ?5?5
,所以该点在
C
,故不论
m
取什么实数,直线
l< br>与圆C恒相交.
(2)连接
AC
,过
A

AC的垂线,此时的直线与圆
C
相交于
B

D
.
B D
为直线被圆所截得的最短弦长.此
时,
AC?5,BC?5,所以BD?225?5 ?45
.即最短弦长为
45
.
1
,所以直线
BD
的斜率为2.此时直线方程为:
y?1?2
?
x?3
?
,即2x?y ?5?0.

2
5(12分)已知圆x
2
+y
2
+ x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P、Q两点,且以PQ为直径的圆恰过坐标原点,数m的值. < br>又直线
AC
的斜率
k
AC
??
?
y
1
?y
2
?4
?
x
2
?y
2
?x ?6y?m?0
?
2
解:由
?
?5y?20y?12?m?0

?
?
12?m

y
1
y
2
?
?
x?2y?3?0
?
5
?
又OP⊥OQ, ∴x< br>1
x
2
+y
1
y
2
=0,而x
1< br>x
2
=9-6(y
1
+y
2
)+4y
1y
2
=
4m?27

5




4m?2712?m
??0
解得m=3.
55
6 .已知圆C:(x+4)+y=4和点A(-2
3
,0),圆D的圆心在y轴上移动,且恒与圆 C外切,设圆D与y 轴交于点M、N. ∠MAN是否为定
值?若为定值,求出∠MAN的弧度数;若不为定值,说明理由.
22【解】设圆D的方程为
x
2
?(y?b)
2
?r
2(r?0),
那么
M(0,b?r),N(0,b?r).

因为圆D与圆C外切, 所以
2?r
又直线
MA,NA
的斜率分别为
?16?b
2
?b
2
?r
2
?4r?12.

b?rb?r
k
MA
?,k
MB
?.

2323
b?r

?tan?MAN?
43r43r
?< br>2323
???3??MAN?.
为定值
b?rb?r
12?b2
?r
2
4r3
1?
2323
?
b?r


7.(14分)已知圆
x
半径长.
解:将
x
2< br>?y
2
?x?6y?m?0
和直线
x?2y?3?0
交于P、 Q两点,且OP⊥OQ (O为坐标原点),求该圆的圆心坐标及
?3?2y
代入方程
x
2
?y
2
?x?6y?m?0
,得
5y
2
?20y?12?m?0

m?12
设P
?
x
1
,y
1
?
,Q
?
x
2
,y
2
?
,则
y
1
,y
2
满足条件:
y
1
?y
2
?4,

y
1
y
2
?
5
∵ OP⊥OQ, ∴
x< br>1
x
2
?y
1
y
2
?0,

x
1
?3?2y
1

x
2
?3?2y
2
,∴
x
1
x
2
?9?6
?
y
1< br>?y
2
?
?4y
1
y
2

1
5
,3),半径
r?

2
2
2222
8.(14分)求圆心在直线
x?y?0
上,且过两圆
x?y?2x?10y ?24?0

x?y
?2x?2y?8?0
交点的圆的方程.

m?3
,此时Δ
?0
,圆心坐标为(-
解法一:(利用圆心到两交点 的距离相等求圆心)将两圆的方程联立得方程组



?
x
2
?y
2
?2x?10y?24?0
?
22
?
x ?y?2x?2y?8?0

解这个方程组求得两圆的交点坐标A(-4,0),B(0,2).
因所求圆心在直线
x?y?0
上,故设所求圆心坐标为
(x,?x)
,则它到上面的两上交点
x
2
?(2?x)
2

2
(-4,0)和(0 ,2)的距离相等,故有
(?4?x)
2
?(0?x)
2
?






4x??12
,∴
x??3< br>,

r?
2

y??x?3
,从而圆心坐标是(- 3,3)
(?4?3)
2
?3
2
?10
, 故所求圆的方程为
(x?3)?(y?3)?10

解法二:(利用弦的垂直平分线过圆心求圆的方程)
同解法一求得两交点坐标A(-4,0) ,B(0,2),弦AB的中垂线为
2x?y?3?0

y?0
交点(-3,3)就是圆心,又半径
r?10

22
故所求圆的方程为
(x?3)?(y?3)?10

它与直线
x?
设所求圆的方程为
(x?a)
2
解法三:(用待定系数法求圆的 方程)
同解法一求得两交点坐标为A(-4,0),B(0,2).

?(y? b)
2
?r
2
,因两点在此圆上,且圆心在
x?y?0
上, 所以得方

?
a??3
?
(?4?a)
2
?b< br>2
?r
2
?
程组
?
a
2
?(3? b)
2
?r
2
,解之得
?
b?3

?< br>?
a?b?0
?
?
?
r?10
故所求圆的方程为(x?3)
2




?(y?3)
2
?10

解法四:(用“圆系”方法求圆的方程.过后想想为什么?)
设所求圆的方程为
x< br>2
?y
2
?2x?10y?24?
?
(x
2
?y
2
?2x?2y?8)?0
2(1?
?
)2(5?
?< br>)8(3?
?
)
x?y??0

1?
?
1 ?
?
1?
?
1?
?
5?
?
因圆心在直线< br>x?y?0
上,所以
??0
,解得
?
??2

1?
?
1?
?

x
2
?y
2
?
(
?
??1)

1?
?
5?
?
可知圆心坐标为
(,?)

1?
?
1?
?

?
??2
代入所设方程并化简, 求圆的
方程
x
2
?y
2
?6x?6y?8?0

9.(12分) 已知一个圆截y轴所得的弦为2,被x轴分成的两段弧长的比为3∶1.(1)设圆心 为(a,b),数a,b满足的关系式;(2)当
圆心到直线l:x-2y=0的距离最小时,求圆的方 程.
r
⑴设圆心P(a,b),半径为r,则 |b|=,2b
2
=r2
.又|a|
2
+1=r
2
,所以a
2
+1= r
2
,所以2b
2
=a
2
+1;
2
|a-2b|
(2)点P到直线x-2y=0的距离d= ,5d
2
=a
2
-4ab+4b
2
≥a
2
+4b
2
-2(a
2
+b
2
)=2b
2
-a
2
= 1.
5
?
a=b,
?
a=1,
?
a=-1,
所以
?
22
所以
?

?

?
2b=a+1,
?
b=1,
?
b=-1.
所以(x-1)
2
+(y-1)
2
=2或(x+1)
2
+( y+1)
2
=2.

10 已知圆C与圆
x

设圆C的圆心为
(a,b)

2
?y
2
?2x?0
相外切,并且与直线
x?3y?0
相切于点
Q(3,?3)
,求圆C的方程


?
b?3
?3
?
?
a?3
a?4< br>或
?
a?0

?
?
?
??
b??4 3
?r?2或r?6

b?0
a?3b
?
?
?(a?1)
2
?b
2
?1?
?
2
?
2 222
所以圆C的方程为
(x?4)?y?4或x?(y?43)?36

1 1.(1997全国文,25)已知圆满足:①截y轴所得弦长为2;②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶ 1;③圆心到直线l:x-2y=0的距
离为
5
,求该圆的方程.
5
.解:设圆的方程为(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2
.令x=0,得y
2
-2by+b
2
+a
2
-r
2
=0.
|y
1
-y
2
|=
|x
1
-x
2
|=
(y
1
?y
2
)
2
?4y
1
y
2
?2r
2
?a
2
=2,得r
2
=a
2
+1 ①令y=0,得x
2
-2ax+a
2
+b
2
-r
2
=0,
②由①、②,得2b
2
-a
2
=1
(x
1
?x< br>2
)
2
?4x
1
x
2
?2r
2?b
2
?2r
,得r
2
=2b
2

|a?2b|5
5
,得d=,即a-2b=±1.
?
5
5
5
?
2b
2
?a
2
?1,
?
2b
2
?a
2
?1
?
a??1
?
a?1
综上可得
?

?
解得
?

?
于是r2
=2b
2
=2.
?
b??1
?
b?1?
a?2b?1;
?
a?2b??1
又因为P(a,b)到直线x-2y =0的距离为
所求圆的方程为(x+1)
2
+(y+1)
2
=2或( x-1)
2
+(y-1)
2
=2.

12.(1997全 国理,25)设圆满足:(1)截y轴所得弦长为2;(2)被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1.在满足 条件(1)、(2)的所
有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.


.解:设所求圆的圆心为P(a,b),半径为r,则P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|.
由题设圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°,圆P截x轴所得弦长为
又圆P截y轴所得弦长 为2,所以有r
2
=a
2
+1,从而有2b
2
-a
2
=1
又点P(a,b)到直线x-2y=0距离为d=
2
r,故r
2
=2b
2

|a?2b|

5
所以5d< br>2
=|a-2b|
2
=a
2
+4b
2
-4a b≥a
2
+4b
2
-2(a
2
+b
2
)= 2b
2
-a
2
=1
当且仅当a=b时上式等号成立,此时5d
2
=1,从而d取得最小值,
?
a?b
?
a?1
?
a??1
由此有
?
解方程得
?

?
由于r
2
=2b
2
,知r=
2

22
?
b?1
?
b??1
?
2b?a?1
于是所求圆的方程为(x -1)
2
+(y-1)
2
=2或(x+1)
2
+(y+1)
2
=2
13.(2002文,16)圆x
2
+y
2
-2x-2y+1=0上的动点Q到直线3x+4y+8=0距离的最小值为 .
.答案:2
解析:圆心到直线的距离d=
|3?4?8|
=3∴动点Q到直 线距离的最小值为d-r=3-1=2
5
经过两已知圆的交点的圆系及应用
2
在高中数学第二册(上)第82页有这样一道题:“求经过两圆
x

x
2?y
2
?6x?4?0
?y
2
?6y?28?0
的交点 ,并且圆心在直线
x?y?4?0
上的圆的方程。”同学们普遍使用下面两种方法求解: 方法—:先求出两已知圆交点
A
1
?
?1,3
?
,A< br>2
?
?6,?2
?
,再设圆心坐标为
B(b?4,b)
,根据
A
1
B?A
2
B?r
,可求出圆心坐标及
E
A
1
?
?1,3
?
,A
2
?
? 6,?2
?
,再设所求圆的方程为:
x
2
?y
2
? Dx?Ey?F?0
,其圆心为
?
?
D
2
,?
2< br>?

半径r,于是可得所求圆方程。
方法二:先求出两已知圆交点
代 入
x?y?4?0
,再将A
1
,A
2
两点坐标代入所设圆的 方程,可得三个关于D,E,F的三元一次方程组,求出D,E,F的值,这样便可得所求
圆的方程。
但是如果我们利用“过两已知圆交点的圆系”的方法求解,可以更加方便。

弦长
【例题】 已知直线l∶x+2y-2=0与圆C∶x
2
+y
2
=2 相交于A、B两点,求弦长AB.
【思考与分析】 一条直线和圆相交,直线被圆所截得部分的长称为弦长.下面我们将采用两种方法来求出弦长AB.
解法一:设A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2< br>),则A、B坐标即方程组的解,
从方程组中消去x可得:5y
2
-8y+2=0,




又A、B在直线l∶x+2y-2=0上,即x
1
+2y
1
-2=0,x
2
+2y
2
-2=0,A

解法二:作CM⊥AB于M,M为AB中点,在Rt△CMA中,∣AM∣=∣AB∣,∣CA ∣=,∣CM∣为原点到直线l∶x+2y-2=0的距离,
即∣CM∣=,

【小结】 解法一给出了已知一条直线与一条曲线相交于A、B两点,求∣AB∣的一般办法, 设已知直线为l∶y=kx+b,与已知曲线C的
交点为A(x
1
,y
1)、B(x
2
,y
2
),则有y
1
=kx
1
+b,y
2
=kx2+b,即y
1
-y
2
=k(x
1
-x
2
),

这两个公式一般称为直 线与曲线相交所得线段长公式,显然这个公式只与已知直线的斜率k及交点的坐标(x
1
,y< br>1
)、(x
2
,y
2
)有关,而
与曲线C本身是什么 曲线无关,因此这个公式在以后的学习中会得到普遍应用.
解法二针对圆本身的特点给出了简 单的解法,由于解析几何本身解决的是几何图形的问题,因此对于图形本身的特点给予充分的挖掘和
运用 (例如凡有关圆的弦的问题,应该注意弦心距)往往会找到解题的捷径
圆的方程例析
. 求圆心坐标和半径
【例1】 求下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)x< br>2
+y
2
-x=0;(2)x
2
+y
2
+2 ax=0(a≠0);(3)x
2
+y
2
+2ay-1=0.
【思考与分析】 我们先配方得标准方程,然后写出圆心坐标及半径.解: (1)配方
∴ 圆心为半径为r=.
(2)配方得(x+a)
2
+y
2
=a
2

∴ 圆心为(-a,0),半径为r=(注意:这里字母a不知道正负,而半径为正值,所以要加绝对值).
(3)配方得x
2
+(y+a)
2
=1+a
2

∴ 圆心为(0,-a),半径为r=
【拓展】 讨论方程x
2
+y
2
+2ay+1=0(a∈R)表示曲线的形状.
解: 配方得x
2
+(y+a)
2
=a
2
-1,
当a<-1或a>1时,此方程表示的曲线是圆心为(0,-a),半径为r=的圆;
当a=±1时,此方程表示的曲线是一个点,坐标为(0,-a);
当-1 2. 求圆的标准方程
【例2】 已知一个圆经过两点A(2,-3)和B(-2,-5),且圆心在直线l:x-2y-3=0上,求 此圆的方程.
【思考与分析】 求圆的方程,需要确定圆心和半径,我们可以先设定圆心的坐 标,再利用它到A、B两点的距离相等来确定,从而求得
圆的方程.
解: 设点C为圆心,∵ 点C在直线l:x-2y-3=0上,
∴ 可设点C的坐标为(2a+3,a).
又∵ 该圆经过A、B两点,∴ |CA|=|CB|.

解得a=-2,
∴ 圆心坐标为C(-1,-2),半径r=.
2
故所求圆的方程为(x+1)+(y+2)
2
=10.
3. 求圆的一般方程
【例3】 △ABC的三个顶点坐标分别为A(-1,5)、B(-2,-2)、C(5,5),求其外接圆的方程.
【思考与分析】 本题与圆心坐标和半径没有关系,我们选用圆的一般式方程即可.三角形的三 个顶点都在其外接圆上,所以可以联立方
程组,从而求得圆的方程.
解: 设所求圆的方程为x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0,
由题意得方程组
解得D=-4,E=-2,F=-20.
∴ △ABC的外接圆方程为x
2
+y
2
-4x-2y-20=0.
【小结】 通过这部分知识的学习,我们要掌握圆的标准方程,能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程, 从圆的标准方程熟练地
求出它的圆心和半径;掌握圆的一般方程及圆的一般方程的特点,能将圆的一般方 程化为圆的标准方程,从而求出圆心和半径
如何确定圆的方程
已知两点P
1
(4,9)、P
2
(6,3),求以P
1
P
2
为直径的圆 的方程.
【思考与分析】 根据已知条件,我们需要求出圆的圆心位置,又由点P
1
P
2
的坐标已知,且P
1
P
2
为所求圆的直径,所 以圆的半径很容易
求出,这是常规的解法,如下面解法1所示,另外还有一些其它的解法,我们大家一起 来欣赏:
解法1:设圆心为C(a,b)、半径为r.
由中点坐标公式,得 a==5,b==6.


∴ C(5,6),再由两点间距离公式,得

∴ 所求的圆的方程为(x-5)
2
+(y-6)
2
=10.
解法2:设P(x,y)是圆上任意一点,且圆的直径的两端点为P
1
(4,9)、P
2
(6,3),
∴ 圆的方程为(x-4)(x-6)+(y-9)(y-3)=0,
22
化简得 (x-5)+(y-6)=10,即为所求.
解法3:设P(x,y)是圆上任意一点.
由圆的性质有三角形PP1P2为直角三角形,

∴(x -4)
2
+(y-9)
2
+(x-6)
2
+(y-3)2
=(4-6)
2
+(9-3)
2

化简得 x
2
+y
2
-10x-12y+51=0.
∴ (x-5)
2
+(y-6)
2
=10,即为所求的圆的方程.
解法4:设P(x,y)是圆上不同于P
1
、P
2
的任意一点.
∵ 直径上的圆周角为直角, ∴ PP
1
⊥PP
2
.
(1)当PP
1
、PP
2
的斜率都存在时,

(2)当PP
1
、PP
2
的斜率有一个不存在时,PP
1
、 PP
2
的方程为x=4或x=6,这时点P的坐标是(4,3)或(6,9),均满足方程(* ).
又P
1
(4,9)、P
2
(6,3)也满足方程(*),
所以,所求圆的方程为 (x-5)
2
+(y-6)
2
=10.
【小结】 本题我们分别采用了4种解法求解,其中解法2技巧性最强;解法3主要是运用了“圆中直径所对的圆 周角是90°”这一结论;
解法4是通过直线的斜率来求.不同的方法极开阔了我们的思路
圆的切线方程
在直线与圆的位置关系中,求过定点的圆的切线方程问题是一类很重要的题型. 我们都知道有这样的结论:过圆x
2
+y
2
=r
2
上一点A (x
0
,y
0

的切线方程为xx
0
+yy
0
=r
2
,那么你知道在运用这个结论的时候要注意些什么吗?
【例题】 求过点A(2,1)向圆x
2
+y
2
=4所引的切线方程.
解法一:设切点为B(x
0
,y
0
),则x
0
2
+y
0
2
=4,
过B点的切线方程为x
0
x+y
0
y=4.
又点A(2,1)在切线上,∴ 2x
0
+y
0
=4.

将x
0
,y
0
的值代入方程x
0
x+y
0
y=4得所求切线方程为x=2或3x+4y-10=0.
解法二: 设切线方程为y-1=k(x-2),即kx-y-2k+1=0.
∵ 圆心(0,0)到切线的距离是2,
∴ =2,解得k=-.
∴ 所求切线方程为-x-y++1=0,即3x+4y-10=0.
当过点A的直线的斜率不存在时,方程为x=2,也满足条件.
故所求圆的切线方程为3x+4y-10=0或x=2.
解法三: 设切线方程为y-1=k(x -2)与方程x
2
+y
2
=4联立,消去y,整理得(k
2
+1)x
2
-2k(2k-1)x+4k
2
-4k-3=0.
∵ 直线与圆相切,上述方程只能有一个解,即Δ=0,即[2k(2k-1)]
2
-4×(k
2
+1)(4k
2
-4k-3)=0,解得k=-.
∴ 所求切线方程为y-1=-(x-2),即3x+4y-10=0.
又过点A(2,1)与x轴垂直的直线x=2也与圆相切.
故圆的切线方程为3x+4y-10=0或x=2.
【小结】 求过定点的圆的切线问题,应首先 判断该点是否在圆上,若点在圆x
2
+y
2
=r
2
上,则可 直接用公式xx
0
+yy
0
=r
2
(A(x
0,y
0

为切点),类似的可以求出过圆(x-a)
2
+(y- b)
2
=r
2
上一点A(x
0
,y
0
)的 切线方程为(x
0
-a)(x-a)+(y
0
-b)(y-b)=r
2
;若点
在圆外,则所求切线必有两条,此时可设切线方程,用待定系数法求斜率k.如果关于 k的方程只有一个解,则另一条切线的斜率必不存在,
应该将该直线补上.
【警示】 大 家做题的时候必须按照我们所讲的认真求解,稍有马虎就可能造成一些不必要的错误.就本题而言,可能出现的错 解1:由
过圆x
2
+y
2
=r
2
上一点A(x0
,y
0
)的切线方程为xx
0
+yy
0
=r
2
.从而直接得出切线方程为2x+y=4.出现错误的原因是凭直观经验,误认为点
A(2,1)在圆上;错解2:设切线方程为y-1=k(x-2),即kx-y-2k+1=0,由圆心(0, 0)到切线的距离是2得,=2,解得k=-,
故所求切线方程为-x-y++1=0即3x+4y-1 0=0.这里出现错误的原因主要是考虑问题不周全,漏掉了直线斜率不存


例题】 求半径为4,与圆x
2
+y
2
-4x-2y-4=0相切, 且和直线y=0相切的圆的方程.
错解1:由题设,所求圆与直线y=0相切且半径为r=4,则设所求圆的圆心为(a,4).
又 已知圆的方程化为标准式为:(x-2)
2
+(y-1)
2
=9,其圆心(2 ,1),半径R=3.
(1)若两圆外切,则圆心距=r+R=4+3=7.
即(a-2)
2
+(4-1)
2
=7
2
,得a=2±2,
∴ 所求圆方程为:(x-2-2)
2
+(y-4)
2
=16
或(x-2+2)
2
+(y-4)
2
=16.
(2)若两圆切,则圆心距=|R-r|=4-3=1.


∴ (a-2)
2
+(4-1)
2
=1,这个方程无解.
故讨论(1)中,两个方程均是所求圆的方程.
错解2:由题设,所求圆与直线y=0相切且半径为r=4,则设所求圆的圆心为(a,±4).
22
又已知圆的方程化为标准式为:(x-2)+(y-1)=9,其圆心(2,1),半径R=3.
由于两圆相切,则圆心距=r+R=4+3=7.
即(a-2)
2
+(4-1)
2
=7
2
,得a=2±2,
222
或(a-2)+(-4-1)=7,得a=2±2.
2
∴ 所求圆方程为:(x-2-2)+(y-4)
2
=16
或(x-2+2)
2
+(y-4)
2
=16.
或(x-2-2)
2
+(y+4)
2
=16
或(x-2+2)
2
+(y+4)
2
=16.
【误区剖析】 本题容易出错的有两个地方:其一是只考虑了所求圆的圆心在x轴(y=0)上方,疏忽了圆心在直线y=0下方 的可能,
遗下了漏解的隐患,如错解1.其二,只考虑了两圆外切,没有考虑两圆切的情况,解题是不严 密的,如错解2.因此在审题、解题时,一
定要全面、细致地分析研究,努力克服粗心大意、主观片面.
正解:由题设,所求圆与直线y=0相切且半径为r=4,则设所求圆的圆心为(a,±4).
又已知圆的方程化为标准式为:
(x-2)
2
+(y-1)
2
=9,其圆心(2,1),半径R=3.
(1)若两圆外切,则圆心距=r+R=4+3=7.
即(a-2)
2
+(4-1)
2
=7
2
,得a=2±2,
222
或(a-2)+(-4-1)=7,得a=2±2.
2
∴ 所求圆方程为:(x-2-2)+(y-4)
2
=16
或(x-2+2)
2
+(y-4)
2
=16.
或(x-2-2)
2
+(y+4)
2
=16.
或(x-2+2)
2
+(y+4)
2
=16.
(2)若两圆切,则圆心距=R-r=4-3=1.
∴ (a-2)
2
+(4- 1)
2
=1,或(a-2)
2
+(-4-1)
2
=1,
这两个方程都无解.故讨论(1)中,4个方程均是所求圆的方程
正确判断两圆的位置关系
已知两圆C
1
:x
2
+y
2
+4x+4y-2=0,C
2
:x
2
+y
2
- 2x-8y-8=0,判断圆C
1
与圆C
2
的位置关系.
【思考与分析】 要判断两圆的位置关系,我们通常有两种方法:一种是判断两圆的交点个数,如果它们有两个交 点,则相交;有一个
交点则外切或切;没有交点则相离或含.另一种是通过两圆连心线的长与两半径的和 或两半径差的绝对值的大小关系,来判断两圆的位置关
系.
解法一: 将两圆的方程联立得,

由(1)-(2)得x+2y+1=0 (3)
由(3)得x=-2y-1,把此式代入(1),
2
并整理得y-1=0 (4)
方程(4)的判别式Δ=0
2
-4×1×(-1)=4>0,
所以,方程(4) 有两个不同的实数根y
1
,y
2
,把y
1
,y
2< br>分别代入方程(3),得到x
1
,x
2
.
因此圆C
1
与圆C
2
有两个不同的交点,即两圆是相交的位置关系.
解法二: 把圆C
1
的方程化为标准方程形式为(x+2)
2
+ (y+2)
2
=10,圆C
1
的圆心坐标为(-2,-2),半径长r
1
=.
22
把圆C
2
的方程化为标准方程形式为(x-1) +(y-4)=25.圆C
2
的圆心坐标为(1,4),半径长r
2
=5.
圆C
1
和圆C
2
的连心线的长为:
圆C
1< br>与圆C
2
的两半径之和是r
1
+r
2
=5+,两半径 之差r
2
-r
1
=5-.
而5-<3<5+.即r
2
-r
1
<3<r
1
+r
2
.
【小结】 在解法1中,我们只要判断出圆C
1
与圆C
2
有几个公共点即可, 不需要求出公共点的具体坐标,也就是说只需要判断出方程
(4)的判别式大于0,而不需要求解方程
直线与圆的位置关系解析
【例1】 如果曲线C:x
2
+(y+1)
2
=1与直线x+y+a=0有公共点,那么实数a的取值围是 .
【思考与分析】 通过直线与圆的位置关系来求其中所含参数的取值围,下面我们分别从代数和几何两个方面来求.
解法一:(代数法)由消去y得2x
2
+2(a-1)x+a
2
-2a=0,
由Δ=4(a-1)
2
-8(a
2
-2a)≥0,即(a-1)
2
≤2得1-≤a≤1+.
∴ 实数a的取值围是1-≤a≤1+.
解法二:(几何法)圆C与直线x+y+a=0有公共点,圆心(0,-1)到直线的距离不大于半径,

∴实数a的取值围是1-≤a≤1+.
【小结】 直线与圆的位置关 系的判定方法有:①代数法:利用二次方程的判别式判断;②几何法:依据圆心到直线的距离与半径的大
小关系判断.
【例2】 直线2x-y+1=0与圆O∶x
2
+y
2< br>+2x-6y-26=0的位置关系是( ).
A. 相切 B. 相交且过圆心
C. 相离 D. 相交不过圆心
【解析】 要想确定 一条直线与圆的位置关系,我们需要得出圆心到直线的距离与圆半径的大小关系.所以将圆的方程化为标准形式为 :
圆O∶(x+1)
2
+(y-3)
2
=36.圆心为(-1,3) ,半径为r=6,
圆心到直线的距离为d=


从而知0<d<r,所以直线与圆相交但不过圆心. 故正确答案为D
求圆的切线方程的几种方法 < br>在高中数学人教版第二册第七章《圆的方程》一节中有一例题:求过已知圆上一点的切线方程,除了用斜率 和向量的方法之外还
有几种方法,现将这些方法归纳整理,以供参考。
例:已知圆的方程是x
2
+ y
2
= r
2
,求经过圆上一点M(x
0
,y
0
)的切线的方程。
解法一:利用斜率求解
如图1,设切线的斜率为k,则k?k
OM
??1.
?k
OM
?
y
0
x
,?k??
0
x
0
y
0
x
0
(x?x)
解法二:利用向量求解
经过点M的切线方程是:
y?y??
0
y
0
0
整理 得x?x
22
0
x?y
0
y
0
?y
0.
因为点M在圆上,所以x
2
?y
2
00
?r
2
.
所求的直线方程为:x
0
x?y
0
y?r
2< br>.
当点M在坐标轴上时上面方程同样适用。
如图2,设切线上的任意一点p的坐标
?
x,y
?

∵OM?PM,OM?(x
0
,y
0
),PM?(x
0
?x,y
0
?y)

?OM?PM?0
?x
0
?(x
0
?x)?y
0< br>?(y
0
?y)?0
整理得:x
22
0
x?y
0
y?x
0
?y
0
.
因为点M在圆上,所以x
2 22
0
?y
0
?r.
所求的直线方程为:x
0
x? y
0
y?r
2
.
(这种方法的优点在于不用考虑直线的斜率存不存在 )

解法三:利用几何特征求解

如图2,设直线上不同于M(x0
,y
0
)的一点P(x,y)
∵OM?PM

?OM
2
?PM
2
?OP
2
?x
2
?y
2
00
?(x?x
0
)
2
?(y?y
2
0
)?x
2
?y
2
整理得:x
22
0
x?y
0
y?x
0
?y
0
.
因为点M在圆上,所以x2
y
2
0
?
0
?r
2
.
所求 的直线方程为:x
0
x?y
0
y?r
2
.
当P和M 重合时上面方程同样适用。
解法四:用待定系数法求解
1、 利用点到直线的距离求解 设所求直线方程的斜率为k,则直线方程为:
y?y
0
?k(x?x
0< br>),即:kx?y?y
0
?kx
0
?0  ⑴
原点O(0,0 )到切线的距离等于半径
y
0
?kx
0
1?k
2
? r    
化简整理得:(r
2
?x
2
2
?2x
2
0
)k
0
y
0
k?r
2
?y
0< br>?0  ⑵
因为x
2
0
?y
2
0
?r
2
所以⑵式可化为:y
2
k
2
?2x
2
00y
0
k?x
0
?0
解得:k??
x
0
y
  代入⑴式
0
整理得x?y
22
0
x
0
y?x
0
?y
0
.
因为点M在圆上,所以x
22
0
?y
0
?r
2
.
所求的直线方程为:x
0
x?y
0
y?r
2
.
当斜率不存在时上面方程同样适用。
2、 利用直线与圆的位置关系求解:
图1

图2


设所求直线方程的斜率为k,则直线 方程为:
y?y
0
?k(x?x
0
),即:kx?y?y
0
?kx
0
?0  (1)
?
kx?y?y
0
?kx
0
?0

?
2
  消去y得
22
x?y? r    
?
(1?k
2
)x
2
?2k(y
0?kx
0
)x?y
0
?k
2
x
0
?2 ky
0
x
0
?r
2
?0
??4k
2
(y
0
?kx
0
)
2
?4(1?k
2
) (y
0
?k
2
x
0
?2ky
0
x
0
?r
2
)?0
整理得:(r
2
?x
0
) k
2
?2x
0
y
0
k?r
2
?y
0
?0  ⑵
因为x
0
?y
0
?r
2
所以 ⑵式可化为:y
0
k
2
?2x
0
y
0
k? x
0
?0
解得:k??
x
0
  代入⑴式
y
0
22
22
22
22
22
22
整理得x
0
x?y
0
y?x
0
?y
0
.
22
因为点M在圆上,所以x
0
?y
0
?r
2
.
< br>当斜率不存在时上面方程同样适用。
这是圆心在坐标原点的圆的切线方程的求法,若圆心不在原点 ,也可以用这些方法求解。
同样一道题,思路不同,方法不同,难易程度不同。显然在以上的几种解法 中,用向量法和几何特征求解相对来说简单一些。
实际上在圆这一章,很多时候用几何特征求解圆的方程 和直线方程是教简单的方法,同学们下来可以尝试。
《圆的方程》的经典问题聚焦
1 直线和直线的位置关系问题

所求的直线方程为:x
0
x?y
0
y?r
2
.
11
?
的值等于 .
ab
2() 已知两条直线
l
1
:ax?3y?3?0,l
2
:4x?6y?1?0.

l
1
l
2
,则
a?
____.
1( )若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b) (ab
?
0)共线,则
【思维展示】
1 合理选择截距式,利用点在曲线上的意义切入,设过点B(a,0),C(0,b) 的直线方程为
则< br>xy
??1
,由于点A(2,2)在此直线上,所以
2
?
2< br>?1
,
ab
ab
111
.
??
ab2
2 直线和直线的位置关系研究方法,构建方程求解,
l
1
l
2
,则
6a?12?0,?a?2

【学习体验】
认识直线的方程和方程的直线的一一对应关系,学会用代数的方法研究直线和直线的位置关系。
2利用几何法简化研究直线和圆的位置关系.
1()圆
(x?1)?(y?
2()若圆
2
3)
2
?1
的切线方程中有一个是
,则直线
l
的倾斜角的取值围是
(A)x-y=0 (B)x+y=0 (C)x=0 (D)y=0
x
2
?y
2?4x?4y?10?0
上至少有三个不同点到直线
l
:
ax?by?0
的距离为
22
??
?
5
?
??
?
( B ) A.[] C.[
,]
D.
[0,]

,
] B.[
,
1241212632
3() 已知圆M:(x+cos?)
2+(y-sin?)
2
=1,直线l:y=kx,下面四个命题:
A对任意实数k与?,直线l和圆M相切;B对任意实数k与?,直线l和圆M有公共点;
C 对任意实数?,必存在实数k,使得直线l与和圆M相切
D对任意实数k,必存在实数?,使得直线l 与和圆M相切其中真命题的代号是______________(写出所有真命题的代号)
【思维展示】
1本题主要考查圆的切线的求法,直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径.
直 线ax+by=0
与(x?1)
2
?(y?3)
2
?1相切
,则
|a?b3|
?1
,由排除法,选C;
2
2 注意到圆圆心< br>?
2,2
?
,R?32
,直线
ax?by?0
恒过原 点的直线系,圆上至少有三个不同点到直线
l
:
ax?by?0
的距离为22

特值验证,倾斜角为0或不存在时圆上只有两个点满足,排除D,注意到直线过圆心 时此时倾斜角为
满足到直线
l
:
ax?by
?
,由图形的对 程性知圆上有4个点
4
12
?0
的距离为
22
,则倾斜角含
2
?
4
;当倾斜角为
5
?
12
时,此时,
?
a
?tan
5
?
?2?3
,圆心到直线的距离< br>b
d?
2a?2b
5
?
4
?
a?b
?
8ab?8b
2
2?3
,于是,此时与倾斜角为平行有两直线与圆相
,?d?
2
?4?
2
?4??2,?d?2
22
2
12
22
a?ba?b
a?b
b
2
?
1?2?3
?
??
??
2
?
?
?
?

< br>切和相交,且它们到过原点倾斜角
5
?
12
之间的距离都为
2 2
,即此时有3个点满足题设,故选B;
1+k
2
|sin(
?< br>+
?
)|
1+k
2
故选(B)(D);
3 本题也可数形结合,画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。
|-kcos
?
-sin
?
|
若直接思维求解油,圆心坐标为(-cos?,sin?)d=
1+k
=|sin(
?

?
)|?1
2

【学习体验】
直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件:圆心到直线的距离等于半径(2) 代数条件:直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成
判别式等于零来解.
3 圆的第二定义的应用
()已知两定点
A
?
?2,0
?
,B
?
1,0
?
,如果动点
P
满足
PA?2PB
,则点
P
的轨迹所包围的图形的面积等于 (A)
9
?
(B)
8
?
(C)
4
?
(D)
?

【思维展示】
解析法探究轨迹,若有圆的第二定义的意识, 所求为员的面积。设
P
?
x,y
?
,
?
x?2?
2
?y
2
?4(x?1)
2
?y
2
,?
?
x?2
?
?y
2
?4
2
??
为动点P的轨迹,选C;
【学习体验】
本题来源于教材第78页例5和第88页19题的 习题,是“动点到两定点的距离之比为正常数的轨迹为圆或线段的垂直平分线”的一特例,
若有教材习题 的学习体验很容易找到思维的切入点和探求的方法,应体会高考题来源于课本的指导思想,认识教材的突出地位和 作用.
4 直线和圆有关的信息迁移问题
1() 如图,平面中两条直线
l
1

l
2
相交于点
O
,对于平面上任意一点
M< br>,

l
1
p,q
分别是
M
到直线
l
1

l
2
的距离,则称有序非负
,根据上述定义,
?
p,q
?
是点
M
的“距离坐标”

实数对
l
2

M(
p

q

O
“距离坐标”是(1,2)的点的个数是____________.4
2() 如图所示,单位圆中弧
AB
的长为
x
,
f
(
x)表示弧
AB
与弦
AB
所围成的弓形面积的2倍,则函数
y=
f
(
x
)的图象是

D
【思维展示】
1 认识“距离坐标”的意义,是点到两直线的距离是两个非负实数对,注意点 所在位置可在两相交直线分成的4个区域,故“距离坐标”
是(1,2)的点的个数是4;
2 运动变化的认识弓形面积的变化,开始变化斜率较小,越来越大,注意其对称性,图像关于
?
?
,
?
?
对称,选D;
【学习体验】
信息迁移问题,认真 阅读的基础上反馈提取信息,注意题设的“新定义和新概念”运用运动变化的观念和函数与数形结合思想和方法,
将问题转化为学过的原有的知识和方法求解。试回味本题求解中的思维方法,不断提高自己的创新能力。
【实战演练】
1(全国2)过点
(1,2)
的直线
l
将圆
(x?2)
2
?y
2
?4
分成两段弧,当劣弧所对的圆心角 最小时,直线
l
的斜率
k?____.

2( )已知直线
5x?12y?a?0
与圆
x
2
?2x?y
2
?0
相切,则
a
的值为 。

3() 以点(2,-1)为圆心且与直线
3x?4y?5?0
相切的圆的方程为( C ) (A)
(x?2)
(C)
(x?2)
4设直线
ax?
2
?(y?1)
2
?3
(B)
(x?2)
2
?(y?1)
2
?3

?(y?1)
2
?9
(D)
(x?2)
2
?(y?1)
2
?3

2y?3?0
与圆
(x?1)
2
?(y?2)
2
?4相交于
A

B
两点,且弦
AB
的长为
23,则
a?
____________
2
5.()设直线过点(0,a),其斜率为1, 且与圆x
2
+y
2
=2相切,则a 的值为( )
A.±2 B.±2 B.±22 D.±4
6(文)圆
x?y?4x? 4y?10?0
上的点到直线
x?y?14?0
的最大距离与最小距离的差是
2


A.36 B. 18 C.
62
D.
52

参考答案
2
2

-18或8;C ;0; B;C;


































直线和圆的方程
一、选择题(每题3分,共54分)
1 在直角坐标系中,直线
x?3y?3?0
的倾斜角是( )
A.
?
2
?
6
B.
?
3
C.
5
?
6
D.
3

2 若圆C与圆(x?2)
2
?(y?1)
2
?1
关于原点对称,则圆C的方程 是( )
A.
(x?2)
2
?(y?1)
2
?1
B.
(x?2)
2
?(y?1)
2
?1

C.
(x?1)
2
?(y?2)
2
?1
D.
(x?1)
2
?(y?2)
2
?1

3 直线
ax?by?c?0
同时要经过第一 第二 第四象限,则
a、b、c
应满足( )
A.
ab?0,bc?0
B.
ab?0,bc?0
C.
ab?0,bc?0
D.
ab?0,bc?0

4 已知直线
l
1
1
: y?
2
x?2
,直线
l
2
过点
P(?2,1),且
l
1

l
2
的夹角为
45
?,则直线
l
2
的方程是( )
A.
y?x?1
B.
y?
1
3
x?
3
5
C.
y??3x?7
D.
y?3x?7

5 不等式
2x?y?6?0
表示的平面区域在直线
2x?y?6?0
的( )
A.左上方 B.右上方 C.左下方 D.左下方
6 直线
3x?4 y?9?0
与圆
x
2
?y
2
?4
的位置关系是( )
A.相交且过圆心 B.相切 C.相离 D.相交但不过圆心
7 已知直线
ax?by?c?0(abc?0)
与圆
x
2
?y
2
?1
相切,则三条边长分别为
a、b、c
的三角形(


A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形
8 过两点
(?1,1)和(3,9)
的直线在x轴上的截距是( )
D.不存在
32
B.
?

23
9 点
(0,5)
到直线
y?2x
的距离为(
A.
?






)


C.
2

5
3

2
D.2
A.
5

2
B.
5
C. D.
5

2
10 下列命题中,正确的是( )
A.点
(0,0)
在区域
x?y?0

C.点
(1,0)
在区域
y?2x

22
B.点
(0,0)
在区域
x?y?1?0

D.点
(0,1)
在区域
x?y?1?0

11 由点
P(1,3)
引圆
x?y?9
的切线的长是 ( )
A.2 B.
19
C.1 D.4
12 三直线
ax?2y?8?0,4x?3y?10,2x?y?10
相交于一点,则a的值是( )
A.
?2


B.
?1


C.0



D.1
D.
?3

?
13 已知直线
l
1
:3x?y?0,l
2
:kx?y?1?0
,若
l
1

l
2
的夹角为
60
,则k的值 是
A.
3或0
B.
?3或0
C.
3

14 如果直线
ax?2y?1?0与直线x?y?2?0
互相垂直,那么a的值等于( )
1
2
C.
?
D.
?2

3
3
15 若直线
ax?2y?2?0与直线3x?y?2?0
平行,那么系数a等于( )
2
3
A.
?3
B.
?6
C.
?
D.
3
2
22
16 由
y?x和圆x?y?4
所围成的较小图形的面积是( )
A.1 B.
?
3
?
3
?
D.
42
22
17 动点在圆
x?y?1
上移动时,它与定点
B(3,0)
连线的中点的轨迹方程是( )
2222
A.
(x?3)?y?4
B.
(x?3)?y?1

3
2
1
22
2
C.
(2x?3)?4y?1
D.
(x?)?y?

22
x?3?3cos
?
18 参数方程
?
?
y??3?3sin
?
表示的图形是( )
?
A.圆心为
(?3,3)
,半径为9的圆 B.圆心为
(?3,3)
,半径为3的圆
C.圆心为
(3,?3)
,半径为9的圆 D.圆心为
(3,?3)
,半径为3的圆
A.
?

4
B.
?
C.
二、填空题(每题3分,共15分)
19 以点
(1,3)和(5,?1)
为端点的线段的中垂线的方程是
20 过点
(3,4)且与直线3x?y?2?0
平行的直线的方程是
21 直线
3x?2y?6?0在x、y
轴上的截距分别为
k
2
22
23 若方程
x?y?2x?4y?1?a?0
表示的曲线是一个圆,则a的取值围是
(2,?3),(4,3)及(5,)
在同一条直线上,则k的值等于 22 三点
三、解答题(第24、25两题每题7分,第26题8分,第27题9分,共31分)
24 若圆经过点
A(2,0),B(4,0),C(0,2)
,求这个圆的方程

















25 求到两个定点
A(?2,0),B(1,0)
的距离之比等于2的点的轨迹方程













26 求点
A(3,?2)
关于直线
l:2 x?y?1?0
的对称点
A
的坐标












'
22
27 已知圆C与圆
x?y?2x?0
相外切,并且与直线< br>x?3y?0
相切于点
Q(3,?3)
,求圆C的方程






直线和圆的方程

答案
一、
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
答案 C A A D D D B A B A C B A D B B C D

二、19
x?y?2?0
20
3x?y?5?0
21
?2和3
22 12 23
a?4


三、24 设所求圆的方程为
x?y?Dx?Ey?F?0
,
22
??
?4?2D?F?0
?
D??6
22
则有
?
16?4D? F?0?
?
E??6
所以圆的方程是
x?y?6x?6y?8?0

??
?
2E?F?4?0
?
F?8
MA
25 设
M(x,y)
为所求轨迹上任一点,则有
?2

MB
?< br>(x?2)
2
?y
2
(x?1)
2
?y
2< br>?2?x
2
?4x?y
2
?0

13
??
b?2
a??
?2??1
?
?
134
'5

26 设
A(a,b)
,则有
?
a?3< br>?
?
?A
'
(?,)

4
a?3b?255
?
2???1?0
?
b?
5
22
?
?
27 设圆C的圆心为
(a,b)

?
b?3
?3< br>?
?
a?3
a?4

?
a?0

?
?
?
?
b?0
?
b??43
?r?2或r?6
a?3b
?
?
?
(a?1)
2
?b
2
?1?
?
2
?
2222
所以圆C的方程为
(x? 4)?y?4或x?(y?43)?36




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